Ravna i prava prizma. Definicija i svojstva prizme

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su trodimenzionalna tijela. Tijelo je dio prostora omeđen nekom plohom.

poliedar Tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona naziva se. Poliedar se naziva konveksnim ako leži s jedne strane ravnine svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravnine i plohe poliedra naziva se rub. Stranice konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica nazivaju se bridovi poliedra, i vrhove vrhovi poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata koji su njezina lica. Sadrži 12 bridova (stranica kvadrata) i 8 vrhova (vrhova kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

prizma naziva se poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelnim ravninama spojeni paralelnom translacijom, i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće točke tih poligona. Poligoni se nazivaju baze prizme, a segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočne bridove prizme.

Visina prizme zove se udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji spaja dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj plohi naziva se dijagonala prizme(). Prizma se zove n-ugljen ako mu je baza n-kut.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva, koja proizlaze iz činjenice da su baze prizme spojene paralelnim prevođenjem:

1. Osnovice prizme su jednake.

2. Bočni bridovi prizme su paralelni i jednaki.

Plohu prizme čine baze i bočna površina. Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (to proizlazi iz svojstava prizme). Područje bočne površine prizme je zbroj površina bočnih stranica.

ravna prizma

Prizma se zove ravno ako su mu bočni bridovi okomiti na osnovice. Inače se prizma zove kosi.

Lice ravne prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je njezinim bočnim stranama.

puna površina prizme je zbroj bočne površine i površina baza.

Ispravna prizma naziva se prava prizma s pravilnim poligonom na bazi.

Teorem 13.1. Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega i visine prizme (ili, ekvivalentno, bočnom rubu).

Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici čije su osnovice stranice mnogokuta na osnovicama prizme, a visine su bočni bridovi prizme. Tada je, prema definiciji, bočna površina:

,

gdje je opseg baze ravne prizme.

Paralelopiped

Ako paralelogrami leže na osnovicama prizme, tada se ona zove paralelopiped. Sva lica paralelopipeda su paralelogrami. U ovom slučaju, suprotne stranice paralelopipeda su paralelne i jednake.

Teorem 13.2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i sjecište je podijeljeno na pola.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i . Jer plohe paralelopipeda su paralelogrami, tada i , što znači da prema T oko dvije ravne linije paralelne s trećom . Osim toga, to znači da pravci i leže u istoj ravnini (ravnini). Ova ravnina siječe paralelne ravnine i duž paralelnih pravaca i . Dakle, četverokut je paralelogram, a po svojstvu paralelograma njegove se dijagonale i sijeku i sjecište je podijeljeno na pola, što je i trebalo dokazati.

Pravi paralelopiped čija je baza pravokutnik naziva se kuboidan. Sve plohe kvadra su pravokutnici. Duljine neparalelnih bridova pravokutnog paralelopipeda nazivamo njegovim linearnim dimenzijama (mjerama). Postoje tri veličine (širina, visina, dužina).

Teorem 13.3. U kvadru je kvadrat bilo koje dijagonale jednak zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (dokazano dva puta primjenom Pitagorinog T).

Pravokutni paralelopiped kojemu su svi bridovi jednaki naziva se kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala čini n- karbonska prizma

13.2 U kosoj trokutastoj prizmi razmaci između bočnih bridova su 37, 13 i 40. Odredite razmak između veće bočne plohe i suprotnog bočnog brida.

13.3 Kroz stranicu donje baze pravilne trokutaste prizme povučena je ravnina koja siječe bočne plohe duž odsječaka čiji je kut . Odredite kut nagiba te ravnine prema osnovici prizme.

Različite prizme se razlikuju jedna od druge. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli područje baze prizme, morate shvatiti kako izgleda.

Opća teorija

Prizma je svaki poliedar čije stranice imaju oblik paralelograma. Štoviše, bilo koji poliedar može biti u svojoj bazi - od trokuta do n-kuta. Štoviše, baze prizme uvijek su međusobno jednake. Ono što se ne odnosi na bočna lica - mogu se značajno razlikovati u veličini.

Pri rješavanju problema ne nailazi se samo na područje baze prizme. Možda će biti potrebno poznavati bočnu plohu, odnosno sva lica koja nisu baze. Puna površina već će biti spoj svih površina koje čine prizmu.

Ponekad se u zadacima pojavljuju visine. Okomit je na baze. Dijagonala poliedra je isječak koji u paru povezuje bilo koja dva vrha koji ne pripadaju istoj plohi.

Treba napomenuti da područje baze ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste figure na gornjem i donjem licu, tada će im površine biti jednake.

trokutasta prizma

U osnovi ima lik s tri vrha, odnosno trokut. Zna se da je drugačije. Ako je tada dovoljno prisjetiti se da je njegova površina određena polovicom umnoška krakova.

Matematički zapis izgleda ovako: S = ½ av.

Da biste saznali područje baze u općem obliku, korisne su formule: Čaplja i ona u kojoj je polovica strane uzeta na visinu koja je nacrtana na nju.

Prva formula bi trebala biti napisana ovako: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Ovaj unos sadrži poluopseg (p), to jest zbroj tri strane podijeljen s dva.

Drugo: S = ½ n a * a.

Ako želite znati područje baze trokutaste prizme, koja je pravilna, tada se trokut ispostavlja kao jednakostraničan. Ima svoju formulu: S = ¼ a 2 * √3.

četverokutna prizma

Njegova baza je bilo koji od poznatih četverokuta. To može biti pravokutnik ili kvadrat, paralelopiped ili romb. U svakom slučaju, da biste izračunali površinu baze prizme, trebat će vam vlastita formula.

Ako je baza pravokutnik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = av, gdje su a, b stranice pravokutnika.

Kada je u pitanju četverokutna prizma, osnovna površina pravilne prizme izračunava se pomoću formule za kvadrat. Jer on je taj koji leži u bazi. S \u003d a 2.

U slučaju kada je baza paralelopiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S \u003d a * n a. Dešava se da su zadane stranica paralelopipeda i jedan od uglova. Zatim, da biste izračunali visinu, morat ćete upotrijebiti dodatnu formulu: na \u003d b * sin A. Štoviše, kut A je uz stranu "b", a visina je na suprotno od ovog kuta.

Ako romb leži na dnu prizme, tada će biti potrebna ista formula za određivanje njegove površine kao i za paralelogram (budući da je to njegov poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovaj: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.

Pravilna peterokutna prizma

Ovaj slučaj uključuje dijeljenje poligona u trokute, čija je površina lakše pronaći. Iako se događa da figure mogu biti s različitim brojem vrhova.

Budući da je baza prizme pravilan peterokut, može se podijeliti na pet jednakostraničnog trokuta. Tada je površina baze prizme jednaka površini jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti gore), pomnožena s pet.

Pravilna heksagonalna prizma

Prema principu opisanom za peterokutnu prizmu, moguće je podijeliti osnovni šesterokut na 6 jednakostraničnog trokuta. Formula za površinu baze takve prizme slična je prethodnoj. Samo u njemu treba pomnožiti sa šest.

Formula će izgledati ovako: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadaci

1. Dana je pravilna ravna linija. Njena dijagonala je 22 cm, visina poliedra je 14 cm. Izračunajte površinu baze prizme i cijele površine.

Riješenje. Osnovica prizme je kvadrat, ali njena stranica nije poznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njezinom visinom (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment "x" je hipotenuza u trokutu čije su katete jednake stranici kvadrata. Odnosno, x 2 \u003d a 2 + a 2. Dakle, ispada da je a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Zamijenite broj 22 umjesto d i zamijenite "n" njegovom vrijednošću - 14, ispada da je stranica kvadrata 12 cm. Sada je lako saznati osnovnu površinu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Da biste saznali površinu cijele površine, morate dodati dvostruku vrijednost osnovne površine i učetverostručiti stranu. Potonje je lako pronaći formulom za pravokutnik: pomnožite visinu poliedra i stranu baze. Odnosno, 14 i 12, ovaj broj će biti jednak 168 cm 2. Utvrđeno je da je ukupna površina prizme 960 cm 2 .

Odgovor. Osnovna površina prizme je 144 cm2. Ukupna površina - 960 cm 2 .

Broj 2. Dana Na bazi leži trokut sa stranicom 6 cm.U ovom slučaju dijagonala bočne plohe je 10 cm.Izračunaj površine: baze i bočne plohe.

Riješenje. Budući da je prizma pravilna, baza joj je jednakostranični trokut. Stoga se ispostavlja da je njegova površina jednaka 6 kvadratnih puta ¼ i kvadratnom korijenu iz 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je površina jedne baze prizme.

Sve bočne strane su jednake i pravokutnici su sa stranicama 6 i 10 cm, a za izračunavanje njihovih površina dovoljno je pomnožiti te brojeve. Zatim ih pomnožite s tri, jer prizma ima točno toliko bočnih stranica. Zatim je površina bočne površine namotana 180 cm 2.

Odgovor. Područja: baza - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.

Opće informacije o ravnoj prizmi

Bočna ploha prizme (točnije bočna ploha) naziva se iznos bočna područja lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.

Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljini bočnog ruba.

Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n duljine rebara baze, p je opseg baze prizme, a I je duljina bočnih rebara. Teorem je dokazan.

Praktičan zadatak

Zadatak (22) . U kosoj prizmi odjeljak, okomito na bočne rubove i sijekući sve bočne rubove. Odredite bočnu plohu prizme ako je opseg presjeka p, a bočni bridovi l.

Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 411). Podvrgnimo jedan od njih paralelnom prevođenju koji kombinira baze prizme. U ovom slučaju dobivamo ravnu prizmu, u kojoj presjek izvorne prizme služi kao baza, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina izvorne prizme jednaka je pl.

Generalizacija teme

A sada pokušajmo s vama sažeti temu prizme i prisjetiti se koja svojstva ima prizma.

Svojstva prizme

Prvo, za prizmu, sve su njezine baze jednaki poligoni;
Drugo, za prizmu, sve njene bočne strane su paralelogrami;
Treće, u takvoj višestranoj figuri kao što je prizma, svi bočni rubovi su jednaki;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni i nagnuti.

Što je ravna prizma?

Ako je bočni brid prizme okomit na ravninu njezine baze, tada se takva prizma naziva ravnom crtom.

Neće biti suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Što je kosa prizma?

Ali ako bočni rub prizme nije okomit na ravninu njezine baze, tada možemo sa sigurnošću reći da je ovo nagnuta prizma.

Što je ispravna prizma?

Ako pravilni mnogokut leži u podnožju ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Sada se prisjetimo koja svojstva ima pravilna prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao baze pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, one su uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako usporedimo veličine bočnih rebara, tada su u ispravnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, pravilna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako su u pravilnoj prizmi bočne strane u obliku kvadrata, tada se takva figura, u pravilu, naziva polupravilni poligon.

Presjek prizme

Sada pogledajmo presjek prizme:

Domaća zadaća

A sada pokušajmo učvrstiti naučenu temu rješavanjem zadataka.

Nacrtajmo kosu trokutastu prizmu, u kojoj će razmak između njezinih bridova biti: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna površina te prizme jednaka 60 cm2. Pomoću ovih parametara pronađite bočni rub zadane prizme.

Znate li da nas geometrijske figure neprestano okružuju ne samo u nastavi geometrije, već iu svakodnevnom životu postoje predmeti koji nalikuju jednoj ili drugoj geometrijskoj figuri.

Svaki dom, škola ili posao ima računalo čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.

Ako uzmete jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući glavnom ulicom grada vidimo da pod našim nogama leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

Definicija 1. Prizmatična ploha
Teorem 1. O paralelnim presjecima prizmatične plohe
Definicija 2. Okomit presjek prizmatične plohe
Definicija 3. Prizma
Definicija 4. Visina prizme
Definicija 5. Ravna prizma
Teorem 2. Površina bočne površine prizme

paralelopiped:
Definicija 6. Paralelepiped
Teorem 3. O sjecištu dijagonala paralelopipeda
Definicija 7. Pravi paralelopiped
Definicija 8. Pravokutni paralelopiped
Definicija 9. Mjere paralelopipeda
Definicija 10. Kocka
Definicija 11. Romboedar
Teorem 4. O dijagonalama pravokutnog paralelopipeda
Teorem 5. Volumen prizme
Teorem 6. Volumen ravne prizme
Teorem 7. Volumen pravokutnog paralelopipeda

prizma zove se poliedar, u kojem dvije plohe (baze) leže u paralelnim ravninama, a bridovi koji ne leže u tim plohama međusobno su paralelni.
Lica osim baza nazivaju se bočno.
Stranice bočnih lica i baze nazivaju se rubovi prizme, nazivaju se krajevi rubova vrhovi prizme. Bočna rebra nazivaju bridovi koji ne pripadaju bazama. Spoj bočnih strana naziva se bočna površina prizme, a spoj svih lica naziva se puna površina prizme. Visina prizme zove se okomica spuštena iz točke gornje osnovice na ravninu donje osnovice ili duljina ove okomice. ravna prizma zove prizma, u kojoj su bočni rubovi okomiti na ravnine baza. Točno zove se ravna prizma (slika 3), u čijoj osnovi leži pravilan poligon.

Oznake:
l - bočno rebro;
P - opseg baze;
S o - osnovna površina;
H - visina;
P ^ - perimetar okomitog presjeka;
S b - bočna površina;
V - volumen;
S p - površina ukupne površine prizme.

Definicija 2 . Okomit presjek prizmatične plohe je presjek te plohe ravninom okomitom na njezine bridove. Na temelju prethodnog teorema, svi okomiti presjeci iste prizmatične plohe bit će jednaki poligoni.

Definicija 3 . Prizma je poliedar omeđen prizmatičnom plohom i dvije ravnine koje su međusobno paralelne (ali ne paralelne s rubovima prizmatične plohe)
Lica koja leže u ovim posljednjim ravninama nazivaju se baze prizme; lica koja pripadaju prizmatičnoj plohi - bočna lica; rubovi prizmatične površine - bočne bridove prizme. Na temelju prethodnog teorema, baze prizme su jednaki poligoni. Sve bočne plohe prizme paralelogrami; svi bočni rubovi su međusobno jednaki.
Očito je da ako su osnovica prizme ABCDE i jedan od bridova AA" zadani u veličini i smjeru, tada je moguće konstruirati prizmu crtanjem bridova BB", CC", .., jednakih i paralelnih s rub AA".

Definicija 4 . Visina prizme je udaljenost između ravnina njezinih baza (HH").

Definicija 5 . Prizma se naziva ravnom crtom ako su joj osnovice okomiti odsječci prizmatične površine. U ovom slučaju, visina prizme je, naravno, njegova bočno rebro; bočni rubovi će pravokutnici.
Prizme se mogu klasificirati prema broju bočnih stranica, jednakom broju stranica poligona koji služi kao njegova baza. Dakle, prizme mogu biti trokutaste, četverokutne, peterokutne itd.

Teorem 2 . Površina bočne površine prizme jednaka je umnošku bočnog ruba i opsega okomitog presjeka.
Neka je ABCDEA"B"C"D"E" data prizma i abcde je njen okomiti presjek, tako da su segmenti ab, bc, .. okomiti na njezine bočne bridove. Lice ABA"B" je paralelogram; njegova površina jednak je umnošku baze AA " na visinu koja odgovara ab; površina lica BCV "C" jednaka je umnošku baze BB" visine bc, itd. Stoga je bočna površina (tj. Zbroj površina bočnih stranica) jednak umnošku bočnog brida, drugim riječima, ukupnoj duljini odsječaka AA", BB", .., zbrojem ab+bc+cd+de+ea.