क्षैतिज गति सूत्र। एक गति के साथ क्षैतिज रूप से फेंके गए शरीर की गति

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड की गति पर विचार करें और अकेले गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत गति करें (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा)। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि मेज पर पड़ी एक गेंद को एक धक्का दिया जाता है, और यह मेज के किनारे पर लुढ़क जाती है और प्रारंभिक वेग को क्षैतिज रूप से निर्देशित करते हुए स्वतंत्र रूप से गिरना शुरू कर देती है (चित्र। 174)।

चलो गेंद की गति को ऊर्ध्वाधर अक्ष और क्षैतिज अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं। धुरी पर गेंद के प्रक्षेपण की गति गति के बिना गति के बिना एक गति है; गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत प्रारंभिक वेग से परे त्वरण के साथ धुरी पर गेंद के प्रक्षेपण की गति एक मुक्त गिरावट है। हम दोनों गतियों के नियमों को जानते हैं। वेग घटक स्थिर और के बराबर रहता है। घटक समय के अनुपात में बढ़ता है: . परिणामी गति आसानी से समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करके पाई जाती है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 175. यह नीचे की ओर झुकेगा और समय के साथ इसकी ढलान बढ़ती जाएगी।

चावल। 174. एक मेज से लुढ़कती हुई गेंद का हिलना

चावल। 175. गति के साथ क्षैतिज रूप से फेंकी गई गेंद की गति इस समय होती है

क्षैतिज रूप से फेंके गए शरीर का प्रक्षेपवक्र ज्ञात कीजिए। समय के मामले में शरीर के निर्देशांक

प्रक्षेपवक्र समीकरण को खोजने के लिए, हम (112.1) से समय के माध्यम से व्यक्त करते हैं और इस अभिव्यक्ति को (112.2) में प्रतिस्थापित करते हैं। नतीजतन, हमें मिलता है

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्र में दिखाया गया है। 176. प्रक्षेपवक्र बिंदुओं के निर्देशांक भुज के वर्गों के समानुपाती होते हैं। हम जानते हैं कि ऐसे वक्रों को परवलय कहते हैं। एक पैराबोला ने समान रूप से त्वरित गति (§ 22) के पथ का एक ग्राफ दर्शाया। इस प्रकार, एक स्वतंत्र रूप से गिरने वाला पिंड जिसका प्रारंभिक वेग क्षैतिज है, एक परवलय के साथ चलता है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में तय किया गया पथ प्रारंभिक गति पर निर्भर नहीं करता है। लेकिन क्षैतिज दिशा में तय किया गया पथ प्रारंभिक गति के समानुपाती होता है। इसलिए, एक बड़े क्षैतिज प्रारंभिक वेग के साथ, जिस परवलय के साथ शरीर गिरता है वह क्षैतिज दिशा में अधिक लम्बा होता है। यदि पानी के एक जेट को क्षैतिज रूप से स्थित ट्यूब (चित्र। 177) से निकाल दिया जाता है, तो पानी के अलग-अलग कण, गेंद की तरह, एक परबोला के साथ चलते हैं। नल जितना अधिक खुला होता है जिससे पानी ट्यूब में प्रवेश करता है, पानी का प्रारंभिक वेग उतना ही अधिक होता है और नल से जेट क्युवेट के तल तक जाता है। जेट के पीछे उस पर पूर्व-तैयार किए गए पैराबोलस के साथ एक स्क्रीन रखकर, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि पानी के जेट में वास्तव में एक पैराबोला का आकार है।

चावल। 176. क्षैतिज रूप से फेंके गए शरीर का प्रक्षेपवक्र

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड की गति पर विचार करें और अकेले गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत गति करें (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा)। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि मेज पर पड़ी एक गेंद को एक धक्का दिया जाता है, और यह मेज के किनारे पर लुढ़क जाती है और प्रारंभिक वेग को क्षैतिज रूप से निर्देशित करते हुए स्वतंत्र रूप से गिरना शुरू कर देती है (चित्र। 174)।

चलो गेंद की गति को ऊर्ध्वाधर अक्ष और क्षैतिज अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं। धुरी पर गेंद के प्रक्षेपण की गति गति के बिना गति के बिना एक गति है; गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत प्रारंभिक वेग से परे त्वरण के साथ धुरी पर गेंद के प्रक्षेपण की गति एक मुक्त गिरावट है। हम दोनों गतियों के नियमों को जानते हैं। वेग घटक स्थिर और के बराबर रहता है। घटक समय के अनुपात में बढ़ता है: . परिणामी गति आसानी से समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करके पाई जाती है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 175. यह नीचे की ओर झुकेगा और समय के साथ इसकी ढलान बढ़ती जाएगी।

चावल। 174. एक मेज से लुढ़कती हुई गेंद का हिलना

चावल। 175. गति के साथ क्षैतिज रूप से फेंकी गई गेंद की गति इस समय होती है

क्षैतिज रूप से फेंके गए शरीर का प्रक्षेपवक्र ज्ञात कीजिए। समय के मामले में शरीर के निर्देशांक

प्रक्षेपवक्र समीकरण को खोजने के लिए, हम (112.1) से समय के माध्यम से व्यक्त करते हैं और इस अभिव्यक्ति को (112.2) में प्रतिस्थापित करते हैं। नतीजतन, हमें मिलता है

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्र में दिखाया गया है। 176. प्रक्षेपवक्र बिंदुओं के निर्देशांक भुज के वर्गों के समानुपाती होते हैं। हम जानते हैं कि ऐसे वक्रों को परवलय कहते हैं। एक पैराबोला ने समान रूप से त्वरित गति (§ 22) के पथ का एक ग्राफ दर्शाया। इस प्रकार, एक स्वतंत्र रूप से गिरने वाला पिंड जिसका प्रारंभिक वेग क्षैतिज है, एक परवलय के साथ चलता है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में तय किया गया पथ प्रारंभिक गति पर निर्भर नहीं करता है। लेकिन क्षैतिज दिशा में तय किया गया पथ प्रारंभिक गति के समानुपाती होता है। इसलिए, एक बड़े क्षैतिज प्रारंभिक वेग के साथ, जिस परवलय के साथ शरीर गिरता है वह क्षैतिज दिशा में अधिक लम्बा होता है। यदि पानी के एक जेट को क्षैतिज रूप से स्थित ट्यूब (चित्र। 177) से निकाल दिया जाता है, तो पानी के अलग-अलग कण, गेंद की तरह, एक परबोला के साथ चलते हैं। नल जितना अधिक खुला होता है जिससे पानी ट्यूब में प्रवेश करता है, पानी का प्रारंभिक वेग उतना ही अधिक होता है और नल से जेट क्युवेट के तल तक जाता है। जेट के पीछे उस पर पूर्व-तैयार किए गए पैराबोलस के साथ एक स्क्रीन रखकर, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि पानी के जेट में वास्तव में एक पैराबोला का आकार है।

112.1। उड़ान के 2 सेकंड के बाद क्षैतिज रूप से 15 मीटर/सेकेंड की गति से फेंके गए शरीर की गति क्या होगी? किस क्षण वेग को क्षैतिज से 45° के कोण पर निर्देशित किया जाएगा? वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

112.2. एक गेंद 1 मीटर ऊंचाई वाली टेबल से लुढ़क कर टेबल के किनारे से 2 मीटर की दूरी पर गिरी। गेंद की क्षैतिज गति क्या थी? वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

कई उदाहरणों का उपयोग करना (जो मैंने शुरू में हल किया था, हमेशा की तरह, otvet.mail.ru पर), हम प्राथमिक बैलिस्टिक की समस्याओं के एक वर्ग पर विचार करेंगे: एक निश्चित प्रारंभिक गति के साथ क्षितिज पर एक कोण पर प्रक्षेपित निकाय की उड़ान, बिना हवा के प्रतिरोध और पृथ्वी की सतह की वक्रता को ध्यान में रखते हुए (अर्थात दिशा मुक्त गिरावट त्वरण वेक्टर जी को अपरिवर्तित माना जाता है)।

कार्य 1।शरीर की उड़ान सीमा पृथ्वी की सतह के ऊपर इसकी उड़ान की ऊंचाई के बराबर होती है। शरीर को किस कोण पर फेंका गया है? (कुछ स्रोतों में, किसी कारण से, गलत उत्तर दिया गया है - 63 डिग्री)।

चलो उड़ान के समय को 2 * t के रूप में निरूपित करते हैं (फिर t के दौरान शरीर ऊपर उठता है, और अगले अंतराल t के दौरान यह नीचे आता है)। बता दें कि वेग का क्षैतिज घटक V1 और ऊर्ध्वाधर घटक V2 है। फिर उड़ान रेंज S = V1*2*t। उड़ान की ऊँचाई H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2। समानता
एस = एच
वी1*2*टी = वी2*टी/2
वी2/वी1 = 4
ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज गति का अनुपात आवश्यक कोण α का स्पर्शरेखा है, जहां α = आर्कटान (4) = 76 डिग्री है।

कार्य 2।एक पिंड को पृथ्वी की सतह से गति V0 से कोण α पर क्षितिज पर फेंका जाता है। शरीर के प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या का पता लगाएं: ए) आंदोलन की शुरुआत में; बी) प्रक्षेपवक्र के शीर्ष पर।

दोनों ही मामलों में, वक्रीय गति का स्रोत गुरुत्वाकर्षण है, अर्थात, मुक्त गिरावट त्वरण जी, लंबवत नीचे की ओर निर्देशित है। यहां जो कुछ भी आवश्यक है वह प्रक्षेपण जी को खोजने के लिए है, वर्तमान वेग वी के लंबवत है, और इसे केंद्रीय त्वरण वी^2/आर के बराबर करें, जहां आर वक्रता का वांछित त्रिज्या है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, आंदोलन शुरू करने के लिए हम लिख सकते हैं
gn = g*cos(a) = V0^2/R
जहाँ से वांछित त्रिज्या R = V0^2/(g*cos(a))

प्रक्षेपवक्र के ऊपरी बिंदु के लिए (आंकड़ा देखें) हमारे पास है
g = (V0*cos(a))^2/R
जहां से आर = (V0*cos(a))^2/g

कार्य 3। (एक विषय पर भिन्नता)प्रक्षेप्य क्षैतिज रूप से ऊंचाई h पर चला गया और दो समान टुकड़ों में फट गया, जिनमें से एक विस्फोट के बाद समय t1 में जमीन पर गिर गया। पहला टुकड़ा गिरने के कितने समय बाद दूसरा गिरेगा?

जो भी लंबवत वेग वी पहला टुकड़ा प्राप्त करता है, दूसरा वही ऊर्ध्वाधर वेग पूर्ण मूल्य में प्राप्त करेगा, लेकिन विपरीत दिशा में निर्देशित (यह टुकड़ों के समान द्रव्यमान और संवेग के संरक्षण से होता है)। इसके अलावा, V को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, क्योंकि अन्यथा दूसरा टुकड़ा पहले वाले से पहले जमीन पर आ जाएगा।

एच = वी * टी 1 + जी * टी 1 ^ 2/2
वी = (एच-जी*टी1^2/2)/टी1
दूसरा उड़ जाएगा, समय वी/जी के बाद लंबवत गति खो देगा, और फिर उसी समय के बाद प्रारंभिक ऊंचाई एच तक उड़ जाएगा, और इसकी देरी का समय टी 2 पहले टुकड़े के सापेक्ष (उड़ान समय से नहीं) विस्फोट का क्षण) होगा
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

2018-06-03 को अपडेट किया गया

उद्धरण:
एक पत्थर को क्षैतिज से 60° के कोण पर 10 मीटर/सेकण्ड की गति से फेंका जाता है। आंदोलन की शुरुआत के बाद 1.0 एस के बाद शरीर के स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण का निर्धारण करें, इस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या, उड़ान की अवधि और सीमा। t = 1.0 s पर वेग सदिश के साथ कुल त्वरण सदिश क्या कोण बनाता है

1 सेकंड के बाद, ऊर्ध्वाधर वेग 8.66 - 9.8*1 = -1.14 मी/से (नीचे की ओर) होगा। इसका अर्थ है कि क्षितिज के वेग का कोण आर्कटान (1.14/5) = 12.8° (नीचे) होगा। चूँकि यहाँ कुल त्वरण अद्वितीय और अपरिवर्तित है (यह मुक्त गिरावट का त्वरण है जीलंबवत नीचे की ओर इशारा करते हुए), फिर शरीर के वेग और के बीच का कोण जीइस समय 90-12.8 = 77.2° होगा।

स्पर्शरेखा त्वरण एक प्रक्षेपण है जीवेग सदिश की दिशा में, जिसका अर्थ है कि यह g*sin(12.8) = 2.2 m/s2 है। सामान्य त्वरण वेग वेक्टर के लंबवत प्रक्षेपण है जी, यह g*cos(12.8) = 9.56 m/s2 के बराबर है। और चूंकि बाद वाला व्यंजक V^2/R द्वारा वक्रता की गति और त्रिज्या से संबंधित है, हमारे पास 9.56 = (5*5 + 1.14*1.14)/R है, जहां से आवश्यक त्रिज्या R = 2.75 मीटर है।

शरीर को इस तरह से फेंका जा सकता है कि उसका प्रारंभिक वेग v0क्षैतिज रूप से निर्देशित किया जाएगा (α = 0)। यह दिशा है, उदाहरण के लिए, क्षैतिज रूप से उड़ने वाले विमान से अलग शरीर के प्रारंभिक वेग की। यह समझना आसान है कि शरीर किस प्रक्षेपवक्र के साथ आगे बढ़ेगा। आइए हम चित्र 15 की ओर मुड़ें, जो एक कोण α पर क्षितिज पर फेंके गए पिंड के परवलयिक प्रक्षेपवक्र को दर्शाता है। पैराबोला के प्रक्षेपवक्र के उच्चतम बिंदु पर, शरीर का वेग ठीक क्षैतिज रूप से निर्देशित होता है। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, इस बिंदु से परे शरीर परबोला की दाहिनी शाखा के साथ चलता है। जाहिर है, क्षैतिज रूप से फेंका गया कोई भी पिंड परवलय की शाखा के साथ-साथ चलेगा।

क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंडों की गति के प्रक्षेपवक्र या कोण को एक साधारण प्रयोग में नेत्रहीन रूप से अध्ययन किया जा सकता है। पानी से भरे एक बर्तन को टेबल के ऊपर एक निश्चित ऊंचाई पर रखा जाता है और एक रबर ट्यूब के साथ एक नल से सुसज्जित टिप से जोड़ा जाता है। पानी के उत्सर्जित जेट सीधे पानी के कणों की गति के प्रक्षेपवक्र को दर्शाते हैं। इस प्रकार, घटना α और वेग के कोण के विभिन्न मूल्यों पर प्रक्षेपवक्र का निरीक्षण करना संभव है v0.

एक निश्चित प्रारंभिक ऊँचाई से क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड की गति का समय केवल इस प्रारंभिक ऊँचाई से पिंड के मुक्त पतन के लिए आवश्यक समय से निर्धारित होता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक शूटर द्वारा क्षैतिज दिशा में एक बंदूक से दागी गई गोली उसी समय जमीन पर गिरेगी, जब शॉट के समय संयोग से गोली गिरी थी (बशर्ते कि शूटर उसी से गोली गिराता हो) वह ऊंचाई जिस पर शॉट के समय बंदूक में है! ..) लेकिन गिराई गई गोली निशानेबाज के पैरों में गिरेगी, और बंदूक की बैरल से निकली गोली उससे कई सौ मीटर दूर गिरेगी।

समस्या समाधान उदाहरण

इस उदाहरण को इस कारण से चुना गया था कि विचाराधीन समस्या एक सामान्य प्रकृति की है और गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत शरीर की गति की सभी विशेषताओं को बेहतर ढंग से समझने के लिए, इसके समाधान के उदाहरण का उपयोग करने की अनुमति देती है।

समस्या को हल करने के लिए शर्तों पर लगाई गई प्रारंभिक धारणाएँ

इस समस्या को हल करने में, हम केवल दो प्रारंभिक मान्यताओं का उपयोग करेंगे:

1. हम गति के किसी भी क्षण में जिस ऊंचाई पर शरीर है, उस ऊंचाई पर मुक्त गिरावट त्वरण वेक्टर के पूर्ण मूल्य की निर्भरता की उपेक्षा करेंगे (चित्र 11 देखें और उस पर टिप्पणी करें)
2. पिंड की गति का विश्लेषण करते समय हम पृथ्वी की सतह की वक्रता की उपेक्षा करेंगे (चित्र 11 देखें और उस पर टिप्पणी करें)

काम:

• समय टी के बाद शरीर की स्थिति और गति;
• उड़ान पथ समीकरण;
• सामान्य और स्पर्शरेखा त्वरण और क्षण टी पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या;
• कुल उड़ान समय;
• उच्चतम उठाने की ऊँचाई;
• वह कोण जिस पर शरीर को फेंका जाना चाहिए ताकि उसके उठने की ऊँचाई उड़ान सीमा के बराबर हो (बशर्ते कि x 0 \u003d y 0 \u003d 0)।

समाधान

आइए बिंदु के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन की दिशाओं के साथ आयताकार समन्वय प्रणाली X और Y के अक्षों को निर्देशित करें। चूंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण वेक्टर में एक्स अक्ष के समानांतर कोई घटक नहीं होता है, अर्थात शरीर की गति के वेक्टर समीकरणों का रूप होता है:

स्पष्ट रूप में, समन्वय प्रणाली के अक्षों पर पहले समीकरण में शामिल सदिश राशियों के अनुमानों के लिए अभिव्यक्ति का रूप है जो समय टी पर शरीर की स्थिति निर्धारित करता है:

चूँकि प्रत्येक सदिश को उसके अनुमानों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है (ये भी सदिश हैं) निर्देशांक अक्षों पर, प्रत्येक सदिश समीकरण को दो सदिश समीकरणों के रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन अनुमानों के लिए। समन्वय प्रणाली के अक्षों पर दूसरे समीकरण में शामिल सदिश राशियों के अनुमानों को व्यक्त करने के बाद, हम वेग घटक पाते हैं

समय टी पर शरीर की स्थिति निर्धारित करने वाले दोनों समीकरणों से टी को हटाकर, हम उड़ान पथ समीकरण प्राप्त करते हैं

निर्देशांक x, y के साथ एक बिंदु पर शरीर के स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरणों को निर्धारित करने के लिए, हम ध्यान दें कि शरीर का कुल त्वरण हमेशा नीचे की ओर निर्देशित होता है और केवल गुरुत्वाकर्षण के त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है, (कोई अन्य बल और त्वरण नहीं हैं) समस्या की स्थिति)। स्पर्शरेखा त्वरण सदिश के प्रक्षेपवक्र पर स्पर्शरेखा के प्रक्षेपण के बराबर है (अर्थात −g sinγ , जैसा कि समस्या के लिए व्याख्यात्मक चित्र में देखा गया है), और स्पर्शरेखा के लिए सामान्य त्वरण −g cosγ के प्रक्षेपण के बराबर है (चित्र 16 देखें)

आइए रास्ते में t पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता (R) की त्रिज्या का अनुमानित मान ज्ञात करें। यह मानते हुए कि बिंदु एक वृत्त के चाप के साथ चलता है (यह एक सन्निकटन है जो परिणाम के अंतिम गणितीय सूत्र को सरल करता है, जो वास्तव में नहीं होता है और अधिकतम बॉडी लिफ्ट के बिंदु के पास सबसे अच्छा प्रदर्शन किया जाता है), हम सूत्र का उपयोग करते हैं

यदि शरीर को सतह पर एक बिंदु से फेंका जाता है जहां और y = 0, तो समस्या बहुत आसान हो जाती है। (x max − x 0) से घटाने पर, हम पाते हैं कि

कुल उड़ान समय सूत्र से निर्धारित किया जा सकता है कहाँ पे

शरीर की सबसे बड़ी उठाने की ऊँचाई उस क्षण t पर पहुँच जाती है जब v y = 0। चूंकि वाई अक्ष के साथ वेग वेक्टर का घटक है, तो शरीर की अधिकतम वृद्धि के बिंदु पर समानता v y = 0 होती है, जिससे हम प्राप्त करते हैं