Odredite duljinu velike osi elipsoida. Linije drugog reda. Elipsa i njezina kanonska jednadžba. Krug

11.1. Osnovni koncepti

Razmotrimo linije definirane jednadžbama drugog stupnja u odnosu na trenutne koordinate

Koeficijenti jednadžbe su realni brojevi, ali barem jedan od brojeva A, B ili C nije nula. Takve linije nazivamo linijama (krivuljama) drugog reda. U nastavku će se utvrditi da jednadžba (11.1) definira kružnicu, elipsu, hiperbolu ili parabolu na ravnini. Prije nego prijeđemo na ovu tvrdnju, proučimo svojstva navedenih krivulja.

11.2. Krug

Najjednostavnija krivulja drugog reda je kružnica. Prisjetimo se da je kružnica polumjera R sa središtem u točki skup svih točaka M ravnine koje zadovoljavaju uvjet . Neka točka u pravokutnom koordinatnom sustavu ima koordinate x 0, y 0 i - proizvoljna točka na kružnici (vidi sl. 48).

Tada iz uvjeta dobijemo jednadžbu

(11.2)

Jednadžbu (11.2) zadovoljavaju koordinate bilo koje točke na danoj kružnici, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje točke koja ne leži na kružnici.

Jednadžba (11.2) naziva se kanonska jednadžba kruga

Konkretno, postavljajući i , dobivamo jednadžbu kruga sa središtem u ishodištu .

Kružna jednadžba (11.2) nakon jednostavnih transformacija poprimit će oblik . Uspoređujući ovu jednadžbu s općom jednadžbom (11.1) krivulje drugog reda, lako je uočiti da su za jednadžbu kružnice zadovoljena dva uvjeta:

1) koeficijenti za x 2 i y 2 su međusobno jednaki;

2) ne postoji član koji sadrži umnožak xy trenutnih koordinata.

Razmotrimo inverzni problem. Stavljajući vrijednosti i u jednadžbu (11.1), dobivamo

Transformirajmo ovu jednadžbu:

(11.4)

Slijedi da jednadžba (11.3) definira kružnicu pod uvjetom . Njegovo središte je u točki , i radijus

.

Ako , tada jednadžba (11.3) ima oblik

.

Zadovoljavaju ga koordinate jedne točke . U ovom slučaju kažu: "krug je degenerirao u točku" (ima polumjer nula).

Ako , tada jednadžba (11.4), a time i ekvivalentna jednadžba (11.3), neće definirati nikakvu liniju, budući da je desna strana jednadžbe (11.4) negativna, a lijeva nije negativna (recimo: "zamišljena kružnica").

11.3. Elipsa

Kanonska jednadžba elipse

Elipsa je skup svih točaka ravnine, zbroj udaljenosti od svake od njih do dviju zadanih točaka te ravnine, tzv. trikovi , je konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.

Označimo fokuse sa F 1 I F 2, udaljenost između njih je 2 c, a zbroj udaljenosti od proizvoljne točke elipse do žarišta - u 2 a(vidi sliku 49). Po definiciji 2 a > 2c, tj. a > c.

Za izvođenje jednadžbe elipse odabiremo koordinatni sustav tako da žarišta F 1 I F 2 ležao na osi, a ishodište se poklapalo sa sredinom segmenta F 1 F 2. Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: i .

Dopustiti biti proizvoljna točka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.

Ovo je, u biti, jednadžba elipse.

Pretvorimo jednadžbu (11.5) u jednostavniji oblik na sljedeći način:

Jer a>S, To . Stavimo

(11.6)

Tada će posljednja jednadžba poprimiti oblik ili

(11.7)

Može se dokazati da je jednadžba (11.7) ekvivalentna izvornoj jednadžbi. To se zove kanonska jednadžba elipse .

Elipsa je krivulja drugog reda.

Proučavanje oblika elipse pomoću njezine jednadžbe

Odredimo oblik elipse pomoću njezine kanonske jednadžbe.

1. Jednadžba (11.7) sadrži x i y samo u parnim potencijama, pa ako točka pripada elipsi, tada joj pripadaju i točke ,,. Iz toga slijedi da je elipsa simetrična u odnosu na osi i , kao i u odnosu na točku koja se naziva središtem elipse.

2. Odredite sjecišta elipse s koordinatnim osima. Stavljajući , nalazimo dvije točke i , u kojima os siječe elipsu (vidi sliku 50). Stavljajući u jednadžbu (11.7) , nalazimo točke presjeka elipse s osi: i . Bodovi A 1 , A 2 , B 1, B 2 se zovu vrhovi elipse. Segmenti A 1 A 2 I B 1 B 2, kao i njihove duljine 2 a i 2 b nazivaju se prema tome velike i male osi elipsa. Brojke a I b nazivaju se velikim odnosno malim osovinske osovine elipsa.

3. Iz jednadžbe (11.7) slijedi da svaki član na lijevoj strani ne prelazi jedinicu, tj. odvijaju se nejednakosti i ili i. Prema tome, sve točke elipse leže unutar pravokutnika kojeg čine ravne linije.

4. U jednadžbi (11.7) zbroj nenegativnih članova i jednak je jedan. Prema tome, kako se jedan član povećava, drugi će se smanjivati, tj. ako se povećava, smanjuje se i obrnuto.

Iz navedenog proizlazi da elipsa ima oblik prikazan na sl. 50 (ovalna zatvorena krivulja).

Više informacija o elipsi

Oblik elipse ovisi o omjeru. Kada se elipsa pretvori u krug, jednadžba elipse (11.7) poprima oblik . Omjer se često koristi za karakterizaciju oblika elipse. Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluosi elipse naziva se ekscentričnost elipse, a o6o se označava slovom ε ("epsilon"):

sa 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Ovo pokazuje da što je manji ekscentricitet elipse, to će elipsa biti manje spljoštena; ako postavimo ε = 0, tada se elipsa pretvara u kružnicu.

Neka je M(x;y) proizvoljna točka elipse sa žarištima F 1 i F 2 (vidi sliku 51). Duljine odsječaka F 1 M = r 1 i F 2 M = r 2 nazivaju se žarišnim radijusima točke M. Očito,

Formule vrijede

Izravne linije se nazivaju

Teorem 11.1. Ako je udaljenost od proizvoljne točke elipse do nekog fokusa, d je udaljenost od iste točke do direktrise koja odgovara ovom fokusu, tada je omjer konstantna vrijednost jednaka ekscentričnosti elipse:

Iz jednakosti (11.6) slijedi da je . Ako, tada jednadžba (11.7) definira elipsu čija velika os leži na osi Oy, a mala os na osi Ox (vidi sliku 52). Fokusi takve elipse su u točkama i , gdje .

11.4. Hiperbola

Jednadžba kanonske hiperbole

Hiperbola je skup svih točaka ravnine, modul razlike udaljenosti od svake od njih do dvije zadane točke ove ravnine, tzv. trikovi , je konstantna vrijednost manja od udaljenosti između žarišta.

Označimo fokuse sa F 1 I F 2 udaljenost između njih je 2s, i modul razlike udaljenosti od svake točke hiperbole do žarišta kroz 2a. A-priorat 2a < 2s, tj. a < c.

Za izvođenje jednadžbe hiperbole odabiremo koordinatni sustav tako da žarišta F 1 I F 2 ležao na osi, a ishodište se poklapalo sa sredinom segmenta F 1 F 2(vidi sliku 53). Tada će žarišta imati koordinate i

Neka bude proizvoljna točka hiperbole. Zatim, prema definiciji hiperbole ili , tj. Nakon pojednostavljenja, kao što je učinjeno prilikom izvođenja jednadžbe elipse, dobivamo kanonska jednadžba hiperbole

(11.9)

(11.10)

Hiperbola je pravac drugog reda.

Proučavanje oblika hiperbole pomoću njezine jednadžbe

Odredimo oblik hiperbole pomoću njezine kakonske jednadžbe.

1. Jednadžba (11.9) sadrži x i y samo u parnim potencijama. Prema tome, hiperbola je simetrična prema osi i , kao i prema točki, koja se naziva središte hiperbole.

2. Odredi točke presjeka hiperbole s koordinatnim osima. Stavljajući u jednadžbu (11.9), nalazimo dvije točke sjecišta hiperbole s osi: i. Stavljajući (11.9), dobivamo , što ne može biti. Dakle, hiperbola ne siječe os Oy.

Bodovi se zovu vrhovi hiperbole i segment

realna os , segment linije - prava poluos hiperbola.

Segment koji povezuje točke naziva se imaginarna os , broj b - zamišljena poluos . Pravokutnik sa stranicama 2a I 2b nazvao osnovni pravokutnik hiperbole .

3. Iz jednadžbe (11.9) slijedi da umanjenik nije manji od jedan, tj. da je ili . To znači da se točke hiperbole nalaze desno od pravca (desni krak hiperbole) i lijevo od pravca (lijevi krak hiperbole).

4. Iz jednadžbe (11.9) hiperbole jasno je da kada se povećava, povećava se. To slijedi iz činjenice da razlika održava konstantnu vrijednost jednaku jedan.

Iz navedenog proizlazi da hiperbola ima oblik prikazan na slici 54 (krivulja koja se sastoji od dvije neograničene grane).

Asimptote hiperbole

Pravac L naziva se asimptota neograničena krivulja K, ako udaljenost d od točke M krivulje K do ove ravne linije teži nuli kada je udaljenost točke M duž krivulje K od ishodišta neograničena. Slika 55 daje ilustraciju koncepta asimptote: ravna linija L je asimptota za krivulju K.

Pokažimo da hiperbola ima dvije asimptote:

(11.11)

Budući da su ravne linije (11.11) i hiperbola (11.9) simetrične u odnosu na koordinatne osi, dovoljno je uzeti u obzir samo one točke navedenih linija koje se nalaze u prvoj četvrtini.

Uzmimo točku N na pravoj liniji koja ima istu apscisu x kao točka na hiperboli (vidi sliku 56) i pronađite razliku ΜΝ između ordinata pravca i grane hiperbole:

Kao što vidite, kako x raste, nazivnik razlomka raste; brojnik je stalna vrijednost. Prema tome, duljina segmenta ΜΝ teži nuli. Kako je MΝ veće od udaljenosti d od točke M do pravca, tada d teži nuli. Dakle, linije su asimptote hiperbole (11.9).

Prilikom konstruiranja hiperbole (11.9), preporučljivo je prvo konstruirati glavni pravokutnik hiperbole (vidi sliku 57), povući ravne linije koje prolaze kroz suprotne vrhove ovog pravokutnika - asimptote hiperbole i označiti vrhove i , od hiperbole.

Jednadžba jednakostranične hiperbole.

čije su asimptote koordinatne osi

Hiperbola (11.9) se naziva jednakostranična ako su joj poluosi jednake (). Njegova kanonska jednadžba

(11.12)

Asimptote jednakostranične hiperbole imaju jednadžbe i stoga su simetrale koordinatnih kutova.

Razmotrimo jednadžbu ove hiperbole u novom koordinatnom sustavu (vidi sl. 58), dobivenom iz starog zakretanjem koordinatnih osi za kut. Koristimo formule za rotiranje koordinatnih osi:

Zamjenjujemo vrijednosti x i y u jednadžbu (11.12):

Jednadžba jednakostranične hiperbole, kojoj su osi Ox i Oy asimptote, imat će oblik .

Više informacija o hiperboli

Ekscentričnost hiperbola (11.9) je omjer udaljenosti između žarišta i vrijednosti stvarne osi hiperbole, označena s ε:

Budući da je za hiperbolu , ekscentricitet hiperbole veći od jedan: . Ekscentričnost karakterizira oblik hiperbole. Doista, iz jednakosti (11.10) slijedi da je i.e. I .

Iz ovoga se vidi da što je manji ekscentricitet hiperbole, to je manji omjer njezinih poluosi, pa je stoga njezin glavni pravokutnik više izdužen.

Ekscentricitet jednakostranične hiperbole je . Stvarno,

Žarišni radijusi I za točke desne grane hiperbole imaju oblik i , a za lijevu granu - I .

Ravne linije se nazivaju direktrise hiperbole. Budući da je za hiperbolu ε > 1, tada . To znači da se desna direktrisa nalazi između središta i desnog vrha hiperbole, lijeva - između središta i lijevog vrha.

Direktrise hiperbole imaju isto svojstvo kao i direktrise elipse.

Krivulja definirana jednadžbom također je hiperbola, čija se realna os 2b nalazi na osi Oy, a imaginarna os 2 a- na osi Ox. Na slici 59 prikazano je isprekidanom linijom.

Očito je da hiperbole imaju zajedničke asimptote. Takve se hiperbole nazivaju konjugiranim.

11.5. Parabola

Jednadžba kanonske parabole

Parabola je skup svih točaka ravnine, od kojih je svaka jednako udaljena od dane točke, koja se naziva žarište, i dane linije, koja se naziva direktrisa. Udaljenost od fokusa F do direktrise naziva se parametar parabole i označava se s p (p > 0).

Za izvođenje jednadžbe parabole odabiremo koordinatni sustav Oxy tako da os Ox prolazi kroz žarište F okomito na direktrisu u smjeru od direktrise prema F, a ishodište koordinata O nalazi se u sredini između fokus i direktrisa (vidi sliku 60). U odabranom sustavu fokus F ima koordinate , a jednadžba direktrise ima oblik , odnosno .

1. U jednadžbi (11.13) varijabla y pojavljuje se u parnom stupnju, što znači da je parabola simetrična u odnosu na os Ox; Ox os je os simetrije parabole.

2. Kako je ρ > 0, iz (11.13) slijedi . Prema tome, parabola se nalazi desno od osi Oy.

3. Kada imamo y = 0. Dakle parabola prolazi kroz ishodište.

4. Kako x raste neograničeno, modul y također raste neograničeno. Parabola ima oblik (oblik) prikazan na slici 61. Točku O(0; 0) nazivamo vrhom parabole, odsječak FM = r žarišnim radijusom točke M.

Jednadžbe , , ( p>0) također definiraju parabole, one su prikazane na slici 62

Lako je pokazati da je graf kvadratnog trinoma, gdje su , B i C bilo koji realni brojevi, parabola u smislu svoje gornje definicije.

11.6. Opća jednadžba pravaca drugog reda

Jednadžbe krivulja drugog reda s osi simetrije paralelne s koordinatnim osima

Nađimo najprije jednadžbu elipse sa središtem u točki, čije su osi simetrije paralelne s koordinatnim osima Ox i Oy, a poluosi jednake a I b. Postavimo u središte elipse O 1 početak novog koordinatnog sustava, čije su osi i poluosi a I b(vidi sliku 64):

Konačno, parabole prikazane na slici 65 imaju odgovarajuće jednadžbe.

Jednadžba

Jednadžbe elipse, hiperbole, parabole i jednadžbe kružnice nakon transformacija (otvorite zagrade, pomaknite sve članove jednadžbe na jednu stranu, dovedite slične članove, uvedite nove oznake za koeficijente) mogu se napisati pomoću jedne jednadžbe oblik

gdje koeficijenti A i C nisu istovremeno jednaki nuli.

Postavlja se pitanje: određuje li svaka jednadžba oblika (11.14) jednu od krivulja (kružnicu, elipsu, hiperbolu, parabolu) drugog reda? Odgovor daje sljedeći teorem.

Teorem 11.2. Jednadžba (11.14) uvijek definira: ili krug (za A = C), ili elipsu (za A C > 0), ili hiperbolu (za A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Opća jednadžba drugog reda

Razmotrimo sada opću jednadžbu drugog stupnja s dvije nepoznanice:

Razlikuje se od jednadžbe (11.14) po prisutnosti člana s umnoškom koordinata (B¹ 0). Moguće je rotiranjem koordinatnih osi za kut a transformirati ovu jednadžbu tako da izostane član s umnoškom koordinata.

Korištenje formula za rotaciju osi

Izrazimo stare koordinate kroz nove:

Izaberimo kut a tako da koeficijent za x" · y" postane nula, tj. da vrijedi jednakost

Dakle, kada se osi zakrenu za kut a koji zadovoljava uvjet (11.17), jednadžba (11.15) se svodi na jednadžbu (11.14).

Zaključak: opća jednadžba drugog reda (11.15) definira na ravnini (osim slučajeva degeneracije i raspada) sljedeće krivulje: kružnicu, elipsu, hiperbolu, parabolu.

Napomena: Ako je A = C, tada jednadžba (11.17) postaje besmislena. U ovom slučaju je cos2α = 0 (vidi (11.16)), tada je 2α = 90°, tj. α = 45°. Dakle, kada je A = C, koordinatni sustav treba zakrenuti za 45°.

Definicija 7.1. Skup svih točaka na ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dviju fiksnih točaka F 1 i F 2 zadana konstantna vrijednost naziva se elipsa.

Definicija elipse daje sljedeću metodu njezine geometrijske konstrukcije. Fiksiramo dvije točke F 1 i F 2 na ravnini, a nenegativnu konstantnu vrijednost označavamo s 2a. Neka je udaljenost između točaka F 1 i F 2 2c. Zamislimo da je neistegljiva nit duljine 2a fiksirana u točkama F 1 i F 2, na primjer, s dvije igle. Jasno je da je to moguće samo za a ≥ c. Nakon što ste povukli konac olovkom, nacrtajte liniju koja će biti elipsa (slika 7.1).

Dakle, opisani skup nije prazan ako je a ≥ c. Kada je a = c, elipsa je isječak s krajevima F 1 i F 2, a kada je c = 0, tj. Ako se fiksne točke navedene u definiciji elipse poklapaju, to je kružnica polumjera a. Odbacujući ove degenerirane slučajeve, dalje ćemo pretpostaviti, u pravilu, da je a > c > 0.

Fiksne točke F 1 i F 2 u definiciji 7.1 elipse (vidi sl. 7.1) nazivaju se žarišta elipse, udaljenost između njih, označena s 2c, - žarišna duljina, a odsječci F 1 M i F 2 M koji spajaju proizvoljnu točku M na elipsi s njezinim žarištima su žarišni radijusi.

Oblik elipse u potpunosti je određen žarišnom duljinom |F 1 F 2 | = 2c i parametar a, te njegov položaj na ravnini - par točaka F 1 i F 2.

Iz definicije elipse proizlazi da je simetrična u odnosu na liniju koja prolazi kroz žarišta F 1 i F 2, kao i u odnosu na liniju koja dijeli segment F 1 F 2 na pola i okomita je na nju. (Slika 7.2, a). Ove linije se nazivaju osi elipse. Točka O njihovog sjecišta je centar simetrije elipse, a zove se središte elipse, i točke sjecišta elipse s osi simetrije (točke A, B, C i D na slici 7.2, a) - vrhovi elipse.

Broj a se zove velika poluos elipse, i b = √(a 2 - c 2) - njegov sporedna os. Lako je vidjeti da je za c > 0 velika poluos a jednaka udaljenosti od središta elipse do onih njezinih vrhova koji su na istoj osi sa žarištima elipse (vrhovi A i B na slici 7.2, a), a mala poluos b jednaka je udaljenosti od središnje elipse do njezina druga dva vrha (vrhovi C i D na slici 7.2, a).

Jednadžba elipse. Promotrimo neku elipsu na ravnini sa žarištima u točkama F 1 i F 2, velika os 2a. Neka je 2c žarišna duljina, 2c = |F 1 F 2 |

Izaberimo pravokutni koordinatni sustav Oxy na ravnini tako da mu se ishodište poklapa sa središtem elipse, a žarišta na x-os(Slika 7.2, b). Takav koordinatni sustav nazivamo kanonski za predmetnu elipsu, a pripadajuće varijable su kanonski.

U odabranom koordinatnom sustavu žarišta imaju koordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Koristeći formulu za udaljenost između točaka, zapisujemo uvjet |F 1 M| + |F 2 M| = 2a u koordinatama:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ova jednadžba je nezgodna jer sadrži dva kvadratna radikala. Pa hajdemo ga transformirati. Pomaknimo drugi radikal u jednadžbi (7.2) na desnu stranu i kvadriramo ga:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih pojmova, dobivamo

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

gdje je ε = c/a. Ponavljamo operaciju kvadriranja za uklanjanje drugog radikala: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ili, uzimajući u obzir vrijednost unesenog parametra ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Kako je a 2 - c 2 = b 2 > 0, tada

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Jednadžbu (7.4) zadovoljavaju koordinate svih točaka koje leže na elipsi. Ali pri izvođenju ove jednadžbe korištene su neekvivalentne transformacije izvorne jednadžbe (7.2) - dva kvadriranja koja uklanjaju kvadratne radikale. Kvadriranje jednadžbe je ekvivalentna transformacija ako obje strane imaju veličine s istim predznakom, ali to nismo provjerili u našim transformacijama.

Provjeru ekvivalencije transformacija možemo izbjeći ako uzmemo u obzir sljedeće. Par točaka F 1 i F 2, |F 1 F 2 | = 2c, na ravnini definira familiju elipsa sa žarištima u tim točkama. Svaka točka ravnine, osim točaka segmenta F 1 F 2, pripada nekoj elipsi navedene obitelji. U ovom slučaju ne sijeku se dvije elipse, budući da zbroj žarišnih polumjera jednoznačno određuje određenu elipsu. Dakle, opisana familija elipsa bez sjecišta pokriva cijelu ravninu, osim točaka segmenta F 1 F 2. Promotrimo skup točaka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (7.4) sa zadanom vrijednošću parametra a. Može li se taj skup rasporediti na nekoliko elipsa? Neke od točaka skupa pripadaju elipsi s velikom poluosi a. Neka u tom skupu postoji točka koja leži na elipsi s velikom poluosi a. Tada koordinate te točke slijede jednadžbu

oni. jednadžbe (7.4) i (7.5) imaju zajednička rješenja. Međutim, lako je provjeriti da sustav

za ã ≠ a nema rješenja. Da biste to učinili, dovoljno je isključiti, na primjer, x iz prve jednadžbe:

koja nakon transformacija dovodi do jednadžbe

koji nema rješenja za ã ≠ a, jer . Dakle, (7.4) je jednadžba elipse s velikom poluosi a > 0 i malom poluosi b =√(a 2 - c 2) > 0. Ona se naziva kanonska jednadžba elipse.

Prikaz elipse. Geometrijska metoda konstruiranja elipse o kojoj se govori gore daje dovoljnu ideju o izgledu elipse. Ali oblik elipse također se može proučavati pomoću njezine kanonske jednadžbe (7.4). Na primjer, možete, uz pretpostavku da je y ≥ 0, izraziti y kroz x: y = b√(1 - x 2 /a 2) i, nakon proučavanja ove funkcije, izgraditi njezin graf. Postoji još jedan način za konstruiranje elipse. Kružnica polumjera a sa središtem u ishodištu kanonskog koordinatnog sustava elipse (7.4) opisana je jednadžbom x 2 + y 2 = a 2. Ako se komprimira s koeficijentom a/b > 1 duž y-os, tada dobivate krivulju koja je opisana jednadžbom x 2 + (ya/b) 2 = a 2, tj. elipsu.

Napomena 7.1. Ako se ista kružnica sabije faktorom a/b

Ekscentricitet elipse. Omjer žarišne duljine elipse i njene velike osi naziva se ekscentričnost elipse i označava se sa ε. Za danu elipsu

kanonska jednadžba (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Ako su u (7.4) parametri a i b povezani nejednakošću a

Kada je c = 0, kada se elipsa pretvori u krug i ε = 0. U ostalim slučajevima, 0

Jednadžba (7.3) je ekvivalentna jednadžbi (7.4), budući da su jednadžbe (7.4) i (7.2) ekvivalentne. Stoga je i jednadžba elipse (7.3). Osim toga, relacija (7.3) je zanimljiva jer daje jednostavnu formulu bez radikala za duljinu |F 2 M| jedan od žarišnih polumjera točke M(x; y) elipse: |F 2 M| = a + εx.

Slična formula za drugi žarišni polumjer može se dobiti iz razmatranja simetrije ili ponavljanjem izračuna u kojima se, prije kvadriranja jednadžbe (7.2), prvi radikal prenosi na desnu stranu, a ne drugi. Dakle, za bilo koju točku M(x; y) na elipsi (vidi sliku 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

a svaka od tih jednadžbi je jednadžba elipse.

Primjer 7.1. Nađimo kanonsku jednadžbu elipse s velikom poluosi 5 i ekscentričnosti 0,8 i konstruirajmo je.

Poznavajući veliku poluos elipse a = 5 i ekscentricitet ε = 0,8, naći ćemo njenu malu poluos b. Budući da je b = √(a 2 - c 2) i c = εa = 4, tada je b = √(5 2 - 4 2) = 3. Dakle, kanonička jednadžba ima oblik x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Za konstruiranje elipse prikladno je nacrtati pravokutnik sa središtem u ishodištu kanonskog koordinatnog sustava, čije su stranice paralelne s osima simetrije elipse i jednake njezinim odgovarajućim osima (Sl. 7.4). Ovaj pravokutnik siječe s

osi elipse u njezinim vrhovima A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), a u nju je upisana i sama elipsa. Na sl. 7.4 također prikazuje žarišta F 1.2 (±4; 0) elipse.

Geometrijska svojstva elipse. Prepišimo prvu jednadžbu u (7.6) kao |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Primijetimo da je vrijednost a/ε - x za a > c pozitivna, jer fokus F 1 ne pripada elipsi. Ova vrijednost predstavlja udaljenost do okomite crte d: x = a/ε od točke M(x; y) koja leži lijevo od ove crte. Jednadžba elipse može se napisati kao

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

To znači da se ta elipsa sastoji od onih točaka M(x; y) ravnine za koje je omjer duljine žarišnog radijusa F 1 M i udaljenosti do pravca d konstantna vrijednost jednaka ε (sl. 7.5).

Ravna linija d ima "dvostruku" - okomitu ravnu liniju d, simetričnu na d u odnosu na središte elipse, koja je dana jednadžbom x = -a/ε. S obzirom na d, elipsa je opisana u na isti način kao u odnosu na d. Oba pravca d i d" se zovu direktrise elipse. Direktrise elipse okomite su na os simetrije elipse na kojoj se nalaze njezini fokusi, a udaljene su od središta elipse na udaljenosti a/ε = a 2 /c (vidi sl. 7.5).

Udaljenost p od direktrise do njoj najbližeg žarišta naziva se žarišni parametar elipse. Ovaj parametar je jednak

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Elipsa ima još jedno važno geometrijsko svojstvo: žarišni polumjeri F 1 M i F 2 M sklapaju jednake kutove s tangentom na elipsu u točki M (slika 7.6).

Ovo svojstvo ima jasno fizičko značenje. Ako je izvor svjetlosti postavljen u fokus F 1, tada će zraka koja izlazi iz tog fokusa nakon refleksije od elipse ići duž drugog žarišnog radijusa, jer će nakon refleksije biti pod istim kutom u odnosu na krivulju kao prije refleksije. Dakle, sve zrake koje izlaze iz fokusa F 1 bit će koncentrirane u drugom fokusu F 2 i obrnuto. Na temelju ovog tumačenja ovo se svojstvo naziva optičko svojstvo elipse.

Linije drugog reda.
Elipsa i njezina kanonska jednadžba. Krug

Nakon temeljitog proučavanja ravne linije u ravnini Nastavljamo proučavati geometriju dvodimenzionalnog svijeta. Ulozi su dvostruki i pozivam vas da posjetite slikovitu galeriju elipsa, hiperbola, parabola, tipičnih predstavnika linije drugog reda. Ekskurzija je već počela, a prvo kratke informacije o cjelokupnoj izložbi na različitim katovima muzeja:

Pojam algebarskog pravca i njegov poredak

Pravac na ravnini naziva se algebarski, ako je u afini koordinatni sustav njegova jednadžba ima oblik , gdje je polinom koji se sastoji od članova oblika ( – realni broj, – nenegativni cijeli brojevi).

Kao što možete vidjeti, jednadžba algebarske linije ne sadrži sinuse, kosinuse, logaritme i drugi funkcionalni beau monde. Samo X i Y su unutra nenegativni cijeli brojevi stupnjeva.

Redoslijed redova jednaka maksimalnoj vrijednosti pojmova uključenih u njega.

Prema odgovarajućem teoremu, pojam algebarskog pravca, kao i njegov poredak, ne ovise o izboru afini koordinatni sustav, stoga, radi lakšeg postojanja, pretpostavljamo da se svi sljedeći izračuni odvijaju u Kartezijeve koordinate.

Opća jednadžba linija drugog reda ima oblik , gdje je – proizvoljni realni brojevi (Uobičajeno je pisati ga faktorom dva), a koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli.

Ako je , tada se jednadžba pojednostavljuje na , a ako koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli, onda je to točno opća jednadžba “ravne” linije, koji predstavlja linija prvog reda.

Mnogi su shvatili značenje novih pojmova, ali, ipak, da bismo 100% savladali gradivo, guramo prste u utičnicu. Da biste odredili redoslijed redaka, morate ponoviti svi uvjeti njegove jednadžbe i pronaći za svaku od njih zbroj stupnjeva ulazne varijable.

Na primjer:

izraz sadrži “x” na 1. potenciju;
izraz sadrži "Y" na 1. potenciju;
U članu nema varijabli, pa je zbroj njihovih potencija jednak nuli.

Sada shvatimo zašto jednadžba definira liniju drugi narudžba:

izraz sadrži "x" na 2. potenciju;
zbrojnik ima zbroj potencija varijabli: 1 + 1 = 2;
izraz sadrži "Y" na 2. potenciju;
svi ostali uvjeti - manje stupnjeva.

Najveća vrijednost: 2

Ako dodatno dodamo, recimo, našoj jednadžbi, onda će ona već odrediti linija trećeg reda. Očito je da opći oblik jednadžbe linije 3. reda sadrži "puni skup" članova, a zbroj potencija varijabli u kojem je jednak tri:
, gdje koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli.

U slučaju da dodate jedan ili više prikladnih pojmova koji sadrže , onda ćemo već razgovarati o linije 4. reda itd.

Morat ćemo se više puta susresti s algebarskim pravcima 3., 4. i viših reda, osobito pri upoznavanju s polarni koordinatni sustav.

Ipak, vratimo se općoj jednadžbi i prisjetimo se njezinih najjednostavnijih školskih varijacija. Kao primjeri javljaju se parabola, čija se jednadžba lako može svesti na opći oblik, i hiperbola s ekvivalentnom jednadžbom. Ipak, nije sve tako glatko...

Značajan nedostatak opće jednadžbe je to što gotovo uvijek nije jasno koju liniju definira. Čak i u najjednostavnijem slučaju, nećete odmah shvatiti da je to hiperbola. Takvi su rasporedi dobri samo na maskenbalu, pa se tipičan problem razmatra u kolegiju analitičke geometrije dovodeći jednadžbu linije 2. reda u kanonski oblik.

Što je kanonski oblik jednadžbe?

Ovo je općeprihvaćeni standardni oblik jednadžbe, kada u roku od nekoliko sekundi postane jasno koji geometrijski objekt definira. Osim toga, kanonski oblik je vrlo prikladan za rješavanje mnogih praktičnih problema. Tako npr. prema kanonskoj jednadžbi "ravna" ravna, prvo, odmah je jasno da je ovo ravna linija, a drugo, točka koja joj pripada i vektor smjera su lako vidljivi.

Očito je da bilo koji linija 1. reda je ravna linija. Na drugom katu nas više ne čeka stražar, već puno raznolikije društvo od devet kipova:

Klasifikacija linija drugog reda

Korištenjem posebnog skupa akcija, svaka jednadžba linije drugog reda reducira se na jedan od sljedećih oblika:

( i su pozitivni realni brojevi)

1) – kanonska jednadžba elipse;

2) – kanonska jednadžba hiperbole;

3) – kanonska jednadžba parabole;

4) – zamišljena elipsa;

5) – par linija koje se sijeku;

6) – par zamišljena linije koje se sijeku (s jednom važećom točkom sjecišta u ishodištu);

7) – par paralelnih pravaca;

8) – par zamišljena paralelne linije;

9) – par podudarnih linija.

Neki čitatelji mogu imati dojam da je popis nepotpun. Na primjer, u točki br. 7, jednadžba specificira par direktno, paralelan s osi, te se postavlja pitanje: gdje je jednadžba koja određuje pravce paralelne s osi ordinata? Odgovori ne smatra se kanonskim. Ravne linije predstavljaju isti standardni slučaj, zakrenut za 90 stupnjeva, a dodatni unos u klasifikaciji je suvišan, jer ne donosi ništa bitno novo.

Dakle, postoji devet i samo devet različitih tipova vodova 2. reda, ali u praksi su najčešći elipsa, hiperbola i parabola.

Pogledajmo prvo elipsu. Kao i obično, fokusiram se na one točke koje su od velike važnosti za rješavanje problema, a ako trebate detaljan izvod formula, dokaz teorema, pogledajte, na primjer, udžbenik Bazylev/Atanasyan ili Aleksandrov.

Elipsa i njezina kanonska jednadžba

Pravopis... molimo vas da ne ponavljate pogreške nekih korisnika Yandexa koje zanima "kako izgraditi elipsu", "razlika između elipse i ovala" i "ekscentričnost elipse".

Kanonska jednadžba elipse ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi, i . Kasnije ću formulirati samu definiciju elipse, ali sada je vrijeme da se odmorimo od pričanja i riješimo uobičajeni problem:

Kako izgraditi elipsu?

Da, samo uzmi i samo nacrtaj. Zadatak se često javlja, a značajan dio učenika se ne snalazi ispravno s crtežom:

Primjer 1

Konstruirajte elipsu zadanu jednadžbom

Riješenje: Prvo, dovedimo jednadžbu u kanonski oblik:

Zašto donijeti? Jedna od prednosti kanonske jednadžbe je ta što vam omogućuje trenutno određivanje vrhovi elipse, koji se nalaze na točkama. Lako je vidjeti da koordinate svake od ovih točaka zadovoljavaju jednadžbu.

U ovom slučaju :


Segment linije nazvao glavna os elipsa;
segment linije – sporedna os;
broj nazvao polu-glavno vratilo elipsa;
broj – sporedna os.
u našem primjeru: .

Da biste brzo zamislili kako određena elipsa izgleda, samo pogledajte vrijednosti "a" i "be" njene kanonske jednadžbe.

Sve je u redu, glatko i lijepo, ali postoji jedna zamjerka: crtež sam napravio pomoću programa. I možete napraviti crtež pomoću bilo koje aplikacije. No, u surovoj stvarnosti na stolu stoji kockasti papirić, a miševi nam plešu u krug po rukama. Ljudi s umjetničkim talentom, naravno, mogu raspravljati, ali imate i miševa (iako manjih). Nije uzalud čovječanstvo izumilo ravnalo, šestar, kutomjer i druge jednostavne uređaje za crtanje.

Iz tog razloga, malo je vjerojatno da ćemo moći točno nacrtati elipsu poznavajući samo vrhove. U redu je ako je elipsa mala, na primjer, s poluosima. Alternativno, možete smanjiti mjerilo i, sukladno tome, dimenzije crteža. Ali općenito je vrlo poželjno pronaći dodatne bodove.

Postoje dva pristupa konstruiranju elipse - geometrijski i algebarski. Ne volim konstrukciju pomoću šestara i ravnala jer algoritam nije najkraći i crtež je znatno pretrpan. U slučaju nužde, molimo pogledajte udžbenik, ali u stvarnosti je mnogo racionalnije koristiti alate algebre. Iz jednadžbe elipse u nacrtu brzo izražavamo:

Jednadžba se tada rastavlja na dvije funkcije:
– definira gornji luk elipse;
– definira donji luk elipse.

Elipsa definirana kanonskom jednadžbom je simetrična u odnosu na koordinatne osi, kao i u odnosu na ishodište. I to je sjajno - simetrija je gotovo uvijek preteča besplatnih proizvoda. Očito je dovoljno pozabaviti se 1. koordinatnom četvrtinom, pa nam treba funkcija . Moli se da se nađu dodatne točke s apscisama . Dodirnimo tri SMS poruke na kalkulatoru:

Naravno, također je lijepo da ako se napravi ozbiljna pogreška u izračunima, to će odmah postati jasno tijekom izgradnje.

Označimo točke na crtežu (crveno), simetrične točke na preostalim lukovima (plavo) i pažljivo spojimo cijelu tvrtku linijom:


Bolje je početnu skicu nacrtati vrlo tanko, a tek onda pritisnuti olovkom. Rezultat bi trebala biti sasvim pristojna elipsa. Usput, želite li znati koja je ova krivulja?

Definicija elipse. Fokusi elipse i ekscentricitet elipse

Elipsa je poseban slučaj ovala. Riječ "oval" ne treba shvatiti u filistarskom smislu ("dijete je nacrtalo oval" itd.). Ovo je matematički pojam koji ima detaljnu formulaciju. Svrha ove lekcije nije razmatranje teorije ovala i njihovih različitih vrsta, kojima se praktički ne pridaje pozornost u standardnom tečaju analitičke geometrije. I, sukladno aktualnijim potrebama, odmah prelazimo na strogu definiciju elipse:

Elipsa je skup svih točaka ravnine, od kojih je zbroj udaljenosti do svake od dvije zadane točke, tzv. trikovi elipse, je konstantna veličina, brojčano jednaka duljini velike osi ove elipse: .
U ovom slučaju, udaljenosti između fokusa su manje od ove vrijednosti: .

Sada će sve biti jasnije:

Zamislite da plava točka "putuje" duž elipse. Dakle, bez obzira koju točku elipse uzmemo, zbroj duljina odsječaka uvijek će biti isti:

Uvjerimo se da je u našem primjeru vrijednost zbroja doista jednaka osam. Mentalno stavite točku "um" na desni vrh elipse, zatim: , što je trebalo provjeriti.

Druga metoda crtanja temelji se na definiciji elipse. Viša matematika ponekad je uzrok napetosti i stresa, pa je vrijeme za još jednu sesiju rasterećenja. Uzmite whatman ili veliki list kartona i pričvrstite ga za stol s dva čavla. To će biti trikovi. Zavežite zeleni konac na izbočene glave čavlića i povucite ga olovkom do kraja. Olovka će završiti na određenoj točki koja pripada elipsi. Sada počnite pomicati olovku po listu papira, držeći zelenu nit čvrsto zategnutom. Nastavite s postupkom dok se ne vratite na početnu točku... super... crtež mogu provjeriti liječnik i učitelj =)

Kako pronaći žarište elipse?

U gornjem primjeru prikazao sam "gotove" žarišne točke, a sada ćemo naučiti kako ih izvući iz dubina geometrije.

Ako je elipsa dana kanonskom jednadžbom, tada njeni fokusi imaju koordinate , gdje je udaljenost od svakog žarišta do središta simetrije elipse.

Izračuni su jednostavniji od jednostavnog:

! Specifične koordinate žarišta ne mogu se identificirati sa značenjem "tse"! Ponavljam da je ovo DISTANCE od svakog fokusa do centra(koji se u općem slučaju ne mora nalaziti točno u ishodištu).
Stoga se udaljenost između žarišta također ne može vezati za kanonski položaj elipse. Drugim riječima, elipsa se može premjestiti na drugo mjesto i vrijednost će ostati nepromijenjena, dok će fokusi prirodno promijeniti svoje koordinate. Uzmite to u obzir dok dalje istražujete temu.

Ekscentricitet elipse i njegovo geometrijsko značenje

Ekscentricitet elipse je omjer koji može poprimiti vrijednosti unutar raspona.

U našem slučaju:

Otkrijmo kako oblik elipse ovisi o njezinoj ekscentričnosti. Za ovo popraviti lijevi i desni vrh razmatrane elipse, odnosno vrijednost velike poluosi ostat će konstantna. Tada će formula ekscentriciteta imati oblik: .

Počnimo približavati vrijednost ekscentričnosti jedinici. To je moguće samo ako. Što to znači? ...sjetite se trikova . To znači da će se žarišta elipse "razmaknuti" duž osi apscise do bočnih vrhova. A budući da "zeleni segmenti nisu gumeni", elipsa će se neizbježno početi spljoštavati, pretvarajući se u sve tanju i tanju kobasicu nanizanu na os.

Tako, što je vrijednost ekscentričnosti elipse bliža jedinici, to je elipsa izduženija.

Sada modelirajmo suprotan proces: žarišta elipse hodali jedan prema drugom, približavajući se središtu. To znači da vrijednost “ce” postaje sve manja i, sukladno tome, ekscentricitet teži nuli: .
U ovom slučaju, "zeleni segmenti" će, naprotiv, "postati gužva" i počet će "gurati" liniju elipse gore-dolje.

Tako, Što je vrijednost ekscentričnosti bliža nuli, to je elipsa sličnija... pogledajte granični slučaj kada su žarišta uspješno ponovno ujedinjena u ishodištu:

Krug je poseban slučaj elipse

Doista, u slučaju jednakosti poluosi, kanonska jednadžba elipse poprima oblik , koja refleksno prelazi u jednadžbu kružnice sa središtem u ishodištu radijusa "a", dobro poznatu iz škole.

U praksi se češće koristi zapis s “govorećim” slovom “er”: . Polumjer je duljina segmenta, pri čemu je svaka točka kruga udaljena od središta za udaljenost radijusa.

Imajte na umu da definicija elipse ostaje potpuno točna: žarišta se poklapaju, a zbroj duljina poklapajućih segmenata za svaku točku na kružnici je konstanta. Budući da je udaljenost između žarišta , tada ekscentricitet bilo koje kružnice je nula.

Konstruiranje kruga je jednostavno i brzo, samo koristite kompas. Međutim, ponekad je potrebno saznati koordinate neke od njegovih točaka, u ovom slučaju idemo poznatim putem - dovodimo jednadžbu u veseli Matanov oblik:

– funkcija gornjeg polukruga;
– funkcija donjeg polukruga.

Zatim nalazimo tražene vrijednosti, razlikovati, integrirati i činiti druge dobre stvari.

Članak je, naravno, samo za referencu, ali kako možete živjeti u svijetu bez ljubavi? Kreativni zadatak za samostalno rješavanje

Primjer 2

Sastavite kanoničku jednadžbu elipse ako je poznat njezin fokus i mala poluos (središte je u ishodištu). Pronađite vrhove, dodatne točke i nacrtajte liniju na crtežu. Izračunajte ekscentricitet.

Rješenje i crtež na kraju lekcije

Dodajmo radnju:

Rotirajte i paralelno prevedite elipsu

Vratimo se kanonskoj jednadžbi elipse, naime, stanju čija je misterija mučila radoznale umove od prvog spomena ove krivulje. Pa smo pogledali elipsu , ali nije li moguće u praksi ispuniti jednadžbu ? Uostalom, ovdje se, međutim, čini da je i elipsa!

Ova vrsta jednadžbe je rijetka, ali se susreće. I zapravo definira elipsu. Demistificirajmo:

Kao rezultat konstrukcije, dobivena je naša izvorna elipsa, zakrenuta za 90 stupnjeva. To je, - Ovo nekanonski unos elipsa . Snimiti!- jednadžba ne definira nijednu drugu elipsu, budući da na osi nema točaka (žarišta) koje bi zadovoljile definiciju elipse.

Predavanja iz algebre i geometrije. 1. semestar.

Predavanje 15. Elipsa.

Poglavlje 15. Elipsa.

klauzula 1. Osnovne definicije.

Definicija. Elipsa je GMT ravnine, zbroj udaljenosti do dviju fiksnih točaka ravnine, koje se nazivaju žarišta, konstantna je vrijednost.

Definicija. Udaljenost od proizvoljne točke M ravnine do žarišta elipse naziva se žarišni radijus točke M.

Oznake:
– žarišta elipse,
– žarišni radijusi točke M.

Po definiciji elipse, točka M je točka elipse ako i samo ako
– konstantna vrijednost. Ova konstanta se obično označava kao 2a:

. (1)

primijeti da
.

Prema definiciji elipse, njezini fokusi su fiksne točke, tako da je udaljenost između njih također konstantna vrijednost za danu elipsu.

Definicija. Udaljenost između žarišta elipse naziva se žarišna duljina.

Oznaka:
.

Iz trokuta
slijedi to
, tj.

.

Označimo s b broj jednak
, tj.

. (2)

Definicija. Stav

(3)

naziva se ekscentricitet elipse.

Uvedimo koordinatni sustav na ovoj ravnini koji ćemo nazvati kanonskim za elipsu.

Definicija. Os na kojoj leže žarišta elipse zove se žarišna os.

Konstruirajmo kanonski PDSC za elipsu, vidi sliku 2.

Odaberemo žarišnu os kao apscisnu os, a ordinatnu os povučemo kroz sredinu segmenta
okomito na žarišnu os.

Tada žarišta imaju koordinate
,
.

klauzula 2. Kanonska jednadžba elipse.

Teorema. U kanonskom koordinatnom sustavu za elipsu, jednadžba elipse ima oblik:

. (4)

Dokaz. Dokaz provodimo u dvije faze. U prvoj fazi ćemo dokazati da koordinate bilo koje točke koja leži na elipsi zadovoljavaju jednadžbu (4). U drugoj fazi ćemo dokazati da svako rješenje jednadžbe (4) daje koordinate točke koja leži na elipsi. Odavde će slijediti da jednadžbu (4) zadovoljavaju samo one točke koordinatne ravnine koje leže na elipsi. Iz ovoga i iz definicije jednadžbe krivulje slijedi da je jednadžba (4) jednadžba elipse.

1) Neka je točka M(x, y) točka elipse, tj. zbroj njegovih žarišnih radijusa je 2a:

.

Upotrijebimo formulu za udaljenost između dviju točaka na koordinatnoj ravnini i upotrijebimo ovu formulu za pronalaženje žarišnih polumjera dane točke M:

,
, odakle dobivamo:

Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadriramo je:

Smanjivanjem dobivamo:

Predstavljamo slične, smanjimo za 4 i uklonimo radikal:

.

Kvadratura

Otvorite zagrade i skratite
:

gdje dobivamo:

Koristeći jednakost (2), dobivamo:

.

Dijeljenje posljednje jednakosti sa
, dobivamo jednakost (4) itd.

2) Neka sada par brojeva (x, y) zadovoljava jednadžbu (4) i neka je M(x, y) odgovarajuća točka na koordinatnoj ravnini Oxy.

Tada iz (4) slijedi:

.

Tu jednakost zamijenimo u izraz za žarišne radijuse točke M:

.

Ovdje smo koristili jednakost (2) i (3).

Tako,
. Također,
.

Sada primijetite da iz jednakosti (4) slijedi da

ili
itd.
, onda slijedi nejednakost:

.

Odavde pak slijedi da

ili
I

,
. (5)

Iz jednakosti (5) slijedi da
, tj. točka M(x, y) je točka elipse itd.

Teorem je dokazan.

Definicija. Jednadžba (4) se naziva kanonička jednadžba elipse.

Definicija. Kanonske koordinatne osi elipse nazivaju se glavne osi elipse.

Definicija. Ishodište kanonskog koordinatnog sustava za elipsu naziva se središte elipse.

klauzula 3. Svojstva elipse.

Teorema. (Svojstva elipse.)

1. U kanonskom koordinatnom sustavu za elipsu sve

točke elipse su u pravokutniku

,
.

2. Točke leže na

3. Elipsa je krivulja koja je simetrična u odnosu na

njihove glavne osi.

4. Središte elipse je njezino središte simetrije.

Dokaz. 1, 2) Neposredno slijedi iz kanonske jednadžbe elipse.

3, 4) Neka je M(x, y) proizvoljna točka elipse. Tada njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu (4). Ali tada koordinate točaka također zadovoljavaju jednadžbu (4), te su, prema tome, točke elipse, iz čega slijede tvrdnje teorema.

Teorem je dokazan.

Definicija. Veličina 2a naziva se velikom osi elipse, veličina a naziva se velikom poluosom elipse.

Definicija. Veličina 2b se naziva mala os elipse, veličina b se naziva mala poluos elipse.

Definicija. Točke presjeka elipse s njezinim glavnim osima nazivaju se vrhovi elipse.

Komentar. Elipsa se može konstruirati na sljedeći način. U avionu "zabijamo čavao u žarišne točke" i na njih pričvršćujemo nit duljine
. Zatim uzmemo olovku i njome zategnemo konac. Zatim pomičemo olovku duž ravnine, pazeći da konac bude zategnut.

Iz definicije ekscentriciteta proizlazi da

Fiksiramo broj a i usmjerimo broj c na nulu. Zatim na
,
I
. U granici koju dobivamo

ili
– jednadžba kruga.

Hajde sada usmjeriti
. Zatim
,
i vidimo da se u limesu elipsa degenerira u ravni isječak
u oznakama na slici 3.

klauzula 4. Parametarske jednadžbe elipse.

Teorema. Neka
– proizvoljni realni brojevi. Zatim sustav jednadžbi

,
(6)

su parametarske jednadžbe elipse u kanonskom koordinatnom sustavu za elipsu.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je sustav jednadžbi (6) ekvivalentan jednadžbi (4), tj. imaju isti skup rješenja.

1) Neka je (x, y) proizvoljno rješenje sustava (6). Prvu jednadžbu podijelite s a, drugu s b, obje jednadžbe kvadrirajte i dodajte:

.

Oni. svako rješenje (x, y) sustava (6) zadovoljava jednadžbu (4).

2) Obrnuto, neka je par (x, y) rješenje jednadžbe (4), tj.

.

Iz ove jednakosti slijedi da je točka s koordinatama
leži na krugu jediničnog polumjera sa središtem u ishodištu, tj. je točka na trigonometrijskoj kružnici kojoj odgovara određeni kut
:

Iz definicije sinusa i kosinusa odmah slijedi da

,
, Gdje
, iz čega slijedi da je par (x, y) rješenje sustava (6) itd.

Teorem je dokazan.

Komentar. Elipsa se može dobiti kao rezultat ravnomjernog "sabijanja" kruga polumjera a prema osi apscise.

Neka
– jednadžba kružnice sa središtem u ishodištu. "Kompresija" kruga na os apscise nije ništa drugo nego transformacija koordinatne ravnine, izvedena prema sljedećem pravilu. Svakoj točki M(x, y) pridružujemo točku na istoj ravnini
, Gdje
,
– omjer kompresije.

Ovom transformacijom svaka točka na kružnici “prelazi” u drugu točku na ravnini koja ima istu apscisu, ali manju ordinatu. Izrazimo staru ordinatu točke kroz novu:

i zamijenite krugove u jednadžbu:

.

Odavde dobivamo:

. (7)

Iz ovoga slijedi da ako je prije transformacije “kompresije” točka M(x, y) ležala na kružnici, tj. njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu kružnice, a zatim se nakon transformacije "kompresije" ta točka "transformira" u točku
, čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu elipse (7). Ako želimo dobiti jednadžbu elipse s malom poluosi b, tada trebamo uzeti faktor kompresije

.

klauzula 5. Tangenta na elipsu.

Teorema. Neka
– proizvoljna točka elipse

.

Zatim jednadžba tangente na ovu elipsu u točki
ima oblik:

. (8)

Dokaz. Dovoljno je razmotriti slučaj kada dodirna točka leži u prvoj ili drugoj četvrtini koordinatne ravnine:
. Jednadžba elipse u gornjoj poluravni ima oblik:

. (9)

Upotrijebimo jednadžbu tangente na graf funkcije
u točki
:

Gdje
– vrijednost derivacije zadane funkcije u točki
. Elipsa u prvoj četvrtini može se promatrati kao graf funkcije (8). Nađimo njegovu derivaciju i vrijednost u točki dodira:

,

. Ovdje smo iskoristili činjenicu da tangentna točka
je točka elipse i stoga njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu elipse (9), tj.

.

Pronađenu vrijednost derivacije zamijenimo u jednadžbu tangente (10):

,

gdje dobivamo:

Iz čega slijedi:

Podijelimo ovu jednakost s
:

.

Ostalo je primijetiti da
, jer točka
pripada elipsi i njegove koordinate zadovoljavaju njezinu jednadžbu.

Jednadžba tangente (8) dokazuje se na sličan način u točki tangente koja leži u trećoj ili četvrtoj četvrtini koordinatne ravnine.

I konačno, lako možemo provjeriti da jednadžba (8) daje jednadžbu tangente u točkama
,
:

ili
, I
ili
.

Teorem je dokazan.

klauzula 6. Svojstvo zrcala elipse.

Teorema. Tangenta na elipsu ima jednake kutove sa žarišnim radijusima točke dodirivanja.

Neka
– točka kontakta,
,
– polumjeri žarišta tangente, P i Q – projekcije žarišta na tangentu povučenu na elipsu u točki
.

Teorem tvrdi da

. (11)

Ova se jednakost može protumačiti kao jednakost kutova upada i odbijanja zrake svjetlosti iz elipse oslobođene iz njezina žarišta. Ovo svojstvo se naziva svojstvo zrcala elipse:

Zraka svjetlosti oslobođena iz fokusa elipse, nakon refleksije od zrcala elipse, prolazi kroz drugi fokus elipse.

Dokaz teorema. Da bismo dokazali jednakost kutova (11), dokazujemo sličnost trokuta
I
, u kojem su stranke
I
bit će slično. Budući da su trokuti pravokutni, dovoljno je dokazati jednakost

Definicija. Elipsa je geometrijsko mjesto točaka na ravnini, od kojih je zbroj udaljenosti svake od dvije zadane točke te ravnine, koje se nazivaju žarišta, konstantna vrijednost (pod uvjetom da je ta vrijednost veća od udaljenosti između žarišta) .

Označimo žarišta udaljenošću između njih - s , a konstantnu vrijednost jednaku zbroju udaljenosti od svake točke elipse do žarišta s (po uvjetu).

Konstruirajmo Kartezijev koordinatni sustav tako da su žarišta na apscisnoj osi, a ishodište koordinata se poklapa sa sredinom segmenta (slika 44). Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: lijevi fokus i desni fokus. Izvedimo jednadžbu elipse u koordinatnom sustavu koji smo odabrali. U tu svrhu razmotrimo proizvoljnu točku elipse. Prema definiciji elipse, zbroj udaljenosti od ove točke do žarišta jednak je:

Koristeći formulu za udaljenost između dviju točaka, dobivamo dakle

Da bismo pojednostavili ovu jednadžbu, zapisat ćemo je u obliku

Zatim kvadrirajući obje strane jednadžbe, dobivamo

ili, nakon očitih pojednostavljenja:

Sada ponovno kvadriramo obje strane jednadžbe, nakon čega imamo:

ili, nakon identičnih transformacija:

Budući da je prema uvjetu u definiciji elipse broj pozitivan. Uvedimo notaciju

Tada će jednadžba imati sljedeći oblik:

Prema definiciji elipse, koordinate bilo koje njezine točke zadovoljavaju jednadžbu (26). Ali jednadžba (29) je posljedica jednadžbe (26). Posljedično, to također zadovoljavaju koordinate bilo koje točke elipse.

Može se pokazati da koordinate točaka koje ne leže na elipsi ne zadovoljavaju jednadžbu (29). Dakle, jednadžba (29) je jednadžba elipse. Naziva se kanoničkom jednadžbom elipse.

Odredimo oblik elipse pomoću njezine kanonske jednadžbe.

Prije svega, obratimo pozornost na činjenicu da ova jednadžba sadrži samo parne potencije x i y. To znači da ako bilo koja točka pripada elipsi, tada sadrži i točku simetričnu točki u odnosu na apscisnu os i točku simetričnu točki u odnosu na ordinatnu os. Dakle, elipsa ima dvije međusobno okomite osi simetrije, koje se u odabranom koordinatnom sustavu poklapaju s koordinatnim osima. Osi simetrije elipse ubuduće ćemo zvati osi elipse, a točku njihova sjecišta središtem elipse. Os na kojoj se nalaze žarišta elipse (u ovom slučaju os apscisa) naziva se žarišna os.

Odredimo najprije oblik elipse u prvoj četvrtini. Da bismo to učinili, riješimo jednadžbu (28) za y:

Očito je da ovdje , budući da y poprima imaginarne vrijednosti. Kako se povećavate od 0 do a, y se smanjuje od b do 0. Dio elipse koji leži u prvoj četvrtini bit će luk omeđen točkama B (0; b) i ležati na koordinatnim osima (slika 45). Koristeći sada simetriju elipse, dolazimo do zaključka da elipsa ima oblik prikazan na sl. 45.

Sjecišta elipse s osima nazivaju se vrhovi elipse. Iz simetrije elipse proizlazi da, osim vrhova, elipsa ima još dva vrha (vidi sliku 45).

Segmenti i spojni nasuprotni vrhovi elipse, kao i njihove duljine, nazivaju se velikom odnosno malom osi elipse. Brojeve a i b nazivamo velikom odnosno malom poluosom elipse.

Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluosi elipse naziva se ekscentričnost elipse i obično se označava slovom:

Budući da je ekscentricitet elipse manji od jedinice: Ekscentricitet karakterizira oblik elipse. Dapače, iz formule (28) proizlazi da što je manji ekscentricitet elipse, to se njena mala poluos b manje razlikuje od velike poluosi a, tj. što je elipsa manje izdužena (uz žarišnu os).

U graničnom slučaju rezultat je krug polumjera a: , ili . Istovremeno, žarišta elipse kao da se spajaju u jednoj točki - središtu kruga. Ekscentricitet kruga je nula:

Veza između elipse i kruga može se uspostaviti s druge točke gledišta. Pokažimo da se elipsa s poluosima a i b može smatrati projekcijom kružnice polumjera a.

Promotrimo dvije ravnine P i Q, koje između sebe tvore takav kut a, za koji (sl. 46). Konstruirajmo koordinatni sustav u ravnini P, au ravnini Q sustav Oxy sa zajedničkim ishodištem O i zajedničkom osi apscisa koja se poklapa s linijom presjeka ravnina. Promotrimo krug u ravnini P

sa središtem u ishodištu i polumjerom jednakim a. Neka je proizvoljno odabrana točka na kružnici, neka je njena projekcija na ravninu Q i neka je projekcija točke M na os Ox. Pokažimo da točka leži na elipsi s poluosima a i b.