Formula za smanjenje kocke. Skraćene formule za množenje. Zaključci sa lekcije

Formule skraćenog množenja (FMF) koriste se za eksponencijalnost i množenje brojeva i izraza. Često vam ove formule omogućuju kompaktnije i brže izračune.

U ovom članku ćemo navesti osnovne formule za skraćeno množenje, grupirati ih u tablicu, razmotriti primjere korištenja ovih formula, a također ćemo se zadržati na principima dokaza formula za skraćeno množenje.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Po prvi put se tema FSU razmatra u okviru predmeta Algebra za 7. razred. Ispod je 7 osnovnih formula.

Skraćene formule za množenje

1. formula za kvadrat sume: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. Formula kvadratne razlike: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. formula kocke zbira: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formula kocke razlike: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. Formula kvadratne razlike: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. formula za zbir kocki: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. formula za razliku kocki: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Slova a, b, c u ovim izrazima mogu biti bilo koji brojevi, varijable ili izrazi. Radi lakšeg korištenja, bolje je naučiti sedam osnovnih formula napamet. Stavimo ih u tabelu i predstavimo ih ispod, okružujući ih okvirom.

Prve četiri formule omogućavaju vam da izračunate kvadrat ili kubu zbira ili razlike dva izraza.

Peta formula izračunava razliku između kvadrata izraza množenjem njihovog zbira i razlike.

Šesta i sedma formula su, respektivno, množenje sume i razlike izraza nepotpunim kvadratom razlike i nepotpunim kvadratom zbira.

Skraćena formula za množenje ponekad se naziva i skraćeni identiteti množenja. To nije iznenađujuće, jer je svaka jednakost identitet.

Prilikom rješavanja praktičnih primjera često se koriste skraćene formule za množenje sa zamijenjenim lijevom i desnom stranom. Ovo je posebno zgodno kada se polinom čini faktorima.

Dodatne skraćene formule za množenje

Nemojmo se ograničavati na kurs algebre 7. razreda i dodajmo još nekoliko formula u našu FSU tablicu.

Prvo, pogledajmo Newtonovu binomnu formulu.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Ovdje su C n k binomni koeficijenti koji se pojavljuju u redu broj n u Pascalovom trokutu. Binomni koeficijenti se izračunavaju pomoću formule:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Kao što vidimo, FSF za kvadrat i kub razlike i zbir je poseban slučaj Njutnove binomne formule za n=2 i n=3, respektivno.

Ali šta ako postoji više od dva člana u zbroju koji treba podići na stepen? Formula za kvadrat zbira tri, četiri ili više članova će biti korisna.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Još jedna formula koja može biti korisna je formula za razliku između n-tih stepena dva člana.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ova formula se obično dijeli na dvije formule - za parne i neparne stepene, respektivno.

Za čak 2m indikatora:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Za neparne eksponente 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Formule razlike kvadrata i razlike kocki, kao što ste pogodili, su posebni slučajevi ove formule za n = 2 i n = 3, respektivno. Za razliku kocki, b se također zamjenjuje sa - b.

Kako čitati skraćene formule za množenje?

Za svaku formulu ćemo dati odgovarajuće formulacije, ali prvo ćemo razumjeti princip čitanja formula. Najprikladniji način da to učinite je primjer. Uzmimo prvu formulu za kvadrat zbira dva broja.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Kažu: kvadrat zbira dva izraza a i b jednak je zbiru kvadrata prvog izraza, dvostrukog proizvoda izraza i kvadrata drugog izraza.

Sve ostale formule se čitaju na sličan način. Za kvadrat razlike a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 pišemo:

kvadrat razlike između dva izraza a i b jednak je zbiru kvadrata ovih izraza minus dvostruki proizvod prvog i drugog izraza.

Pročitajmo formulu a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kocka zbira dva izraza a i b jednaka je zbiru kubova ovih izraza, utrostruči umnožak kvadrata prvog izraza drugim i utrostruči proizvod kvadrata drugog izraza za prvi izraz.

Pređimo na čitanje formule za razliku kocki a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kocka razlike između dva izraza a i b jednaka je kocki prvog izraza minus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugog, plus trostruki proizvod kvadrata drugog izraza i prvog izraza , minus kocka drugog izraza.

Peta formula a 2 - b 2 = a - b a + b (razlika kvadrata) glasi ovako: razlika kvadrata dva izraza jednaka je proizvodu razlike i zbroju dva izraza.

Radi praktičnosti, izrazi poput a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 nazivaju se nepotpunim kvadratom zbira i nepotpunim kvadratom razlike.

Uzimajući to u obzir, formule za zbir i razliku kocki mogu se pročitati na sljedeći način:

Zbir kubova dva izraza jednak je proizvodu zbira ovih izraza i djelomičnog kvadrata njihove razlike.

Razlika između kocki dva izraza jednaka je proizvodu razlike ovih izraza i djelomičnog kvadrata njihovog zbira.

Dokaz o FSU

Dokazivanje FSU je prilično jednostavno. Na osnovu svojstava množenja, pomnožit ćemo dijelove formula u zagradama.

Na primjer, razmotrite formulu za kvadratnu razliku.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Da biste izraz podigli na drugi stepen, morate ovaj izraz pomnožiti sam sa sobom.

a - b 2 = a - b a - b .

Proširimo zagrade:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formula je dokazana. Preostale FSU su dokazane slično.

Primjeri primjene FSU

Svrha upotrebe skraćenih formula za množenje je brzo i koncizno množenje i podizanje izraza na stepene. Međutim, ovo nije cijeli opseg primjene FSU. Oni se široko koriste u redukciji izraza, redukciji razlomaka i faktoringu polinoma. Navedimo primjere.

Primjer 1. FSU

Pojednostavimo izraz 9 y - (1 + 3 y) 2.

Primijenimo formulu sume kvadrata i dobijemo:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Primjer 2. FSU

Smanjimo razlomak 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Napominjemo da je izraz u brojniku razlika kocki, a u nazivniku razlika kvadrata.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Smanjujemo i dobijamo:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU također pomažu u izračunavanju vrijednosti izraza. Glavna stvar je da možete uočiti gdje primijeniti formulu. Pokažimo to na primjeru.

Kvadirajmo broj 79. Umjesto glomaznih proračuna, napišimo:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Čini se da se složeni proračun brzo izvodi samo pomoću skraćenih formula za množenje i tablice množenja.

Još jedna važna tačka je odabir kvadrata binoma. Izraz 4 x 2 + 4 x - 3 može se pretvoriti u 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takve transformacije se široko koriste u integraciji.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Da bi se pojednostavili algebarski polinomi, postoje skraćene formule za množenje. Nema ih mnogo i lako ih je zapamtiti, ali ih morate zapamtiti. Zapis koji se koristi u formulama može imati bilo koji oblik (broj ili polinom).

Prva skraćena formula za množenje se zove razlika kvadrata. Sastoji se u oduzimanju kvadrata jednog broja od kvadrata drugog broja, koji je jednak razlici ovih brojeva, kao i njihovom proizvodu.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Pogledajmo to radi jasnoće:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Druga formula je o zbir kvadrata. Zvuči kao da je zbroj dviju veličina na kvadrat jednak kvadratu prve količine, tome se dodaje dvostruki proizvod prve količine pomnožen sa drugom, dodaje im se kvadrat druge količine.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Zahvaljujući ovoj formuli postaje mnogo lakše izračunati kvadrat velikog broja, bez upotrebe kompjuterske tehnologije.

Tako na primjer: kvadrat od 112 će biti jednak
1) Prvo, razložimo 112 na brojeve čiji su nam kvadrati poznati
112 = 100 + 12
2) Rezultat unosimo u uglaste zagrade
112 2 = (100+12) 2
3) Primjenom formule dobijamo:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Treća formula je razlika na kvadrat. Što kaže da su dvije veličine oduzete jedna od druge u kvadratu jednake, jer od prve veličine na kvadrat oduzimamo dvostruki proizvod prve količine pomnožen sa drugom, dodajući im kvadrat druge količine.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

gdje je (a - b) 2 jednako (b - a) 2. Da bismo ovo dokazali, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Četvrta formula za skraćeno množenje se zove kocka zbira. Što zvuči kao: dvije sabirne količine u kocki su jednake kocki 1 količine, trostruki proizvod 1 količine na kvadrat pomnožen sa 2. količinom se dodaje, na njih se dodaje trostruki proizvod 1 količine pomnožen sa kvadratom od 2 količine, plus druga količina u kocki.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Peti, kao što ste već shvatili, zove se kocka razlike. Koji pronalazi razlike između veličina, jer od prve oznake u kocki oduzimamo trostruki umnožak prve oznake u kvadratu pomnožen sa drugom, njima se dodaje trostruki proizvod prve oznake pomnožen kvadratom druge notacija, minus druga notacija u kocki.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Šesti se zove - zbir kocki. Zbir kocki jednak je proizvodu dva sabirka pomnoženog s djelomičnim kvadratom razlike, jer u sredini nema dvostruke vrijednosti.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Drugi način da se kaže zbir kocki je da se proizvod nazove u dvije zagrade.

Zove se sedmi i posljednji razlika kockica(može se lako pomiješati sa formulom kocke razlike, ali to su različite stvari). Razlika kockica jednaka je proizvodu razlike dviju veličina pomnoženih s djelomičnim kvadratom zbira, jer u sredini nema dvostruke vrijednosti.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

I tako postoji samo 7 formula za skraćeno množenje, slične su jedna drugoj i lako se pamte, jedino je važno da se ne zbunite u znakovima. Također su dizajnirani da se koriste obrnutim redoslijedom, a udžbenici sadrže dosta takvih zadataka. Budite oprezni i sve će vam uspjeti.

Ako imate pitanja o formulama, svakako ih napišite u komentarima. Rado ćemo Vam odgovoriti!

Ako ste na porodiljskom odsustvu, ali želite da zaradite novac. Samo pratite link Internet poslovanje sa Oriflameom. Tamo je sve napisano i detaljno prikazano. Bit će zanimljivo!

U prethodnoj lekciji bavili smo se faktorizacijom. Savladali smo dvije metode: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada i grupiranje. U ovoj lekciji - sljedeća moćna metoda: skraćene formule za množenje. Ukratko - FSU.

Skraćene formule množenja (kvadrat zbira i razlike, kocka zbira i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kocki) su izuzetno potrebne u svim granama matematike. Koriste se za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednačina, množenje polinoma, smanjenje razlomaka, rješavanje integrala itd. i tako dalje. Ukratko, postoje svi razlozi za suočavanje s njima. Shvatite odakle dolaze, zašto su potrebni, kako ih zapamtiti i kako ih koristiti.

Da li razumemo?)

Odakle dolaze formule za skraćeno množenje?

Jednačine 6 i 7 nisu napisane na poznat način. Malo je suprotno. Ovo je namjerno.) Svaka jednakost funkcionira i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Ovaj unos pokazuje jasnije odakle dolaze FSU.

One se uzimaju iz množenja.) Na primjer:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To je to, bez naučnih trikova. Jednostavno množimo zagrade i dajemo slične. Ovako ispada sve skraćene formule za množenje. Skraćeno množenje je zato što u samim formulama nema množenja zagrada i redukcije sličnih. Skraćeno.) Rezultat se odmah daje.

FSU treba znati napamet. Bez prva tri, ne možete sanjati C; bez ostalih ne možete sanjati B ili A.)

Zašto su nam potrebne skraćene formule za množenje?

Postoje dva razloga da naučite, čak i zapamtite, ove formule. Prvi je da gotov odgovor automatski smanjuje broj grešaka. Ali to nije glavni razlog. Ali drugi...

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Jedna od prvih tema koje se proučavaju na kursu algebre su formule za skraćeno množenje. U sedmom razredu koriste se u najjednostavnijim situacijama, gdje trebate prepoznati jednu od formula u izrazu i faktorisati polinom ili, obrnuto, brzo kvadrirati ili kockirati zbir ili razliku. U budućnosti, FSU se koristi za brzo rješavanje nejednačina i jednačina, pa čak i za izračunavanje nekih numeričkih izraza bez kalkulatora.

Kako izgleda lista formula?

Postoji 7 osnovnih formula koje vam omogućavaju brzo množenje polinoma u zagradama.

Ponekad ova lista uključuje i proširenje za četvrti stepen, što proizilazi iz predstavljenih identiteta i ima oblik:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Sve jednakosti imaju par (zbir - razlika), osim razlike kvadrata. Formula za zbir kvadrata nije data.

Preostale jednakosti se lako pamte:

Treba imati na umu da FSU rade u svakom slučaju i za bilo koje vrijednosti a I b: to mogu biti ili proizvoljni brojevi ili cjelobrojni izrazi.

U situaciji kada se odjednom ne možete sjetiti koji je znak ispred određenog pojma u formuli, možete otvoriti zagrade i dobiti isti rezultat kao nakon korištenja formule. Na primjer, ako je nastao problem prilikom primjene kocke razlike FSU, morate zapisati originalni izraz i izvršiti množenje jedno po jedno:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Kao rezultat, nakon donošenja svih sličnih pojmova, dobijen je isti polinom kao u tabeli. Iste manipulacije se mogu izvesti sa svim ostalim FSU.

Primjena FSU za rješavanje jednačina

Na primjer, trebate riješiti jednačinu koja sadrži polinom stepena 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Školski program ne obuhvata univerzalne tehnike rješavanja kubnih jednačina, a takvi zadaci se najčešće rješavaju jednostavnijim metodama (na primjer, faktorizacijom). Ako primijetimo da lijeva strana identiteta podsjeća na kocku sume, onda se jednačina može napisati u jednostavnijem obliku:

(x + 1)³ = 0.

Korijen takve jednadžbe izračunava se usmeno: x = -1.

Nejednakosti se rješavaju na sličan način. Na primjer, možete riješiti nejednakost x³ – 6x² + 9x > 0.

Prije svega, trebate faktorizirati izraz. Prvo treba da zagradite x. Nakon ovoga, imajte na umu da se izraz u zagradama može pretvoriti u kvadrat razlike.

Zatim morate pronaći tačke u kojima izraz poprima nulte vrijednosti i označiti ih na brojevnoj liniji. U određenom slučaju, to će biti 0 i 3. Zatim, koristeći metodu intervala, odredite u kojim intervalima x će odgovarati uvjetu nejednakosti.

FSU-ovi mogu biti korisni prilikom izvođenja neke kalkulacije bez pomoći kalkulatora:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Osim toga, faktoring izraza, možete lako smanjiti razlomke i pojednostaviti različite algebarske izraze.

Primjeri zadataka za 7-8 razred

U zaključku ćemo analizirati i riješiti dva zadatka o korištenju skraćenih formula za množenje u algebri.

Zadatak 1. Pojednostavite izraz:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Rješenje. Uslov zadatka zahteva pojednostavljenje izraza, odnosno otvaranje zagrada, izvođenje operacija množenja i stepenovanja, kao i dovođenje svih sličnih pojmova. Uvjetno podijelimo izraz na tri dijela (prema broju pojmova) i otvorimo zagrade jednu po jednu, koristeći FSU gdje je to moguće.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(kvadrat sume);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(razlika kvadrata);
• U posljednjem terminu trebate pomnožiti: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Zamenimo dobijene rezultate u originalni izraz:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Uzimajući u obzir znakove, otvorićemo zagrade i predstaviti slične pojmove:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Zadatak 2. Riješite jednačinu koja sadrži nepoznatu k na 5. stepen:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Rješenje. U ovom slučaju potrebno je koristiti FSU i metodu grupiranja. Posljednji i pretposljednji termin potrebno je premjestiti na desnu stranu identiteta.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Zajednički faktor se izvodi sa desne i lijeve strane (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Sve se prenosi na lijevu stranu jednačine tako da 0 ostaje na desnoj strani:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Opet je potrebno izvaditi zajednički faktor:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Iz prvog dobijenog faktora možemo izvesti k. Prema kratkoj formuli množenja, drugi faktor će biti identično jednak (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Koristeći formulu razlike kvadrata:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Budući da je proizvod jednak 0 ako je barem jedan njegov faktor jednak nuli, pronalaženje svih korijena jednadžbe nije teško:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Na temelju ilustrativnih primjera možete razumjeti kako zapamtiti formule, njihove razlike, a također riješiti nekoliko praktičnih problema koristeći FSU. Zadaci su jednostavni i ne bi trebalo biti poteškoća u njihovom izvršavanju.