lokalni maksimum. Određivanje točaka lokalnih ekstrema funkcije više varijabli

LOKALNI MAKSIMAL

(lokalni maksimum) Vrijednost funkcije koja je veća od bilo koje susjedne vrijednosti njenog argumenta ili skupa argumenata, dy/dx= 0 je nužan uvjet za postizanje lokalnog maksimuma y=f(x); pod ovim uvjetom, dovoljan uvjet za postizanje lokalnog maksimuma je d2y/dx2 0. Lokalni maksimum također može biti apsolutni maksimum ako nema vrijednosti X, pod kojim na više. Međutim, to ne mora uvijek biti slučaj. Razmotrite funkciju y = x3–3x.dy/dx = 0 kada x2= jedan; i d2y/dx2=6x. na ima maksimum na x = - 1, ali to je samo lokalni, a ne apsolutni maksimum, jer na može postati beskonačno velik kada mu se da dovoljno velika pozitivna vrijednost x. Vidi također: brojka za maksimalni članak.

Ekonomija. Rječnik. - M.: "INFRA-M", Izdavačka kuća "Ves Mir". J. Crni. Glavna redakcija: doktor ekonom Osadchaya I.M.. 2000 .

Ekonomski rječnik. 2000 .

Pogledajte što je "LOKALNI MAKSIMUM" u drugim rječnicima:

lokalni maksimum- - [A.S. Goldberg. Engleski ruski energetski rječnik. 2006] Teme energija općenito EN lokalni maksimum ... Tehnički prevoditeljski priručnik

lokalni maksimum- lokalusis maksimumas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. lokalni maksimum vok. Lokalni maksimum, rus. lokalni maksimum, m pranc. najveći lokalni, m … Automatikos terminų žodynas

lokalni maksimum- vietinė smailė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. lokalni maksimum; lokalni vrh vok. locales Maksimum, n rus. lokalni maksimum, m pranc. maksimalni lokalni, m; slika lokalna, m … Fizikos terminų žodynas

Lokalni maksimum, lokalni minimum- (lokalni maksimum, lokalni minimum) vidi Ekstrem funkcije... Ekonomski i matematički rječnik

- (maksimum) Najveća vrijednost funkcije koju uzima za bilo koju vrijednost svojih argumenata. Maksimum može biti lokalni ili apsolutni. Na primjer, funkcija y=1–x2 ima apsolutni maksimum y=1 pri x=0; ne postoji druga vrijednost x koja ... ... Ekonomski rječnik

- (lokalni minimum) Vrijednost funkcije, koja je manja od bilo koje susjedne vrijednosti njenog argumenta ili skupa argumenata, dy/dx = 0, nužan je uvjet za postizanje lokalnog minimuma y=f(x); prema ovom uvjetu, dovoljno ... ... Ekonomski rječnik

Ekstrem (lat. extremum extreme) u matematici je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije na danom skupu. Točka u kojoj se postiže ekstrem naziva se točka ekstrema. Prema tome, ako se dosegne minimalna ekstremna točka ... ... Wikipedia

Algoritmi lokalnog pretraživanja su skupina algoritama kod kojih se pretraga provodi samo na temelju trenutnog stanja, a prethodno prijeđena stanja se ne uzimaju u obzir i ne pamte. Glavni cilj pretrage nije pronaći optimalan put do ... ... Wikipedije

- (globalni maksimum) Vrijednost funkcije, jednaka ili veća od njezinih vrijednosti uzetih za bilo koju drugu vrijednost argumenta. Dovoljan uvjet za maksimum funkcije jednog argumenta, koji se sastoji u činjenici da je njezin prvi izvod u ... ... Ekonomski rječnik

- (eng. trend direction, trend) smjer, trend razvoja političkog procesa, pojava. Ima matematički izraz. Najpopularnija definicija trenda (trenda) je definicija iz Dow teorije. Uzlazni trend... ... Političke znanosti. Rječnik.

Funkcija se povećava na inkrement argumenta, koji teži nuli. Da biste ga pronašli, koristite tablicu izvedenica. Na primjer, derivacija funkcije y = x3 bit će jednaka y’ = x2.

Izjednačite ovu derivaciju s nulom (in ovaj slučaj x2=0).

Pronađite vrijednost zadane varijable. To će biti vrijednosti za koje će ovaj izvod biti jednak 0. Da biste to učinili, zamijenite proizvoljne brojeve u izrazu umjesto x, pri čemu će cijeli izraz postati nula. Na primjer:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Dobivene vrijednosti nanesite na koordinatni pravac i za svaku od dobivenih izračunajte predznak derivacije. Na koordinatnoj liniji označene su točke koje se uzimaju kao ishodište. Da biste izračunali vrijednost u intervalima, zamijenite proizvoljne vrijednosti koje odgovaraju kriterijima. Na primjer, za prethodnu funkciju do intervala -1 možete odabrati vrijednost -2. Za -1 do 1 možete odabrati 0, a za vrijednosti veće od 1 odaberite 2. Zamijenite te brojeve u izvodu i saznajte predznak izvoda. U ovom slučaju će derivacija s x = -2 biti jednaka -0,24, tj. negativan i bit će znak minus na ovom intervalu. Ako je x=0, tada će vrijednost biti jednaka 2, a na ovaj interval se stavlja znak. Ako je x=1, tada će derivat također biti jednak -0,24 i stavlja se minus.

Ako izvodnica pri prolasku kroz točku na koordinatnoj liniji promijeni predznak iz minusa u plus, tada je to točka minimuma, a ako iz plusa u minus, onda je to točka maksimuma.

Slični Videi

Koristan savjet

Da biste pronašli derivat, postoje online usluge koje izračunavaju potrebne vrijednosti i prikazuju rezultat. Na takvim stranicama možete pronaći izvedenicu do 5 naloga.

Izvori:

Jedan od servisa za izračun izvedenica
maksimalna točka funkcije

Točke maksimuma funkcije zajedno s točkama minimuma nazivaju se točkama ekstrema. U tim točkama funkcija mijenja svoje ponašanje. Ekstremi se određuju na ograničenim numeričkim intervalima i uvijek su lokalni.

Uputa

Proces pronalaženja lokalnih ekstrema naziva se funkcija i provodi se analizom prve i druge derivacije funkcije. Prije početka istraživanja provjerite pripada li navedeni raspon vrijednosti argumenata dopuštenim vrijednostima. Na primjer, za funkciju F=1/x, vrijednost argumenta x=0 nije važeća. Ili za funkciju Y=tg(x), argument ne može imati vrijednost x=90°.

Provjerite je li funkcija Y diferencijabilna u cijelom zadanom intervalu. Nađite prvu derivaciju Y". Očito je da prije nego što dođe do lokalne maksimalne točke funkcija raste, a kada prođe kroz maksimum, funkcija postaje padajuća. Prva derivacija u svom fizičkom značenju karakterizira brzinu promjene funkcije. Dok funkcija raste, brzina tog procesa je pozitivna vrijednost.Prolaskom kroz lokalni maksimum funkcija počinje opadati, a brzina procesa promjene funkcije postaje negativna. Prijelaz brzine promjene funkcije kroz nulu javlja se u točki lokalnog maksimuma.

Na primjer, funkcija Y \u003d -x² + x + 1 na intervalu od -1 do 1 ima kontinuiranu derivaciju Y "\u003d -2x + 1. Na x \u003d 1/2, derivacija je nula, a kada je prolazeći kroz ovu točku derivacija mijenja predznak iz " +" u "-". Druga derivacija funkcije Y "=-2. Izgradite točku po točku graf funkcije Y=-x²+x+1 i provjerite je li točka s apscisom x=1/2 lokalni maksimum na zadanom segmentu numeričke osi.

Za funkciju se kaže da ima unutarnju točku
područja D lokalni maksimum(minimum) ako postoji takva okolina točke
, za svaku točku
koji zadovoljava nejednakost

Ako funkcija ima u točki
lokalni maksimum ili lokalni minimum, onda kažemo da ima u ovoj točki lokalni ekstrem(ili samo ekstremno).

Teorema (nužan uvjet za postojanje ekstrema). Ako diferencijabilna funkcija dosegne ekstrem u točki
, zatim svaki parcijalni izvod funkcije prvog reda nestaje u ovom trenutku.

Točke u kojima sve parcijalne derivacije prvog reda nestaju nazivaju se stacionarne točke funkcije
. Koordinate tih točaka mogu se pronaći rješavanjem sustava iz jednadžbe

Nužni uvjet za postojanje ekstrema u slučaju diferencijabilne funkcije može se ukratko formulirati na sljedeći način:

Postoje slučajevi kada u nekim točkama neke parcijalne derivacije imaju beskonačne vrijednosti ili ne postoje (dok su ostale jednake nuli). Takve se točke nazivaju kritične točke funkcije. Ove točke također treba smatrati "sumnjivim" za ekstrem, kao i one stacionarne.

U slučaju funkcije dviju varijabli, nužni uvjet za ekstrem, naime jednakost nuli parcijalnih derivacija (diferencijala) u točki ekstrema, ima geometrijsku interpretaciju: tangentna ravnina na površinu
u ekstremnoj točki mora biti paralelan s ravninom
.

20. Dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema

Ispunjenje nužnog uvjeta za postojanje ekstrema u nekom trenutku uopće ne jamči postojanje ekstrema tamo. Kao primjer možemo uzeti posvuda diferencijabilnu funkciju
. I njezine parcijalne derivacije i sama funkcija nestaju u točki
. Međutim, u bilo kojem susjedstvu ove točke postoje oba pozitivna (velika
) i negativan (manji
) vrijednosti ove funkcije. Stoga, u ovoj točki, po definiciji, nema ekstrema. Stoga je potrebno znati dostatne uvjete pod kojima je točka za koju se sumnja da ima ekstremum točka ekstrema funkcije koja se proučava.

Razmotrimo slučaj funkcije dviju varijabli. Pretpostavimo da funkcija
je definirana, kontinuirana i ima kontinuirane parcijalne derivacije do i uključujući drugi red u blizini neke točke
, koja je stacionarna točka funkcije
, odnosno zadovoljava uvjete

,
.

Uvedimo oznaku:

Teorema (dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema). Neka funkcija
zadovoljava gornje uvjete, naime: diferencijabilan u nekoj okolini stacionarne točke
i dvaput je diferencijabilna u samoj točki
. Onda ako

Ako
zatim funkcija
u točki
doseže

lokalni maksimum na
i

lokalni minimum na
.

Općenito, za funkciju
dovoljan uvjet za postojanje u točki
lokalniminimum(maksimum) je pozitivan(negativan) određenost drugog diferencijala.

Drugim riječima, sljedeća tvrdnja je istinita.

Teorema . Ako u točki
za funkciju

za bilo koji koji nije jednak nuli u isto vrijeme
, tada u ovom trenutku funkcija ima minimum(sličan maksimum, ako
).

Primjer 18.Pronađite lokalne točke ekstrema funkcije

Riješenje. Nađite parcijalne derivacije funkcije i izjednačite ih s nulom:

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo dvije moguće točke ekstrema:

Nađimo parcijalne derivacije drugog reda za ovu funkciju:

U prvoj stacionarnoj točki , dakle, i
Stoga su za ovu točku potrebna daljnja istraživanja. Vrijednost funkcije
u ovom trenutku je nula:
Unaprijediti,

na

a

Stoga, u bilo kojem susjedstvu točke
funkcija
uzima velike vrijednosti
, i manji
, a time i u točki
funkcija
, po definiciji, nema lokalni ekstrem.

Na drugoj stacionarnoj točki

stoga, stoga, budući
zatim u točki
funkcija ima lokalni maksimum.

Za funkciju f(x) mnogih varijabli, točka x je vektor, f'(x) je vektor prvih izvodnica (gradijent) funkcije f(x), f ′ ′(x) je simetrična matrica drugih parcijalnih izvoda (Hesseova matrica − Hessian) funkcije f(x).
Za funkciju nekoliko varijabli, uvjeti optimalnosti su formulirani na sljedeći način.
Nužan uvjet za lokalnu optimalnost. Neka je f(x) diferencijabilan u točki x * R n . Ako je x * točka lokalnog ekstrema, tada je f'(x *) = 0.
Kao i prije, točke koje su rješenja sustava jednadžbi nazivaju se stacionarnim. Priroda stacionarne točke x * povezana je sa predznačnom određenošću Hessove matrice f′ ′(x).
Predznak određenosti matrice A ovisi o predznacima kvadratne forme Q(α)=< α A, α >za sve različite od nule α∈R n .
Ovdje i dalje kroz označen je skalarni produkt vektora x i y. Po definiciji,

Matrica A je pozitivno (nenegativno) određena ako je Q(α)>0 (Q(α)≥0) za sve različite od nule α∈R n ; negativno (nepozitivno) određeno ako je Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 za neke različite od nule α∈R n i Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Dovoljan uvjet za lokalnu optimalnost. Neka je f(x) dvostruko diferencijabilan u točki x * R n , i f’(x *)=0 , tj. x * − stacionarna točka. Zatim, ako je matrica f (x *) pozitivno (negativno) određena, tada je x * točka lokalnog minimuma (maksimuma); ako je matrica f′′(x *) neodređena, tada je x * sedlasta točka.
Ako je matrica f′′(x *) nenegativno (nepozitivno) određena, tada je za određivanje prirode stacionarne točke x * potrebno proučavanje derivacija višeg reda.
Za provjeru predznačne određenosti matrice u pravilu se koristi Sylvesterov kriterij. Prema ovom kriteriju, simetrična matrica A je pozitivno određena ako i samo ako su svi njeni kutni minori pozitivni. U ovom slučaju, kutni minor matrice A je determinanta matrice konstruirane od elemenata matrice A, koji stoje na sjecištu redaka i stupaca s istim (i prvim) brojevima. Da bismo provjerili negativnu određenost simetrične matrice A, moramo provjeriti pozitivnu određenost matrice (−A).
Dakle, algoritam za određivanje točaka lokalnih ekstrema funkcije mnogih varijabli je sljedeći.
1. Nađi f′(x).
2. Sustav je riješen

Kao rezultat, izračunate su stacionarne točke x i.
3. Nađite f′′(x), postavite i=1.
4. Nađi f′′(x i)
5. Izračunavaju se kutni minori matrice f′′(x i). Ako nisu svi kutni minori različiti od nule, tada je za određivanje prirode stacionarne točke x i potrebno proučavanje derivacija višeg reda. U tom slučaju se provodi prijelaz na točku 8.
U suprotnom idite na korak 6.
6. Analiziraju se predznaci kutnih minora f′′(x i). Ako je f′′(x i) pozitivno određeno, tada je x i točka lokalnog minimuma. U tom slučaju se provodi prijelaz na točku 8.
U suprotnom prijeđite na stavku 7.
7. Izračunavaju se kutni minori matrice -f′′(x i) i analiziraju se njihovi predznaci.
Ako je -f′′(x i) − pozitivno određeno, tada je f′′(x i) negativno određeno i x i je lokalna maksimalna točka.
Inače, f′′(x i) je neodređeno i x i je sedlasta točka.
8. Provjerava se uvjet za određivanje prirode svih stacionarnih točaka i=N.
Ako je zadovoljeno, izračuni su dovršeni.
Ako uvjet nije ispunjen, tada se pretpostavlja i=i+1 i provodi se prijelaz na korak 4.

Primjer #1. Odredite točke lokalnih ekstrema funkcije f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2

Budući da su svi kutni minori različiti od nule, karakter x 2 je određen s f′′(x).
Budući da je matrica f′′(x 2) pozitivno određena, x 2 je točka lokalnog minimuma.
Odgovor: funkcija f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 ima lokalni minimum u točki x = (5/3; 8/3).

$E \podskup \mathbb(R)^(n)$. Kaže se da $f$ ima lokalni maksimum u točki $x_(0) \in E$ ako postoji okolina $U$ točke $x_(0)$ takva da za sve $x \in U$ vrijedi nejednakost $f\left(x\right) \leqslant f \lijevo(x_(0)\desno)$.

Lokalni maksimum naziva se strog , ako se susjedstvo $U$ može odabrati na takav način da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\lijevo(x\desno)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicija
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kaže se da $f$ ima lokalni minimum u točki $x_(0) \in E$ ako postoji okolina $U$ točke $x_(0)$ takva da za sve $x \in U$ vrijedi nejednakost $f\left(x\right) \geqslant f \lijevo(x_(0)\desno)$.

Kaže se da je lokalni minimum strog ako se susjedstvo $U$ može odabrati tako da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\desno)$.

Lokalni ekstrem kombinira koncepte lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma.

Teorem (nužan uvjet za ekstrem diferencijabilne funkcije)
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ako u točki $x_(0) \in E$ funkcija $f$ ima lokalni ekstrem iu ovoj točki, tada je $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Jednakost nultom diferencijalu je ekvivalentna činjenici da su svi jednaki nuli, tj. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

U jednodimenzionalnom slučaju to je . Označimo $\phi \lijevo(t\desno) = f \lijevo(x_(0)+th\desno)$, gdje je $h$ proizvoljni vektor. Funkcija $\phi$ definirana je za dovoljno male modulo vrijednosti od $t$. Štoviše, u odnosu na , on je diferencijabilan i $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Neka $f$ ima lokalni maksimum na x $0$. Dakle, funkcija $\phi$ pri $t = 0$ ima lokalni maksimum i, prema Fermatovom teoremu, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Dakle, dobili smo da je $df \lijevo(x_(0)\desno) = 0$, tj. funkcija $f$ u točki $x_(0)$ jednaka je nuli na bilo kojem vektoru $h$.

Definicija
Točke u kojima je diferencijal jednak nuli, tj. oni kod kojih su sve parcijalne derivacije jednake nuli nazivaju se stacionarni. kritične točke funkcije $f$ su one točke u kojima $f$ nije diferencijabilan ili je jednak nuli. Ako je točka stacionarna, tada još ne slijedi da funkcija ima ekstrem u ovoj točki.

Primjer 1
Neka $f \lijevo(x,y\desno)=x^(3)+y^(3)$. Tada je $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, tako da je $\left(0,0\right)$ stacionarna točka, ali funkcija nema ekstrem u ovoj točki. Doista, $f \left(0,0\right) = 0$, ali je lako vidjeti da u bilo kojoj okolini točke $\left(0,0\right)$ funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti.

Primjer 2
Funkcija $f \lijevo(x,y\desno) = x^(2) − y^(2)$ ima ishodište koordinata kao stacionarna točka, ali je jasno da u ovoj točki nema ekstrema.

Teorem (dovoljan uvjet za ekstrem).
Neka je funkcija $f$ dva puta kontinuirano diferencijabilna na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Neka $x_(0) \in E$ bude stacionarna točka i $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \lijevo(x_(0)\desno)h^(i)h^(j).$ $ Onda

ako je $Q_(x_(0))$ , tada funkcija $f$ u točki $x_(0)$ ima lokalni ekstrem, naime minimum ako je oblik pozitivno-određen i maksimum ako je oblik niječno-određen;
ako je kvadratni oblik $Q_(x_(0))$ neodređen, tada funkcija $f$ u točki $x_(0)$ nema ekstrem.

Upotrijebimo proširenje prema Taylorovoj formuli (12.7 str. 292) . Uzimajući u obzir da su parcijalne derivacije prvog reda u točki $x_(0)$ jednake nuli, dobivamo $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\desno) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ djelomični x_(j)) \lijevo(x_(0)+\theta h\desno)h^(i)h^(j),$$ gdje je $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, a $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ za $h \rightarrow 0$, tada je desna strana pozitivna za bilo koji vektor $h$ dovoljno male duljine.
Dakle, došli smo do zaključka da je u nekoj okolini točke $x_(0)$ nejednakost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ zadovoljena ako je samo $ x \neq x_ (0)$ (stavljamo $x=x_(0)+h$\desno). To znači da u točki $x_(0)$ funkcija ima strogi lokalni minimum, čime je prvi dio našeg teorema dokazan.
Pretpostavimo sada da je $Q_(x_(0))$ neodređeni oblik. Tada postoje vektori $h_(1)$, $h_(2)$ takvi da je $Q_(x_(0)) \lijevo(h_(1)\desno)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \lijevo(h_(2)\desno)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Tada dobivamo $$f \lijevo(x_(0)+th_(1)\desno)−f \lijevo(x_(0)\desno) = \frac(1)(2) \lijevo[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \lijevo(th_(1)\desno) \desno] = \frac(1)(2) t^(2) \ lijevo[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Za dovoljno male $t>0$, desna strana je pozitivan. To znači da u bilo kojem susjedstvu točke $x_(0)$ funkcija $f$ poprima vrijednosti $f \left(x\right)$ veće od $f \left(x_(0)\right)$.
Slično, dobivamo da u bilo kojoj okolini točke $x_(0)$ funkcija $f$ poprima vrijednosti manje od $f \left(x_(0)\right)$. Ovo, zajedno s prethodnim, znači da funkcija $f$ nema ekstrem u točki $x_(0)$.

Razmotrimo poseban slučaj ovog teorema za funkciju $f \left(x,y\right)$ od dvije varijable definirane u nekom susjedstvu točke $\left(x_(0),y_(0)\right) $ i imaju kontinuirane parcijalne derivacije prvog i drugog reda. Neka $\left(x_(0),y_(0)\right)$ bude stacionarna točka i neka $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \lijevo(x_(0) ,y_(0)\desno), a_(12)=\frac(\djelomično^(2) f)(\djelomično x \djelomično y) \lijevo(x_( 0) , y_(0)\desno), a_(22)=\frac(\djelomično^(2) f)(\djelomično y^(2)) \lijevo(x_(0), y_(0)\desno ). $$ Tada prethodni teorem ima sljedeći oblik.

Teorema
Neka $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Zatim:

ako je $\Delta>0$, tada funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u točki $\left(x_(0),y_(0)\right)$, odnosno minimum ako je $a_(11)> 0$ , a maksimalno ako je $a_(11)<0$;
ako $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Primjeri rješavanja problema

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije mnogih varijabli:

Nalazimo stacionarne točke;
Diferencijal 2. reda nalazimo u svim stacionarnim točkama
Koristeći dovoljan uvjet za ekstremum funkcije nekoliko varijabli, razmatramo diferencijal drugog reda u svakoj stacionarnoj točki

Istražite funkciju do ekstrema $f \lijevo(x,y\desno) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
Riješenje
Pronađite parcijalne derivacije 1. reda: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sastavite i riješite sustav: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Iz 2. jednadžbe izražavamo $x=4 \cdot y^(2)$ — zamijenimo u 1. jednadžbu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ desno )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kao rezultat, dobivene su 2 stacionarne točke:
1) $y=0 \Desna strelica x = 0, M_(1) = \lijevo(0, 0\desno)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \lijevo(\frac(1)(2), 1\desno)$
Provjerimo ispunjenje uvjeta dovoljnog ekstrema:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) Za točku $M_(1)= \lijevo(0,0\desno)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \lijevo(0,0\desno)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Za točku $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \lijevo(1,\frac(1)(2)\desno)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, pa postoji ekstrem u točki $M_(2)$, a budući da je $A_(2)>0 $, onda je ovo minimum.
Odgovor: Točka $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimalna točka funkcije $f$.
Istražite funkciju za ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
Riješenje
Pronađite stacionarne točke: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Sastavite i riješite sustav: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Desna strelica \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \lijevo(-1, 2\desno)$ je stacionarna točka.
Provjerimo ispunjenje uvjeta dovoljnog ekstremuma: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \lijevo(-1,2\desno)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Odgovor: nema ekstrema.

Vremensko ograničenje: 0

Navigacija (samo brojevi poslova)

0 od 4 zadatka dovršena

Informacija

Riješite ovaj kviz da provjerite svoje znanje o temi koju ste upravo pročitali, Lokalni ekstremi funkcija mnogih varijabli.

Već ste prije polagali test. Ne možete ga ponovo pokrenuti.

Test se učitava...

Morate se prijaviti ili registrirati kako biste započeli test.

Morate dovršiti sljedeće testove da biste započeli ovaj:

rezultate

Točni odgovori: 0 od 4

Tvoje vrijeme:

Vrijeme je isteklo

Osvojili ste 0 od 0 bodova (0 )

Vaš rezultat je zabilježen na ploči s najboljim rezultatima

S odgovorom
Odjavio

Zadatak 1 od 4

1 .

Broj bodova: 1

Istražite funkciju $f$ za ekstreme: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Ispravno

Ne kako treba

Zadatak 2 od 4

2 .
Broj bodova: 1
Je li funkcija $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$