Formula za smanjivanje kocke. Formule skraćenog množenja. Zaključci iz lekcije

Formule skraćenog množenja (FMF) koriste se za potenciranje i množenje brojeva i izraza. Često vam ove formule omogućuju kompaktnije i brže izračune.

U ovom ćemo članku navesti osnovne formule za skraćeno množenje, grupirati ih u tablicu, razmotriti primjere korištenja ovih formula, a također ćemo se zadržati na načelima dokaza formula za skraćeno množenje.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Po prvi put se tema FSU obrađuje u okviru predmeta Algebra za 7. razred. Ispod je 7 osnovnih formula.

Formule skraćenog množenja

1. formula za kvadrat zbroja: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. formula razlike kvadrata: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. formula kocke zbroja: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formula kocke razlike: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. formula razlike kvadrata: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. formula za zbroj kubova: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. formula za razliku kubova: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Slova a, b, c u ovim izrazima mogu biti bilo koji brojevi, varijable ili izrazi. Radi lakšeg korištenja, bolje je naučiti sedam osnovnih formula napamet. Stavimo ih u tablicu i predstavimo ih ispod, okružene okvirom.

Prve četiri formule omogućuju izračunavanje kvadrata ili kuba zbroja ili razlike dvaju izraza.

Peta formula izračunava razliku između kvadrata izraza množenjem njihovog zbroja i razlike.

Šesta i sedma formula množe zbroj i razliku izraza s nepotpunim kvadratom razlike i nepotpunim kvadratom zbroja.

Skraćena formula množenja ponekad se naziva i skraćeni identiteti množenja. To ne čudi, jer je svaka jednakost identitet.

Pri rješavanju praktičnih primjera često se koriste skraćene formule množenja sa zamijenjenom lijevom i desnom stranom. Ovo je posebno zgodno kada faktoriramo polinom.

Dodatne formule za skraćeno množenje

Nemojmo se ograničiti samo na tečaj algebre za 7. razred i dodajmo još nekoliko formula u našu FSU tablicu.

Prvo, pogledajmo Newtonovu binomnu formulu.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Ovdje su C n k binomni koeficijenti koji se pojavljuju u retku broj n u Pascalovom trokutu. Binomni koeficijenti izračunavaju se pomoću formule:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Kao što možemo vidjeti, FSF za kvadrat i kub razlike i zbroja poseban je slučaj Newtonove binomne formule za n=2 odnosno n=3.

Ali što ako postoji više od dva člana u zbroju koji treba podići na potenciju? Formula za kvadrat zbroja tri, četiri ili više članova bit će korisna.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Još jedna formula koja može biti korisna je formula za razliku između n-tih potencija dva člana.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ova se formula obično dijeli na dvije formule - za parne i neparne potencije.

Čak i za indikatore od 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Za neparne eksponente 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Formule razlike kvadrata i razlike kubova, kao što pogađate, posebni su slučajevi ove formule za n = 2 odnosno n = 3. Za razliku kubova, b se također zamjenjuje s - b.

Kako čitati skraćene formule množenja?

Dat ćemo odgovarajuće formulacije za svaku formulu, ali prvo ćemo razumjeti princip čitanja formula. Najprikladniji način da to učinite je primjer. Uzmimo prvu formulu za kvadrat zbroja dva broja.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Kažu: kvadrat zbroja dva izraza a i b jednak je zbroju kvadrata prvog izraza, dvostrukom umnošku izraza i kvadrata drugog izraza.

Sve ostale formule čitaju se na sličan način. Za kvadrat razlike a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 pišemo:

kvadrat razlike dvaju izraza a i b jednak je zbroju kvadrata tih izraza minus dvostruki umnožak prvog i drugog izraza.

Pročitajmo formulu a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kub zbroja dvaju izraza a i b jednak je zbroju kubova tih izraza, trostrukom umnošku kvadrata prvog izraza s drugim, a trostrukom umnošku kvadrata drugog izraza s prvi izraz.

Prijeđimo na čitanje formule za razliku kocki a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kub razlike između dva izraza a i b jednak je kubu prvog izraza minus trostruki umnožak kvadrata prvog izraza i drugog, plus trostruki umnožak kvadrata drugog izraza i prvog izraza , minus kub drugog izraza.

Peta formula a 2 - b 2 = a - b a + b (razlika kvadrata) glasi ovako: razlika kvadrata dvaju izraza jednaka je umnošku razlike i zbroja dvaju izraza.

Radi praktičnosti, izrazi kao što su a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 nazivaju se redom nepotpunim kvadratom zbroja i nepotpunim kvadratom razlike.

Uzimajući to u obzir, formule za zbroj i razliku kubova mogu se čitati na sljedeći način:

Zbroj kubova dvaju izraza jednak je umnošku zbroja tih izraza i djelomičnog kvadrata njihove razlike.

Razlika kubova dvaju izraza jednaka je umnošku razlike tih izraza i djelomičnog kvadrata njihova zbroja.

FSU dokaz

Dokazivanje FSU je vrlo jednostavno. Na temelju svojstava množenja pomnožit ćemo dijelove formula u zagradi.

Na primjer, razmotrite formulu za kvadrat razlike.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Da biste podigli izraz na drugu potenciju, trebate pomnožiti ovaj izraz samim sa sobom.

a - b 2 = a - b a - b .

Proširimo zagrade:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formula je dokazana. Preostali FSU se dokazuju na sličan način.

Primjeri FSU primjene

Svrha korištenja skraćenih formula množenja je brzo i koncizno množenje i podizanje izraza na potencije. Međutim, to nije cijeli opseg primjene FSU-a. Naširoko se koriste u redukciji izraza, redukciji razlomaka i rastavljanju polinoma na faktore. Navedimo primjere.

Primjer 1. FSU

Pojednostavimo izraz 9 y - (1 + 3 y) 2.

Primijenimo formulu zbroja kvadrata i dobijemo:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Primjer 2. FSU

Skratimo razlomak 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Napominjemo da je izraz u brojniku razlika kubova, a u nazivniku razlika kvadrata.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Smanjujemo i dobivamo:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU također pomažu izračunati vrijednosti izraza. Glavna stvar je moći primijetiti gdje primijeniti formulu. Pokažimo to primjerom.

Kvadratirajmo broj 79. Umjesto glomaznih izračuna, napišimo:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Čini se da se složeni izračun brzo izvodi samo pomoću skraćenih formula množenja i tablice množenja.

Druga važna točka je odabir kvadrata binoma. Izraz 4 x 2 + 4 x - 3 može se pretvoriti u 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takve se transformacije široko koriste u integraciji.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupiti i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Da bi se pojednostavili algebarski polinomi, postoje formule skraćenog množenja. Nema ih toliko i lako se pamte, ali ih treba zapamtiti. Oznake koje se koriste u formulama mogu imati bilo koji oblik (broj ili polinom).

Prva skraćena formula množenja zove se razlika kvadrata. Sastoji se od oduzimanja kvadrata jednog broja od kvadrata drugog broja, koji je jednak razlici tih brojeva, kao i njihov umnožak.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Pogledajmo to radi jasnoće:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Druga formula je otprilike zbroj kvadrata. Zvuči kao da je zbroj dviju veličina na kvadrat jednak kvadratu prve količine, dvostruki umnožak prve količine pomnožen s drugom je dodan tome, kvadrat druge količine dodan im je.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Zahvaljujući ovoj formuli, postaje puno lakše izračunati kvadrat velikog broja, bez upotrebe računalne tehnologije.

Tako na primjer: kvadrat od 112 bit će jednak
1) Prvo rastavimo 112 na brojeve čiji su nam kvadrati poznati
112 = 100 + 12
2) Rezultat upisujemo u uglate zagrade
112 2 = (100+12) 2
3) Primjenom formule dobivamo:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Treća formula je kvadrat razlike. Što kaže da su dvije veličine oduzete jedna od druge u kvadratu jednake, jer od prve veličine na kvadrat oduzimamo dvostruki umnožak prve količine pomnožene s drugom, dodajući im kvadrat druge količine.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

gdje je (a - b) 2 jednako (b - a) 2. Da bismo to dokazali, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Četvrta formula za skraćeno množenje zove se kub zbroja. Što zvuči kao: dvije količine zbrojaka u kocki jednake su kubu 1 veličine, trostruki umnožak 1 veličine pomnožen s drugom količinom se dodaje, njima se dodaje trostruki umnožak 1 količine pomnožen s kvadratom 2. količine, plus druga količina kubirana.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Peti, kao što ste već shvatili, zove se kocka razlike. Koji nalazi razlike među količinama, jer od prvog zapisa u kocki oduzmemo trostruki umnožak prvog zapisa u kvadratu pomnoženog s drugim, njima se doda trostruki umnožak prvog zapisa pomnožen s kvadratom drugog notacija, minus druga notacija u kocki.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Šesti se zove - zbroj kubova. Zbroj kocki jednak je umnošku dva člana pomnoženog s djelomičnim kvadratom razlike, budući da u sredini nema dvostruke vrijednosti.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Drugi način da kažemo zbroj kubova je da ga nazovemo umnoškom u dvije zagrade.

Sedmi i posljednji se zove razlika kocki(može se lako zamijeniti s formulom kocke razlike, ali to su različite stvari). Razlika kubova jednaka je umnošku razlike dviju veličina pomnožene s djelomičnim kvadratom zbroja, budući da u sredini nema dvostruke vrijednosti.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

I tako postoji samo 7 formula za skraćeno množenje, slične su jedna drugoj i lako se pamte, jedino je važno da se ne zabunite u znakovima. Također su namijenjeni za korištenje obrnutim redoslijedom, a udžbenici sadrže poprilično takvih zadataka. Budite oprezni i sve će vam uspjeti.

Ako imate pitanja o formulama, svakako ih napišite u komentarima. Rado ćemo Vam odgovoriti!

Ako ste na rodiljnom dopustu, ali želite zaraditi novac. Samo slijedite poveznicu Internet poslovanje s Oriflameom. Tamo je sve vrlo detaljno napisano i prikazano. Bit će zanimljivo!

U prethodnoj lekciji bavili smo se rastavljanjem na faktore. Savladali smo dvije metode: izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrade i grupiranje. U ovoj lekciji - sljedeća moćna metoda: formule skraćenog množenja. Ukratko – FSU.

Skraćene formule množenja (kvadrat zbroja i razlike, kub zbroja i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova) iznimno su potrebne u svim granama matematike. Koriste se za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednadžbi, množenje polinoma, smanjivanje razlomaka, rješavanje integrala itd. i tako dalje. Ukratko, postoje svi razlozi za suočavanje s njima. Razumjeti odakle dolaze, zašto su potrebni, kako ih zapamtiti i kako ih primijeniti.

Razumijemo li?)

Odakle potječu formule za skraćeno množenje?

Jednadžbe 6 i 7 nisu napisane na vrlo poznat način. Nekako je suprotno. Ovo je namjerno.) Svaka jednakost funkcionira i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Ovaj unos pojašnjava odakle FSU dolaze.

Uzimaju se iz množenja.) Na primjer:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To je to, bez znanstvenih trikova. Jednostavno množimo zagrade i dajemo slične. Ovako ispada sve skraćene formule množenja. Skraćeno množenje je zato što u samim formulama nema množenja zagrada i smanjivanja sličnih. Skraćeno.) Odmah se daje rezultat.

FSU treba znati napamet. Bez prva tri, ne možete sanjati o C; bez ostalih, ne možete sanjati o B ili A.)

Zašto su nam potrebne formule skraćenog množenja?

Postoje dva razloga da naučite, čak i zapamtite, ove formule. Prvi je da gotov odgovor automatski smanjuje broj pogrešaka. Ali to nije glavni razlog. Ali ovaj drugi...

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Jedna od prvih tema koja se proučava u tečaju algebre su formule skraćenog množenja. U 7. razredu koriste se u najjednostavnijim situacijama, gdje trebate prepoznati jednu od formula u izrazu i faktorizirati polinom ili, obrnuto, brzo kvadrirati ili kubirati zbroj ili razliku. U budućnosti će se FSU koristiti za brzo rješavanje nejednakosti i jednadžbi, pa čak i za izračunavanje nekih numeričkih izraza bez kalkulatora.

Kako izgleda popis formula?

Postoji 7 osnovnih formula koje vam omogućuju brzo množenje polinoma u zagradama.

Ponekad ovaj popis uključuje i proširenje za četvrti stupanj, koje proizlazi iz prikazanih identiteta i ima oblik:

a⁴ — b4 = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Sve jednakosti imaju par (zbroj - razlika), osim razlike kvadrata. Formula za zbroj kvadrata nije navedena.

Preostale jednakosti je lako zapamtiti:

Treba imati na umu da FSU rade u svakom slučaju i za sve vrijednosti a I b: to mogu biti proizvoljni brojevi ili cjelobrojni izrazi.

U situaciji kada se odjednom ne možete sjetiti koji znak stoji ispred određenog pojma u formuli, možete otvoriti zagrade i dobiti isti rezultat kao nakon korištenja formule. Na primjer, ako je došlo do problema pri primjeni kocke razlike FSU, morate zapisati izvorni izraz i izvoditi množenje jedan po jedan:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Kao rezultat, nakon dovođenja svih sličnih članova, dobiven je isti polinom kao u tablici. Iste manipulacije mogu se provesti sa svim ostalim FSU-ovima.

Primjena FSU za rješavanje jednadžbi

Na primjer, trebate riješiti jednadžbu koja sadrži polinom 3. stupnja:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Školski kurikulum ne pokriva univerzalne tehnike rješavanja kubnih jednadžbi, te se takvi zadaci najčešće rješavaju jednostavnijim metodama (primjerice faktorizacija). Ako primijetimo da lijeva strana identiteta podsjeća na kub zbroja, onda se jednadžba može napisati u jednostavnijem obliku:

(x + 1)³ = 0.

Korijen takve jednadžbe izračunava se usmeno: x = -1.

Nejednadžbe se rješavaju na sličan način. Na primjer, možete riješiti nejednadžbu x³ – 6x² + 9x > 0.

Prije svega, trebate faktorizirati izraz. Prvo morate staviti zagradu x. Nakon ovoga, primijetite da se izraz u zagradama može pretvoriti u kvadrat razlike.

Zatim morate pronaći točke u kojima izraz uzima nulte vrijednosti i označiti ih na brojevnoj liniji. U konkretnom slučaju to će biti 0 i 3. Zatim metodom intervala odredite u kojim će intervalima x odgovarati uvjetu nejednakosti.

FSU mogu biti korisni prilikom izvođenja neki izračuni bez pomoći kalkulatora:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Osim toga, rastavljanjem izraza na faktore možete jednostavno smanjiti razlomke i pojednostaviti razne algebarske izraze.

Primjeri zadataka za razrede 7-8

Zaključno ćemo analizirati i riješiti dva zadatka o korištenju skraćenih formula za množenje u algebri.

Zadatak 1. Pojednostavite izraz:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Riješenje. Uvjet zadatka zahtijeva pojednostavljenje izraza, odnosno otvaranje zagrada, izvođenje operacija množenja i stepenovanja te dovođenje svih sličnih članova. Uvjetno podijelimo izraz na tri dijela (prema broju pojmova) i otvorimo jednu po jednu zagradu, koristeći FSU gdje je to moguće.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(kvadrat zbroja);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(razlika kvadrata);
• U zadnjem terminu morate pomnožiti: 2 m (5 m + 3) = 10 m² + 6 m.

Zamijenimo dobivene rezultate u izvorni izraz:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Uzimajući u obzir znakove, otvorit ćemo zagrade i prikazati slične pojmove:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Zadatak 2. Riješite jednadžbu koja sadrži nepoznanicu k na 5. potenciju:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Riješenje. U ovom slučaju potrebno je koristiti FSU i metodu grupiranja. Potrebno je pomaknuti zadnji i pretposljednji termin na desnu stranu identiteta.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Zajednički faktor se izvodi iz desne i lijeve strane (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Sve se prenosi na lijevu stranu jednadžbe tako da 0 ostaje na desnoj:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Opet je potrebno izbaciti zajednički faktor:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Iz prvog dobivenog faktora možemo izvesti k. Prema kratkoj formuli množenja, drugi faktor će biti identički jednak (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Korištenje formule razlike kvadrata:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Budući da je umnožak jednak 0 ako je barem jedan od njegovih faktora nula, pronalaženje svih korijena jednadžbe nije teško:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Na temelju ilustrativnih primjera možete razumjeti kako zapamtiti formule, njihove razlike, a također i riješiti nekoliko praktičnih problema koristeći FSU. Zadaci su jednostavni i ne bi trebalo biti poteškoća u njihovom rješavanju.