वास्तविक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम। वास्तविक संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन

सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का अंतर एकतथा बीऐसी वास्तविक संख्या कहलाती है साथ, क्या एक= बी + सी।

सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का भागफल एकतथा बीऐसी वास्तविक संख्या कहलाती है साथ, क्या एक= बी × एस।

धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय और शून्य से मिलन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R होता है।

वास्तविक संख्याओं और उन पर संचालन की तुलना स्कूल गणित पाठ्यक्रम से ज्ञात नियमों के अनुसार की जाती है।

समस्या 60. 0.333… + 1.57079… के योग के पहले तीन दशमलव स्थान ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए चार दशमलव स्थानों वाले पदों के दशमलव सन्निकटन लें:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

जोड़ें: 1.9040 0.333… + 1.57079…< 1,9042.

इसलिए, 0.333… + 1.57079…= 1.904…

कार्य 61.गुणनफल के पहले दो दशमलव स्थानों को खोजें एक एक्स बी, यदि एक= 1.703604… और बी = 2,04537…

समाधान।हम इन संख्याओं के दशमलव सन्निकटन को तीन दशमलव स्थानों के साथ लेते हैं:

1,703 < एक <1,704 и 2,045 < बी < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1.703 × 2.045 एक एक्स बी < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ अब < 3,486.

इस तरह, एक एक्स बी= 3,48…

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. अपरिमेय संख्या = 3.1415 ... के दशमलव सन्निकटन को सटीकता के साथ कमी और अधिकता के संदर्भ में लिखें:

क) 0.1; बी) 0.01; ग) 0.001।

2. योग के प्रथम तीन दशमलव स्थान ज्ञात कीजिए एक+ बी, यदि:

एक) एक = 2,34871…, बी= 5.63724…; बी) एक = , बी= ; में) एक = ; बी=; जी) एक = ; बी = .

वास्तविक संख्या II

§ 46 वास्तविक संख्याओं का योग

अभी तक हम केवल परिमेय संख्याओं को एक दूसरे से जोड़ सकते हैं। जैसा कि हम जानते हैं,

लेकिन दो संख्याओं के योग का क्या अर्थ है, जिनमें से कम से कम एक अपरिमेय है, हम अभी भी यह नहीं जानते हैं। अब हमें यह परिभाषित करना होगा कि योग का क्या अर्थ है α + β दो मनमानी वास्तविक संख्या α तथा β .

उदाहरण के लिए, संख्या 1 / 3 और 2 पर विचार करें। आइए इन्हें अनंत दशमलव भिन्नों के रूप में निरूपित करें

1 / 3 = 0,33333...;

√2 =1,41421... .

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के संगत दशमलव सन्निकटन को एक नुकसान के साथ जोड़ते हैं। ये सन्निकटन, जैसा कि पिछले खंड के अंत में उल्लेख किया गया है, हैं तर्कसंगतसंख्याएं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसी संख्याओं को कैसे जोड़ना है:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

फिर हम इन संख्याओं के संगत दशमलव सन्निकटन को एक अतिरिक्त के साथ जोड़ते हैं:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

यह सिद्ध किया जा सकता है* कि वहाँ मौजूद है, इसके अलावा, एक अद्वितीय वास्तविक संख्या γ , जो एक नुकसान के साथ संख्या 1 / 3 और √2 के दशमलव सन्निकटन के सभी योगों से अधिक है, लेकिन अधिक के साथ इन संख्याओं के दशमलव सन्निकटन के सभी योगों से कम है:

* इस तथ्य का एक कठोर प्रमाण हमारे कार्यक्रम के दायरे से बाहर है और इसलिए यहाँ नहीं दिया गया है।

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

परिभाषा के अनुसार, यह संख्या γ और इसे 1/3 और 2 की संख्या के योग के रूप में लिया जाता है:

γ = 1 / 3 + √2

जाहिर सी बात है γ = 1,7475....

किसी भी अन्य सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का योग, जिनमें से कम से कम एक अपरिमेय है, को इसी तरह परिभाषित किया जा सकता है। मामले का सार नहीं बदलेगा, भले ही शर्तों में से एक, और शायद दोनों नकारात्मक हों।

इसलिए, अगर संख्या α तथा β परिमेय हैं, तो उनका योग परिमेय संख्याओं के योग के नियम द्वारा ज्ञात किया जाता है(देखें 36)।

यदि उनमें से कम से कम एक अपरिमेय है, तो योग α + β एक वास्तविक संख्या कहलाती है जो नुकसान के साथ इन संख्याओं के संगत दशमलव सन्निकटन के सभी योगों से अधिक होती है, लेकिन इन संख्याओं के संगत दशमलव सन्निकटन के सभी योगों से कम होती है।.

इस प्रकार परिभाषित जोड़ की क्रिया निम्नलिखित दो कानूनों का पालन करती है:

1) कम्यूटेटिव कानून:

α + β = β + α

2) एसोसिएशन कानून:

(α + β ) + γ = α + (β + γ ).

हम इसे साबित नहीं करेंगे। छात्र इसे स्वयं कर सकते हैं। हम केवल इस बात पर ध्यान देते हैं कि प्रमाण में हमें पहले से ज्ञात तथ्य का उपयोग करना होगा: परिमेय संख्याओं का जोड़ कम्यूटेटिव और साहचर्य कानूनों के अधीन है (देखें 36)।

अभ्यास

327. इन राशियों को दशमलव भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें, जो व्यस्तता के बाद कम से कम तीन सही अंकों को दर्शाता है:

क) 2 + √3 ; डी) √2 + (- √3) जी) 3/4 + (-√5);

बी) 2 + 5/8; ई) (- 1/3) + √5 एच) 1/3 + √2 + √3।

ग) (-√2) + 3; च) 11/9 + (- 5);

328. वास्तविक संख्याओं के लिए पहले कुछ दशमलव सन्निकटन (अतिरिक्त के साथ और बिना) खोजें:

ए) 1/2 + √7 बी) √3 + √7 सी) √3 + (-√7)

329. वास्तविक संख्याओं के योग की परिभाषा के आधार पर सिद्ध कीजिए कि किसी भी संख्या के लिए α

α + (- α ) = 0.

330. क्या दो अनंत गैर-आवधिक भिन्नों का योग हमेशा एक गैर-आवधिक भिन्न होता है? उदाहरण सहित उत्तर स्पष्ट कीजिए।

1. एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा। अनंत दशमलव गैर-आवधिक अंश। वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

2. वास्तविक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ। जोड़ और गुणा के नियम।

3. वास्तविक धनात्मक संख्याओं का वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक विस्तार। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के गुण।

4. अनुमानित संख्याएँ। वास्तविक संख्याओं और क्रियाओं को अनुमानित संख्याओं के साथ पूर्णांकित करने के नियम। एक माइक्रोकैलकुलेटर की मदद से गणना।

5. प्रमुख निष्कर्ष

वास्तविक संख्या

दशमलव अंशों के प्रकट होने के स्रोतों में से एक प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन है, दूसरा मात्राओं का माप है। उदाहरण के लिए, आइए जानें कि किसी खंड की लंबाई मापते समय दशमलव भिन्न कैसे प्राप्त किए जा सकते हैं।

होने देना एक्स- वह खंड जिसकी लंबाई मापी जानी है, इ- सिंगल कट। लंबाई में कटौती एक्सपत्र द्वारा निरूपित करें एक्स, और खंड की लंबाई इ- पत्र इ. चलो खंड एक्सशामिल एनके बराबर खंड इऔर कट एक्स, जो खंड . से छोटा है इ(चित्र 130), अर्थात्। एन ∙इ < एक्स < (एन + 1) ∙इ. नंबर एनतथा एन+1 खंड की लंबाई के अनुमानित मान हैं एक्सइकाई लंबाई पर इकमी के साथ और 1 तक की अधिकता के साथ।

अधिक सटीकता के साथ उत्तर पाने के लिए, खंड लें इ₁ खंड e का दसवां हिस्सा है और हम इसे खंड में रखेंगे एक्स. इस मामले में, दो मामले संभव हैं।

1) खंड ई₁ खंड में फिट एक्सठीक एनएक बार। फिर लंबाई एनखंड एक्सअंतिम दशमलव के रूप में व्यक्त किया गया: एक्स = (एन+एन₁\10) ∙ई = एन, एन₁∙इ।उदाहरण के लिए, एक्स= 3.4∙ई।

2) कट एक्ससे मिलकर बनता है एनके बराबर खंड इ, और एक खंड एक्स, जो खंड . से छोटा है इ. फिर एन,एन₁∙इ < एक्स < एन,एन₁एन₁′∙ इ, कहाँ पे एन,एनऔर एन,एन₁एन- खंड की लंबाई के अनुमानित मान एक्सकमी के साथ और 0.1 की सटीकता के साथ अधिकता के साथ।

यह स्पष्ट है कि दूसरे मामले में एक खंड की लंबाई मापने की प्रक्रिया एक्सआप एक नया इकाई खंड लेकर जारी रख सकते हैं इ₂ - खंड का सौवां इ.

व्यवहार में, किसी खंड की लंबाई मापने की यह प्रक्रिया किसी न किसी स्तर पर समाप्त हो जाएगी। और फिर खंड की लंबाई को मापने का परिणाम या तो एक प्राकृतिक संख्या या अंतिम दशमलव अंश होगा। यदि हम एक खंड की लंबाई को आदर्श रूप से मापने की इस प्रक्रिया की कल्पना करते हैं (जैसा कि वे गणित में करते हैं), तो दो परिणाम संभव हैं:

1) k-वें चरण पर, मापन प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। फिर खंडों की लंबाई को फॉर्म के अंतिम दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जाएगा एन,एन₁… एनक।

2) एक खंड की लंबाई मापने के लिए वर्णित प्रक्रिया एक्सअनिश्चित काल तक जारी है। तब इसके बारे में रिपोर्ट को प्रतीक द्वारा दर्शाया जा सकता है एन,एन₁… एन k..., जिसे अपरिमित दशमलव कहते हैं।

दूसरे परिणाम की संभावना के बारे में कैसे सुनिश्चित किया जाए? ऐसा करने के लिए, ऐसे खंड की लंबाई को मापने के लिए पर्याप्त है, जिसके लिए यह ज्ञात है कि इसकी लंबाई व्यक्त की जाती है, उदाहरण के लिए, एक परिमेय संख्या 5 द्वारा। यदि यह पता चला कि इस तरह के खंड की लंबाई को मापने के परिणामस्वरूप, एक अंतिम दशमलव अंश प्राप्त होता है, तो इसका मतलब यह होगा कि संख्या 5 को अंतिम दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो असंभव है: 5 \u003d 5.666 । ...

इसलिए, खंडों की लंबाई को मापते समय, अनंत दशमलव अंश प्राप्त किए जा सकते हैं। लेकिन क्या ये भिन्न हमेशा आवधिक होते हैं? इस प्रश्न का उत्तर नकारात्मक है: ऐसे खंड हैं जिनकी लंबाई एक अनंत आवधिक अंश (अर्थात, एक सकारात्मक परिमेय संख्या) द्वारा लंबाई की चुनी गई इकाई के साथ व्यक्त नहीं की जा सकती है। यह गणित में सबसे महत्वपूर्ण खोज थी, जिससे यह पता चला कि परिमेय संख्याएँ खंडों की लंबाई को मापने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

प्रमेय. यदि लंबाई का मात्रक एक वर्ग की भुजा की लंबाई है, तो इस वर्ग के विकर्ण की लंबाई को धनात्मक परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

सबूत. मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई को संख्या 1 द्वारा व्यक्त किया जाता है। मान लीजिए कि जो साबित करने की आवश्यकता है, उसके विपरीत है, अर्थात, वर्ग ABCB के विकर्ण AC की लंबाई को एक अपरिमेय भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है। फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, समानता कायम रहेगी

1²+ 1² = . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि m² = 2n²। तो, m² एक सम संख्या है, तो संख्या m सम है (एक विषम संख्या का वर्ग सम नहीं हो सकता)। तो, एम = 2p। समीकरण m² = 2n² में संख्या m को 2p से बदलने पर, हम पाते हैं कि 4p² = 2n², अर्थात। 2p² = n²। यह इस प्रकार है कि n सम है, इसलिए n एक सम संख्या है। इस प्रकार, संख्याएँ m और n सम हैं, जिसका अर्थ है कि भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है, जो इस धारणा का खंडन करता है कि यह अपरिवर्तनीय है। स्थापित अंतर्विरोध यह साबित करता है कि यदि लंबाई का मात्रक एक वर्ग की भुजा की लंबाई है, तो इस वर्ग के विकर्ण की लंबाई को परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

यह सिद्ध प्रमेय का अनुसरण करता है कि ऐसे खंड हैं जिनकी लंबाई एक सकारात्मक संख्या (लंबाई की चुनी हुई इकाई के साथ) द्वारा व्यक्त नहीं की जा सकती है, या, दूसरे शब्दों में, अनंत आवधिक अंश के रूप में लिखी गई है। इसका मतलब यह है कि खंडों की लंबाई को मापने से प्राप्त अनंत दशमलव अंश गैर-आवधिक हो सकते हैं।

यह माना जाता है कि अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश नई संख्याओं का रिकॉर्ड हैं - सकारात्मक तर्कहीनसंख्याएं। चूँकि किसी संख्या की अवधारणा और उसके अंकन को अक्सर पहचाना जाता है, वे कहते हैं कि अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश धनात्मक अपरिमेय संख्याएँ हैं।

हम खंडों की लंबाई मापने की प्रक्रिया के माध्यम से एक सकारात्मक अपरिमेय संख्या की अवधारणा पर पहुंचे। लेकिन कुछ परिमेय संख्याओं से मूल निकालकर भी अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं। अतः √2, √7, √24 अपरिमेय संख्याएँ हैं। अपरिमेय भी हैं lg 5, sin 31, संख्याएँ = 3.14..., इ= 2.7828... और अन्य।

धनात्मक अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को प्रतीक J+ द्वारा दर्शाया जाता है।

संख्याओं के दो समुच्चयों का मिलन: धनात्मक परिमेय और धनात्मक अपरिमेय, धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक R+ द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, क्यू+ जे + = आर+। यूलर वृत्तों की सहायता से इन समुच्चयों को चित्र 131 में दर्शाया गया है।

किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या को अनंत दशमलव अंश द्वारा दर्शाया जा सकता है - आवधिक (यदि यह तर्कसंगत है) या गैर-आवधिक (यदि यह तर्कहीन है)।

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर क्रियाएँ धनात्मक परिमेय संख्याओं पर क्रियाओं में सिमट जाती हैं।

धनात्मक वास्तविक संख्याओं के जोड़ और गुणा में क्रमपरिवर्तन और साहचर्यता के गुण होते हैं, और गुणन जोड़ और घटाव के संबंध में वितरणात्मक होता है।

धनात्मक वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके, आप किसी भी अदिश राशि को मापने के परिणाम को व्यक्त कर सकते हैं: लंबाई, क्षेत्रफल, द्रव्यमान, आदि। लेकिन व्यवहार में, अक्सर यह आवश्यक होता है कि किसी संख्या को किसी मात्रा को मापने के परिणाम से नहीं, बल्कि उसके परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जाए। इसके अलावा, इसका परिवर्तन अलग-अलग तरीकों से हो सकता है - यह बढ़ सकता है, घट सकता है या अपरिवर्तित रह सकता है। अतः परिमाण में परिवर्तन को व्यक्त करने के लिए धनात्मक वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त अन्य संख्याओं की आवश्यकता होती है और इसके लिए समुच्चय R+ में संख्या 0 (शून्य) और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़कर उसका विस्तार करना आवश्यक है।

धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय और शून्य से मिलन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R होता है।

वास्तविक संख्याओं और उन पर संचालन की तुलना स्कूल गणित पाठ्यक्रम से हमें ज्ञात नियमों के अनुसार की जाती है।

अभ्यास

1. किसी खंड की लंबाई मापने की प्रक्रिया का वर्णन करें, यदि उस पर रिपोर्ट को भिन्न के रूप में प्रस्तुत किया जाता है:

क) 3.46; बी) 3,(7); ग) 3.2(6)।

2. एकल खंड का सातवां भाग खंड में 13 बार फिट बैठता है। क्या इस खंड की लंबाई को एक परिमित या अनंत भिन्न द्वारा दर्शाया जाएगा? आवधिक या गैर-आवधिक?

3. एक सेट दिया गया है: (7; 8; √8; 35.91; -12.5; -√37; 0; 0.123; 4136)।

क्या इसे दो वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: तर्कसंगत और तर्कहीन?

4. यह ज्ञात है कि किसी भी संख्या को निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है। क्या परिमेय निर्देशांक वाले बिंदु संपूर्ण समन्वय रेखा को समाप्त कर देते हैं? वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदुओं के बारे में क्या?

99. मुख्य निष्कर्ष § 19

इस पैराग्राफ की सामग्री का अध्ययन करते समय, हमने गणित के स्कूली पाठ्यक्रम से ज्ञात कई अवधारणाओं को स्पष्ट किया है, उन्हें एक खंड की लंबाई के माप के साथ जोड़ा है। ये अवधारणाएं हैं जैसे:

अंश (सही और गलत);

समान भिन्न;

अपरिवर्तनीय अंश;

सकारात्मक तर्कसंगत संख्या;

धनात्मक परिमेय संख्याओं की समानता;

मिश्रित अंश;

अनंत आवधिक दशमलव;

अनंत गैर-आवधिक दशमलव;

अपरिमेय संख्या;

वास्तविक संख्या।

हमने पाया कि भिन्नों की समानता का संबंध एक तुल्यता संबंध है और इसका लाभ उठाते हुए, एक सकारात्मक परिमेय संख्या की अवधारणा को परिभाषित किया। हमने यह भी पता लगाया कि कैसे धनात्मक परिमेय संख्याओं का योग और गुणन खंडों की लंबाई को मापने और उनके योग और उत्पाद को खोजने के लिए प्राप्त सूत्रों से जुड़ा है।

सेट क्यू + पर "से कम" संबंध की परिभाषा ने इसके मुख्य गुणों को नाम देना संभव बना दिया: यह आदेश दिया गया है, घना है, इसमें सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या नहीं है।

हमने सिद्ध किया है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q+ उन सभी शर्तों को पूरा करता है जो इसे प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N का विस्तार मानने की अनुमति देती हैं।

दशमलव भिन्नों का परिचय देकर, हमने सिद्ध किया कि किसी भी धनात्मक परिमेय संख्या को अनंत आवर्त दशमलव भिन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है।

अनंत गैर-आवधिक अंशों को अपरिमेय संख्याओं का रिकॉर्ड माना जाता है।

यदि हम धनात्मक परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को जोड़ते हैं, तो हमें धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय प्राप्त होता है: Q+ J + = R+।

यदि हम ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं और शून्य को धनात्मक वास्तविक संख्याओं में जोड़ दें, तो हमें सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R प्राप्त होता है।