Trigonometrijske jednadžbe različite složenosti. Osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Trigonometrijske jednadžbe nisu najlakša tema. Bolno, oni su raznoliki.) Na primjer, ovi:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

itd...

Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obavezne osobine. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi sa x su u okviru ovih istih funkcija. I samo tamo! Ako se negdje pojavi x vani, Na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine zahtijevaju individualni pristup. Ovdje ih nećemo razmatrati.

Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednačine.) Ovdje ćemo se pozabaviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da, jer odluka bilo koji trigonometrijske jednadžbe se sastoje od dvije faze. U prvoj fazi, jednačina zla se raznim transformacijama svodi na jednostavnu. Na drugom - ova najjednostavnija jednačina je riješena. Nema drugog načina.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema mnogo smisla.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Evo A označava bilo koji broj. Bilo koji.

Usput, unutar funkcije možda ne postoji čisti x, već neka vrsta izraza, kao što je:

cos(3x+π /3) = 1/2

itd. Ovo komplicira život, ali ne utiče na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?

Trigonometrijske jednadžbe se mogu riješiti na dva načina. Prvi način: pomoću logike i trigonometrijskog kruga. Ovdje ćemo istražiti ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - razmatrat ćemo u sljedećoj lekciji.

Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednačina, nejednačina i svih vrsta lukavih nestandardnih primjera. Logika je jača od memorije!

Jednačine rješavamo pomoću trigonometrijskog kruga.

Uključujemo elementarnu logiku i mogućnost korištenja trigonometrijskog kruga. Zar ne možeš!? Međutim... Biće vam teško u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug ...... Šta je to?" i "Broj uglova na trigonometrijskom krugu." Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)

Ah, znaš!? Pa čak i savladao "Praktični rad sa trigonometrijskim krugom"!? Prihvatite čestitke. Ova tema će vam biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno raduje je da trigonometrijskom krugu nije važno koju jednačinu rješavate. Sinus, kosinus, tangent, kotangens - sve mu je isto. Princip rješenja je isti.

Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednačinu. barem ovo:

cosx = 0,5

Moram da nađem X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate naći ugao (x) čiji je kosinus 0,5.

Kako smo ranije koristili krug? Nacrtali smo ugao na njemu. U stepenima ili radijanima. I to odmah viđeno trigonometrijske funkcije ovog ugla. Sada uradimo suprotno. Nacrtajte kosinus jednak 0,5 na krug i odmah vidit ćemo ugao. Ostaje samo zapisati odgovor.) Da, da!

Nacrtamo krug i označimo kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Volim ovo:

Sada nacrtajmo ugao koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidi ovaj isti kutak X.

Koji ugao ima kosinus 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Neki će skeptično gunđati, da... Kažu, da li je vredelo ograđivati ​​krug, kad je ionako sve jasno... Možete, naravno, gunđati...) Ali činjenica je da je ovo greška odgovori. Ili bolje rečeno, neadekvatan. Poznavaoci kruga razumiju da još uvijek postoji čitava gomila uglova koji također daju kosinus jednak 0,5.

Ako okrenete pokretnu stranu OA za puni okret, tačka A će se vratiti u prvobitni položaj. Sa istim kosinusom jednakim 0,5. One. ugao će se promijeniti 360° ili 2π radijana, i kosinus nije. Novi ugao 60° + 360° = 420° takođe će biti rešenje naše jednačine, jer

Postoji beskonačan broj takvih punih rotacija... I svi ovi novi uglovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednačine. I sve ih treba nekako zapisati. Sve. Inače, odluka se ne razmatra, da...)

Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. U jednom kratkom odgovoru zapišite beskonačan skup rješenja. Evo kako to izgleda za našu jednačinu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja ću dešifrovati. Još piši smisleno ljepše nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)

π /3 je isti ugao kao i mi vidio na krugu i identifikovan prema tabeli kosinusa.

2π je jedan puni okret u radijanima.

n - ovo je broj kompletnih, tj. cijeli revolucije. To je jasno n može biti 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao što pokazuje kratki unos:

n ∈ Z

n pripada ( ∈ ) na skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n mogu se koristiti slova k, m, t itd.

Ova notacija znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Šta želiš. Ako uključite taj broj u svoj odgovor, dobit ćete određeni ugao, koji će sigurno biti rješenje za našu oštru jednadžbu.)

Ili, drugim riječima, x \u003d π / 3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je dodati bilo koji broj punih zavoja na π / 3 ( n ) u radijanima. One. 2πn radian.

Sve? br. Ja posebno rastežem zadovoljstvo. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednačinu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja na sljedeći način:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne jedan korijen, to je čitav niz korijena, napisanih u kratkom obliku.

Ali postoje i drugi uglovi koji takođe daju kosinus jednak 0,5!

Vratimo se našoj slici prema kojoj smo zapisali odgovor. evo nje:

Pređite mišem preko slike i vidi drugi kutak koji također daje kosinus od 0,5.Šta mislite šta je jednako? Trouglovi su isti... Da! On je jednak uglu X , iscrtano samo u negativnom smjeru. Ovo je ugao -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga sa sigurnošću možemo napisati:

x 2 \u003d - π / 3

I, naravno, dodajemo sve uglove koji se dobiju punim okretima:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je sada sve.) U trigonometrijskom krugu, mi vidio(ko razume, naravno)) Sve uglovi koji daju kosinus jednak 0,5. I zapisali su ove uglove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor su dvije beskonačne serije korijena:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je tačan odgovor.

nada, opšti princip za rešavanje trigonometrijskih jednačina uz pomoć kruga je razumljivo. Na kružnici označimo kosinus (sinus, tangent, kotangens) iz date jednačine, nacrtamo odgovarajuće uglove i zapišemo odgovor. Naravno, morate shvatiti kakvi smo mi uglovi vidio na krugu. Ponekad to nije tako očigledno. Pa, kao što sam rekao, ovdje je potrebna logika.)

Na primjer, analizirajmo još jednu trigonometrijsku jednačinu:

Imajte na umu da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbi!) Samo mi je zgodnije da ga zapišem od korijena i razlomaka.

Radimo po opštem principu. Crtamo krug, označavamo (na osi sinusa, naravno!) 0,5. Crtamo odjednom sve uglove koji odgovaraju ovom sinusu. Dobijamo ovu sliku:

Prvo se pozabavimo uglom. X u prvoj četvrtini. Prisjećamo se tablice sinusa i određujemo vrijednost ovog ugla. Stvar je jednostavna:

x \u003d π / 6

Pamtimo pune okrete i mirne savjesti zapisujemo prvu seriju odgovora:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pola posla je obavljeno. Sada treba da definišemo drugi ugao... Ovo je teže nego u kosinusima, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi ugao kroz x? Yes Easy! Trokuti na slici su isti, a crveni ugao X jednaka uglu X . Samo se broji od ugla π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban ugao izmjeren ispravno od pozitivne poluose OX, tj. iz ugla od 0 stepeni.

Pređite kursorom preko slike i pogledajte sve. Uklonio sam prvi ugao da ne bih komplikovao sliku. Ugao koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:

π - x

x mi to znamo π /6 . Dakle, drugi ugao će biti:

π - π /6 = 5π /6

Ponovo se prisjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugu seriju odgovora:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je sve. Potpuni odgovor sastoji se od dvije serije korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jednačine s tangentom i kotangensom mogu se lako riješiti korištenjem istog općeg principa za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Osim ako, naravno, ne znate kako nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu.

U gornjim primjerima koristio sam tabelarne vrijednosti sinusa i kosinusa: 0,5. One. jedno od onih značenja koje učenik zna mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrednosti. Odluči, pa odluči!)

Dakle, recimo da moramo riješiti sljedeću trigonometrijsku jednačinu:

Ne postoji takva vrijednost kosinusa u kratkim tablicama. Hladno ignorišemo ovu strašnu činjenicu. Nacrtamo krug, označimo 2/3 na osi kosinusa i nacrtamo odgovarajuće uglove. Dobili smo ovu sliku.

Razumijemo, za početak, sa uglom u prvoj četvrtini. Da znaju koliko je x jednako, odmah bi zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Miran! Matematika ne ostavlja svoje u nevolji! Ona je izmislila lučni kosinus za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, mnogo je lakše nego što mislite. Prema ovom linku, ne postoji niti jedna lukava čarolija o "inverznim trigonometrijskim funkcijama" ... To je suvišno u ovoj temi.

Ako znate, samo recite sebi: "X je ugao čiji je kosinus 2/3." I odmah, čisto po definiciji arkosinusa, možemo napisati:

Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvu seriju korijena naše trigonometrijske jednadžbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druga serija korijena također se upisuje gotovo automatski, za drugi ugao. Sve je isto, samo će x (arccos 2/3) biti sa minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I sve stvari! Ovo je tačan odgovor. Čak i lakše nego sa tabelarnim vrijednostima. Ne morate ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da je ova slika s rješenjem kroz arc kosinus se suštinski ne razlikuje od slike za jednačinu cosx = 0,5.

Upravo! Opšti princip o tome i generalni! Posebno sam nacrtao dvije skoro identične slike. Krug nam pokazuje ugao X po svom kosinusu. To je tabelarni kosinus, ili ne - krug ne zna. Kakav je ovo ugao, π / 3, ili kakav arc kosinus je na nama da odlučimo.

Sa sinusom ista pjesma. Na primjer:

Opet nacrtamo krug, označimo sinus jednak 1/3, nacrtamo uglove. Ispada ova slika:

I opet je slika skoro ista kao i za jednačinu sinx = 0,5. Ponovo krećemo iz kornera u prvoj četvrtini. Čemu je jednako x ako mu je sinus 1/3? Nema problema!

Dakle, prvi paket korijena je spreman:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hajde da pogledamo drugi ugao. U primjeru sa vrijednošću tablice od 0,5, bio je jednak:

π - x

I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa šta!? Možete sigurno napisati drugi paket korijena:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je potpuno tačan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali to je razumljivo, nadam se.)

Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kružnice. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama s odabirom korijena na datom intervalu, u trigonometrijskim nejednačinama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krug. Ukratko, u svim zadacima koji su malo složeniji od standardnih.

Prebacivanje znanja u praksu?

Riješite trigonometrijske jednadžbe:

U početku je jednostavnije, direktno na ovoj lekciji.

Sada je teže.

Savjet: ovdje morate razmišljati o krugu. Lično.)

A sada spolja nepretenciozni ... Nazivaju se i posebnim slučajevima.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Nagoveštaj: ovdje treba u krugu odgonetnuti gdje su dvije serije odgovora, a gdje jedan... I kako napisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ni jedan korijen iz beskonačnog broja ne izgubi!)

Pa sasvim jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Nagoveštaj: ovde treba da znate šta je arksinus, arkosinus? Šta je arc tangenta, arc tangenta? Najjednostavnije definicije. Ali ne morate pamtiti nikakve tabelarne vrijednosti!)

Odgovori su, naravno, u neredu):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nije sve u redu? Dešava se. Pročitajte lekciju ponovo. Samo zamišljeno(postoji takva zastarjela riječ...) I pratite linkove. Glavne veze se odnose na krug. Bez toga u trigonometriji - kako preći cestu sa povezom preko očiju. Ponekad uspe.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo studirati:
1. Šta su trigonometrijske jednačine?

3. Dvije glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Šta su trigonometrijske jednačine?

Ljudi, već smo proučavali arksinus, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe - jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod znakom trigonometrijske funkcije.

Ponavljamo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednačina tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednačina ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule, k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T- bilo koja trigonometrijska funkcija.

Riješite jednačine: a) sin(3x)= √3/2

Rješenje:

A) Označimo 3x=t, onda ćemo našu jednačinu prepisati u obliku:

Rješenje ove jednačine će biti: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Iz tabele vrednosti dobijamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se na našu varijablu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n - minus jedan na stepen n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Rješenje:

A) Ovaj put ćemo odmah prijeći direktno na izračunavanje korijena jednadžbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednačine: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Rješenje:

Rešimo našu jednačinu u opštem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Za k Za k=0, x= π/16, nalazimo se u datom segmentu .
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, udarili su ponovo.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da nećemo pogoditi ni za veliki k.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Rešimo jednačinu:

Rješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristimo metodu uvođenja nove varijable, označene: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene, dobijamo: t 2 + 2t -1 = 0

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu, hajde da nađemo njene korijene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Rješenje:

Koristimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednadžba postaje: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Hajde da uvedemo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može uzeti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijen.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Jednačine oblika

homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena.

Da bismo riješili homogenu trigonometrijsku jednačinu prvog stepena, podijelimo je sa cos(x): Nemoguće je podijeliti kosinusom ako je jednako nuli, uvjerimo se da to nije tako:
Neka je cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobili smo kontradikciju, tako da možemo bezbedno podijeliti po nuli.

Riješite jednačinu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Rješenje:

Izvadite zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednačine:

cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 za x= π/2 + πk;

Razmotrite jednačinu cos(x)+sin(x)=0 Podijelite našu jednačinu sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena?
Ljudi, uvijek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je koeficijent a jednak, ako je a = 0 onda će naša jednadžba poprimiti oblik cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), čiji je primjer rješenja na prethodnom slajd

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti oba dijela jednadžbe na kvadrat kosinusa, dobićemo:

Napravimo promjenu varijable t=tg(x) i dobijemo jednačinu:

Riješi primjer #:3

Podijelite obje strane jednačine kosinusnim kvadratom:

Napravimo promjenu varijable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješi primjer #:4

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednačine: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješi primjer #:5

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Uvodimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobijamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Zadaci za samostalno rješavanje.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednačine: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednačinu: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Riješite jednačinu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednačinu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednačinu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednačine, frakcijske jednačine i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeći: potrebno je ustanoviti kojoj vrsti pripada problem koji se rješava, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očigledno, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema zavisi uglavnom od toga koliko je ispravno određen tip jednačine koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.

Drugačija situacija se dešava sa trigonometrijske jednačine. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.

Ponekad je teško odrediti njen tip po izgledu jednačine. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednačinu, moramo pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u "iste uglove";
2. dovesti jednačinu na "iste funkcije";
3. faktorizovati lijevu stranu jednačine, itd.

Razmislite osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2 Pronađite argument funkcije koristeći formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3 Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rješenje.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Zamjena varijable

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2 Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).

Korak 3 Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.

Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Rješenje.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednačina

Shema rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom koristeći formule smanjenja snage:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2 Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.

Primjer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Rješenje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite ovu jednačinu u formu

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).

Korak 2 Podijelite obje strane jednačine sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednačinu za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Korak 3 Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Rješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda za transformaciju jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Shema rješenja

Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijskih formula, dovedite ovu jednačinu u jednačinu koja se može riješiti metodama I, II, III, IV.

Korak 2 Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.

Primjer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Rješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednačina su vrlo Važno je da njihov razvoj zahteva znatan trud, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednačine zauzimaju značajno mesto u procesu nastave matematike i razvoja ličnosti uopšte.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije - zbira kvadrata sinusa i kosinusa, izraza tangente kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ne znaju, preporučujemo čitanje članka "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih provedemo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s pravim pristupom, to je prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.

Na osnovu samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednačina jednačina u kojoj je nepoznata pod znakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane jednostavne trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinh = a, cos x = a, tg x = a. Uzmite u obzir, kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće, koristit ćemo već poznati trigonometrijski krug.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

krevetac x = a

Svaka trigonometrijska jednadžba se rješava u dvije faze: dovedemo jednačinu u najjednostavniji oblik, a zatim je riješimo kao najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.
Postoji 7 glavnih metoda pomoću kojih se rješavaju trigonometrijske jednačine.

1. Zamjena varijable i metoda zamjene

Riješite jednačinu 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Koristeći formule redukcije dobijamo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Zamijenimo cos(x + /6) sa y radi jednostavnosti i dobijemo uobičajenu kvadratnu jednačinu:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Korijeni od kojih je y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sada idemo unazad

Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobijamo dva odgovora:

2. Rješavanje trigonometrijskih jednačina kroz faktorizaciju

Kako riješiti jednačinu sin x + cos x = 1?

Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani:

sin x + cos x - 1 = 0

Koristimo gornje identitete da pojednostavimo jednačinu:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Uradimo faktorizaciju:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dobijamo dvije jednačine

3. Redukcija na homogenu jednačinu

Jednačina je homogena u odnosu na sinus i kosinus ako su svi njeni članovi u odnosu na sinus i kosinus istog stepena i istog ugla. Da biste riješili homogenu jednačinu, postupite na sljedeći način:

a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;

b) sve uobičajene faktore staviti van zagrada;

c) izjednačiti sve faktore i zagrade sa 0;

d) u zagradama se dobija homogena jednačina manjeg stepena, koja se, pak, deli sinusom ili kosinusom na viši stepen;

e) riješiti rezultirajuću jednačinu za tg.

Riješite jednačinu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorene dvije na desnoj strani:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Podijelite sa cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamijenimo tg x sa y i dobijemo kvadratnu jednačinu:

y 2 + 4y +3 = 0 čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3

Odavde nalazimo dva rješenja originalne jednadžbe:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Rješavanje jednadžbi, kroz prijelaz na poluugao

Riješite jednačinu 3sin x - 5cos x = 7

Idemo na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pomeranje svega ulevo:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Podijelite sa cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Uvođenje pomoćnog ugla

Za razmatranje, uzmimo jednadžbu oblika: a sin x + b cos x \u003d c,

gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.

Podijelite obje strane jednačine sa:



Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1 i zbir kvadrata = 1. Označimo ih redom kao cos i sin, gdje je so -zvani pomoćni ugao. Tada će jednačina poprimiti oblik:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

ili sin(x + ) = C

Rješenje ove jednostavne trigonometrijske jednadžbe je

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, gdje je



Treba napomenuti da su oznake cos i sin zamjenjive.

Riješite jednačinu sin 3x - cos 3x = 1

U ovoj jednačini koeficijenti su:

a \u003d, b \u003d -1, pa oba dijela podijelimo sa \u003d 2