एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक मैट्रोलोजी सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है। उदाहरणों द्वारा ज्यामितीय प्रगति

ज्यामितीय अनुक्रमगणित में अंकगणित से कम महत्वपूर्ण नहीं है। एक ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक क्रम है b1, b2,..., b[n] जिसके प्रत्येक अगले सदस्य को पिछले एक को एक स्थिर संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। यह संख्या, जो प्रगति की वृद्धि या कमी की दर को भी दर्शाती है, कहलाती है एक ज्यामितीय प्रगति का भाजकऔर निरूपित करें

एक ज्यामितीय प्रगति के पूर्ण असाइनमेंट के लिए, भाजक के अलावा, इसके पहले पद को जानना या निर्धारित करना आवश्यक है। भाजक के एक सकारात्मक मूल्य के लिए, प्रगति एक मोनोटोन अनुक्रम है, और यदि संख्याओं का यह क्रम नीरस रूप से घट रहा है और नीरस रूप से बढ़ रहा है। मामला जब भाजक एक के बराबर होता है, तो व्यवहार में नहीं माना जाता है, क्योंकि हमारे पास समान संख्याओं का एक क्रम है, और उनका योग व्यावहारिक हित में नहीं है

एक ज्यामितीय प्रगति की सामान्य अवधिसूत्र के अनुसार गणना

ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योगसूत्र द्वारा निर्धारित

आइए शास्त्रीय ज्यामितीय प्रगति समस्याओं के समाधान पर विचार करें। आइए समझने के लिए सबसे सरल से शुरू करें।

उदाहरण 1. गुणोत्तर श्रेढ़ी का पहला पद 27 है, और इसका हर 1/3 है। ज्यामितीय प्रगति के पहले छह पद ज्ञात कीजिए।

समाधान: समस्या की स्थिति को हम प्रपत्र में लिखते हैं

गणना के लिए, हम ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं

इसके आधार पर, हम प्रगति के अज्ञात सदस्यों को ढूंढते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करना मुश्किल नहीं है। प्रगति स्वयं इस तरह दिखेगी

उदाहरण 2. गुणोत्तर श्रेढ़ी के पहले तीन सदस्य दिए गए हैं: 6; -12; 24. हर और सातवाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल: हम इसकी परिभाषा के आधार पर गुणोत्तर श्रेढ़ी के हर की गणना करते हैं

हमें एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मिली जिसका भाजक -2 है। सातवें पद की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

इस कार्य पर हल हो गया है।

उदाहरण 3. इसके दो सदस्यों द्वारा एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है . श्रेढ़ी का दसवां पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिए गए मानों को सूत्रों के माध्यम से लिखते हैं

नियमों के अनुसार, भाजक को खोजना आवश्यक होगा, और फिर वांछित मूल्य की तलाश करें, लेकिन दसवें पद के लिए हमारे पास है

इनपुट डेटा के साथ सरल जोड़तोड़ के आधार पर एक ही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। हम श्रृंखला के छठे पद को दूसरे से विभाजित करते हैं, परिणामस्वरूप हमें मिलता है

यदि परिणामी मूल्य को छठे पद से गुणा किया जाता है, तो हमें दसवां मिलता है

इस प्रकार, ऐसी समस्याओं के लिए, सरल परिवर्तनों की मदद से तेजी से, आप सही समाधान पा सकते हैं।

उदाहरण 4. ज्यामितीय प्रगति आवर्ती सूत्रों द्वारा दी गई है

ज्यामितीय प्रगति का भाजक और पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम दिए गए डेटा को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखते हैं

दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित करके भाजक को व्यक्त करें

प्रथम समीकरण से श्रेढ़ी का प्रथम पद ज्ञात कीजिए

ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित पाँच पदों की गणना करें

गणित क्या हैलोग प्रकृति और खुद को नियंत्रित करते हैं।

सोवियत गणितज्ञ, शिक्षाविद ए.एन. Kolmogorov

ज्यामितीय अनुक्रम।

गणित की प्रवेश परीक्षाओं में अंकगणितीय प्रगति के कार्यों के साथ-साथ ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित कार्य भी आम हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको ज्यामितीय प्रगति के गुणों को जानना होगा और उनका उपयोग करने में अच्छे कौशल होने चाहिए।

यह आलेख ज्यामितीय प्रगति के मुख्य गुणों की प्रस्तुति के लिए समर्पित है। यह विशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरण भी प्रदान करता है, गणित में प्रवेश परीक्षा के कार्यों से उधार लिया गया।

आइए हम प्रारंभिक रूप से एक ज्यामितीय प्रगति के मुख्य गुणों पर ध्यान दें और सबसे महत्वपूर्ण सूत्रों और कथनों को याद करें, इस अवधारणा से जुड़े।

परिभाषा।एक संख्यात्मक अनुक्रम को एक ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है यदि इसकी प्रत्येक संख्या, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होती है, उसी संख्या से गुणा की जाती है। संख्या को ज्यामितीय प्रगति का भाजक कहा जाता है।

एक ज्यामितीय प्रगति के लिएसूत्र मान्य हैं

, (1)

कहाँ पे । सूत्र (1) को एक ज्यामितीय प्रगति के सामान्य शब्द का सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) एक ज्यामितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति है: प्रगति का प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी सदस्यों के ज्यामितीय माध्य के साथ मेल खाता है और।

टिप्पणी, यह इस संपत्ति के कारण ठीक है कि प्रश्न में प्रगति को "ज्यामितीय" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) संक्षेप में इस प्रकार हैं:

, (3)

राशि की गणना करने के लिएपहला एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यसूत्र लागू होता है

अगर हम नामित करते हैं

कहाँ पे । चूंकि, सूत्र (6) सूत्र (5) का सामान्यीकरण है।

मामले में जब और ज्यामितीय अनुक्रमअसीम रूप से घट रहा है। राशि की गणना करने के लिएअनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है

. (7)

उदाहरण के लिए , सूत्र (7) का उपयोग करके कोई दिखा सकता है, क्या

कहाँ पे । ये समानताएँ सूत्र (7) से प्राप्त की जाती हैं बशर्ते कि , (पहली समानता) और , (दूसरी समानता)।

प्रमेय।तो अगर

सबूत। तो अगर ,

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

आइए "ज्यामितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1दिया गया: , और। पाना ।

समाधान।यदि सूत्र (5) लागू किया जाता है, तो

उत्तर: ।

उदाहरण 2चलो और। पाना ।

समाधान।चूंकि और , हम सूत्र (5), (6) का उपयोग करते हैं और समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

यदि सिस्टम (9) के दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित किया जाता है, फिर या। इससे यह अनुसरण करता है . आइए दो मामलों पर विचार करें।

1. अगर, तब सिस्टम के पहले समीकरण (9) से हमारे पास है.

2. अगर , तो .

उदाहरण 3चलो, और। पाना ।

समाधान।यह सूत्र (2) से अनुसरण करता है कि या। तब से, तब या।

शर्त से। मगर इसलिए । क्योंकि और, तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

यदि सिस्टम के दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित किया जाता है, तो या।

चूंकि, समीकरण का एक ही उपयुक्त मूल है। इस मामले में, सिस्टम का पहला समीकरण निकलता है।

सूत्र (7) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

उत्तर: ।

उदाहरण 4दिया: और। पाना ।

समाधान।तब से ।

क्योंकि, तब या

सूत्र (2) के अनुसार, हमारे पास है। इस संबंध में, समानता (10) से हम प्राप्त करते हैं या।

हालाँकि, शर्त के अनुसार, इसलिए।

उदाहरण 5यह जाना जाता है कि । पाना ।

समाधान। प्रमेय के अनुसार, हमारे पास दो समानताएँ हैं

तब से, तब या। क्योंकि तब ।

उत्तर: ।

उदाहरण 6दिया: और। पाना ।

समाधान।सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

तब से । चूंकि, और, तब।

उदाहरण 7चलो और। पाना ।

समाधान।सूत्र (1) के अनुसार हम लिख सकते हैं

इसलिए, हमारे पास या है। यह ज्ञात है कि और, इसलिए और।

उत्तर: ।

उदाहरण 8एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का भाजक खोजें यदि

तथा ।

समाधान। सूत्र (7) से यह अनुसरण करता हैतथा . यहाँ से और समस्या की स्थिति से, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

यदि सिस्टम का पहला समीकरण चुकता है, और फिर परिणामी समीकरण को दूसरे समीकरण से विभाजित करें, तो हमें मिलता है

या ।

उत्तर: ।

उदाहरण 9वे सभी मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए अनुक्रम , , एक ज्यामितीय प्रगति है।

समाधान।चलो, और। सूत्र (2) के अनुसार, जो ज्यामितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति को परिभाषित करता है, हम लिख सकते हैं या।

यहाँ से हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है, जिनकी जड़ें हैंतथा ।

आइए देखें: यदि, फिर , और ; अगर, तो, और।

पहले मामले में हमारे पास हैऔर , और दूसरे में - और .

उत्तर: , ।

उदाहरण 10प्रश्न हल करें

, (11)

और कहां ।

समाधान। समीकरण के बाईं ओर (11) एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है, जिसमें और प्रदान किया गया है: और।

सूत्र (7) से यह अनुसरण करता है, क्या . इस संबंध में समीकरण (11) रूप लेता हैया . उपयुक्त जड़ द्विघात समीकरण है

उत्तर: ।

उदाहरण 11।पी सकारात्मक संख्याओं का क्रमएक अंकगणितीय प्रगति बनाता है, एक - ज्यामितीय अनुक्रम, इसका क्या लेना-देना। पाना ।

समाधान।इसलिये अंकगणित क्रम, फिर (एक अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति)। क्यों कि, फिर या। यह संकेत करता है , कि ज्यामितीय प्रगति है. सूत्र के अनुसार (2), तो हम उसे लिखते हैं ।

तब से और तब . उस स्थिति में, अभिव्यक्तिरूप धारण कर लेता है या। शर्त से, तो समीकरण सेहम विचाराधीन समस्या का अनूठा समाधान प्राप्त करते हैं, अर्थात। .

उत्तर: ।

उदाहरण 12।योग की गणना करें

. (12)

समाधान। समानता के दोनों पक्षों (12) को 5 से गुणा करें और प्राप्त करें

यदि हम परिणामी व्यंजक में से (12) घटा दें, फिर

या ।

गणना करने के लिए, हम मानों को सूत्र (7) में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं। तब से ।

उत्तर: ।

यहां दिए गए समस्या समाधान के उदाहरण प्रवेश परीक्षाओं की तैयारी में आवेदकों के लिए उपयोगी होंगे। समस्या समाधान विधियों के गहन अध्ययन के लिए, एक ज्यामितीय प्रगति से जुड़ा हुआ है, आप अनुशंसित साहित्य की सूची से ट्यूटोरियल्स का उपयोग कर सकते हैं।

1. तकनीकी विश्वविद्यालयों / एड के आवेदकों के लिए गणित में कार्यों का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी। - एम .: मीर आई ओब्राजोवानी, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम .: लेनंड / यूआरएसएस, 2014. - 216 पी।

3. मेडेंस्की एम.एम. कार्यों और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का एक पूर्ण पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या अनुक्रम और प्रगति। - एम .: एडिटस, 2015. - 208 पी।

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पहले से ही प्राचीन मिस्र में, वे न केवल अंकगणित, बल्कि ज्यामितीय प्रगति भी जानते थे। यहाँ, उदाहरण के लिए, राइंड पपाइरस से एक कार्य है: “सात चेहरों में सात बिल्लियाँ होती हैं; प्रत्येक बिल्ली सात चूहे खाती है, प्रत्येक चूहा मकई की सात बालियाँ खाता है, प्रत्येक कान सात माप जौ उगा सकता है। इस श्रंखला में संख्याएँ कितनी बड़ी हैं और उनका योग क्या है?

चावल। 1. प्राचीन मिस्र की ज्यामितीय प्रगति समस्या

इस कार्य को कई बार अन्य लोगों के बीच विभिन्न भिन्नताओं के साथ दोहराया गया था। उदाहरण के लिए, XIII सदी में लिखित में। पीसा (फाइबोनैचि) के लियोनार्डो द्वारा "बुक ऑफ द अबेकस" में एक समस्या है जिसमें 7 बूढ़ी महिलाएं रोम (स्पष्ट रूप से तीर्थयात्री) के रास्ते में दिखाई देती हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 खच्चर हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 बैग हैं, जिनमें से प्रत्येक उसके पास 7 रोटियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 छुरी हैं, जिनमें से प्रत्येक 7 म्यानों में है। समस्या पूछती है कि कितनी वस्तुएं हैं।

ज्यामितीय प्रगति S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) के पहले n सदस्यों का योग। उदाहरण के लिए, यह सूत्र सिद्ध किया जा सकता है: एस एन \u003d बी 1 + बी 1 क्यू + बी 1 क्यू 2 + बी 1 क्यू 3 + ... + बी 1 क्यू एन - 1।

आइए संख्या b 1 q n को S n में जोड़ें और प्राप्त करें:

इसलिए एस एन (क्यू - 1) = बी 1 (क्यू एन - 1), और हमें आवश्यक सूत्र मिलता है।

पहले से ही प्राचीन बाबुल की मिट्टी की गोलियों में से एक पर, छठी शताब्दी में वापस डेटिंग। ईसा पूर्व ई।, में 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 का योग है। .

कई संस्कृतियों में, विशेष रूप से, भारत में, एक ज्यामितीय प्रगति का तेजी से विकास, बार-बार ब्रह्मांड की विशालता के स्पष्ट प्रतीक के रूप में उपयोग किया जाता है। शतरंज की उपस्थिति के बारे में प्रसिद्ध किंवदंती में, शासक अपने आविष्कारक को खुद एक पुरस्कार चुनने का अवसर देता है, और वह गेहूं के इतने दाने मांगता है कि यदि किसी को शतरंज की पहली कोशिका पर रखा जाए तो वह प्राप्त होगा। शतरंज की बिसात, दूसरी पर दो, तीसरी पर चार, चौथी पर आठ, और आदि, हर बार संख्या दोगुनी हो जाती है। व्लादिका ने सोचा कि यह अधिक से अधिक कुछ बोरे थे, लेकिन उन्होंने गलत अनुमान लगाया। यह देखना आसान है कि शतरंज की बिसात के सभी 64 वर्गों के लिए आविष्कारक को (2 64 - 1) अनाज प्राप्त करना चाहिए था, जिसे 20 अंकों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है; भले ही पृथ्वी की पूरी सतह को बोया गया हो, अनाज की आवश्यक संख्या एकत्र करने में कम से कम 8 साल लगेंगे। इस किंवदंती की व्याख्या कभी-कभी शतरंज के खेल में छिपी लगभग असीमित संभावनाओं के संदर्भ के रूप में की जाती है।

तथ्य यह है कि यह संख्या वास्तव में 20 अंकों की है, यह देखना आसान है:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (अधिक सटीक गणना 1.84 10 19 देती है)। लेकिन मुझे आश्चर्य है कि क्या आप यह पता लगा सकते हैं कि यह संख्या किस अंक से समाप्त होती है?

एक ज्यामितीय प्रगति बढ़ रही है यदि भाजक निरपेक्ष मान में 1 से अधिक है, या घट रहा है यदि यह एक से कम है। बाद वाले मामले में, पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए संख्या q n मनमाने ढंग से छोटी हो सकती है। जबकि एक बढ़ता हुआ घातांक अप्रत्याशित रूप से तेजी से बढ़ता है, एक घटता हुआ घातांक उतनी ही तेजी से घटता है।

बड़ा n, कमजोर संख्या q n शून्य से भिन्न होती है, और ज्यामितीय प्रगति के n सदस्यों के योग के करीब S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) संख्या S \u003d b 1 के लिए / (1 - क्यू) . (तो तर्क दिया, उदाहरण के लिए, एफ। वियत)। संख्या S को असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग कहा जाता है। हालाँकि, कई शताब्दियों के लिए, सभी ज्यामितीय प्रगति के योग का अर्थ क्या है, इसकी अनंत संख्या के साथ, गणितज्ञों के लिए पर्याप्त स्पष्ट नहीं था।

एक घटती ज्यामितीय प्रगति देखी जा सकती है, उदाहरण के लिए, ज़ेनो के एपोरियस "बाइटिंग" और "एच्लीस एंड द कछुआ" में। पहले मामले में, यह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि पूरी सड़क (लंबाई 1 मान लें) 1/2, 1/4, 1/8 आदि खंडों की अनंत संख्या का योग है। यह, निश्चित रूप से, से मामला है परिमित योग अनंत ज्यामितीय प्रगति के बारे में विचारों का दृष्टिकोण। और फिर भी - यह कैसे हो सकता है?

Achilles के बारे में एपोरिया में, स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है, क्योंकि यहां प्रगति का भाजक 1/2 के बराबर नहीं है, बल्कि किसी अन्य संख्या के बराबर है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, Achilles गति v पर चलता है, कछुआ गति u पर चलता है, और उनके बीच की प्रारंभिक दूरी l है। Achilles इस दूरी को समय l / v में चलाएगा, कछुआ इस समय के दौरान l / v दूरी तय करेगा। जब अकिलिस इस खंड से गुजरता है, तो उसके और कछुए के बीच की दूरी l (u / v) 2, आदि के बराबर हो जाएगी। अवधि एल और भाजक यू / वी। यह योग - वह खंड जो अकिलिस अंततः कछुए के साथ मिलन बिंदु तक चलाएगा - l / (1 - u / v) = lv / (v - u) के बराबर है। लेकिन, फिर से, इस परिणाम की व्याख्या कैसे की जानी चाहिए और इसका कोई मतलब क्यों है, यह लंबे समय तक स्पष्ट नहीं था।

एक पैराबोला के एक खंड के क्षेत्र का निर्धारण करते समय एक ज्यामितीय प्रगति का योग आर्किमिडीज़ द्वारा उपयोग किया गया था। परवलय के दिए गए खंड को जीवा AB द्वारा सीमांकित करें और परवलय के बिंदु D पर स्पर्शरेखा AB के समानांतर होने दें। मान लीजिए C AB का मध्यबिंदु है, E AC का मध्यबिंदु है, F CB का मध्यबिंदु है। बिन्दुओं A , E , F , B से होकर DC के समांतर रेखाएँ खींचिए; बिंदु D पर खींची गई स्पर्शरेखा को, ये रेखाएँ बिंदु K, L, M, N पर प्रतिच्छेद करती हैं। आइए खंड AD और DB भी बनाएं। मान लीजिए कि रेखा EL रेखा AD को बिंदु G पर और परवलय को बिंदु H पर प्रतिच्छेद करती है; रेखा FM, रेखा DB को बिंदु Q पर और परवलय को बिंदु R पर प्रतिच्छेद करती है। शंकु वर्गों के सामान्य सिद्धांत के अनुसार, डीसी एक पैराबोला का व्यास है (यानी, इसकी धुरी के समानांतर खंड); यह और बिंदु D पर स्पर्शरेखा समन्वय अक्ष x और y के रूप में काम कर सकती है, जिसमें परबोला समीकरण को y 2 ​​\u003d 2px के रूप में लिखा गया है (x किसी दिए गए व्यास के किसी भी बिंदु से D की दूरी है, y की लंबाई है व्यास के इस बिंदु से पैराबोला पर किसी बिंदु तक किसी दिए गए स्पर्शरेखा के समानांतर खंड)।

पैराबोला समीकरण के आधार पर, डीएल 2 = 2 ∙ पी ∙ एलएच, डीके 2 = 2 ∙ पी ∙ केए, और चूंकि डीके = 2डीएल, तो केए = 4एलएच। चूंकि केए = 2 एलजी, एलएच = एचजी। परबोला के खंड ADB का क्षेत्रफल त्रिभुज ΔADB के क्षेत्रफल और AHD और DRB संयुक्त खंडों के क्षेत्रफल के बराबर है। बदले में, खंड AHD का क्षेत्र समान रूप से त्रिभुज AHD और शेष खंडों AH और HD के क्षेत्र के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक के साथ एक ही ऑपरेशन किया जा सकता है - एक त्रिकोण (Δ) में विभाजित और दो शेष खंड (), आदि:

त्रिभुज ΔAHD का क्षेत्रफल त्रिभुज ΔALD के आधे क्षेत्रफल के बराबर है (उनके पास एक सामान्य आधार AD है, और ऊँचाई 2 गुना भिन्न होती है), जो बदले में, के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है त्रिभुज ΔAKD, और इसलिए त्रिभुज ΔACD का आधा क्षेत्र। इस प्रकार, त्रिभुज ΔAHD का क्षेत्रफल त्रिभुज ΔACD के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है। इसी तरह, त्रिभुज ΔDRB का क्षेत्रफल त्रिभुज ΔDFB के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है। तो, त्रिभुजों ∆AHD और ∆DRB को मिलाकर, त्रिभुज ∆ADB के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर हैं। एएच, एचडी, डीआर और आरबी खंडों पर लागू इस ऑपरेशन को दोहराते हुए उनमें से त्रिकोण का चयन भी किया जाएगा, जिसका क्षेत्रफल, एक साथ लिया गया, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ΔAHD और ΔDRB से 4 गुना कम होगा। एक साथ, और इसलिए त्रिभुज के क्षेत्रफल ΔADB से 16 गुना कम है। और इसी तरह:

इस प्रकार, आर्किमिडीज ने साबित किया कि "प्रत्येक खंड एक सीधी रेखा और एक परबोला के बीच घिरा हुआ है, एक त्रिभुज का चार-तिहाई है जिसका आधार समान है और इसके साथ समान ऊंचाई है।"

प्रथम स्तर

ज्यामितीय अनुक्रम। उदाहरणों के साथ व्यापक गाइड (2019)

संख्यात्मक क्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन सी पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (-वें नंबर की तरह) हमेशा समान होती है।

संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

हमारे मामले में:

प्रगति के सबसे सामान्य प्रकार अंकगणितीय और ज्यामितीय हैं। इस टॉपिक में हम दूसरे प्रकार की बात करेंगे - ज्यामितीय अनुक्रम.

हमें ज्यामितीय प्रगति और उसके इतिहास की आवश्यकता क्यों है।

प्राचीन काल में भी, इतालवी गणितज्ञ, पीसा के भिक्षु लियोनार्डो (जिसे फाइबोनैचि के रूप में जाना जाता है) ने व्यापार की व्यावहारिक आवश्यकताओं से निपटा। भिक्षु के सामने यह निर्धारित करने का कार्य था कि सामानों को तौलने के लिए कम से कम कितने वज़न का उपयोग किया जा सकता है? अपने लेखन में, फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की ऐसी प्रणाली इष्टतम है: यह उन पहली स्थितियों में से एक है जिसमें लोगों को एक ज्यामितीय प्रगति से निपटना पड़ा, जिसके बारे में आपने शायद सुना है और कम से कम एक सामान्य विचार है। एक बार जब आप विषय को पूरी तरह से समझ जाते हैं, तो सोचें कि ऐसी प्रणाली इष्टतम क्यों है?

वर्तमान में, जीवन अभ्यास में, बैंक में धन का निवेश करते समय एक ज्यामितीय प्रगति प्रकट होती है, जब पिछली अवधि के लिए खाते में जमा राशि पर ब्याज लगाया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि आप बचत बैंक में सावधि जमा पर पैसा लगाते हैं, तो एक वर्ष में जमा मूल राशि से बढ़ जाएगा, अर्थात। नई राशि योगदान गुणा के बराबर होगी। एक और वर्ष में, यह राशि बढ़ जाएगी, अर्थात। उस समय प्राप्त राशि को फिर से गुणा किया जाता है और इसी तरह। तथाकथित कंप्यूटिंग की समस्याओं में इसी तरह की स्थिति का वर्णन किया गया है चक्रवृद्धि ब्याज- पिछले ब्याज को ध्यान में रखते हुए, खाते में मौजूद राशि से हर बार प्रतिशत लिया जाता है। हम इन कार्यों के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

ऐसे कई और सरल मामले हैं जहां एक ज्यामितीय प्रगति लागू होती है। उदाहरण के लिए, इन्फ्लूएंजा का प्रसार: एक व्यक्ति ने एक व्यक्ति को संक्रमित किया, उन्होंने बदले में, दूसरे व्यक्ति को संक्रमित किया, और इस प्रकार संक्रमण की दूसरी लहर - एक व्यक्ति, और बदले में, उन्होंने दूसरे को संक्रमित किया ... और इसी तरह .. .

वैसे, एक वित्तीय पिरामिड, वही MMM, एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों के अनुसार एक सरल और शुष्क गणना है। दिलचस्प? आइए इसका पता लगाते हैं।

ज्यामितीय अनुक्रम।

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या क्रम है:

आप तुरंत जवाब देंगे कि यह आसान है और इस तरह के अनुक्रम का नाम इसके सदस्यों के अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति है। इस जैसे किसी और के बारे में क्या राय है:

यदि आप पिछली संख्या को अगली संख्या से घटाते हैं, तो आप देखेंगे कि हर बार आपको एक नया अंतर (आदि) मिलता है, लेकिन अनुक्रम निश्चित रूप से मौजूद है और नोटिस करना आसान है - प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से कई गुना अधिक है!

इस प्रकार का क्रम कहलाता है ज्यामितीय अनुक्रमऔर अंकित है।

एक ज्यामितीय प्रगति ( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न होता है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का भाजक कहा जाता है।

वे बाधाएँ जिनमें पहला पद ( ) समान नहीं है और यादृच्छिक नहीं हैं। मान लीजिए कि कोई नहीं है, और पहला शब्द अभी भी बराबर है, और क्यू है, हम्म .. चलो, तो यह पता चला:

सहमत हूँ कि यह कोई प्रगति नहीं है।

जैसा कि आप समझते हैं, यदि यह शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो हमें वही परिणाम मिलेंगे, लेकिन। इन मामलों में, कोई प्रगति नहीं होगी, क्योंकि पूरी संख्या श्रृंखला या तो सभी शून्य होगी, या एक संख्या होगी, और बाकी सभी शून्य होंगे।

अब आइए एक ज्यामितीय प्रगति के भाजक के बारे में और अधिक विस्तार से बात करते हैं।

आइए दोहराते हैं: - यह एक संख्या है, प्रत्येक अनुवर्ती पद कितनी बार बदलता हैज्यामितीय अनुक्रम।

आपके विचार से ये क्या हो सकता है? यह सही, सकारात्मक और नकारात्मक है, लेकिन शून्य नहीं है (हमने इसके बारे में थोड़ी अधिक बात की)।

मान लीजिए कि हमारे पास सकारात्मक है। हमारे मामले में, ए। दूसरा कार्यकाल क्या है और? आप इसका उत्तर आसानी से दे सकते हैं:

ठीक है। तदनुसार, यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्यों का एक ही संकेत है - वे सकारात्मक.

क्या होगा यदि यह नकारात्मक है? उदाहरण के लिए, ए। दूसरा कार्यकाल क्या है और?

यह बिल्कुल अलग कहानी है

इस प्रगति की अवधि गिनने का प्रयास करें। आपको कितना मिला? मेरे पास है। इस प्रकार, यदि, तो ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के संकेत वैकल्पिक हैं। अर्थात्, यदि आप इसके सदस्यों में वैकल्पिक संकेतों के साथ एक प्रगति देखते हैं, तो इसका भाजक नकारात्मक है। इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय यह ज्ञान आपको स्वयं को परखने में मदद कर सकता है।

अब थोड़ा अभ्यास करते हैं: यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्यात्मक अनुक्रम ज्यामितीय प्रगति हैं, और कौन से अंकगणितीय हैं:

समझ गया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:

• ज्यामितीय प्रगति - 3, 6।
• अंकगणितीय प्रगति - 2, 4।
• यह न तो अंकगणित है और न ही ज्यामितीय प्रगति - 1, 5, 7।

आइए अपनी अंतिम प्रगति पर लौटते हैं, और अंकगणित की तरह ही इसके शब्द को खोजने का प्रयास करते हैं। जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, इसे खोजने के दो तरीके हैं।

हम क्रमिक रूप से प्रत्येक पद को गुणा करते हैं।

तो, वर्णित ज्यामितीय प्रगति का -वाँ सदस्य बराबर है।

जैसा कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके हैं, अब आप स्वयं एक सूत्र प्राप्त करेंगे जो आपको ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को खोजने में मदद करेगा। या क्या आप पहले ही इसे अपने लिए निकाल चुके हैं, यह बताते हुए कि वें सदस्य को चरणों में कैसे खोजा जाए? यदि ऐसा है, तो अपने तर्क की शुद्धता की जाँच करें।

आइए इसे इस प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के उदाहरण से स्पष्ट करें:

दूसरे शब्दों में:

दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी के सदस्य का मान ज्ञात कीजिए।

हो गई? हमारे उत्तरों की तुलना करें:

ध्यान दें कि जब हम ज्यामितीय प्रगति के प्रत्येक पिछले सदस्य द्वारा क्रमिक रूप से गुणा करते हैं तो आपको ठीक वही संख्या मिलती है जो पिछली पद्धति में थी।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें - हम इसे एक सामान्य रूप में लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

व्युत्पन्न सूत्र सभी मूल्यों के लिए सही है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। निम्नलिखित शर्तों के साथ ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करके इसे स्वयं जांचें: ए।

क्या आपने गिना? आइए परिणामों की तुलना करें:

सहमत हैं कि एक सदस्य के रूप में उसी तरह प्रगति के सदस्य को ढूंढना संभव होगा, हालांकि, गलत अनुमान लगाने की संभावना है। और अगर हम पहले से ही एक ज्यामितीय प्रगति के वें शब्द को पा चुके हैं, तो सूत्र के "छंटे हुए" भाग का उपयोग करने से आसान क्या हो सकता है।

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

अभी हाल ही में, हमने इस बारे में बात की कि शून्य से अधिक या कम क्या हो सकता है, हालाँकि, ऐसे विशेष मान हैं जिनके लिए ज्यामितीय प्रगति कहलाती है असीम रूप से घट रहा है.

आपको क्यों लगता है कि इसका ऐसा नाम है?
आरंभ करने के लिए, आइए सदस्यों से मिलकर कुछ ज्यामितीय प्रगति लिखें।
मान लीजिए, फिर:

हम देखते हैं कि प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से कम है, लेकिन क्या कोई संख्या होगी? आप तुरंत उत्तर दें - "नहीं"। इसलिए असीम रूप से घटता-घटता है, घटता है, लेकिन कभी शून्य नहीं होता।

यह स्पष्ट रूप से समझने के लिए कि यह देखने में कैसा दिखता है, आइए अपनी प्रगति का एक ग्राफ़ बनाने का प्रयास करें। इसलिए, हमारे मामले के लिए, सूत्र निम्न रूप लेता है:

चार्ट पर, हम निर्भरता बनाने के आदी हैं, इसलिए:

अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है: पहली प्रविष्टि में, हमने एक ज्यामितीय प्रगति सदस्य के मूल्य की क्रम संख्या पर निर्भरता को दिखाया, और दूसरी प्रविष्टि में, हमने केवल एक ज्यामितीय प्रगति सदस्य का मान लिया, और क्रमिक संख्या के रूप में नहीं, बल्कि के रूप में नामित किया गया था। जो कुछ करना बाकी है वह ग्राफ प्लॉट करना है।
हम देखते हैं तुम्हें क्या मिला। यहाँ मुझे मिला चार्ट है:

देखना? कार्य घटता है, शून्य की ओर जाता है, लेकिन इसे कभी पार नहीं करता है, इसलिए यह असीम रूप से घट रहा है। आइए ग्राफ़ पर हमारे बिंदुओं को चिह्नित करें, और उसी समय समन्वय और इसका मतलब क्या है:

एक ज्यामितीय प्रगति के ग्राफ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करने का प्रयास करें यदि इसकी पहली अवधि भी बराबर है। विश्लेषण करें कि हमारे पिछले चार्ट से क्या अंतर है?

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ मुझे मिला चार्ट है:

अब जब आप ज्यामितीय प्रगति विषय की मूल बातें पूरी तरह से समझ गए हैं: आप जानते हैं कि यह क्या है, आप जानते हैं कि इसका शब्द कैसे खोजना है, और आप यह भी जानते हैं कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति क्या है, आइए इसके मुख्य गुण पर चलते हैं।

एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति।

क्या आपको अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति याद है? हां, हां, इस प्रगति के सदस्यों के पिछले और बाद के मूल्य होने पर एक निश्चित संख्या की प्रगति का मूल्य कैसे प्राप्त करें। याद आया? इस:

अब हम एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के लिए ठीक उसी प्रश्न का सामना कर रहे हैं। इस तरह के एक सूत्र को प्राप्त करने के लिए, आइए चित्र बनाना और तर्क करना शुरू करें। आप देखेंगे, यह बहुत आसान है, और यदि आप भूल जाते हैं, तो आप इसे स्वयं निकाल सकते हैं।

आइए एक और सरल ज्यामितीय प्रगति लें, जिसमें हम जानते हैं और। कैसे ढूंढें? अंकगणितीय प्रगति के साथ, यह आसान और सरल है, लेकिन यह यहाँ कैसे है? वास्तव में, ज्यामिति में कुछ भी जटिल नहीं है - आपको केवल सूत्र के अनुसार हमें दिए गए प्रत्येक मान को चित्रित करने की आवश्यकता है।

आप पूछते हैं, और अब हम इसके साथ क्या करते हैं? हाँ, बहुत ही सरल। आरंभ करने के लिए, आइए इन सूत्रों को चित्र में चित्रित करें, और एक मूल्य पर आने के लिए उनके साथ विभिन्न जोड़-तोड़ करने का प्रयास करें।

हमें जो संख्याएँ दी गई हैं, उनमें से हम अमूर्त करते हैं, हम केवल एक सूत्र के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति पर ध्यान केन्द्रित करेंगे। हमें नारंगी रंग में हाइलाइट किए गए मान को खोजने की जरूरत है, इसके आस-पास की शर्तों को जानने के लिए। आइए उनके साथ विभिन्न क्रियाएं करने का प्रयास करें, जिसके परिणामस्वरूप हम प्राप्त कर सकते हैं।

योग।
आइए दो भावों को जोड़ने का प्रयास करें और हमें यह मिलता है:

इस अभिव्यक्ति से, जैसा कि आप देख सकते हैं, हम किसी भी तरह से व्यक्त नहीं कर पाएंगे, इसलिए हम एक और विकल्प - घटाव की कोशिश करेंगे।

घटाव।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इससे भी व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम इन भावों को एक दूसरे से गुणा करने का प्रयास करेंगे।

गुणन।

अब ध्यान से देखें कि हमारे पास क्या है, हमें दी गई ज्यामितीय प्रगति की शर्तों को गुणा करके इसकी तुलना में क्या पता लगाना है:

लगता है मैं किस बारे में बात कर रहा हूँ? सही ढंग से, इसे खोजने के लिए, हमें वांछित संख्या से सटे ज्यामितीय प्रगति संख्याओं के वर्गमूल को एक दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता है:

हेयर यू गो। आपने स्वयं एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति को घटाया। इस सूत्र को सामान्य रूप में लिखने का प्रयास करें। हो गई?

शर्त भूल गए कब? इस बारे में सोचें कि यह क्यों महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, इसे स्वयं परिकलित करने का प्रयास करें। इस मामले में क्या होता है? यह सही है, पूर्ण बकवास, क्योंकि सूत्र इस तरह दिखता है:

तदनुसार, इस सीमा को मत भूलना।

अब गणना करते हैं कि क्या है

सही उत्तर - ! यदि आप गणना करते समय दूसरे संभावित मूल्य को नहीं भूलते हैं, तो आप एक महान साथी हैं और आप तुरंत प्रशिक्षण के लिए आगे बढ़ सकते हैं, और यदि आप भूल गए हैं, तो नीचे दिए गए विश्लेषण को पढ़ें और इस बात पर ध्यान दें कि उत्तर में दोनों मूल क्यों लिखे जाने चाहिए। .

आइए हमारी दोनों ज्यामितीय प्रगति को ड्रा करें - एक मूल्य के साथ, और दूसरा एक मूल्य के साथ, और जांचें कि क्या दोनों को अस्तित्व का अधिकार है:

यह जाँचने के लिए कि क्या ऐसी ज्यामितीय प्रगति मौजूद है या नहीं, यह देखना आवश्यक है कि क्या यह इसके सभी सदस्यों के बीच समान है? पहले और दूसरे मामले के लिए क्यू की गणना करें।

देखें कि हमें दो उत्तर क्यों लिखने हैं? क्योंकि अपेक्षित पद का चिह्न इस बात पर निर्भर करता है कि वह धनात्मक है या ऋणात्मक! और चूंकि हम नहीं जानते कि यह क्या है, हमें प्लस और माइनस दोनों उत्तरों को लिखने की आवश्यकता है।

अब जब आपने मुख्य बिंदुओं में महारत हासिल कर ली है और एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति के लिए सूत्र निकाल लिया है, तो खोजें, जानें और

अपने उत्तरों की सही उत्तरों से तुलना करें:

आपको क्या लगता है, क्या होगा अगर हमें वांछित संख्या से सटे ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के मान नहीं दिए गए, लेकिन इससे समान दूरी पर। उदाहरण के लिए, हमें खोजने की जरूरत है, और दिया और। क्या हम इस मामले में निकाले गए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं? इस संभावना की उसी तरह से पुष्टि या खंडन करने का प्रयास करें, यह वर्णन करते हुए कि प्रत्येक मान में क्या शामिल है, जैसा कि आपने प्रारंभ में सूत्र प्राप्त करते समय किया था।
तुम्हें क्या मिला?

अब एक बार फिर ध्यान से देखें।
और तदनुसार:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सूत्र काम करता है न केवल पड़ोसी के साथज्यामितीय प्रगति की वांछित शर्तों के साथ, लेकिन इसके साथ भी समान दूरीसदस्य क्या देख रहे हैं।

इस प्रकार, हमारा मूल सूत्र बन जाता है:

अर्थात्, यदि पहले मामले में हमने कहा था कि, अब हम कहते हैं कि यह किसी भी प्राकृतिक संख्या के बराबर हो सकता है जो कम है। मुख्य बात दोनों दी गई संख्याओं के लिए समान होना है।

विशिष्ट उदाहरणों पर अभ्यास करें, बस बेहद सावधान रहें!

1. , . पाना।
2. , . पाना।
3. , . पाना।

मैंने फैसला किया है? मुझे आशा है कि आप बेहद चौकस थे और एक छोटी सी पकड़ पर ध्यान दिया।

हम परिणामों की तुलना करते हैं।

पहले दो मामलों में, हम उपरोक्त सूत्र को शांति से लागू करते हैं और निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:

तीसरे मामले में, हमें दी गई संख्याओं के क्रमांकों पर सावधानीपूर्वक विचार करने पर, हम समझते हैं कि वे उस संख्या से समान दूरी पर नहीं हैं जिसे हम ढूंढ रहे हैं: यह पिछली संख्या है, लेकिन स्थिति में हटा दी गई है, इसलिए यह संभव नहीं है सूत्र को लागू करने के लिए।

इसे कैसे हल करें? यह वास्तव में उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है! आइए आपके साथ लिखते हैं कि हमें दी गई प्रत्येक संख्या और वांछित संख्या में क्या है।

तो हमारे पास है और। आइए देखें कि हम उनके साथ क्या कर सकते हैं। मैं बंटवारे का सुझाव देता हूं। हम पाते हैं:

हम अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

अगला चरण हम पा सकते हैं - इसके लिए हमें परिणामी संख्या का घनमूल लेना होगा।

अब हम फिर से देखें कि हमारे पास क्या है। हमारे पास है, लेकिन हमें खोजने की जरूरत है, और यह बदले में इसके बराबर है:

हमें गणना के लिए सभी आवश्यक डेटा मिले। सूत्र में स्थानापन्न:

हमारा उत्तर: .

इसी तरह की एक और समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें:
दिया गया: ,
पाना:

आपको कितना मिला? मेरे पास है - ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वास्तव में, आपको चाहिए एक ही सूत्र याद रखना-। बाकी सब आप बिना किसी कठिनाई के स्वयं कभी भी निकाल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस कागज के एक टुकड़े पर सबसे सरल ज्यामितीय प्रगति लिखें और लिखें कि उपरोक्त सूत्र के अनुसार, इसकी प्रत्येक संख्या किसके बराबर है।

एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का योग।

अब उन सूत्रों पर विचार करें जो हमें किसी दिए गए अंतराल में ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग की गणना करने की अनुमति देते हैं:

परिमित ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण के सभी भागों को गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

बारीकी से देखें: अंतिम दो सूत्रों में क्या समानता है? यह सही है, सामान्य सदस्य, उदाहरण के लिए और इसी तरह, पहले और अंतिम सदस्य को छोड़कर। आइए पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाने का प्रयास करें। तुम्हें क्या मिला?

अब एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य के सूत्र के माध्यम से व्यक्त करें और परिणामी अभिव्यक्ति को हमारे अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

अभिव्यक्ति को समूहीकृत करें। आपको मिलना चाहिये:

जो कुछ करना बाकी है वह एक्सप्रेस है:

तदनुसार, इस मामले में।

क्या हो अगर? ऐसे में कौन सा फॉर्मूला काम करता है? एक ज्यामितीय प्रगति की कल्पना करें। वह किसके जैसी है? क्रमशः समान संख्याओं की एक श्रृंखला, सूत्र इस तरह दिखेगा:

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के साथ, कई किंवदंतियाँ हैं। उनमें से एक शतरंज के निर्माता सेठ की कथा है।

बहुत से लोग जानते हैं कि शतरंज के खेल का आविष्कार भारत में हुआ था। जब हिंदू राजा उससे मिले, तो वह उसकी बुद्धि और उसमें संभावित पदों की विविधता से प्रसन्न हुआ। यह जानने के बाद कि इसका आविष्कार उसकी एक प्रजा ने किया था, राजा ने उसे व्यक्तिगत रूप से पुरस्कृत करने का फैसला किया। उसने आविष्कारक को अपने पास बुलाया और सबसे कुशल इच्छा को पूरा करने का वादा करते हुए, जो कुछ भी वह चाहता था, उसे माँगने का आदेश दिया।

सेठ ने सोचने के लिए समय मांगा, और जब अगले दिन सेठ राजा के सामने उपस्थित हुए, तो उन्होंने अपने अनुरोध की अद्वितीय विनय से राजा को आश्चर्यचकित कर दिया। उसने बिसात के पहले वर्ग के लिए गेहूँ का दाना माँगा, दूसरे के लिए गेहूँ, तीसरे के लिए, चौथे के लिए, और इसी तरह।

राजा क्रोधित हुआ और उसने सेठ को यह कहकर भगा दिया कि नौकर का अनुरोध शाही उदारता के योग्य नहीं है, लेकिन वादा किया कि नौकर बोर्ड की सभी कोशिकाओं के लिए उसका अनाज प्राप्त करेगा।

और अब सवाल यह है: एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के सूत्र का उपयोग करके, गणना करें कि सेठ को कितने अनाज प्राप्त होने चाहिए?

आइए चर्चा शुरू करें। चूंकि, शर्त के अनुसार, सेठ ने शतरंज की बिसात के पहले सेल के लिए, दूसरे के लिए, तीसरे के लिए, चौथे के लिए, आदि के लिए गेहूं का एक दाना मांगा, हम देखते हैं कि समस्या एक ज्यामितीय प्रगति के बारे में है। इस मामले में क्या बराबर है?
सही ढंग से।

शतरंज की बिसात की कुल कोशिकाएँ। क्रमश, । हमारे पास सभी डेटा हैं, यह केवल सूत्र में स्थानापन्न करने और गणना करने के लिए बना हुआ है।

किसी दिए गए नंबर के कम से कम "स्केल" का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके बदलते हैं:

बेशक, यदि आप चाहें, तो आप एक कैलकुलेटर ले सकते हैं और गणना कर सकते हैं कि आप किस प्रकार की संख्या के साथ समाप्त होते हैं, और यदि नहीं, तो आपको इसके लिए मेरा शब्द लेना होगा: अभिव्यक्ति का अंतिम मूल्य होगा।
वह है:

क्विंटिल क्वाड्रिलियन ट्रिलियन बिलियन मिलियन हजार।

फुह) यदि आप इस संख्या की विशालता की कल्पना करना चाहते हैं, तो अनुमान लगाएं कि अनाज की पूरी मात्रा को समायोजित करने के लिए कितने आकार के खलिहान की आवश्यकता होगी।
मीटर की ऊँचाई और मीटर की चौड़ाई के साथ, इसकी लंबाई को किमी तक बढ़ाना होगा, अर्थात। पृथ्वी से सूर्य की दुगुनी दूरी पर।

यदि राजा गणित में मजबूत होता, तो वह स्वयं वैज्ञानिक को अनाज गिनने की पेशकश कर सकता था, क्योंकि एक लाख अनाज गिनने के लिए, उसे कम से कम एक दिन की अथक गिनती की आवश्यकता होती, और यह देखते हुए कि क्विंटिल्स को गिनना आवश्यक है, जीवन भर अनाज को गिनना होगा।

और अब हम एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग पर एक साधारण समस्या का समाधान करेंगे।
कक्षा 5 की छात्रा वासिया फ्लू से बीमार हो गई, लेकिन उसका स्कूल जाना जारी है। हर दिन, वासिया दो लोगों को संक्रमित करता है, जो बदले में दो और लोगों को संक्रमित करते हैं, और इसी तरह। कक्षा में सिर्फ एक व्यक्ति। पूरी कक्षा को कितने दिनों में फ्लू हो जाएगा?

तो, एक ज्यामितीय प्रगति का पहला सदस्य वस्या है, अर्थात एक व्यक्ति। ज्यामितीय प्रगति के चौथे सदस्य, ये दो लोग हैं जिन्हें उसने अपने आने के पहले दिन संक्रमित किया था। प्रगति के सदस्यों की कुल राशि 5A छात्रों की संख्या के बराबर है। तदनुसार, हम एक प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं जिसमें:

आइए अपने डेटा को ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

पूरी कक्षा कुछ ही दिनों में बीमार हो जाएगी। सूत्रों और संख्याओं में विश्वास नहीं करते? छात्रों के "संक्रमण" को स्वयं चित्रित करने का प्रयास करें। हो गई? देखें कि यह मेरे लिए कैसा दिखता है:

अपने लिए गणना करें कि कितने दिनों में छात्रों को फ्लू हो जाएगा यदि हर कोई एक व्यक्ति को संक्रमित करेगा, और कक्षा में एक व्यक्ति था।

आपको क्या मूल्य मिला? यह पता चला कि एक दिन बाद सभी बीमार होने लगे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसा कार्य और इसके लिए चित्र एक पिरामिड जैसा दिखता है, जिसमें प्रत्येक बाद के "नए लोग" लाते हैं। हालाँकि, जल्दी या बाद में एक क्षण आता है जब बाद वाला किसी को आकर्षित नहीं कर सकता है। हमारे मामले में, यदि हम कल्पना करते हैं कि वर्ग अलग-थलग है, तो व्यक्ति श्रृंखला को बंद कर देता है ()। इस प्रकार, यदि कोई व्यक्ति एक वित्तीय पिरामिड में शामिल था जिसमें पैसा दिया गया था यदि आप दो अन्य प्रतिभागियों को लाते हैं, तो व्यक्ति (या सामान्य मामले में) क्रमशः किसी को नहीं लाएगा, वह सब कुछ खो देगा जो उन्होंने इस वित्तीय घोटाले में निवेश किया था .

ऊपर जो कुछ कहा गया था वह एक घटती या बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति को संदर्भित करता है, लेकिन, जैसा कि आप याद करते हैं, हमारे पास एक विशेष प्रकार है - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति। इसके सदस्यों के योग की गणना कैसे करें? और इस प्रकार की प्रगति में कुछ विशेषताएं क्यों होती हैं? आइए इसे एक साथ समझें।

तो, शुरुआत करने वालों के लिए, आइए हमारे उदाहरण से असीमित घटती ज्यामितीय प्रगति की इस तस्वीर को फिर से देखें:

और अब आइए एक ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखें, जो कुछ समय पहले प्राप्त हुआ था:
या

हम किसके लिए प्रयास कर रहे हैं? यह सही है, ग्राफ दिखाता है कि यह शून्य की ओर जाता है। यही है, जब यह लगभग बराबर होगा, क्रमशः, अभिव्यक्ति की गणना करते समय, हम लगभग प्राप्त करेंगे। इस संबंध में, हम मानते हैं कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग की गणना करते समय, इस ब्रैकेट को उपेक्षित किया जा सकता है, क्योंकि यह बराबर होगा।

- सूत्र अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का योग है।

महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब स्थिति स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें योग खोजने की आवश्यकता है अनंतसदस्यों की संख्या।

यदि एक विशिष्ट संख्या n इंगित की जाती है, तो हम n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, भले ही या।

और अब चलो अभ्यास करते हैं।

1. और के साथ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए।
2. और के साथ एक असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का योग पाएं।

मुझे आशा है कि आप बहुत सावधान थे। हमारे उत्तरों की तुलना करें:

अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं, और यह सिद्धांत से अभ्यास करने का समय है। परीक्षा में पाई जाने वाली सबसे आम घातीय समस्याएं चक्रवृद्धि ब्याज की समस्याएं हैं। यह उनके बारे में है कि हम बात करेंगे।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए समस्याएं।

आपने तथाकथित चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र के बारे में सुना होगा। क्या आप समझते हैं कि उसका क्या मतलब है? यदि नहीं, तो आइए इसका पता लगाते हैं, क्योंकि इस प्रक्रिया को महसूस करने के बाद, आप तुरंत समझ जाएंगे कि ज्यामितीय प्रगति का इससे क्या लेना-देना है।

हम सभी बैंक जाते हैं और जानते हैं कि जमा के लिए अलग-अलग शर्तें हैं: यह शब्द है, और अतिरिक्त रखरखाव, और इसकी गणना के दो अलग-अलग तरीकों से ब्याज - सरल और जटिल।

से साधारण ब्याजसब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: जमा अवधि के अंत में एक बार ब्याज लगाया जाता है। यही है, अगर हम प्रति वर्ष 100 रूबल लगाने की बात कर रहे हैं, तो उन्हें केवल वर्ष के अंत में जमा किया जाएगा। तदनुसार, जमा के अंत तक, हम रूबल प्राप्त करेंगे।

चक्रवृद्धि ब्याजएक विकल्प है जिसमें ब्याज पूंजीकरण, अर्थात। जमा की राशि में उनका जोड़ और आय की बाद की गणना प्रारंभिक से नहीं, बल्कि जमा की संचित राशि से। पूंजीकरण लगातार नहीं होता है, लेकिन कुछ आवधिकता के साथ होता है। एक नियम के रूप में, ऐसी अवधि समान होती है और अक्सर बैंक एक महीने, एक चौथाई या एक वर्ष का उपयोग करते हैं।

मान लीजिए कि हम प्रति वर्ष सभी समान रूबल डालते हैं, लेकिन जमा के मासिक पूंजीकरण के साथ। हमें क्या मिलता है?

क्या आप यहाँ सब कुछ समझते हैं? अगर नहीं, तो चलिए इसे स्टेप बाय स्टेप लेते हैं।

हम बैंक में रूबल लाए। महीने के अंत तक, हमारे खाते में हमारे रूबल और उन पर ब्याज सहित एक राशि होनी चाहिए, जो है:

मैं सहमत हूं?

हम इसे ब्रैकेट से बाहर निकाल सकते हैं और फिर हमें मिलता है:

सहमत हूँ, यह सूत्र पहले से ही उसी के समान है जिसे हमने शुरुआत में लिखा था। यह प्रतिशत से निपटने के लिए बनी हुई है

समस्या की स्थिति में हमें वार्षिक के बारे में बताया जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, हम गुणा नहीं करते हैं - हम प्रतिशत को दशमलव में बदलते हैं, अर्थात:

सही? अब आप पूछेंगे कि नंबर कहां से आया? बहुत आसान!
मैं दोहराता हूं: समस्या की स्थिति के बारे में कहते हैं सालानाअर्जित ब्याज महीने के. जैसा कि आप जानते हैं, क्रमशः महीनों के एक वर्ष में, बैंक हमसे प्रति माह वार्षिक ब्याज का एक हिस्सा वसूल करेगा:

समझना? अब यह लिखने का प्रयास करें कि सूत्र का यह भाग कैसा दिखेगा यदि मैंने कहा कि ब्याज की गणना प्रतिदिन की जाती है।
क्या आप संभाल पाओगे? आइए परिणामों की तुलना करें:

बहुत बढ़िया! आइए अपने काम पर लौटते हैं: यह लिखें कि दूसरे महीने के लिए हमारे खाते में कितना जमा किया जाएगा, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि संचित जमा राशि पर ब्याज लगाया जाता है।
यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है:

या, दूसरे शब्दों में:

मुझे लगता है कि आपने पहले ही एक पैटर्न देखा है और इस सब में एक ज्यामितीय प्रगति देखी है। यह लिखें कि इसका सदस्य किसके बराबर होगा, या दूसरे शब्दों में, महीने के अंत में हमें कितना पैसा मिलेगा।
किया? जाँच हो रही है!

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप साधारण ब्याज पर एक वर्ष के लिए बैंक में पैसा लगाते हैं, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे, और यदि आप इसे चक्रवृद्धि दर पर रखते हैं, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे। लाभ छोटा है, लेकिन यह केवल वें वर्ष के दौरान होता है, लेकिन लंबी अवधि के लिए पूंजीकरण अधिक लाभदायक होता है:

एक अन्य प्रकार की चक्रवृद्धि ब्याज समस्याओं पर विचार करें। आपने जो पता लगाया उसके बाद, यह आपके लिए प्राथमिक होगा। तो कार्य है:

Zvezda ने 2000 में एक डॉलर की पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2001 से हर साल इसने पिछले साल की पूंजी के बराबर मुनाफा कमाया है। Zvezda कंपनी को 2003 के अंत में कितना लाभ प्राप्त होगा, यदि संचलन से लाभ वापस नहीं लिया गया?

2000 में Zvezda कंपनी की राजधानी।
- 2001 में Zvezda कंपनी की राजधानी।
- 2002 में Zvezda कंपनी की राजधानी।
- 2003 में Zvezda कंपनी की राजधानी।

या हम संक्षेप में लिख सकते हैं:

हमारे मामले के लिए:

2000, 2001, 2002 और 2003।

क्रमश:
रूबल
ध्यान दें कि इस समस्या में हमारे पास या तो भाग नहीं है, क्योंकि प्रतिशत वार्षिक रूप से दिया जाता है और इसकी गणना वार्षिक रूप से की जाती है। अर्थात्, चक्रवृद्धि ब्याज के लिए समस्या को पढ़ते समय, इस बात पर ध्यान दें कि कितना प्रतिशत दिया गया है और किस अवधि में इसे चार्ज किया गया है, और उसके बाद ही गणना के लिए आगे बढ़ें।
अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं।

कसरत करना।

1. एक ज्यामितीय प्रगति की अवधि खोजें यदि यह ज्ञात है कि, और
2. ज्यामितीय प्रगति के पहले पदों का योग ज्ञात करें, यदि यह ज्ञात है कि, और
3. एमडीएम कैपिटल ने 2003 में डॉलर पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2004 से हर साल, उसने पिछले वर्ष की पूंजी के बराबर लाभ कमाया है। कंपनी "एमएसके कैश फ्लो" ने 2005 में 10,000 डॉलर की राशि में उद्योग में निवेश करना शुरू किया, 2006 में लाभ कमाना शुरू किया। 2007 के अंत में एक कंपनी की पूंजी कितनी डॉलर से अधिक हो जाती है, यदि संचलन से लाभ वापस नहीं लिया जाता है?

उत्तर:

1. चूँकि समस्या की स्थिति यह नहीं कहती है कि प्रगति अनंत है और इसके सदस्यों की एक विशिष्ट संख्या का योग ज्ञात करना आवश्यक है, गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
2. 
   कंपनी "एमडीएम कैपिटल":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007।
   - 100% यानी 2 गुना बढ़ जाता है।
   क्रमश:
   रूबल
   एमएसके कैश फ्लो:

   2005, 2006, 2007।
   - बढ़ जाता है, यानी कई बार।
   क्रमश:
   रूबल
   रूबल

आइए संक्षेप करते हैं।

1) एक ज्यामितीय प्रगति ( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का भाजक कहा जाता है।

2) एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों का समीकरण -।

3) और को छोड़कर कोई भी मान ले सकता है।

• यदि, तो प्रगति के बाद के सभी सदस्यों का एक ही चिन्ह है - वे सकारात्मक;
• यदि, तो प्रगति के बाद के सभी सदस्य वैकल्पिक संकेत;
• कब - प्रगति को असीम रूप से घटता हुआ कहा जाता है।

4) , पर - एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति (पड़ोसी शब्द)

या
, पर (समान दूरी पर)

जब मिल जाए, तो उसे मत भूलना दो उत्तर होने चाहिए।.

उदाहरण के लिए,

5) ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
या

यदि प्रगति असीम रूप से घट रही है, तो:
या

महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब स्थिति स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें अनंत संख्या में शब्दों का योग खोजने की आवश्यकता है।

6) चक्रवृद्धि ब्याज के कार्यों की गणना ज्यामितीय प्रगति के वें सदस्य के सूत्र के अनुसार की जाती है, बशर्ते कि धन संचलन से वापस नहीं लिया गया हो:

ज्यामितीय अनुक्रम। संक्षेप में मुख्य के बारे में

ज्यामितीय अनुक्रम( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या से गुणा किया गया है। इस नंबर को कहा जाता है एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक।

एक ज्यामितीय प्रगति का भाजकको छोड़कर कोई भी मूल्य ले सकता है।

• यदि, तो प्रगति के बाद के सभी सदस्यों का एक ही संकेत है - वे सकारात्मक हैं;
• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्य वैकल्पिक संकेत;
• कब - प्रगति को असीम रूप से घटता हुआ कहा जाता है।

एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों का समीकरण - .

एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का योगसूत्र द्वारा गणना:
या

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "संख्या क्रम। ज्यामितीय प्रगति"

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पॉवर्स और रूट्स फ़ंक्शंस और ग्राफ़

दोस्तों आज हम एक और प्रकार की प्रगति से परिचित होंगे।
आज के पाठ का विषय ज्यामितीय प्रगति है।

ज्यामितीय अनुक्रम

उदाहरण। 1,2,4,8,16… ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला सदस्य एक के बराबर है, और $q=2$।

उदाहरण। 8,8,8,8… एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका पहला पद आठ है,
और $ क्यू = 1 $।

उदाहरण। 3,-3,3,-3,3... एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका पहला पद तीन है,
और क्यू = -1 $।

ज्यामितीय प्रगति में एकरसता के गुण होते हैं।
अगर $b_(1)>0$, $q>1$,
फिर क्रम बढ़ रहा है।
अगर $b_(1)>0$, $0 अनुक्रम को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$।

अंकगणितीय प्रगति की तरह, यदि ज्यामितीय प्रगति में तत्वों की संख्या परिमित है, तो प्रगति को परिमित ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$।
ध्यान दें कि यदि अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है, तो वर्ग पदों का क्रम भी एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। दूसरे क्रम में पहला पद $b_(1)^2$ और हर $q^2$ है।

ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र

आइए अपने उदाहरणों पर वापस जाएं।

उदाहरण। 1,2,4,8,16… एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका पहला पद एक के बराबर है,
और $ क्यू = 2 $।
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$।

उदाहरण। 16,8,4,2,1,1/2… एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला कार्यकाल सोलह और $q=\frac(1)(2)$ है।
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$।

उदाहरण। 8,8,8,8… एक ज्यामितीय प्रगति जहां पहला शब्द आठ और $q=1$ है।
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

उदाहरण। 3,-3,3,-3,3… एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका पहला पद तीन है और $q=-1$ है।
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$।

उदाहरण। एक ज्यामितीय प्रगति $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ दिया गया है।
ए) यह ज्ञात है कि $b_(1)=6, q=3$। $b_(5)$ ढूँढें।
ख) यह ज्ञात है कि $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$। एन खोजें।
ग) यह ज्ञात है कि $q=-2, b_(6)=96$। $B_(1)$ खोजें।
डी) यह ज्ञात है कि $b_(1)=-2, b_(12)=4096$। क्यू खोजें।

समाधान।
ए) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$।
ख) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$।
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ चूंकि $2^7=128 => n-1=7; एन = 8 $।
सी) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
घ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$।

उदाहरण। गुणोत्तर श्रेढ़ी के सातवें और पाँचवें सदस्यों के बीच का अंतर 192 है, श्रेढ़ी के पाँचवें और छठे सदस्यों का योग 192 है। इस श्रेढ़ी का दसवाँ सदस्य ज्ञात कीजिए।

समाधान।
हम जानते हैं कि: $b_(7)-b_(5)=192$ और $b_(5)+b_(6)=192$।
हम यह भी जानते हैं: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
फिर:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
$\begin(मामले)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(मामले)$।
समानता, हमारे समीकरण प्राप्त करते हैं:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$।
$q^2-1=q+1$।
$q^2-q-2=0$।
हमें दो समाधान q मिले: $q_(1)=2, q_(2)=-1$।
दूसरे समीकरण में क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करें:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ कोई समाधान नहीं।
हमें वह मिला: $b_(1)=4, q=2$।
दसवाँ पद ज्ञात करें: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$।

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति का योग

चलो एक परिमित ज्यामितीय प्रगति दी जाती है: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$।
आइए इसकी शर्तों के योग के लिए संकेतन का परिचय दें: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$।
उस स्थिति में जब $q=1$. ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य पहले सदस्य के बराबर हैं, तो यह स्पष्ट है कि $S_(n)=n*b_(1)$।
अब मामले $q≠1$ पर विचार करें।
उपरोक्त राशि को q से गुणा करें।
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
टिप्पणी:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$।
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$।

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$।

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$।

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$।

हमने परिमित ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र प्राप्त किया है।

समाधान।
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$।

उदाहरण।
ज्यामितीय प्रगति का पांचवां सदस्य खोजें, जो ज्ञात है: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$।

समाधान।
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$।
$q^(n)=1024q$।

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$।
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$।
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$।
$1365q-1365=1024q-1$।
$341q=1364$.
$ क्यू = 4 $।
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

एक ज्यामितीय प्रगति की विशेषता संपत्ति

एक संख्या अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, जब इसकी प्रत्येक शर्तों का वर्ग प्रगति की दो पड़ोसी शर्तों के उत्पाद के बराबर होता है। यह मत भूलो कि एक परिमित प्रगति के लिए यह स्थिति पहले और अंतिम कार्यकाल के लिए संतुष्ट नहीं है।

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का मापांक इसके निकटवर्ती दो सदस्यों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।

समाधान।
आइए विशेषता संपत्ति का उपयोग करें:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$।
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$।
$x^2-x-2=0$।
$x_(1)=2$ और $x_(2)=-1$।
मूल अभिव्यक्ति में क्रमिक रूप से स्थानापन्न करें, हमारे समाधान:
$x=2$ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 4;6;9 $q=1.5$ के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है।
$x=-1$ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 1;0;0।
उत्तर: $x=2.$

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य