X. proporcionalni isječci u pravokutnom trokutu i kružnici. trigonometrijske funkcije oštrog kuta. Dodatna svojstva

Promotrimo najprije sekantu AC, povučenu iz točke A izvan zadane kružnice (slika 288). Iz iste točke povuci tangentu AT. Odsječak između točke A i njoj najbliže sjecišne točke s kružnicom nazvat ćemo vanjskim dijelom sekante (odsječak AB na slici 288), dok je odsječak AC do najudaljenije od dviju točaka sjecišta jednostavno sekanta . Isječak tangente od točke A do dodirne točke ukratko se naziva i tangenta. Zatim

Teorema. Umnožak sekante i njezina vanjskog dijela jednak je kvadratu tangente.

Dokaz. Spojimo točku. Trokuti ACT i BT A su slični jer imaju zajednički kut u vrhu A, a kutovi ACT i su jednaki jer se oba mjere polovicom istog luka TB. Stoga odavde dobivamo traženi rezultat:

Tangenta je jednaka geometrijskoj sredini između sekante povučene iz iste točke i njezinog vanjskog dijela.

Posljedica. Za svaku sekantu povučenu kroz danu točku A, umnožak njezine duljine i vanjskog dijela je konstantan:

Razmotrimo sada tetive koje se sijeku u unutarnjoj točki. Točna izjava:

Ako se dvije tetive sijeku, tada je umnožak odsječaka jedne tetive jednak umnošku odsječaka druge (što znači odsječaka na koje je tetiva podijeljena točkom presjeka).

Dakle, na sl. 289 tetive AB i CD sijeku se u točki M, pa imamo Drugim riječima,

Za danu točku M, umnožak odsječaka na koje ona dijeli bilo koju tetivu koja kroz nju prolazi je konstantan.

Da bismo to dokazali, primijetimo da su trokuti MBC i MAD slični: kutovi CMB i DMA su okomiti, a kutovi MAD i MCB temeljeni su na istom luku. Odavde nalazimo

Q.E.D.

Ako se dana točka M nalazi na udaljenosti l od središta, tada, crtajući promjer kroz nju i smatrajući je jednom od tetiva, nalazimo da je umnožak segmenata promjera, a time i bilo koje druge tetive, jednak do Također je jednak kvadratu najmanje polutetive (okomite na navedeni promjer) koja prolazi kroz M.

Teorem o stalnosti umnoška odsječaka tetive i teorem o stalnosti umnoška sekante s vanjskim dijelom dva su slučaja iste tvrdnje, jedina je razlika jesu li sekante povučene kroz vanjsku ili unutarnja točka kruga. Sada možete navesti još jednu značajku koja razlikuje upisane četverokute:

U svakom upisanom četverokutu, granični umnošci na koje su dijagonale podijeljene svojim sjecištem su jednaki.

Nužnost uvjeta je očita, jer će dijagonale biti akorde opisane kružnice. Može se pokazati da je i ovaj uvjet dovoljan.

Matematika. Algebra. Geometrija. Trigonometrija

GEOMETRIJA: Planimetrija

10. Teoremi o proporcionalnim pravcima

Teorema. Stranice kuta presječene su nizom paralelnih pravaca, koje one sijeku na proporcionalne dijelove.

Dokaz. To je potrebno dokazati

Crtanjem pomoćnih pravaca DM,EN,... paralelno s BA dobivamo trokute koji su međusobno slični jer su im kutovi redom jednaki (zbog paralelnosti pravaca). Iz njihove sličnosti slijedi:

Zamjenom segmenta DM s D"E" u ovom nizu jednakih omjera, segmenta EN s E"F" (nasuprotne strane paralelograma), dobivamo ono što smo htjeli dokazati.

Teorema. Simetrala bilo kojeg kuta trokuta dijeli suprotnu stranicu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama trokuta

Inverzni teorem. Ako je bilo koja stranica trokuta podijeljena na dva dijela proporcionalna dvjema susjednim stranicama tog trokuta, tada je pravac koji spaja točku diobe s vrhom suprotnog kuta simetrala tog kuta.

Teorema. Ako simetrala vanjskog kuta trokuta u nekoj točki siječe produžetak suprotne stranice, tada su udaljenosti od te točke do krajeva produžene stranice proporcionalne susjednim stranicama trokuta.

Brojčane ovisnosti između elemenata trokuta.

Teorema. U pravokutnom trokutu, okomica spuštena s vrha pravog kuta na hipotenuzu je prosječni proporcional između odsječaka hipotenuze, a svaki krak je prosječni proporcional između hipotenuze i odsječka koji je susjedan ovom kraku

Dokaz. Potrebno je dokazati sljedeće tri proporcije: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Trokuti ABD i ADC su slični jer

P 1=P 4 i P 2=P 3 (budući da su im stranice okomite), stoga je BD:AD=AD:DC.

2) Trokuti ABD i ABC su slični jer su pravokutni i imaju zajednički kut B, pa je BC:AB=AB:DB.

3) Trokuti ABC i ADC su slični jer su pravokutni i imaju zajednički kut C, pa je BC:AC=AC:DC.

Posljedica. Okomica spuštena s neke točke na kružnici na promjer je prosječna proporcija između odsječaka promjera, a tetiva koja povezuje tu točku s krajem promjera je prosječna proporcija između promjera i odsječka uz tetivu.

Pitagorin poučak. U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta

Posljedica. Kvadrati kateta međusobno su povezani kao susjedni segmenti hipotenuze

Teorema. U svakom trokutu, kvadrat stranice nasuprot oštrom kutu jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice bez dvostruke

umnožak bilo koje od ovih stranica s njezinim segmentom od vrha oštrog kuta do visine.

Teorema. Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica

. Proporcionalne linije u krugu.
Teorema. Ako se tetiva i promjer povuku kroz točku unutar kruga, tada je umnožak odsječaka tetive jednak umnošku odsječaka promjera.

Posljedica. Ako se bilo koji broj tetiva povuče kroz točku uzetu unutar kruga, tada je umnožak segmenata svake tetive stalan broj za sve tetive.

Teorema. Ako se na njega povuku neka sekansa i tangenta iz točke izvan kruga, tada je umnožak sekante i njezinog vanjskog dijela jednak kvadratu tangente

Korištenje materijala web stranice moguće je pod uvjetom da je navedena aktivna veza

§ 11. Proporcionalni segmenti u krugu.

1. Košara mosta omeđena je lukom kružnice (slika 38); visina rešetke MK= h= 3 m; polumjer luka AMB raspona R = 8,5 m. Izračunajte duljinu AB raspona mosta.

2. U polu-cilindričnom zasvođenom podrumu treba postaviti dva stupa, svaki na istoj udaljenosti od najbližeg zida. Odredite visinu regala ako je širina podruma duž dna 4 m, a razmak između regala 2 m.

3. 1) Iz točke kružnice povučena je okomica na promjer. Odredi njegovu duljinu sa sljedećim duljinama odsječaka promjera: 1) 12 cm i 3 cm; 2) 16 cm i 9 cm, 3) 2 m i 5 dm.

2) Od točke promjera do sjecišta s kružnicom povučena je okomica. Odredi duljinu te okomice ako je promjer 40 cm, a povučena okomica udaljena 8 cm od jednog od krajeva promjera.

4. Promjer je podijeljen na segmente: AC \u003d 8 dm i CB \u003d 5 m, a iz točke C na njega je povučena okomica CD zadane duljine. Označite položaj točke D u odnosu na kružnicu kada je CD jednaka: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.

5. DIA-polukrug; CD - okomito na promjer AB. Potreban:

1) odredi DB ako je AD = 25 i CD =10;

2) odredi AB ako je AD: DB= 4 : 9 i CD=30;

3) definirajte AD ako je CD=3AD i radijus je r;

4) odredi AD ako je AB=50 i CD=15.

6. 1) Okomica, spuštena s točke kružnice na polumjer 34 cm, dijeli je u omjeru 8:9 (počevši od središta). Odredite duljinu okomice.

2) Tetiva BDC je okomita na polumjer ODA. Odredi BC ako je OA = 25 cm i AD = 10 cm.

3) Širina prstena kojeg čine dva koncentrična kruga je 8 dm; tetiva veće kružnice, koja dodiruje manju, iznosi 4 m. Odredi polumjere kružnica.

7. Usporedbom odsječaka dokažite da je aritmetička sredina dvaju nejednakih brojeva veća od njihove geometrijske sredine.

8. Konstruirajte odsječak, srednji razmjer između odsječaka 3 cm i 5 cm.

9. Konstruirajte odsječak jednak: √15; √10; √6; √3.

10. ADB-promjer; AC akord; CD je okomit na promjer. Odredi tetivu AC: 1) ako je AB = 2 m i AD = 0,5 m; 2) ako je AD = 4 cm i DB = 5 cm; 3) ako je AB=20m i DB=15m.

11. AB promjer; AC akord; AD je njegova projekcija na promjer AB. Potreban:

1) odredi AD ako je AB=18 cm i AC=12 cm;

2) odredi polumjer ako je AC=12 m i AD=4 m;

3) odredi DB ako je AC=24 cm i DB = 7/9 AD.

12. AB promjer; AC akord; AD je njegova projekcija na promjer AB. Potreban:

1) odredi AC ako je AB = 35 cm i AC=5AD;

2) odredite AC ako je polumjer jednak r i AC=DB.

13. Dvije se tetive sijeku unutar kružnice. Segmenti jedne tetive su 24 cm i 14 cm; jedan od isječaka druge tetive je 28 cm.Odredite njegov drugi isječak.

14. Košara mosta ograničena je lukom kružnice (slika 38); duljina mosta AB = 6 m, visina A = 1,2 m. Odredi polumjer luka (OM = R).

15. Dva segmenta AB i CD sijeku se u točki M tako da je MA \u003d 7 cm, MB \u003d 21 cm,
MC = 3 cm i MD = 16 cm Leže li točke A, B, C i D na istoj kružnici?

16. Duljina njihala MA = l= 1 m (Sl. 39), njegova visina dizanja, kada se odstupi za kut α, CA = h\u003d 10 cm. Pronađite udaljenost BC točke B od MA (BC \u003d x).

17. Za prevođenje širine željezničkog kolosijeka b\u003d 1,524 m na mjestu AB (slika 40) napravljeno je zaokruživanje; dok se pokazalo,; da je BC= a= 42,4 m. Odredi polumjer zakrivljenosti OA = R.

18. Tetiva AMB zakrenuta je blizu točke M tako da se segment MA povećao 2 1/2 puta. Kako se promijenio segment MB?

19. 1) Od dviju tetiva koje se sijeku jedna je podijeljena na dijelove od 48 cm i 3 cm, a druga na pola. Odredite duljinu sekunde akorda.

2) Od dviju tetiva koje se sijeku jedna je bila podijeljena na dijelove od 12 m i 18 m, a druga u omjeru 3:8. Odredite duljinu sekunde akorda.

20. Od dviju tetiva koje se sijeku prva iznosi 32 cm, a odsječci druge tetive su
12 cm i 16 cm.Odredi odsječke prve tetive.

21. Sekanta ABC je zarotirana u blizini vanjske točke A tako da se njezin vanjski segment AB smanjio tri puta. Kako se promijenila duljina sekante?

22. Neka su ADB i AEC dva pravca koji sijeku kružnicu: prvi je u točkama D i B, drugi je u točkama E i C. Traži se:

1) odredite AE ako je AD = 5 cm, DB = 15 cm i AC = 25 cm;

2) odredite BD ako je AB = 24 m, AC = 16 m i EC = 10 m;

3) odredite AB i AC ako je AB+AC=50 m, a AD: AE = 3:7.

23. Polumjer kružnice je 7 cm.Iz točke udaljene od središta 9 cm povučena je sekanta tako da je kružnica dijeli popola. Odredite duljinu te sekante.

24. MAB i MCD su dvije sekante jednoj kružnici. Potreban:

1) odredite CD ako je MV = 1 m, MD = 15 dm i CD = MA;

2) odredi MD ako je MA =18 cm, AB=12 cm i MC:CD = 5:7;

3) odredi AB ako je AB=MC, MA=20 i CD=11.

25. Dvije su tetive produžene do međusobnog presjeka. Odredite duljinu dobivenih nastavaka ako su tetive jednake a i b, a njihova proširenja su povezana kao t:p.

26. Iz jedne točke na kružnicu su povučene sekansa i tangenta. Odredite duljinu tangente ako su vanjski i unutarnji odsječak sekante izraženi sljedećim brojevima: 1) 4 i 5; 2) 2,25 i 1,75; 3) 1 i 2.

27. Tangenta je 20 cm, a najveća sekansa povučena iz iste točke je 50 cm Odredi polumjer kružnice.

28. Sekans je 2 1/4 puta veći od svog vanjskog segmenta. Koliko je puta veća od tangente povučene iz iste točke?

29. Zajednička tetiva dviju kružnica koje se sijeku je nastavljena i na njih su povučene tangente iz točke uzete na nastavku. Dokažite da su jednaki.

30. Na jednoj strani kuta A segmenti su položeni jedan za drugim: AB \u003d 6 cm i BC \u003d 8 cm; a s druge strane položen je isječak AD = 10 cm Kroz točke B, C i D nacrtana je kružnica. Utvrdite dodiruje li pravac AD tu kružnicu, a ako ne, hoće li točka D biti prva (brojeći od A) ili druga sjecišna točka.

31. Neka budu: AB-tangenta i ACD-sekant iste kružnice. Potreban:

1) odredite CD ako je AB = 2 cm i AD = 4 cm;

2) odredi AD ako je AC:CD = 4:5 i AB=12 cm;

3) odredi AB ako je AB = CD i AC = a.

32. 1) Koliko daleko možete vidjeti iz balona (slika 41), koji se izdigao na visinu od 4 km iznad tla (polumjer Zemlje je = 6370 km)?

2) Planina Elbrus (na Kavkazu) uzdiže se 5600 metara iznad razine mora. Koliko daleko možete vidjeti s vrha ove planine?

3) M - osmatračnica visine A metara iznad tla (slika 42); polumjer zemlje R, MT= d je najveća vidljiva udaljenost. Dokaži to d= √2R h+ h 2

Komentar. Jer h 2 zbog svoje malenosti u odnosu na 2R h gotovo ne utječe na rezultat, tada možete koristiti približnu formulu d≈ √2R h .

33. 1) Tangenta i sekansa, koje izlaze iz jedne točke, jednake su redom 20 cm odnosno 40 cm; sekanta je od središta udaljena 8 cm.Odredi polumjer kružnice.

2) Odredite udaljenost od središta do točke iz koje polaze tangenta i sekanta, ako su one redom 4 cm odnosno 8 cm, a sekanta je udaljena od središta za
12 cm

34. 1) Iz zajedničke točke na kružnicu su povučene tangenta i sekanta. Odredi duljinu tangente ako je 5 cm duža od vanjskog odsječka sekante i za toliko manja od unutarnjeg odsječka.

2) Iz jedne točke na kružnicu su povučene sekansa i tangenta. Sekans je a, a njegov unutarnji segment duži je od vanjskog za duljinu tangente. Definirajte tangentu.

36. Iz jedne točke povučene su tangenta i sekanta na jednu kružnicu. Tangenta je veća od unutarnjeg i vanjskog odsječka sekante za 2 cm odnosno 4 cm.Odredite duljinu sekante.

36. Iz jedne točke na kružnicu su povučene tangenta i sekanta. Odredi njihovu duljinu ako je tangenta 20 cm manja od unutarnjeg odsječka sekante i 8 cm veća od vanjskog odsječka.

37. 1) Iz jedne točke na kružnicu povučene su sekanta i tangenta. Njihov zbroj je 30 cm, a unutarnji segment sekante je 2 cm manji od tangente. Definirajte sekansu i tangentu.

2) Iz jedne točke na kružnicu su povučene sekansa i tangenta. Njihov zbroj je 15 cm, a vanjski segment sekante je 2 cm manji od tangente. Definirajte sekansu i tangentu.

38. Duž AB produljen je za udaljenost BC. Na AB i AC, kao i na promjerima, izgrađene su kružnice. Na dužinu AC u točki B povučena je okomica BD dok se ne presječe s većom kružnicom. Iz točke C povučena je tangenta SC na manju kružnicu. Dokažite da je CD = CK.

39. Na zadanu kružnicu povučene su dvije paralelne tangente i treća tangenta koje ih sijeku. Polumjer je prosječna proporcija između segmenata treće tangente. Dokazati.

40. Zadane su dvije paralelne crte koje su jedna od druge udaljene 15 dm; između njih je dana točka M koja je od jedne od njih udaljena 3 dm. Kroz točku M povučena je kružnica koja dodiruje obje paralele. Odredi udaljenost između projekcija središta i točke M na jednu od tih paralela.

41. U krugu polumjera r Upisan je jednakokračni trokut kojemu je zbroj visine i osnovice jednak promjeru kružnice. Odredite visinu.

42. Odredi polumjer kružnice opisane jednakokračnom trokutu: 1) ako je osnovica 16 cm, a visina 4 cm; 2) ako je stranica 12 dm, a visina 9 dm; 3) ako je stranica 15 m, a osnovica 18 m.

43. U jednakokračnom trokutu osnovica je 48 dm, a stranica 30 dm. Odredi polumjere opisanih i upisanih kružnica te udaljenost njihovih središta.

44. Polumjer je r, tetiva ovog luka jednaka je a. Odredite tetivu udvostručenog luka.

45. Polumjer kružnice je 8 dm; tetiva AB je 12 dm. Kroz točku A povučena je tangenta, a iz točke B je tetiva BC paralelna s tangentom. Odredi udaljenost između tangente i tetive BC.

46. Točka A udaljena je od pravca MN na udaljenost S. dati radijus r Opisani je krug tako da prolazi točkom A i dodiruje pravac MN. Odredite udaljenost između primljene dodirne točke i zadane točke A.

Svojstvo 1 . Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u točki S, tada je AS BS = CS DS, tj. DS/BS = AS/CS.

Dokaz. Dokažimo najprije da su trokuti ASD i CSB slični.

Upisani kutovi DCB i DAB jednaki su jer se temelje na istom luku.

Kutovi ASD i BSC jednaki su kao okomiti.

Iz jednakosti navedenih kutova slijedi da su trokuti ASD i CSB slični. Iz sličnosti trokuta slijedi proporcija

DS/BS = AS/CS, ili AS BS = CS DS,

Q.E.D.

Svojstvo 2. Ako se iz točke P na kružnicu povuku dvije sekante koje sijeku kružnicu u točkama A, B odnosno C, D, tada je AR/SR = DP/BP.

Dokaz. Neka su A i C točke presjeka sekanti s kružnicom najbližom točki P. Trokuti PAD i RSV su slični. Imaju zajednički kut u vrhu P, a kutovi B i D jednaki su kao upisani, temeljeni na istom luku. Iz sličnosti trokuta slijedi proporcija AR/SR = DP/BP koju je trebalo dokazati.

Svojstvo simetrale kuta trokuta

Simetrala kuta trokuta dijeli suprotnu stranicu na segmente proporcionalne drugim dvjema stranicama.

Dokaz. Neka je CD simetrala trokuta ABC. Ako je trokut ABC jednakokračan s osnovicom AB, tada je naznačeno svojstvo simetrale očito, jer je u tom slučaju simetrala ujedno i središnja. Razmotrimo opći slučaj u kojem AC nije jednak BC. Spustimo okomice AF i BE iz vrhova A i B na pravac CD. Pravokutni trokuti ACF i ALL slični su jer imaju jednake šiljaste kutove u vrhu C.

Iz sličnosti trokuta slijedi proporcionalnost strana: AC / BC \u003d AF / BE. Pravokutni trokuti ADF i BDE također su slični. Njihovi kutovi u vrhu D jednaki su vertikali. Iz sličnosti slijedi: AF/BE = AD/BD. Uspoređujući ovu jednakost s prethodnom, dobivamo: AC / BC \u003d AD / BD ili AC / AD \u003d BC / BD, odnosno AD i BD proporcionalni su stranicama AC i BC.