एक जटिल संख्या परिभाषित करें। एक जटिल संख्या क्या है? उदाहरण

§1। जटिल आंकड़े

1°. परिभाषा। बीजगणितीय संकेतन।

परिभाषा 1. जटिल आंकड़ेवास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म कहलाते हैं और , यदि उनके लिए समानता की अवधारणा को परिभाषित किया गया है, तो जोड़ और गुणा की संक्रियाएँ जो निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती हैं:

1) दो नंबर
और
बराबर अगर और केवल अगर
,
, अर्थात।

2) सम्मिश्र संख्याओं का योग
और

और बराबर
, अर्थात।

3) सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल
और
नंबर कहा जाता है
और बराबर, यानी

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है सी.

सूत्र (2), (3) रूप की संख्या के लिए
प्रपत्र ले जाएं

यह इस प्रकार है कि फॉर्म की संख्याओं के लिए जोड़ और गुणा का संचालन
वास्तविक संख्याओं के लिए जोड़ और गुणा के साथ मेल खाता है रूप की एक सम्मिश्र संख्या
वास्तविक संख्या से पहचाना जाता है .

जटिल संख्या
बुलाया काल्पनिक इकाईऔर निरूपित , अर्थात।
तब (3) से

(2),(3)  से जिसका अर्थ है

व्यंजक (4) कहा जाता है बीजगणितीय अंकनजटिल संख्या।

बीजगणितीय रूप में, जोड़ और गुणा की संक्रियाएं रूप लेती हैं:

जटिल संख्या निरूपित है
,- असली हिस्सा, काल्पनिक हिस्सा है, एक विशुद्ध काल्पनिक संख्या है। पद का नाम:
,
.

परिभाषा 2. जटिल संख्या
बुलाया संयुग्मएक जटिल संख्या के साथ
.

जटिल संयुग्मन के गुण।

1)

2)
.

3) अगर
, वह
.

4)
.

5)
एक वास्तविक संख्या है।

प्रमाण प्रत्यक्ष गणना द्वारा किया जाता है।

परिभाषा 3. संख्या
बुलाया मापांकजटिल संख्या
और निरूपित
.

जाहिर है कि
, और


. सूत्र भी स्पष्ट हैं:
और
.

2 डिग्री। जोड़ और गुणा संचालन के गुण।

1) क्रमविनिमेयता:
,
.

2) साहचर्य:,
.

3) वितरणशीलता: .

सबूत 1) - 3) वास्तविक संख्याओं के समान गुणों के आधार पर प्रत्यक्ष गणनाओं द्वारा किया जाता है।

4)
,
.

5) , सी ! , समीकरण को संतुष्ट करना
. ऐसा

6) ,सी, 0, ! :
. ऐसा द्वारा समीकरण को गुणा करने पर प्राप्त होता है



.

उदाहरण। एक जटिल संख्या की कल्पना करो
बीजगणितीय रूप में। ऐसा करने के लिए, भिन्न के अंश और हर को हर के संयुग्म से गुणा करें। अपने पास:

3°। जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या। एक जटिल संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय और घातीय रूप।

समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली दी जाए। तब
सीकोई विमान पर एक बिंदु को निर्देशांक के साथ जोड़ सकता है
(चित्र 1 देखें)। यह स्पष्ट है कि ऐसा पत्राचार एक-से-एक है। इस मामले में, वास्तविक संख्याएँ भुज अक्ष पर स्थित होती हैं, और विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याएँ कोटि अक्ष पर स्थित होती हैं। इसलिए, भुज अक्ष कहा जाता है वास्तविक अक्ष, और y-अक्ष - काल्पनिक अक्ष. वह तल जिस पर सम्मिश्र संख्याएँ स्थित होती हैं, कहलाती हैं जटिल विमान.

ध्यान दें कि और
उत्पत्ति के बारे में सममित हैं, और और बैल के संबंध में सममित हैं।

प्रत्येक सम्मिश्र संख्या (अर्थात्, समतल पर प्रत्येक बिंदु) एक सदिश के साथ बिंदु O पर शुरुआत और बिंदु पर अंत के साथ संबद्ध किया जा सकता है
. वैक्टर और जटिल संख्याओं के बीच पत्राचार एक-से-एक है। इसलिए, सदिश सम्मिश्र संख्या के अनुरूप है , उसी अक्षर से निरूपित

डी वेक्टर लाइन
जटिल संख्या के अनुरूप
, के बराबर है
, और
,
.

वेक्टर व्याख्या का उपयोग करके, कोई यह देख सकता है कि वेक्टर
- सदिशों का योग और , ए
- सदिशों का योग और
(चित्र 2 देखें)। इसलिए, निम्नलिखित असमानताएँ सत्य हैं:

लंबाई के साथ ही वेक्टर हम कोण का परिचय देते हैं वेक्टर के बीच और ऑक्स अक्ष, ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा से गिना जाता है: यदि गिनती वामावर्त है, तो कोण का चिन्ह धनात्मक माना जाता है, यदि दक्षिणावर्त, तो ऋणात्मक। इस कोने को कहा जाता है जटिल संख्या तर्कऔर निरूपित
. कोना विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, लेकिन सटीकता के साथ
…. के लिए
तर्क परिभाषित नहीं है।

सूत्र (6) तथाकथित परिभाषित करते हैं त्रिकोणमितीय अंकनजटिल संख्या।

(5) से यह इस प्रकार है कि यदि
और
वह

से (5)
किसके द्वारा और एक जटिल संख्या विशिष्ट रूप से परिभाषित है। इसका विलोम सत्य नहीं है: अर्थात्, सम्मिश्र संख्या द्वारा इसका मॉड्यूल अद्वितीय है, और तर्क , (7) के कारण - सटीकता के साथ
. यह (7) से भी निकलता है कि तर्क समीकरण के समाधान के रूप में पाया जा सकता है

हालाँकि, इस समीकरण के सभी समाधान (7) के समाधान नहीं हैं।

एक जटिल संख्या के तर्क के सभी मूल्यों में से एक को चुना जाता है, जिसे तर्क का मुख्य मूल्य कहा जाता है और निरूपित किया जाता है
. आमतौर पर तर्क का मुख्य मूल्य या तो अंतराल में चुना जाता है
, या अंतराल में

त्रिकोणमितीय रूप में, गुणा और भाग संचालन करना सुविधाजनक है।

प्रमेय 1।जटिल संख्याओं के उत्पाद का मॉड्यूल और मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर है, और तर्क तर्कों के योग के बराबर है, अर्थात

, ए ।

उसी प्रकार

,

सबूत।होने देना ,। फिर प्रत्यक्ष गुणन से हम प्राप्त करते हैं:

उसी प्रकार

.■

परिणाम(डी मोइवर का सूत्र)। के लिए
मोइवर का सूत्र मान्य है

पी उदाहरण। चलो बिंदु के ज्यामितीय स्थान का पता लगाएं
. यह प्रमेय 1 से अनुसरण करता है कि।

इसलिए, इसे बनाने के लिए, आपको पहले एक बिंदु बनाना होगा , जो उलटा है यूनिट सर्कल के बारे में, और उसके बाद एक्स-अक्ष के बारे में एक सममित बिंदु खोजें।

होने देना
,वे।
जटिल संख्या
लक्षित
, अर्थात। आरयूलर सूत्र मान्य है

क्योंकि
, वह
,
. प्रमेय 1 से
समारोह के बारे में क्या
एक साधारण घातीय फलन की तरह कार्य करना संभव है, अर्थात समानताएं सत्य हैं

,
,
.

से (8)
घातीय संकेतनजटिल संख्या

, कहाँ
,

उदाहरण। .

4 डिग्री। जड़ों एक जटिल संख्या की वें शक्ति।

समीकरण पर विचार करें

होने देना
, और समीकरण (9) के समाधान के रूप में मांगा गया है
. तब (9) रूप ग्रहण करता है
, जहां से हम पाते हैं
,
, अर्थात।

,
,
.

इस प्रकार, समीकरण (9) की जड़ें हैं

आइए दिखाते हैं कि (10) के बीच बिल्कुल हैं विभिन्न जड़ें। वास्तव में,

भिन्न हैं, क्योंकि उनके तर्क अलग हैं और इससे कम भिन्न हैं
. आगे,
, क्योंकि
. उसी प्रकार
.

इस प्रकार, समीकरण (9) के लिए
बिल्कुल है जड़ों
एक नियमित के शिखर पर स्थित है -गॉन त्रिज्या के एक चक्र में खुदा हुआ T.O पर केंद्रित है।

इस प्रकार यह सिद्ध हो चुका है

प्रमेय 2।जड़ निकासी एक जटिल संख्या की वें शक्ति
हमेशा संभव। सभी मूल मान वीं डिग्री सही के शीर्ष पर स्थित है -गॉन शून्य और त्रिज्या पर केंद्र के साथ एक वृत्त में खुदा हुआ
. वहीं,

परिणाम।जड़ों 1 की -th डिग्री सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

.

1 की दो जड़ों का गुणनफल एक जड़ है, 1 एक जड़ है एकता से -th डिग्री, जड़
:
.

द्विघात समीकरण के गुणों का अध्ययन करते समय, एक प्रतिबंध स्थापित किया गया था - शून्य से कम विवेचक के लिए, कोई समाधान नहीं है। यह तुरंत निर्धारित किया गया था कि हम वास्तविक संख्याओं के समूह के बारे में बात कर रहे हैं। एक गणितज्ञ के जिज्ञासु मन को दिलचस्पी होगी - वास्तविक मूल्यों के बारे में आरक्षण में क्या रहस्य निहित है?

समय के साथ, गणितज्ञों ने जटिल संख्याओं की अवधारणा पेश की, जहां माइनस एक के दूसरे मूल के सशर्त मान को एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

ऐतिहासिक संदर्भ

गणितीय सिद्धांत क्रमिक रूप से सरल से जटिल की ओर विकसित होता है। आइए जानें कि "जटिल संख्या" नामक अवधारणा कैसे उत्पन्न हुई और इसकी आवश्यकता क्यों है।

प्राचीन काल से ही गणित का आधार सामान्य हिसाब रहा है। शोधकर्ता केवल मूल्यों के प्राकृतिक सेट को जानते थे। जोड़ना और घटाना सरल था। जैसे-जैसे आर्थिक संबंध और अधिक जटिल होते गए, समान मानों को जोड़ने के बजाय गुणा का उपयोग किया जाने लगा। गुणा - भाग के लिए एक व्युत्क्रम संक्रिया थी।

एक प्राकृतिक संख्या की अवधारणा अंकगणितीय संक्रियाओं के उपयोग को सीमित करती है। पूर्णांक मानों के सेट पर विभाजन की सभी समस्याओं को हल करना असंभव है। पहले तर्कसंगत अर्थों की अवधारणा की ओर ले गए, और फिर तर्कहीन अर्थों की ओर। यदि तर्कसंगत के लिए रेखा पर बिंदु के सटीक स्थान को इंगित करना संभव है, तो अपरिमेय के लिए ऐसे बिंदु को इंगित करना असंभव है। आप केवल अंतराल का अनुमान लगा सकते हैं। परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के मिलन से एक वास्तविक सेट बनता है, जिसे दिए गए पैमाने के साथ एक निश्चित रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है। रेखा के साथ प्रत्येक चरण एक प्राकृतिक संख्या है, और उनके बीच परिमेय और अपरिमेय मान हैं।

सैद्धांतिक गणित का युग शुरू हुआ। खगोल विज्ञान, यांत्रिकी, भौतिकी के विकास के लिए अधिक से अधिक जटिल समीकरणों के समाधान की आवश्यकता थी। सामान्य तौर पर, द्विघात समीकरण की जड़ें पाई गईं। अधिक जटिल घन बहुपद को हल करते समय, वैज्ञानिकों को एक विरोधाभास का सामना करना पड़ा। एक नकारात्मक से घनमूल की अवधारणा समझ में आती है, लेकिन एक वर्गमूल के लिए अनिश्चितता प्राप्त होती है। इसके अलावा, द्विघात समीकरण केवल घन का एक विशेष मामला है।

1545 में, इतालवी जे. कार्डानो ने एक काल्पनिक संख्या की अवधारणा को प्रस्तुत करने का प्रस्ताव रखा।

यह संख्या ऋण एक की दूसरी जड़ थी। प्रसिद्ध गणितज्ञ गॉस के कार्यों में केवल तीन सौ साल बाद जटिल संख्या शब्द का गठन किया गया था। उन्होंने औपचारिक रूप से बीजगणित के सभी नियमों को काल्पनिक संख्या तक विस्तारित करने का प्रस्ताव रखा। वास्तविक रेखा का विस्तार एक समतल तक हो गया है। दुनिया बड़ी हो गई है।

बुनियादी अवधारणाओं

वास्तविक सेट पर प्रतिबंध वाले कई कार्यों को याद करें:

• y = आर्क्सिन (एक्स), नकारात्मक और सकारात्मक के बीच मूल्यों की सीमा में परिभाषित।
• वाई = एलएन (एक्स), सकारात्मक तर्कों के लिए समझ में आता है।
• वर्गमूल y = √x, केवल x ≥ 0 के लिए परिकलित।

I = √(-1) को नकारते हुए, हम इस तरह की अवधारणा को एक काल्पनिक संख्या के रूप में पेश करते हैं, यह उपरोक्त कार्यों की परिभाषा के डोमेन से सभी प्रतिबंधों को हटा देगा। y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) जैसे भाव सम्मिश्र संख्याओं के किसी स्थान में सार्थक होते हैं।

बीजगणितीय रूप को वास्तविक x और y मानों के सेट पर अभिव्यक्ति z = x + i×y के रूप में लिखा जा सकता है, और i 2 = -1।

नई अवधारणा किसी भी बीजगणितीय फ़ंक्शन के उपयोग पर सभी प्रतिबंधों को हटा देती है और इसकी उपस्थिति वास्तविक और काल्पनिक मूल्यों के निर्देशांक में एक सीधी रेखा के ग्राफ जैसा दिखती है।

जटिल विमान

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय रूप दृष्टिगत रूप से हमें उनके कई गुणों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। अक्ष पर पुन(z) हम x के वास्तविक मानों को चिह्नित करते हैं, Im(z) पर - y के काल्पनिक मान, फिर विमान पर बिंदु z आवश्यक जटिल मान प्रदर्शित करेगा।

परिभाषाएँ:

• रे (जेड) - वास्तविक धुरी।
• Im(z) - काल्पनिक अक्ष का मतलब है।
• z एक जटिल संख्या का सशर्त बिंदु है।
• शून्य बिंदु से z तक सदिश की लंबाई के संख्यात्मक मान को मापांक कहा जाता है।
• वास्तविक और काल्पनिक अक्ष विमान को क्वार्टर में विभाजित करते हैं। निर्देशांक के सकारात्मक मूल्य के साथ - मैं तिमाही। जब वास्तविक अक्ष का तर्क 0 से कम है, और काल्पनिक अक्ष 0 - II तिमाही से अधिक है। जब निर्देशांक ऋणात्मक हों - III तिमाही। अंतिम, चौथी तिमाही में कई सकारात्मक वास्तविक मूल्य और नकारात्मक काल्पनिक मूल्य शामिल हैं।

इस प्रकार, x और y निर्देशांक मानों वाले समतल पर, कोई हमेशा एक सम्मिश्र संख्या के एक बिंदु की कल्पना कर सकता है। प्रतीक i को वास्तविक भाग को काल्पनिक से अलग करने के लिए पेश किया गया है।

गुण

1. जब काल्पनिक तर्क का मान शून्य होता है, तो हमें केवल एक संख्या (z = x) मिलती है, जो वास्तविक अक्ष पर स्थित होती है और वास्तविक सेट से संबंधित होती है।
2. एक विशेष मामले में, जब वास्तविक तर्क का मान शून्य हो जाता है, अभिव्यक्ति z = i×y काल्पनिक अक्ष पर बिंदु के स्थान से मेल खाती है।
3. सामान्य रूप z = x + i×y तर्कों के गैर-शून्य मानों के लिए होगा। इसका अर्थ है किसी एक तिमाही में जटिल संख्या को चिह्नित करने वाले बिंदु का स्थान।

त्रिकोणमितीय अंकन

ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली और sin और cos की परिभाषा को याद करें। यह स्पष्ट है कि इन फलनों की सहायता से तल पर किसी बिंदु की स्थिति का वर्णन करना संभव है। ऐसा करने के लिए, ध्रुवीय बीम की लंबाई और वास्तविक धुरी के झुकाव के कोण को जानना पर्याप्त है।

परिभाषा। त्रिकोणमितीय फलनों cos(ϴ) और काल्पनिक भाग i ×sin(ϴ) के योग से ∣z ∣ गुणा के रूप की एक प्रविष्टि को त्रिकोणमितीय सम्मिश्र संख्या कहा जाता है। यहाँ पदनाम वास्तविक अक्ष के झुकाव का कोण है

ϴ = arg(z), और r = ∣z∣, बीम की लंबाई।

त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा और गुणों से, बहुत महत्वपूर्ण डी मोइवर सूत्र इस प्रकार है:

z n = r n × (cos (n × ϴ) + i × sin (n × ϴ))।

इस सूत्र का उपयोग करके, त्रिकोणमितीय फलनों वाले समीकरणों के कई तंत्रों को हल करना सुविधाजनक है। खासकर जब घातांक का कार्य उत्पन्न होता है।

मॉड्यूल और चरण

एक जटिल सेट के विवरण को पूरा करने के लिए, हम दो महत्वपूर्ण परिभाषाएँ प्रस्तावित करते हैं।

पायथागॉरियन प्रमेय को जानने के बाद, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में बीम की लंबाई की गणना करना आसान हो जाता है।

आर = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), जटिल स्थान पर इस तरह के एक अंकन को "मॉड्यूल" कहा जाता है और 0 से विमान पर एक बिंदु तक की दूरी को दर्शाता है।

जटिल बीम के वास्तविक रेखा ϴ के झुकाव के कोण को आमतौर पर चरण कहा जाता है।

यह परिभाषा से देखा जा सकता है कि चक्रीय कार्यों का उपयोग करके वास्तविक और काल्पनिक भागों का वर्णन किया गया है। अर्थात्:

• एक्स = आर × कॉस (ϴ);
• वाई = आर × पाप (ϴ);

इसके विपरीत, चरण सूत्र के माध्यम से बीजगणितीय मूल्यों से संबंधित है:

ϴ = आर्कटान(x / y) + μ, ज्यामितीय कार्यों की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए सुधार μ पेश किया गया है।

यूलर सूत्र

गणितज्ञ अक्सर घातीय रूप का उपयोग करते हैं। जटिल तल की संख्या एक व्यंजक के रूप में लिखी जाती है

z = r × e i × ϴ, जो यूलर सूत्र से अनुसरण करता है।

भौतिक राशियों की व्यावहारिक गणना के लिए ऐसा रिकॉर्ड व्यापक हो गया है। घातीय जटिल संख्याओं के रूप में प्रतिनिधित्व का रूप विशेष रूप से इंजीनियरिंग गणनाओं के लिए सुविधाजनक है, जहां साइनसॉइडल धाराओं के साथ सर्किट की गणना करना आवश्यक हो जाता है और किसी निश्चित अवधि के साथ कार्यों के अभिन्न के मूल्य को जानना आवश्यक है। गणना स्वयं विभिन्न मशीनों और तंत्रों के डिजाइन में एक उपकरण के रूप में काम करती है।

संचालन को परिभाषित करना

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, बुनियादी गणितीय कार्यों के साथ काम करने के सभी बीजगणितीय नियम जटिल संख्याओं पर लागू होते हैं।

योग संचालन

जटिल मान जोड़ते समय उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग भी जोड़े जाते हैं।

z = z 1 + z 2 , जहाँ z 1 और z 2 सामान्य सम्मिश्र संख्याएँ हैं। अभिव्यक्ति को बदलना, कोष्ठक खोलने और संकेतन को सरल बनाने के बाद, हमें वास्तविक तर्क x \u003d (x 1 + x 2), काल्पनिक तर्क y \u003d (y 1 + y 2) मिलता है।

ग्राफ़ पर, यह सुप्रसिद्ध समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, दो सदिशों के जोड़ जैसा दिखता है।

घटाव ऑपरेशन

इसे जोड़ का एक विशेष मामला माना जाता है, जब एक संख्या धनात्मक होती है, दूसरी ऋणात्मक होती है, अर्थात दर्पण तिमाही में स्थित होती है। बीजगणितीय अंकन वास्तविक और काल्पनिक भागों के बीच के अंतर की तरह दिखता है।

z \u003d z 1 - z 2, या, तर्कों के मूल्यों को ध्यान में रखते हुए, अतिरिक्त ऑपरेशन के समान, हम वास्तविक मान x \u003d (x 1 - x 2) और काल्पनिक के लिए प्राप्त करते हैं y \u003d (y 1 - y 2)।

जटिल विमान में गुणन

बहुपदों के साथ काम करने के नियमों का उपयोग करते हुए, हम सम्मिश्र संख्याओं को हल करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

सामान्य बीजगणितीय नियमों z=z 1 ×z 2 का पालन करते हुए, हम प्रत्येक तर्क का वर्णन करते हैं और समान तर्क देते हैं। वास्तविक और काल्पनिक भागों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

• x \u003d x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• वाई = एक्स 1 × वाई 2 + एक्स 2 × वाई 1।

यदि हम घातीय सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हैं तो यह अधिक सुंदर लगती है।

व्यंजक इस तरह दिखता है: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) ।

विभाजन

जब विभाजन संक्रिया को गुणन संक्रिया का व्युत्क्रम माना जाता है, तो हमें चरघातांकी रूप में एक सरल व्यंजक प्राप्त होता है। z 1 के मान को z 2 से विभाजित करना उनके मॉड्यूल और चरण अंतर को विभाजित करने का परिणाम है। औपचारिक रूप से, जटिल संख्याओं के घातीय रूप का उपयोग करते समय, यह इस तरह दिखता है:

z \u003d z 1 / z 2 \u003d r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 \u003d r 1 / r 2 × e i (ϴ 1- ϴ 2) .

बीजगणितीय संकेतन के रूप में जटिल तल की संख्याओं को विभाजित करने की संक्रिया थोड़ी अधिक जटिल लिखी जाती है:

तर्कों को लिखने और बहुपद परिवर्तनों को करने से, क्रमशः x \u003d x 1 × x 2 + y 1 × y 2 मान प्राप्त करना आसान है, y \u003d x 2 × y 1 - x 1 × y 2, हालाँकि, वर्णित स्थान के भीतर, यह अभिव्यक्ति समझ में आता है, अगर z 2 ≠ 0।

हम जड़ निकालते हैं

उपरोक्त सभी को अधिक जटिल बीजगणितीय कार्यों की परिभाषा में लागू किया जा सकता है - किसी भी शक्ति को ऊपर उठाना और इसके विपरीत - जड़ निकालना।

घात n तक बढ़ाने की सामान्य अवधारणा का उपयोग करते हुए, हम परिभाषा प्राप्त करते हैं:

जेड एन = (आर × ई मैं ϴ) एन।

सामान्य गुणों का उपयोग करके, हम इसे इस रूप में फिर से लिख सकते हैं:

z n = r n × e i ϴ n।

एक सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाने के लिए हमें एक सरल सूत्र मिला।

डिग्री की परिभाषा से हमें एक बहुत ही महत्वपूर्ण परिणाम मिलता है। काल्पनिक इकाई की एक सम शक्ति हमेशा 1 होती है। काल्पनिक इकाई की कोई भी विषम शक्ति हमेशा -1 होती है।

आइए अब उलटे कार्य का अध्ययन करें - जड़ को निकालना।

संकेतन की सरलता के लिए, हम n = 2 लेते हैं। जटिल समतल C पर जटिल मान z का वर्गमूल w आमतौर पर अभिव्यक्ति z = ± माना जाता है, जो शून्य से अधिक या उसके बराबर किसी भी वास्तविक तर्क के लिए मान्य है। w ≤ 0 के लिए, कोई हल नहीं है।

आइए सबसे सरल द्विघात समीकरण z 2 = 1 देखें। जटिल संख्याओं के सूत्रों का उपयोग करके, हम r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 को फिर से लिखते हैं। रिकॉर्ड से यह देखा जा सकता है कि r 2 = 1 और ϴ = 0, इसलिए, हमारे पास 1 के बराबर एक अद्वितीय समाधान है। लेकिन यह इस अवधारणा का खंडन करता है कि z = -1, वर्गमूल की परिभाषा के अनुरूप भी है।

आइए जानें कि हम क्या ध्यान में नहीं रखते हैं। यदि हम त्रिकोणमितीय संकेतन को याद करते हैं, तो हम कथन को पुनर्स्थापित करते हैं - चरण ϴ में आवधिक परिवर्तन के साथ, जटिल संख्या नहीं बदलती है। चलो p अवधि के मूल्य को दर्शाता है, तो हमारे पास r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , जहां से 2ϴ = 0 + p, या ϴ = p / 2। इसलिए, हमारे पास e i 0 = 1 और e i p / 2 = -1। हमें दूसरा समाधान मिला, जो वर्गमूल की सामान्य समझ से मेल खाता है।

इसलिए, एक सम्मिश्र संख्या का मनमाना मूल ज्ञात करने के लिए, हम प्रक्रिया का पालन करेंगे।

• हम चरघातांकी रूप w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) लिखते हैं, k एक स्वेच्छ पूर्णांक है।
• वांछित संख्या को यूलर रूप z = r × e i ϴ में भी प्रदर्शित किया जा सकता है।
• आइए मूल निष्कर्षण फलन r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) की सामान्य परिभाषा का उपयोग करें।
• मॉड्यूल और तर्कों की समानता के सामान्य गुणों से, हम r n = ∣w∣ और nϴ = arg (w) + p×k लिखते हैं।
• एक जटिल संख्या की जड़ का अंतिम रिकॉर्ड सूत्र z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n द्वारा वर्णित है।
• टिप्पणी। मान ∣w∣, परिभाषा के अनुसार, एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसलिए कोई भी घात मूल समझ में आता है।

क्षेत्र और संयुग्मन

अंत में, हम दो महत्वपूर्ण परिभाषाएँ देते हैं, जो जटिल संख्याओं के साथ लागू समस्याओं को हल करने के लिए बहुत कम महत्व रखती हैं, लेकिन गणितीय सिद्धांत के आगे के विकास के लिए आवश्यक हैं।

योग और गुणन के भावों को एक क्षेत्र बनाने के लिए कहा जाता है यदि वे जटिल विमान z के किसी भी तत्व के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं:

1. सम्मिश्र पदों के स्थान में परिवर्तन से सम्मिश्र योग नहीं बदलता।
2. कथन सत्य है - एक सम्मिश्र व्यंजक में, दो संख्याओं के योग को उनके मान से बदला जा सकता है।
3. एक तटस्थ मान 0 है जिसके लिए z + 0 = 0 + z = z सत्य है।
4. किसी भी z के लिए एक विपरीत - z होता है, जिसके अतिरिक्त शून्य देता है।
5. जब जटिल कारकों के स्थान बदल दिए जाते हैं, तो जटिल उत्पाद नहीं बदलता है।
6. किन्हीं दो संख्याओं के गुणनफल को उनके मान से बदला जा सकता है।
7. एक तटस्थ मान 1 है, गुणा जिसके द्वारा सम्मिश्र संख्या नहीं बदलती है।
8. प्रत्येक z ≠ 0 के लिए, z -1 का व्युत्क्रम होता है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
9. दो संख्याओं के योग को एक तिहाई से गुणा करना उनमें से प्रत्येक को उस संख्या से गुणा करने और परिणाम जोड़ने के बराबर है।
10. 0 ≠ 1.

संख्या z 1 = x + i×y और z 2 = x - i×y को संयुग्मी कहा जाता है।

प्रमेय।संयुग्मन के लिए, कथन सत्य है:

• योग का संयुग्मन संयुग्म तत्वों के योग के बराबर है।
• किसी उत्पाद का संयुग्मन संयुग्मन के उत्पाद के बराबर होता है।
• संख्या के बराबर।

सामान्य बीजगणित में, ऐसे गुणों को फील्ड ऑटोमोर्फिज्म कहा जाता है।

उदाहरण

जटिल संख्याओं के लिए उपरोक्त नियमों और सूत्रों का पालन करके, आप उन पर आसानी से काम कर सकते हैं।

आइए सबसे सरल उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 1।समीकरण 3y +5 x i= 15 - 7i का प्रयोग करके x और y ज्ञात कीजिए।

समाधान। जटिल समानता की परिभाषा याद करें, तो 3y = 15, 5x = -7। इसलिए, x = -7/5, y = 5।

कार्य 2।मान 2 + i 28 और 1 + i 135 की गणना करें।

समाधान। जाहिर है, 28 एक सम संख्या है, घात में जटिल संख्या की परिभाषा के परिणाम से, हमारे पास i 28 = 1 है, जिसका अर्थ है कि अभिव्यक्ति 2 + i 28 = 3 है। दूसरा मान, i 135 = - 1, तो 1 + i 135 = 0।

कार्य 3। 2 + 5i और 4 + 3i मानों के उत्पाद की गणना करें।

समाधान। सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के सामान्य गुणों से हमें (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20) प्राप्त होता है। नया मान -7 + 26i होगा।

कार्य 4।समीकरण z 3 = -i की जड़ों की गणना करें।

समाधान। सम्मिश्र संख्या ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आइए संभावित में से एक पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, ∣ - i∣ = 1, -i के लिए चरण -p / 4 है। मूल समीकरण को r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहां से z = e - p / 12 + pk /3 , किसी भी पूर्णांक k के लिए।

समाधान के सेट का रूप है (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3)।

सम्मिश्र संख्याओं की आवश्यकता क्यों है

इतिहास ऐसे कई उदाहरण जानता है जब वैज्ञानिक किसी सिद्धांत पर काम करते समय अपने परिणामों के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में सोचते भी नहीं हैं। गणित, सबसे पहले, दिमाग का खेल है, कारण और प्रभाव संबंधों का सख्त पालन। लगभग सभी गणितीय निर्माणों को समाकल और अवकल समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है, और बदले में, कुछ सन्निकटन के साथ, बहुपदों की जड़ों को ढूंढकर हल किया जाता है। यहाँ हम पहले काल्पनिक संख्याओं के विरोधाभास का सामना करते हैं।

प्राकृतिक वैज्ञानिक, पूरी तरह से व्यावहारिक समस्याओं को हल करते हुए, विभिन्न समीकरणों के समाधान का सहारा लेते हुए, गणितीय विरोधाभासों की खोज करते हैं। इन विरोधाभासों की व्याख्या बिल्कुल आश्चर्यजनक खोजों की ओर ले जाती है। वैद्युतचुंबकीय तरंगों की दोहरी प्रकृति इसका एक उदाहरण है। सम्मिश्र संख्याएँ उनके गुणों को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।

यह, बदले में, प्रकाशिकी, रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स, ऊर्जा और कई अन्य तकनीकी क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाया गया है। एक अन्य उदाहरण, भौतिक घटनाओं को समझना कहीं अधिक कठिन है। एक पेन की नोक पर एंटीमैटर की भविष्यवाणी की गई थी। और कई वर्षों के बाद ही इसे शारीरिक रूप से संश्लेषित करने का प्रयास शुरू होता है।

किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि ऐसी स्थितियाँ केवल भौतिकी में ही मौजूद हैं। कृत्रिम बुद्धिमत्ता के अध्ययन के दौरान, मैक्रोमोलेक्यूल्स के संश्लेषण में, वन्यजीवों में कोई कम दिलचस्प खोज नहीं की जाती है। और यह सब हमारी चेतना के विस्तार के कारण है, प्राकृतिक मूल्यों के सरल जोड़ और घटाव से परहेज है।

सम्मिश्र संख्याओं के बारे में आवश्यक जानकारी को याद करें।

जटिल संख्यास्वरूप की अभिव्यक्ति है ए + द्वि, कहाँ ए, बीवास्तविक संख्याएँ हैं, और मैं- तथाकथित काल्पनिक इकाई, प्रतीक जिसका वर्ग -1 है, अर्थात मैं 2 = -1। संख्या एबुलाया वास्तविक भाग, और संख्या बी - काल्पनिक भागजटिल संख्या जेड = ए + द्वि. अगर बी= 0, तो इसके बजाय ए + 0मैंसरलता से लिखें ए. यह देखा जा सकता है कि वास्तविक संख्याएँ जटिल संख्याओं का एक विशेष मामला है।

जटिल संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन वास्तविक के समान हैं: उन्हें एक दूसरे से जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। जोड़ और घटाव नियम के अनुसार आगे बढ़ते हैं ( ए + द्वि) ± ( सी + डि) = (ए ± सी) + (बी ± डी)मैं, और गुणन - नियम के अनुसार ( ए + द्वि) · ( सी + डि) = (एसी – बी.डी) + (विज्ञापन + ईसा पूर्व)मैं(यहाँ इसका उपयोग सिर्फ यही किया गया है मैं 2 = -1)। संख्या = ए – द्विबुलाया जटिल सन्युग्मको जेड = ए + द्वि. समानता जेड · = ए 2 + बी 2 आपको यह समझने की अनुमति देता है कि एक सम्मिश्र संख्या को दूसरी (गैर-शून्य) सम्मिश्र संख्या से कैसे विभाजित किया जाए:

(उदाहरण के लिए, .)

जटिल संख्याओं का एक सुविधाजनक और दृश्य ज्यामितीय प्रतिनिधित्व होता है: संख्या जेड = ए + द्विनिर्देशांक के साथ एक वेक्टर के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ( ए; बी) कार्तीय तल पर (या, जो लगभग समान है, एक बिंदु - इन निर्देशांक के साथ वेक्टर का अंत)। इस मामले में, दो सम्मिश्र संख्याओं के योग को संबंधित सदिशों (जो समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा पाया जा सकता है) के योग के रूप में दर्शाया गया है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, निर्देशांक के साथ सदिश की लंबाई ( ए; बी) के बराबर है । यह मान कहलाता है मापांकजटिल संख्या जेड = ए + द्विऔर | द्वारा निरूपित किया जाता है जेड|। यह सदिश x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ जो कोण बनाता है (वामावर्त गिना जाता है) कहलाता है तर्कजटिल संख्या जेडऔर अर्ग द्वारा निरूपित जेड. तर्क को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन केवल 2 के गुणकों के योग तक π रेडियंस (या 360 डिग्री, यदि आप डिग्री में गिनते हैं) - आखिरकार, यह स्पष्ट है कि मूल के चारों ओर इस तरह के कोण से घूमने से वेक्टर नहीं बदलेगा। लेकिन अगर लंबाई का वेक्टर आरकोण बनाता है φ एक्स-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ, तो इसके निर्देशांक बराबर हैं ( आरओल φ ; आरपाप φ ). इसलिए यह निकला त्रिकोणमितीय अंकनजटिल संख्या: जेड = |जेड| (कॉस (आर्ग जेड) + मैंपाप (अर्ग जेड)). इस रूप में जटिल संख्याओं को लिखना अक्सर सुविधाजनक होता है, क्योंकि यह गणनाओं को बहुत सरल करता है। त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं का गुणन बहुत सरल दिखता है: जेड 1 · जेड 2 = |जेड 1 | · | जेड 2 | (कॉस (आर्ग जेड 1+अर्ग जेड 2) + मैंपाप (अर्ग जेड 1+अर्ग जेड 2)) (दो जटिल संख्याओं को गुणा करते समय, उनके मॉड्यूल को गुणा किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं)। यहाँ से पालन करें डी मोइवर सूत्र: जेड एन = |जेड|एन(क्योंकि( एन(आर्ग जेड)) + मैंपाप ( एन(आर्ग जेड)))। इन सूत्रों की मदद से, यह सीखना आसान है कि जटिल संख्याओं से किसी भी डिग्री के मूल कैसे निकालें। z का nवाँ मूलइतनी जटिल संख्या है डब्ल्यू, क्या डब्ल्यू एन = जेड. यह स्पष्ट है कि , और कहाँ कसेट से कोई भी मान ले सकता है (0, 1, ..., एन- 1). इसका मतलब है कि हमेशा बिल्कुल होता है एनजड़ों एनएक जटिल संख्या से वें डिग्री (विमान पर वे एक नियमित के कोने पर स्थित हैं एन-गॉन)।

विषयजटिल संख्याएं और बहुपद

भाषण 22

§1। जटिल संख्याएँ: मूल परिभाषाएँ

प्रतीक अनुपात दर्ज करें
और काल्पनिक इकाई कहलाती है। दूसरे शब्दों में,
.

परिभाषा। रूप की अभिव्यक्ति
, कहाँ
, एक सम्मिश्र संख्या और संख्या कहलाती है सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाता है और निरूपित करें
, संख्या - काल्पनिक भाग और निरूपित करें
.

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि वास्तविक संख्याएँ वे सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं जिनका काल्पनिक भाग शून्य के बराबर होता है।

एक समतल के बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है, जिस पर कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है, अर्थात्: एक जटिल संख्या
मैच पॉइंट
और इसके विपरीत। एक्सल पर
वास्तविक संख्याएँ प्रदर्शित होती हैं और इसे वास्तविक अक्ष कहते हैं। फॉर्म की जटिल संख्या

विशुद्ध काल्पनिक कहलाते हैं। उन्हें अक्ष पर डॉट्स के रूप में दिखाया गया है।
, जिसे काल्पनिक अक्ष कहा जाता है। यह तल, जो सम्मिश्र संख्याओं को प्रदर्शित करने का कार्य करता है, सम्मिश्र तल कहलाता है। एक सम्मिश्र संख्या जो वास्तविक नहीं है, अर्थात ऐसा है कि
, कभी-कभी काल्पनिक कहा जाता है।

दो सम्मिश्र संख्याओं को समान कहा जाता है यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों।

बहुपद बीजगणित के सामान्य नियमों के अनुसार जटिल संख्याओं का जोड़, घटाव और गुणा किया जाता है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि

. डिवीजन ऑपरेशन को गुणन ऑपरेशन के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और परिणाम की विशिष्टता को साबित कर सकता है (यदि विभाजक शून्य से अलग है)। हालाँकि, व्यवहार में, एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है।

जटिल आंकड़े
और
संयुग्मी कहलाते हैं, जटिल तल पर वे वास्तविक अक्ष के बारे में सममित बिंदुओं द्वारा दर्शाए जाते हैं। यह स्पष्ट है कि:

1)

;

2)
;

3)
.

अब बंट जाओ पर निम्नानुसार किया जा सकता है:

.

इसे दिखाना मुश्किल नहीं है

,

जहां प्रतीक किसी भी अंकगणितीय ऑपरेशन के लिए खड़ा है।

होने देना
कुछ काल्पनिक संख्या, और एक वास्तविक चर है। दो द्विपदों का गुणनफल

वास्तविक गुणांकों वाला एक वर्ग त्रिपद है।

अब, सम्मिश्र संख्याएँ उपलब्ध होने के कारण, हम किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं
।तो अगर

और समीकरण के दो जटिल संयुग्मी मूल हैं

.

अगर
, तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। अगर
, तब समीकरण के दो समान मूल होते हैं।

§2। जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय रूप

जैसा ऊपर बताया गया है, जटिल संख्या
एक बिंदु के साथ प्रतिनिधित्व करने के लिए सुविधाजनक
. कोई इस बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के साथ ऐसी संख्या की पहचान भी कर सकता है
. इस व्याख्या के साथ, वैक्टर के जोड़ और घटाव के नियमों के अनुसार जटिल संख्याओं का जोड़ और घटाव किया जाता है। जटिल संख्याओं के गुणन और विभाजन के लिए, दूसरा रूप अधिक सुविधाजनक है।

हम जटिल विमान पर परिचय देते हैं
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली। तब कहां
,
और जटिल संख्या
के रूप में लिखा जा सकता है:

अंकन के इस रूप को त्रिकोणमितीय (बीजगणितीय रूप के विपरीत) कहा जाता है
). इस रूप में, संख्या एक मॉड्यूल कहा जाता है और - जटिल संख्या तर्क . वे चिह्नित हैं:
,

. मॉड्यूल के लिए, हमारे पास सूत्र है

संख्या तर्क अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन एक शब्द तक
,
. असमानताओं को संतुष्ट करने वाले तर्क का मूल्य
, को प्रिंसिपल कहा जाता है और निरूपित किया जाता है
. तब,
. तर्क के मुख्य मूल्य के लिए, आप निम्नलिखित भाव प्राप्त कर सकते हैं:

,

संख्या तर्क
अपरिभाषित माना जाता है।

त्रिकोणमितीय रूप में दो जटिल संख्याओं की समानता की स्थिति का रूप है: संख्याओं के मॉड्यूल समान हैं, और तर्क एक से अधिक भिन्न होते हैं
.

त्रिकोणमितीय रूप में दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

इसलिए, संख्याओं को गुणा करते समय, उनके मॉड्यूल को गुणा किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं।

इसी तरह, यह स्थापित किया जा सकता है कि विभाजित करते समय, संख्याओं के मॉड्यूल विभाजित होते हैं, और तर्क घटाए जाते हैं।

घातांक को बहु गुणन के रूप में समझते हुए, हम एक सम्मिश्र संख्या को एक घात तक बढ़ाने का सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

हम इसके लिए एक सूत्र निकालते हैं
- जड़ एक जटिल संख्या की वें शक्ति (वास्तविक संख्या की अंकगणितीय जड़ से भ्रमित न हों!) रूट एक्सट्रैक्शन ऑपरेशन एक्सपोनेंटिएशन ऑपरेशन का व्युत्क्रम है। इसीलिए
एक जटिल संख्या है ऐसा है कि
.

होने देना
ज्ञात, और
ढूँढना आवश्यक है। तब

त्रिकोणमितीय रूप में दो जटिल संख्याओं की समानता से, यह इस प्रकार है

,
,
.

यहाँ से
(यह एक अंकगणितीय जड़ है!),

,
.

इसे सत्यापित करना आसान है ही स्वीकार कर सकता है अनिवार्य रूप से भिन्न मान, उदाहरण के लिए, जब
. अंत में हमारे पास सूत्र है:

,
.

तो जड़ एक जटिल संख्या से वीं डिग्री है विभिन्न मूल्य। जटिल तल पर, ये मान कोने पर सही ढंग से स्थित होते हैं -गॉन त्रिज्या के एक चक्र में खुदा हुआ
मूल पर केन्द्रित है। "पहले" रूट में एक तर्क है
, दो "पड़ोसी" जड़ों के तर्क अलग-अलग हैं
.

उदाहरण। आइए काल्पनिक इकाई का घनमूल लें:
,
,
. तब:

,