मूल मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं। यदि किसी मैट्रिक्स का सारणिक शून्य है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

समस्या का निरूपण

कार्य में उपयोगकर्ता को संख्यात्मक विधियों की बुनियादी अवधारणाओं से परिचित कराना शामिल है, जैसे कि निर्धारक और उलटा मैट्रिक्स, और उनकी गणना करने के विभिन्न तरीके। इस सैद्धान्तिक प्रतिवेदन में सरल एवं सुगम भाषा में सर्वप्रथम आधारभूत संकल्पनाओं एवं परिभाषाओं का परिचय दिया जाता है, जिसके आधार पर आगे अनुसंधान किया जाता है। उपयोगकर्ता को संख्यात्मक विधियों और रैखिक बीजगणित के क्षेत्र में विशेष ज्ञान नहीं हो सकता है, लेकिन आसानी से इस कार्य के परिणामों का उपयोग करने में सक्षम होगा। स्पष्टता के लिए, सी ++ प्रोग्रामिंग भाषा में लिखे गए कई तरीकों से मैट्रिक्स निर्धारक की गणना के लिए एक कार्यक्रम दिया गया है। रिपोर्ट के लिए चित्र बनाने के लिए कार्यक्रम का उपयोग प्रयोगशाला स्टैंड के रूप में किया जाता है। और रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों का भी अध्ययन किया जा रहा है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना की व्यर्थता साबित होती है, इसलिए पेपर बिना गणना किए समीकरणों को हल करने के लिए अधिक इष्टतम तरीके प्रदान करता है। यह समझाया गया है कि निर्धारकों और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए इतने सारे अलग-अलग तरीके क्यों हैं और उनकी कमियों का विश्लेषण किया जाता है। सारणिक की गणना में त्रुटियों पर भी विचार किया जाता है और प्राप्त सटीकता का अनुमान लगाया जाता है। रूसी शब्दों के अलावा, उनके अंग्रेजी समकक्षों का उपयोग यह समझने के लिए भी किया जाता है कि पुस्तकालयों में संख्यात्मक प्रक्रियाओं की खोज करने के लिए किन नामों के तहत और उनके मापदंडों का क्या अर्थ है।

बुनियादी परिभाषाएँ और सरल गुण

सिद्ध

आइए हम किसी भी कोटि के वर्ग मैट्रिक्स के सारणिक की परिभाषा का परिचय दें। यह परिभाषा होगी आवर्तक, अर्थात्, यह स्थापित करने के लिए कि ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है, आपको पहले से ही यह जानना होगा कि ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है। यह भी ध्यान दें कि सारणिक केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है।

एक वर्ग आव्यूह के सारणिक को या det द्वारा निरूपित किया जाएगा।

परिभाषा 1. सिद्धवर्ग मैट्रिक्स द्वितीय क्रम संख्या कहलाती है .

सिद्ध कोटि के वर्ग आव्यूह को संख्या कहा जाता है

पहली पंक्ति और संख्या के साथ कॉलम को हटाकर मैट्रिक्स से प्राप्त ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक कहां है।

स्पष्टता के लिए, हम लिखते हैं कि आप चौथे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना कैसे कर सकते हैं:

टिप्पणी।परिभाषा के आधार पर तीसरे क्रम से ऊपर के मैट्रिक्स के लिए निर्धारकों की वास्तविक गणना का उपयोग असाधारण मामलों में किया जाता है। एक नियम के रूप में, गणना अन्य एल्गोरिदम के अनुसार की जाती है, जिस पर बाद में चर्चा की जाएगी और जिसके लिए कम कम्प्यूटेशनल कार्य की आवश्यकता होती है।

टिप्पणी।परिभाषा 1 में, यह कहना अधिक सटीक होगा कि निर्धारक वर्ग क्रम मैट्रिक्स के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है और संख्याओं के सेट में मान लेता है।

टिप्पणी।साहित्य में, "निर्धारक" शब्द के बजाय, "निर्धारक" शब्द का भी उपयोग किया जाता है, जिसका एक ही अर्थ है। "निर्धारक" शब्द से पदनाम det प्रकट हुआ।

आइए हम सारणिकों के कुछ गुणों पर विचार करें, जिन्हें हम अभिकथन के रूप में निरूपित करते हैं।

कथन 1.मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते समय, निर्धारक नहीं बदलता है, अर्थात।

कथन 2.वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का निर्धारक गुणनखंडों के निर्धारकों के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात्।

कथन 3.यदि एक मैट्रिक्स में दो पंक्तियों की अदला-बदली की जाती है, तो इसका सारणिक चिन्ह बदल जाएगा।

कथन 4.यदि एक मैट्रिक्स में दो समान पंक्तियाँ हैं, तो इसका सारणिक शून्य है।

भविष्य में, हमें तार जोड़ने और एक संख्या से एक स्ट्रिंग को गुणा करने की आवश्यकता होगी। हम इन कार्यों को पंक्तियों (स्तंभों) पर उसी तरह करेंगे जैसे पंक्ति मैट्रिक्स (स्तंभ मैट्रिक्स) पर संचालन, यानी तत्व द्वारा तत्व। परिणाम एक पंक्ति (स्तंभ) होगा, जो एक नियम के रूप में, मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों से मेल नहीं खाता है। पंक्तियों (स्तंभों) को जोड़ने और उन्हें एक संख्या से गुणा करने के संचालन की उपस्थिति में, हम पंक्तियों (स्तंभों) के रैखिक संयोजनों के बारे में भी बात कर सकते हैं, अर्थात संख्यात्मक गुणांक वाले योग।

कथन 5.यदि किसी मैट्रिक्स की एक पंक्ति को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके सारणिक को उस संख्या से गुणा किया जाएगा।

कथन 6.यदि मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति है, तो इसका सारणिक शून्य है।

कथन 7.यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक संख्या से गुणा की गई दूसरी के बराबर है (पंक्तियां आनुपातिक हैं), तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है।

कथन 8.मैट्रिक्स में i-वें पंक्ति को इस तरह दिखने दें। फिर, जहां मैट्रिक्स को पंक्ति के साथ i-th पंक्ति को प्रतिस्थापित करके मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है, और i-th पंक्ति को पंक्ति के साथ प्रतिस्थापित करके मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है।

कथन 9.यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक को दूसरे में जोड़ा जाता है, एक संख्या से गुणा किया जाता है, तो मैट्रिक्स का निर्धारक नहीं बदलेगा।

कथन 10.यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक इसकी अन्य पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है।

परिभाषा 2. बीजीय जोड़मैट्रिक्स तत्व के लिए एक संख्या के बराबर कहा जाता है, जहां i-वें पंक्ति और j-वें कॉलम को हटाकर मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है। एक मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक द्वारा दर्शाया गया है।

उदाहरण।होने देना . फिर

टिप्पणी।बीजीय योगों का उपयोग करते हुए, 1 सारणिक की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:

कथन 11. एक मनमानी स्ट्रिंग में निर्धारक का अपघटन।

मैट्रिक्स निर्धारक सूत्र को संतुष्ट करता है

उदाहरण।गणना .

समाधान।आइए विस्तार का उपयोग तीसरी पंक्ति में करें, यह अधिक लाभदायक है, क्योंकि तीसरी पंक्ति में तीन में से दो संख्याएँ शून्य हैं। प्राप्त

कथन 12.क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए, हमारे पास संबंध है .

कथन 13.पंक्तियों के लिए तैयार किए गए निर्धारक के सभी गुण (कथन 1 - 11) भी स्तंभों के लिए मान्य हैं, विशेष रूप से, जे-वें स्तंभ में निर्धारक का अपघटन मान्य है और समानता पर ।

कथन 14.त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक इसके मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

परिणाम।पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक एक के बराबर है, .

निष्कर्ष।ऊपर सूचीबद्ध गुण अपेक्षाकृत कम मात्रा में गणनाओं के साथ पर्याप्त रूप से उच्च कोटि के मैट्रिक्स के निर्धारकों को खोजना संभव बनाते हैं। गणना एल्गोरिथ्म निम्नलिखित है।

एक कॉलम में शून्य बनाने के लिए एल्गोरिथम।आदेश निर्धारक की गणना करने के लिए इसे आवश्यक होने दें। यदि , तो पहली पंक्ति और किसी अन्य पंक्ति को स्वैप करें जिसमें पहला तत्व शून्य नहीं है। नतीजतन, सारणिक विपरीत चिह्न के साथ नए मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा। यदि प्रत्येक पंक्ति का पहला तत्व शून्य के बराबर है, तो मैट्रिक्स में एक शून्य स्तंभ है और, कथन 1, 13 के अनुसार, इसका सारणिक शून्य के बराबर है।

तो, हम मानते हैं कि पहले से ही मूल मैट्रिक्स में है। पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ दें। आइए दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को संख्या से गुणा करते हैं। तब दूसरी पंक्ति का पहला तत्व बराबर होगा .

नई दूसरी पंक्ति के शेष तत्वों को , द्वारा दर्शाया जाएगा। कथन 9 के अनुसार नए मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर है। पहली पंक्ति को संख्या से गुणा करें और इसे तीसरी में जोड़ें। नई तीसरी पंक्ति का पहला तत्व बराबर होगा

नई तीसरी पंक्ति के शेष तत्वों को , द्वारा दर्शाया जाएगा। कथन 9 के अनुसार नए मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर है।

हम स्ट्रिंग्स के पहले तत्वों के बजाय शून्य प्राप्त करने की प्रक्रिया जारी रखेंगे। अंत में, हम पहली पंक्ति को एक संख्या से गुणा करते हैं और इसे अंतिम पंक्ति में जोड़ते हैं। परिणाम एक मैट्रिक्स है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है, जिसका रूप है

तथा । मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, हम पहले कॉलम में विस्तार का उपयोग करते हैं

तब से

ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक दाईं ओर है। हम इसके लिए एक ही एल्गोरिथ्म लागू करते हैं, और मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना को ऑर्डर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए कम कर दिया जाएगा। प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक हम दूसरे क्रम के निर्धारक तक नहीं पहुंच जाते, जिसकी गणना परिभाषा द्वारा की जाती है।

यदि मैट्रिक्स में कोई विशिष्ट गुण नहीं है, तो प्रस्तावित एल्गोरिथम की तुलना में गणना की मात्रा को काफी कम करना संभव नहीं है। इस एल्गोरिदम का एक और अच्छा पक्ष यह है कि कंप्यूटर के लिए बड़े ऑर्डर के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना करने के लिए एक प्रोग्राम लिखना आसान है। निर्धारकों की गणना के लिए मानक कार्यक्रमों में, इस एल्गोरिथ्म का उपयोग कंप्यूटर गणनाओं में गोलाई त्रुटियों और इनपुट डेटा त्रुटियों के प्रभाव को कम करने से जुड़े मामूली परिवर्तनों के साथ किया जाता है।

उदाहरण।गणना मैट्रिक्स निर्धारक .

समाधान।पहली पंक्ति अपरिवर्तित छोड़ दी गई है। दूसरी पंक्ति में हम पहली, संख्या से गुणा करते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता है। तीसरी पंक्ति में हम पहली, संख्या से गुणा करते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता है। चौथी पंक्ति में हम पहली, संख्या से गुणा करते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता है। परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

उसी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम क्रम 3 के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करते हैं, जो दाईं ओर है। हम पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली जोड़ते हैं, संख्या से गुणा करते हैं :

तीसरी पंक्ति में हम पहली जोड़ते हैं, संख्या से गुणा करते हैं :

परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

उत्तर। .

टिप्पणी।यद्यपि गणना में भिन्नों का उपयोग किया गया था, परिणाम एक पूर्णांक था। वास्तव में, निर्धारकों के गुणों और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि मूल संख्याएं पूर्णांक हैं, भिन्नों के साथ संचालन से बचा जा सकता है। लेकिन इंजीनियरिंग अभ्यास में, संख्याएं बहुत कम ही पूर्णांक होती हैं। इसलिए, एक नियम के रूप में, सारणिक के तत्व दशमलव भिन्न होंगे और गणना को सरल बनाने के लिए किसी भी तरकीब का उपयोग करना उचित नहीं है।

उलटा मैट्रिक्स

परिभाषा 3.मैट्रिक्स कहा जाता है उलटा मैट्रिक्सएक वर्ग मैट्रिक्स के लिए यदि .

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि उलटा मैट्रिक्स मैट्रिक्स के समान क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स होगा (अन्यथा उत्पादों में से एक या परिभाषित नहीं किया जाएगा)।

मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार, यदि मौजूद है, तो।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा से, यह निम्नानुसार है कि मैट्रिक्स मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है, अर्थात। आव्यूह और एक दूसरे के प्रतिलोम या परस्पर प्रतिलोम कहे जा सकते हैं।

यदि किसी मैट्रिक्स का सारणिक शून्य है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए यह महत्वपूर्ण है कि मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है या नहीं, हम निम्नलिखित परिभाषाओं का परिचय देते हैं।

परिभाषा 4.आइए वर्ग मैट्रिक्स को कॉल करें पतितया विशेष मैट्रिक्स, अगर व गैर पतितया गैर-एकवचन मैट्रिक्स, यदि ।

कथन।यदि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

कथन।यदि एक वर्ग मैट्रिक्स गैर-डीजेनरेट है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद है और (1) तत्वों में बीजगणितीय जोड़ कहाँ हैं।

प्रमेय।एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है यदि और केवल अगर मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, तो उलटा मैट्रिक्स अद्वितीय है, और सूत्र (1) मान्य है।

टिप्पणी।व्युत्क्रम मैट्रिक्स सूत्र में बीजीय योगों के कब्जे वाले स्थानों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए: पहला सूचकांक संख्या दिखाता है कॉलम, और दूसरा नंबर है पंक्तियां, जिसमें परिकलित बीजीय पूरक लिखा जाना चाहिए।

उदाहरण। .

समाधान।निर्धारक ढूँढना

तब से, मैट्रिक्स गैर-डीजेनरेट है, और इसके लिए व्युत्क्रम मौजूद है। बीजगणितीय जोड़ ढूँढना:

हम पाए गए बीजीय योगों को रखकर व्युत्क्रम मैट्रिक्स की रचना करते हैं ताकि पहली अनुक्रमणिका स्तंभ से मेल खाती हो, और दूसरी पंक्ति से: (2)

परिणामी मैट्रिक्स (2) समस्या का उत्तर है।

टिप्पणी।पिछले उदाहरण में, इस तरह उत्तर लिखना अधिक सटीक होगा:
(3)

हालांकि, अंकन (2) अधिक कॉम्पैक्ट है और इसके साथ आगे की गणना, यदि कोई हो, करना अधिक सुविधाजनक है। इसलिए, यदि आव्यूह के अवयव पूर्णांक हैं, तो उत्तर को फॉर्म (2) में लिखना बेहतर है। और इसके विपरीत, यदि मैट्रिक्स के तत्व दशमलव अंश हैं, तो विपरीत मैट्रिक्स को बिना किसी कारक के सामने लिखना बेहतर है।

टिप्पणी।उलटा मैट्रिक्स ढूंढते समय, आपको अंतिम मैट्रिक्स में बीजगणितीय जोड़ों को व्यवस्थित करने के लिए काफी गणना और असामान्य नियम करना होगा। इसलिए गड़बड़ी की संभावना ज्यादा है। त्रुटियों से बचने के लिए, आपको एक जांच करनी चाहिए: मूल मैट्रिक्स के उत्पाद को एक क्रम या किसी अन्य में अंतिम द्वारा परिकलित करें। यदि परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स है, तो उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया जाता है। अन्यथा, आपको एक त्रुटि की तलाश करने की आवश्यकता है।

उदाहरण।मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए .

समाधान। - मौजूद।

उत्तर: .

निष्कर्ष।सूत्र (1) द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है। चौथे क्रम और उच्चतर के मैट्रिसेस के लिए, यह अस्वीकार्य है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए वास्तविक एल्गोरिथ्म बाद में दिया जाएगा।

गॉस विधि का उपयोग करके निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना

सारणिक और प्रतिलोम मैट्रिक्स को खोजने के लिए गॉस विधि का उपयोग किया जा सकता है।

अर्थात्, मैट्रिक्स निर्धारक det के बराबर है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स गाऊसी उन्मूलन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करके पाया जाता है:

पहचान मैट्रिक्स का जे-वें कॉलम कहां है, वांछित वेक्टर है।

परिणामी समाधान वैक्टर - फॉर्म, जाहिर है, मैट्रिक्स के कॉलम, चूंकि .

निर्धारक के लिए सूत्र

1. यदि मैट्रिक्स निरर्थक है, तो और (प्रमुख तत्वों का उत्पाद)।

अज्ञात के साथ एन रैखिक बीजीय समीकरण (एसएलएई) की एक प्रणाली दी गई है, जिसके गुणांक मैट्रिक्स के तत्व हैं, और मुक्त सदस्य संख्याएं हैं

गुणांक के बगल में पहला सूचकांक इंगित करता है कि गुणांक किस समीकरण में स्थित है, और दूसरा - यह किस अज्ञात पर स्थित है।

यदि मैट्रिक्स निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है

तब रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल होता है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक ऐसा क्रमबद्ध सेट होता है, जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को सही समानता में बदल देता है।

यदि निकाय के सभी समीकरणों की दाहिनी भुजाएँ शून्य के बराबर हों, तो समीकरणों का निकाय सजातीय कहलाता है। मामले में जब उनमें से कुछ गैर-शून्य हैं, गैर-वर्दी

यदि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली में कम से कम एक समाधान होता है, तो इसे संगत कहा जाता है, अन्यथा यह असंगत है।

यदि निकाय का हल अद्वितीय है, तो रैखिक समीकरणों का निकाय निश्चित कहलाता है। ऐसे मामले में जब संयुक्त प्रणाली का समाधान अद्वितीय नहीं है, समीकरणों की प्रणाली को अनिश्चित कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य (या समतुल्य) कहा जाता है यदि एक प्रणाली के सभी समाधान दूसरे के समाधान हैं, और इसके विपरीत। समतुल्य (या समतुल्य) प्रणालियाँ समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके प्राप्त की जाती हैं।

SLAE . के समतुल्य परिवर्तन

1) समीकरणों की पुनर्व्यवस्था;

2) एक गैर-शून्य संख्या से समीकरणों का गुणन (या भाग);

3) कुछ समीकरण में एक और समीकरण जोड़ना, एक मनमाना गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

SLAE समाधान विभिन्न तरीकों से खोजा जा सकता है।

क्रैमर की विधि

क्रैमर का प्रमेय। यदि अज्ञात के साथ रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का निर्धारक गैर-शून्य है, तो इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, जो क्रैमर सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

निर्धारक हैं जो मुक्त सदस्यों के एक कॉलम द्वारा i-वें कॉलम के प्रतिस्थापन के साथ बनते हैं।

यदि , और इनमें से कम से कम एक शून्येतर है, तो SLAE के पास कोई समाधान नहीं है। यदि , तो SLAE के पास कई समाधान हैं। क्रैमर विधि का उपयोग करने वाले उदाहरणों पर विचार करें।

—————————————————————

तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। Cramer's method द्वारा सिस्टम को सॉल्व करें

अज्ञात के लिए गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं

तब से, समीकरणों की दी गई प्रणाली सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है। आइए निर्धारकों की गणना करें:

Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके, हम अज्ञात का पता लगाते हैं

इसलिए व्यवस्था का एकमात्र समाधान।

चार रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। क्रैमर विधि द्वारा तंत्र को हल करें।

आइए हम अज्ञात के लिए गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, हम इसे पहली पंक्ति से विस्तारित करते हैं।

सारणिक के घटकों का पता लगाएं:

पाए गए मानों को निर्धारक में बदलें

इसलिए, सारणिक, समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है। हम क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना करते हैं:

आइए प्रत्येक निर्धारक को उस स्तंभ द्वारा विस्तारित करें जिसमें अधिक शून्य हैं।

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं

सिस्टम समाधान

इस उदाहरण को गणितीय कैलकुलेटर से हल किया जा सकता है युखिमकैल्क. कार्यक्रम का एक अंश और गणना के परिणाम नीचे दिखाए गए हैं।

——————————

सी आर ए एम ई आर विधि

|1,1,1,1|

डी=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

डी=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= दस

|0,1,1,1|

डीएक्स1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

डीएक्स2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

डीएक्स3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

डीएक्स4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

सामग्री देखें:

(टिप्पणियों पर)

सामान्य स्थिति में, वें क्रम के निर्धारकों की गणना करने का नियम बल्कि बोझिल है। दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए, उनकी गणना करने के तर्कसंगत तरीके हैं।

दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना

दूसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद से द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाना आवश्यक है:

उदाहरण

व्यायाम।दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना करें

समाधान।

उत्तर।

तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के तरीके

तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए नियम हैं।

त्रिभुज नियम

योजनाबद्ध रूप से, इस नियम को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

पहले सारणिक में तत्वों का गुणनफल जो रेखाओं से जुड़ा होता है, एक धन चिह्न के साथ लिया जाता है; इसी तरह, दूसरे निर्धारक के लिए, संबंधित उत्पादों को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है, अर्थात।

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक त्रिकोण विधि।

समाधान।

उत्तर।

सरस नियम

सारणिक के दायीं ओर, पहले दो कॉलम जोड़े जाते हैं और मुख्य विकर्ण पर और इसके समानांतर विकर्णों पर तत्वों के उत्पादों को प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है; और द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद और इसके समानांतर विकर्ण, एक ऋण चिह्न के साथ:

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक सरस नियम का उपयोग करना।

समाधान।

उत्तर।

निर्धारक का पंक्ति या स्तंभ विस्तार

सारणिक, सारणिक की पंक्ति के तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर उस पंक्ति/स्तंभ का चयन करें जिसमें/वें शून्य हों। जिस पंक्ति या स्तंभ पर अपघटन किया जाता है उसे एक तीर द्वारा दर्शाया जाएगा।

उदाहरण

व्यायाम।पहली पंक्ति में विस्तार करते हुए, निर्धारक की गणना करें

समाधान।

उत्तर।

यह विधि निर्धारक की गणना को निचले क्रम के निर्धारक की गणना के लिए कम करने की अनुमति देती है।

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक

समाधान।निर्धारक की पंक्तियों पर निम्नलिखित परिवर्तन करें: दूसरी पंक्ति से पहली चार पंक्तियों को घटाएं, और पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से सात से गुणा करें, परिणामस्वरूप, निर्धारक के गुणों के अनुसार, हम एक समान निर्धारक प्राप्त करते हैं दिए गए को।

सारणिक शून्य है क्योंकि दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं।

उत्तर।

चौथे क्रम और ऊपर के निर्धारकों की गणना करने के लिए, या तो एक पंक्ति/स्तंभ में विस्तार, या त्रिकोणीय रूप में कमी, या लाप्लास के प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

एक पंक्ति या स्तंभ के तत्वों के संदर्भ में सारणिक का अपघटन

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक , इसे किसी पंक्ति या किसी स्तंभ के तत्वों द्वारा विघटित करना।

समाधान।आइए पहले हम सारणिक की पंक्तियों पर एक पंक्ति में या एक स्तंभ में यथासंभव अधिक से अधिक शून्य बनाकर प्राथमिक परिवर्तन करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले हम पहली पंक्ति से नौ तिहाई घटाते हैं, दूसरी से पांच तिहाई और चौथी से तीन तिहाई, हम प्राप्त करते हैं:

हम पहले कॉलम के तत्वों द्वारा परिणामी निर्धारक का विस्तार करते हैं:

परिणामी तीसरे क्रम के निर्धारक को पंक्ति और स्तंभ के तत्वों द्वारा भी विस्तारित किया जाता है, जिसमें पहले शून्य प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए, पहले कॉलम में।

ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति से दो दूसरी पंक्तियाँ घटाते हैं, और दूसरी तीसरी से:

उत्तर।

टिप्पणी

अंतिम और अंतिम निर्धारकों की गणना नहीं की जा सकी, लेकिन तुरंत निष्कर्ष निकाला कि वे शून्य के बराबर हैं, क्योंकि उनमें आनुपातिक पंक्तियाँ हैं।

सारणिक को त्रिकोणीय रूप में लाना

पंक्तियों या स्तंभों पर प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, निर्धारक को त्रिकोणीय रूप में घटाया जाता है, और फिर इसका मूल्य, निर्धारक के गुणों के अनुसार, मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है।

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक इसे त्रिकोणीय आकार में लाना।

समाधान।सबसे पहले, हम मुख्य विकर्ण के नीचे पहले कॉलम में शून्य बनाते हैं।

4. निर्धारकों के गुण। मैट्रिक्स के उत्पाद का निर्धारक।

यदि तत्व 1 के बराबर है तो सभी परिवर्तन करना आसान हो जाएगा। ऐसा करने के लिए, हम निर्धारक के पहले और दूसरे कॉलम को स्वैप करेंगे, जो कि निर्धारक के गुणों के अनुसार, इसके विपरीत संकेत को बदलने का कारण बनेगा। :

इसके बाद, हम मुख्य विकर्ण के तहत तत्वों के स्थान पर दूसरे कॉलम में शून्य प्राप्त करते हैं। और फिर, यदि विकर्ण तत्व के बराबर है, तो गणना सरल हो जाएगी। ऐसा करने के लिए, हम दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं (और साथ ही निर्धारक के विपरीत संकेत में बदलते हैं):

उत्तर।

लाप्लास की प्रमेय

उदाहरण

व्यायाम।लाप्लास के प्रमेय का उपयोग करते हुए, सारणिक की गणना करें

समाधान।हम इस पांचवें क्रम के निर्धारक में दो पंक्तियों को चुनते हैं - दूसरी और तीसरी, फिर हमें मिलता है (हम शून्य के बराबर पदों को छोड़ देते हैं):

उत्तर।

रैखिक समीकरण और असमानताएँ I

31 वह स्थिति जब समीकरणों की एक प्रणाली का मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर होता है, और सहायक निर्धारकों में से कम से कम एक शून्य से भिन्न होता है

प्रमेय।यदि समीकरणों की प्रणाली का मुख्य निर्धारक

(1)

शून्य के बराबर है, और सहायक निर्धारकों में से कम से कम एक शून्य से अलग है, तो सिस्टम असंगत है।

औपचारिक रूप से, इस प्रमेय का प्रमाण विरोधाभास से प्राप्त करना कठिन नहीं है। आइए मान लें कि समीकरणों की प्रणाली (1) का एक समाधान है ( एक्स 0 , आप 0)। जबकि, जैसा कि पिछले पैराग्राफ में दिखाया गया है,

Δ एक्स 0 = Δ एक्स , Δ आप 0 = Δ आप (2)

लेकिन शर्त Δ = 0, और कम से कम एक निर्धारक Δ एक्स तथा Δ आप शून्य से भिन्न। इस प्रकार, समानताएं (2) एक साथ नहीं रह सकतीं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

हालांकि, यह अधिक विस्तार से स्पष्ट करना दिलचस्प लगता है कि समीकरणों की प्रणाली (1) विचाराधीन मामले में असंगत क्यों है।

इसका मतलब है कि समीकरणों की प्रणाली में अज्ञात के गुणांक (1) आनुपातिक हैं। चलो, उदाहरण के लिए,

एक 1 = का 2 ,बी 1 = केबी 2 .

इसका मतलब है कि गुणांक पर और निकाय (1) के समीकरणों के मुक्त पद समानुपाती नहीं हैं। क्यों कि बी 1 = केबी 2, फिर सी 1 === केसी 2 .

इसलिए, समीकरणों की प्रणाली (1) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

इस प्रणाली में, अज्ञात के लिए गुणांक क्रमशः आनुपातिक होते हैं, लेकिन गुणांक के लिए पर (या जब एक्स ) और मुक्त शर्तें आनुपातिक नहीं हैं। ऐसी प्रणाली, निश्चित रूप से, असंगत है। वास्तव में, अगर उसके पास कोई समाधान होता ( एक्स 0 , आप 0), फिर संख्यात्मक समानताएँ

क (एक 2 एक्स 0 + बी 2 आप 0) = सी 1

एक 2 एक्स 0 + बी 2 आप 0 = सी 2 .

लेकिन इनमें से एक समानता दूसरे का खंडन करती है: आखिरकार, सी 1 === केसी 2 .

हमने केवल उस मामले पर विचार किया है जब Δ एक्स === 0. इसी तरह, हम मामले पर विचार कर सकते हैं जब Δ आप =/= 0."

सिद्ध प्रमेय को निम्नलिखित तरीके से तैयार किया जा सकता है।

यदि अज्ञात के लिए गुणांक एक्सतथा परसमीकरणों की प्रणाली में (1) आनुपातिक हैं, और इनमें से किसी भी अज्ञात और मुक्त शर्तों के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, तो समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है।

उदाहरण के लिए, यह सत्यापित करना आसान है कि इनमें से प्रत्येक सिस्टम असंगत होगा:

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्रैमर की विधि

क्रैमर के सूत्र

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। यह समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज करता है।

क्रैमर की विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात होते हैं।

क्रेमर की विधि। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के लिए आवेदन

यदि निकाय का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में Cramer की विधि का उपयोग किया जा सकता है, यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता है। इसके अलावा, क्रैमर की विधि का उपयोग एक अद्वितीय समाधान वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा. निर्धारक, अज्ञात के गुणांकों से बना होता है, जिसे प्रणाली का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) द्वारा निरूपित किया जाता है।

निर्धारकों

संबंधित अज्ञात पर गुणांकों को मुक्त पदों से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

.

क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक गैर-शून्य है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक एकल समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। हर प्रणाली का निर्धारक है, और अंश गुणांक को अज्ञात के साथ मुक्त शर्तों से बदलकर प्रणाली के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए है।

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर का प्रमेयअपने पास:

तो, प्रणाली का समाधान (2):

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

जैसा से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

*

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

**
,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहा जाता है असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली जिसका केवल एक ही हल होता है, कहलाता है निश्चित, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो सिस्टम

.

क्रैमर के प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ पे
—

सिस्टम पहचानकर्ता। शेष निर्धारक कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांक के साथ मुक्त सदस्यों के साथ बदलकर प्राप्त किए जाते हैं:

उदाहरण 2

.

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका हल खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि एक या अधिक समीकरणों में रैखिक समीकरणों के निकाय में कोई चर नहीं हैं, तो सारणिक में उनके संगत तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है।

उदाहरण 3क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

.

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों के निकाय और निकाय के सारणिक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न का उत्तर दोहराएँ जिसमें सारणिक के एक या अधिक अवयव शून्य के बराबर हों। अतः सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए निकाय निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

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रैखिक समीकरणों के निकाय पर एक प्रश्नोत्तरी लें

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण के साथ स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 4क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, इसलिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की समस्याओं में, ऐसे भी होते हैं जहां, चर को निरूपित करने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये अक्षर कुछ संख्या के लिए खड़े होते हैं, अक्सर एक वास्तविक संख्या। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरण प्रणाली किसी भी घटना और वस्तुओं के सामान्य गुणों को खोजने के लिए समस्याओं का कारण बनती हैं। यही है, आपने कुछ नई सामग्री या उपकरण का आविष्कार किया है, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो आकार या प्रतियों की संख्या की परवाह किए बिना सामान्य हैं, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय अक्षर हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है।

अगला उदाहरण इसी तरह की समस्या के लिए है, केवल समीकरणों, चरों और अक्षरों की संख्या कुछ वास्तविक संख्या में वृद्धि दर्शाती है।

उदाहरण 6क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

,

,

.

और अंत में, चार अज्ञात के साथ चार समीकरणों की एक प्रणाली।

उदाहरण 7क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

.

ध्यान! चौथे क्रम के निर्धारकों की गणना के तरीकों की व्याख्या यहां नहीं की जाएगी। उसके बाद - साइट के उपयुक्त अनुभाग में। लेकिन कुछ टिप्पणियां होंगी। समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

एक छोटी सी टिप्पणी। मूल निर्धारक में, चौथी पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों से घटाया गया, चौथी पंक्ति के तत्वों को 2 से गुणा किया गया, तीसरी पंक्ति के तत्वों से, पहली पंक्ति के तत्वों को 2 से गुणा किया गया। , चौथी पंक्ति के तत्वों से पहले तीन अज्ञात के साथ प्रारंभिक निर्धारकों के परिवर्तन एक ही योजना के अनुसार किए गए थे। अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

चौथे अज्ञात के साथ निर्धारक के परिवर्तन के लिए, चौथी पंक्ति के तत्वों को पहली पंक्ति के तत्वों से घटाया गया था।

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (1; 1; -1; -1) है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

सबसे चौकस लोगों ने शायद देखा कि लेख में रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणाली को हल करने के उदाहरण नहीं थे। और सभी क्योंकि क्रैमर विधि द्वारा ऐसी प्रणालियों को हल करना असंभव है, हम केवल यह कह सकते हैं कि सिस्टम अनिश्चित है। ऐसी प्रणालियों के समाधान गॉस विधि द्वारा दिए जाते हैं।

समाधान में तल्लीन करने का समय नहीं है? आप नौकरी का आदेश दे सकते हैं!

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रैखिक समीकरणों के निकाय पर एक प्रश्नोत्तरी लें

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निर्धारकों

इस लेख में, हम रैखिक बीजगणित के खंड से एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा से परिचित होंगे, जिसे निर्धारक कहा जाता है।

मैं एक महत्वपूर्ण बिंदु को तुरंत नोट करना चाहूंगा: एक निर्धारक की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स (पंक्तियों की संख्या = स्तंभों की संख्या) के लिए मान्य है, अन्य मैट्रिक्स में यह नहीं है।

एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक(निर्धारक) - मैट्रिक्स की संख्यात्मक विशेषता।

निर्धारकों का पदनाम: |A|, det A, ∆ ए।

सिद्ध"एन" क्रम को इसके तत्वों के सभी संभावित उत्पादों का बीजगणितीय योग कहा जाता है जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करते हैं:

1) ऐसे प्रत्येक उत्पाद में बिल्कुल "n" तत्व होते हैं (अर्थात, दूसरे क्रम का निर्धारक 2 तत्व होता है)।

2) प्रत्येक उत्पाद में कारक के रूप में प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ का प्रतिनिधि होता है।

3) प्रत्येक उत्पाद में कोई भी दो कारक एक ही पंक्ति या स्तंभ से संबंधित नहीं हो सकते हैं।

उत्पाद का चिन्ह स्तंभ संख्याओं के प्रत्यावर्तन के क्रम से निर्धारित होता है, यदि उत्पाद में तत्वों को पंक्ति संख्याओं के आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।

मैट्रिक्स के सारणिक को खोजने के कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

प्रथम-क्रम मैट्रिक्स के लिए (अर्थात।

रेखीय समीकरण। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। क्रेमर की विधि।

केवल 1 तत्व है), निर्धारक इस तत्व के बराबर है:

2. दूसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स पर विचार करें:

3. तीसरे क्रम (3×3) के एक वर्ग मैट्रिक्स पर विचार करें:

4. और अब वास्तविक संख्याओं वाले उदाहरणों पर विचार करें:

त्रिभुज नियम।

त्रिभुज नियम एक मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने का एक तरीका है, जिसमें इसे निम्नलिखित योजना के अनुसार खोजना शामिल है:

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, इस विधि को त्रिभुज नियम कहा जाता था क्योंकि गुणित मैट्रिक्स तत्व अजीबोगरीब त्रिभुज बनाते हैं।

इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए एक उदाहरण लेते हैं:

और अब त्रिभुज नियम का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं के साथ एक मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना पर विचार करें:

कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक और व्यावहारिक उदाहरण हल करेंगे:

निर्धारकों के गुण:

1. यदि किसी पंक्ति या स्तंभ के अवयव शून्य के बराबर हों, तो सारणिक शून्य के बराबर होता है।

2. यदि किसी भी 2 पंक्तियों या स्तंभों की अदला-बदली की जाती है तो निर्धारक चिह्न बदल देगा। आइए इसे एक छोटे से उदाहरण से देखें:

3. स्थानांतरित मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है।

4. सारणिक शून्य होता है यदि एक पंक्ति के अवयव दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों के बराबर हों (स्तंभों के लिए भी)। निर्धारकों के इस गुण का सबसे सरल उदाहरण है:

5. सारणिक शून्य होता है यदि इसकी 2 पंक्तियाँ समानुपाती हों (स्तंभों के लिए भी)। उदाहरण (पंक्ति 1 और 2 आनुपातिक हैं):

6. सारणिक के चिह्न से एक पंक्ति (स्तंभ) का उभयनिष्ठ गुणनखंड निकाला जा सकता है।

7) यदि किसी अन्य पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों को किसी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में जोड़ा जाए, तो सारणिक को उसी मान से गुणा किया जाए, तो सारणिक नहीं बदलेगा। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें:

दृश्य: 57258

निर्धारक (उर्फ निर्धारक (निर्धारक)) केवल वर्ग मैट्रिक्स में पाया जाता है। निर्धारक एक मूल्य से अधिक कुछ नहीं है जो एक मैट्रिक्स के सभी तत्वों को जोड़ता है, जो पंक्तियों या स्तंभों को स्थानांतरित करते समय संरक्षित होता है। इसे det(A), |A|, (A), के रूप में निरूपित किया जा सकता है, जहां A एक मैट्रिक्स और इसे दर्शाने वाला एक अक्षर दोनों हो सकता है। आप इसे विभिन्न तरीकों से पा सकते हैं:

ऊपर प्रस्तावित सभी विधियों का विश्लेषण तीन या अधिक आकार के आव्यूहों पर किया जाएगा। द्वि-आयामी मैट्रिक्स का निर्धारक तीन प्राथमिक गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके पाया जाता है, इसलिए, द्वि-आयामी मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजना किसी भी विधि में नहीं आएगा। खैर, एक अतिरिक्त के अलावा, लेकिन उस पर बाद में और अधिक।

2x2 आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए:

हमारे मैट्रिक्स के सारणिक को खोजने के लिए, एक विकर्ण की संख्याओं के गुणनफल को दूसरे से घटाना आवश्यक है, अर्थात्

दूसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने के उदाहरण

पंक्ति/स्तंभ अपघटन

मैट्रिक्स में किसी भी पंक्ति या कॉलम का चयन किया जाता है। चयनित पंक्ति में प्रत्येक संख्या को (-1) i+j से गुणा किया जाता है जहां (i,j उस संख्या की पंक्ति, स्तंभ संख्या है) और i-पंक्ति को हटाने के बाद शेष तत्वों से बने दूसरे क्रम के निर्धारक से गुणा किया जाता है और जे - कॉलम। आइए मैट्रिक्स पर एक नज़र डालें

1. एक पंक्ति/स्तंभ चुनें

उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति लें।

टिप्पणी: यदि यह स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है कि निर्धारक को किस रेखा से खोजना है, तो वह रेखा चुनें जिसमें शून्य हो। गणना कम होगी।

1. एक अभिव्यक्ति लिखें

यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है कि किसी संख्या का चिन्ह हर बार बदलता है। इसलिए, इकाइयों के बजाय, आपको निम्न तालिका द्वारा निर्देशित किया जा सकता है:

1. आइए अपने नंबरों का चिन्ह बदलें

1. आइए हमारे मैट्रिक्स के निर्धारकों को खोजें

1. हम यह सब मानते हैं

समाधान इस तरह लिखा जा सकता है:

पंक्ति/स्तंभ विस्तार द्वारा एक सारणिक खोजने के उदाहरण:

त्रिकोणीय रूप में कमी की विधि (प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके)

मैट्रिक्स को त्रिकोणीय (चरणबद्ध) रूप में लाकर और मुख्य विकर्ण पर तत्वों को गुणा करके निर्धारक पाया जाता है

त्रिकोणीय मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसके विकर्ण के एक तरफ के तत्व शून्य के बराबर होते हैं।

मैट्रिक्स बनाते समय, तीन सरल नियम याद रखें:

1. हर बार जब तार आपस में बदल जाते हैं, तो सारणिक संकेत को विपरीत में बदल देता है।
2. एक स्ट्रिंग को गैर-शून्य संख्या से गुणा / विभाजित करते समय, इसे विभाजित (यदि गुणा) / गुणा (यदि विभाजित) किया जाना चाहिए, या परिणामी निर्धारक के साथ यह क्रिया करें।
3. जब एक स्ट्रिंग को किसी संख्या से दूसरी स्ट्रिंग में गुणा किया जाता है, तो सारणिक नहीं बदलता है (गुणा किया गया स्ट्रिंग अपना मूल मान लेता है)।

आइए पहले कॉलम में शून्य प्राप्त करने का प्रयास करें, फिर दूसरे में।

आइए हमारे मैट्रिक्स पर एक नज़र डालें:

ता-ए-अक। गणना को और अधिक सुखद बनाने के लिए, मैं शीर्ष पर निकटतम संख्या रखना चाहता हूं। आप इसे छोड़ सकते हैं, लेकिन आपको ऐसा करने की जरूरत नहीं है। ठीक है, हमारे पास दूसरी पंक्ति में एक ड्यूस है, और पहली पर चार।

आइए इन दो पंक्तियों को स्वैप करें।

हमने लाइनों की अदला-बदली की, अब हमें या तो एक लाइन का चिन्ह बदलना होगा, या अंत में सारणिक के चिन्ह को बदलना होगा।

निर्धारक। निर्धारकों की गणना (पृष्ठ 2)

हम इसे बाद में करेंगे।

अब, पहली पंक्ति में शून्य प्राप्त करने के लिए, हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं।

पहली पंक्ति को दूसरी से घटाएँ।

हमारे तीसरे नियम के अनुसार, हम मूल स्ट्रिंग को प्रारंभिक स्थिति में लौटाते हैं।

अब तीसरी पंक्ति में शून्य बनाते हैं। हम पहली पंक्ति को 1.5 से गुणा कर सकते हैं और तीसरी से घटा सकते हैं, लेकिन भिन्नों के साथ काम करने से थोड़ा आनंद मिलता है। इसलिए, आइए एक संख्या ज्ञात करें जिससे दोनों तारों को कम किया जा सके - यह 6 है।

तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें।

अब हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं और तीसरी पंक्ति से घटाते हैं।

आइए अपनी पहली पंक्ति वापस करें।

यह मत भूलो कि हमने तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा किया है, इसलिए हम सारणिक को 2 से विभाजित करेंगे।

एक कॉलम है। अब, दूसरे में शून्य प्राप्त करने के लिए - आइए पहली पंक्ति के बारे में भूल जाएं - हम दूसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं। दूसरी पंक्ति को -3 से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें।

दूसरी पंक्ति वापस करना न भूलें।

इसलिए हमने एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स बनाया है। हमारे पास क्या बचा है? और यह मुख्य विकर्ण पर संख्याओं को गुणा करने के लिए बनी हुई है, जो हम करेंगे।

खैर, यह याद रखना बाकी है कि हमें अपने सारणिक को 2 से विभाजित करना चाहिए और चिन्ह को बदलना चाहिए।

सरस का नियम (त्रिभुजों का नियम)

सरस का नियम केवल तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स पर लागू होता है।

सारणिक की गणना मैट्रिक्स के दाईं ओर पहले दो कॉलम जोड़कर, मैट्रिक्स के विकर्णों के तत्वों को गुणा करके और उन्हें जोड़कर, और विपरीत विकर्णों के योग को घटाकर की जाती है। नारंगी विकर्णों से बैंगनी घटाएं।

त्रिभुजों का नियम एक ही है, केवल चित्र भिन्न है।

लाप्लास की प्रमेय पंक्ति/स्तंभ अपघटन देखें

1.1. दो रैखिक समीकरणों और दूसरे क्रम के निर्धारकों के निकाय

दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

कठिनाइयाँ अज्ञात के साथ तथा दो सूचकांक हैं: पहला समीकरण की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - चर की संख्या।

क्रैमर का नियम: सिस्टम के मुख्य निर्धारक द्वारा सहायक निर्धारकों को विभाजित करके सिस्टम का समाधान पाया जाता है

,

टिप्पणी 1.क्रैमर नियम का प्रयोग संभव है यदि तंत्र का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

टिप्पणी 2.क्रैमर के सूत्रों को उच्च क्रम प्रणालियों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण 1समाधान प्रणाली:
.

समाधान।

;
;

;

इंतिहान:

निष्कर्ष:सिस्टम सही है:
.

1.2. तीन रैखिक समीकरणों और तीसरे क्रम के निर्धारकों के निकाय

तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

अज्ञात के गुणांकों से बना सारणिक कहलाता है सिस्टम क्वालीफायर या मास्टर क्वालीफायर:

.

यदि एक
तब सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है, जो क्रैमर सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

निर्धारक कहां हैं
सहायक कहलाते हैं और निर्धारक से प्राप्त होते हैं इसके पहले, दूसरे, या तीसरे कॉलम को फ्री सिस्टम मेंबर्स के कॉलम से बदलकर।

उदाहरण 2सिस्टम को हल करें
.

आइए मुख्य और सहायक निर्धारक बनाते हैं:

यह तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के नियमों पर विचार करना बाकी है। उनमें से तीन हैं: स्तंभ जोड़ नियम, सरस नियम और विस्तार नियम।

ए) मुख्य निर्धारक में पहले दो कॉलम जोड़ने का नियम:

गणना निम्नानुसार की जाती है: उनके संकेत के साथ मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद होते हैं और इसके समानांतर, विपरीत संकेत के साथ, वे द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पादों को लेते हैं और इसके समानांतर होते हैं .

बी) सरस नियम:

उनके संकेत के साथ, वे मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पादों और उसके समानांतर के साथ लेते हैं, और लापता तीसरा तत्व विपरीत कोने से लिया जाता है। विपरीत चिन्ह के साथ, वे द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के गुणनफल लेते हैं और इसके समानांतर के साथ, तीसरा तत्व विपरीत कोने से लिया जाता है।

ग) एक पंक्ति या स्तंभ के तत्वों द्वारा विस्तार का नियम:

यदि एक
, फिर ।

बीजीय जोड़संबंधित पंक्ति और स्तंभ को हटाकर और चिन्ह को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया गया एक निचला क्रम निर्धारक है
, कहाँ पे - लाइन नंबर - कॉलम नंबर।

उदाहरण के लिए,

,
,
आदि।

आइए हम इस नियम के अनुसार सहायक निर्धारकों की गणना करें तथा , पहली पंक्ति के तत्वों द्वारा उनका विस्तार करना।

सभी निर्धारकों की गणना करने के बाद, हम क्रैमर के नियम के अनुसार चर पाते हैं:

इंतिहान:

निष्कर्ष:सिस्टम सही है: .

निर्धारकों के मूल गुण

यह याद रखना चाहिए कि सारणिक है संख्या, कुछ नियमों के अनुसार पाया जाता है। इसकी गणना को सरल बनाया जा सकता है यदि हम उन मूल गुणों का उपयोग करते हैं जो किसी भी क्रम के निर्धारकों के लिए मान्य हैं।

संपत्ति 1. सारणिक का मान नहीं बदलेगा यदि उसकी सभी पंक्तियों को संगत स्तंभों से बदल दिया जाए और इसके विपरीत।

पंक्तियों को स्तंभों से बदलने की क्रिया को स्थानान्तरण कहा जाता है। इस गुण से यह निष्कर्ष निकलता है कि कोई भी कथन जो सारणिक की पंक्तियों के लिए सत्य है, उसके स्तंभों के लिए भी सत्य होगा।

संपत्ति 2. यदि सारणिक में दो पंक्तियों (स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाए, तो सारणिक का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा।

संपत्ति 3. यदि सारणिक की किसी पंक्ति के सभी अवयव 0 के बराबर हैं, तो सारणिक 0 के बराबर है।

संपत्ति 4. यदि सारणिक स्ट्रिंग के तत्वों को किसी संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है , तो सारणिक का मान बढ़ जाएगा (कमी) in एक बार।

यदि किसी पंक्ति के तत्वों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो उसे सारणिक चिह्न से निकाला जा सकता है।

संपत्ति 5. यदि सारणिक की दो समान या समानुपाती पंक्तियाँ हैं, तो ऐसा सारणिक 0 के बराबर है।

संपत्ति 6. यदि सारणिक की किसी पंक्ति के अवयव दो पदों का योग हो, तो सारणिक दो सारणिकों के योग के बराबर होता है।

संपत्ति 7. यदि एक पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ा जाता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो सारणिक का मान नहीं बदलता है।

इस सारणिक में पहले तीसरे को 2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया, फिर तीसरे स्तंभ में से दूसरा घटा दिया गया, जिसके बाद पहली और तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ दी गई, परिणामस्वरूप हमें बहुत कुछ मिला शून्य और गणना को सरल बनाया।

प्राथमिकपरिवर्तनों इन गुणों के उपयोग के कारण निर्धारकों को इसका सरलीकरण कहा जाता है।

उदाहरण 1गणना निर्धारक

उपरोक्त नियमों में से किसी एक के अनुसार सीधी गणना करने से जटिल गणनाएँ होती हैं। इसलिए, गुणों का उपयोग करना उचित है:

ए) पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाएं, 2 से गुणा करें;

बी) तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएं, 3 से गुणा करें।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

आइए हम इस सारणिक को पहले स्तंभ के तत्वों के रूप में विस्तारित करें, जिसमें केवल एक गैर-शून्य तत्व होता है।

.

उच्च क्रम के सिस्टम और निर्धारक

व्यवस्था के साथ रैखिक समीकरण अज्ञात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इस मामले के लिए, मुख्य और सहायक निर्धारकों की रचना करना और क्रैमर के नियम के अनुसार अज्ञात का निर्धारण करना भी संभव है। समस्या यह है कि उच्च क्रम के निर्धारकों की गणना केवल क्रम को कम करके और उन्हें तीसरे क्रम के निर्धारकों तक कम करके की जा सकती है। यह पंक्ति या स्तंभ तत्वों में प्रत्यक्ष अपघटन के साथ-साथ प्रारंभिक प्रारंभिक परिवर्तनों और आगे के अपघटन द्वारा किया जा सकता है।

उदाहरण 4चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करें

समाधानदो तरह से खोजें:

ए) पहली पंक्ति के तत्वों पर प्रत्यक्ष विस्तार द्वारा:

बी) प्रारंभिक परिवर्तनों और आगे अपघटन द्वारा

उदाहरण 5चौथे कॉलम का उपयोग करके तीसरी पंक्ति में शून्य प्राप्त करते हुए, पांचवें क्रम के निर्धारक की गणना करें

दूसरे कॉलम से तीसरा घटाएं:

तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएँ:

उदाहरण 6समाधान प्रणाली:

समाधान।आइए हम प्रणाली के निर्धारक की रचना करें और, निर्धारकों के गुणों को लागू करते हुए, इसकी गणना करें:

(पहली पंक्ति से हम तीसरे को घटाते हैं, और फिर तीसरे कॉलम से परिणामी तीसरे क्रम के निर्धारक में हम पहले को घटाते हैं, 2 से गुणा करते हैं)। सिद्ध
, इसलिए, क्रैमर के सूत्र लागू होते हैं।

आइए शेष निर्धारकों की गणना करें:

चौथे कॉलम को 2 से गुणा किया जाता है और बाकी से घटाया जाता है

चौथे कॉलम को पहले से घटाया गया, और फिर, 2 से गुणा किया गया, दूसरे और तीसरे कॉलम से घटाया गया।

.

यहां, वही परिवर्तन किए गए जो for . के रूप में किए गए थे
.

.

जब मिला पहले कॉलम को 2 से गुणा किया गया और बाकी से घटाया गया।

क्रैमर के नियम के अनुसार, हमारे पास है:

पाए गए मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने के बाद, हम सुनिश्चित करते हैं कि सिस्टम का समाधान सही है।

2. मैट्रिक्स और उनका उपयोग

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रणाली में

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों का निकायफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहाँ पे ऐजोतथा बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक मैंसमीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जेअज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

अज्ञात के गुणांक को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाएगा , जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1 ,…,बी एमबुलाया मुक्त सदस्य।

सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फेसलाइस प्रणाली का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों का वह निकाय जिसका कम से कम एक हल हो, कहलाता है संयुक्त. अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स कॉलम

आइए उत्पाद खोजें

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाईं ओर प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, इस प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मैट्रिसेस एतथा बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे खोजने की जरूरत है, क्योंकि। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स सारणिक शून्य से भिन्न है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। बाईं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए: . क्यों कि ए -1 ए = ईतथा इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान है. हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर न हो, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं है और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक, यानी। अज्ञात पर गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

हम तीन और निर्धारकों की रचना इस प्रकार करते हैं: हम निर्धारक डी में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 कॉलम को मुक्त सदस्यों के एक कॉलम से बदलते हैं

तब हम निम्नलिखित परिणाम को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और

सबूत. तो, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। सिस्टम के पहले समीकरण को बीजीय पूरक द्वारा गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाईं ओर पर विचार करें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और .

अंत में, यह देखना आसान है कि

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

फलस्वरूप, ।

समानताएं और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत

उदाहरण।समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले मानी गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गाऊसी विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1. ऐसा करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं एक 21 और गुणा करें - एक 11 और फिर 1 समीकरण के साथ जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को . में विभाजित करते हैं एक 31 और गुणा करें - एक 11 और फिर इसे पहले वाले में जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली का रूप ले लेगा:

अब, अंतिम समीकरण से, हम युक्त पद को समाप्त करते हैं x2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को से विभाजित करें, गुणा करें और इसे दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से x2और अंत में 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने के लिए खुद को सीमित कर लेते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

प्रति प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों का क्रमपरिवर्तन;
2. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. एक पंक्ति में अन्य पंक्तियों को जोड़ना।

उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

एक प्रणाली को सजातीय कहा जाता है यदि इसमें सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हों। यदि ऐसी सजातीय प्रणाली में विशिष्ट निर्धारक होते हैं, तो उनके अंतिम कॉलम में शून्य होते हैं, और वे सभी शून्य के बराबर होते हैं। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी सजातीय प्रणाली का एक समाधान होता है

जिसे हम निम्नलिखित में शून्य के रूप में संदर्भित करेंगे।

एक सजातीय प्रणाली के लिए, मुख्य प्रश्न यह है कि क्या इसमें शून्य के अलावा अन्य समाधान हैं, और यदि हां, तो ऐसे सभी समाधानों का सेट क्या होगा। पहले उस मामले पर विचार करें जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर हो। सिस्टम इस तरह दिखेगा:

यदि इस प्रणाली का निर्धारक शून्य से भिन्न है, तो, क्रैमर के प्रमेय के अनुसार, इस प्रणाली का एक निश्चित समाधान है, अर्थात्, इस मामले में, शून्य समाधान। यदि यह निर्धारक शून्य के बराबर है, तो गुणांक तालिका का रैंक k अज्ञात की संख्या से कम होगा और इसलिए, (n - k) अज्ञात के मान पूरी तरह से मनमानी रहेंगे, और हमारे पास एक बेशुमार होगा शून्य से भिन्न समाधानों का समुच्चय। इस प्रकार हम निम्नलिखित मुख्य प्रमेय पर पहुँचते हैं:

प्रमेय I। प्रणाली (14) के लिए एक गैर-शून्य समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका निर्धारक शून्य के बराबर हो।

आइए हम अमानवीय प्रणाली (1) और सजातीय प्रणाली (14) के लिए प्राप्त परिणामों के बीच एक समानांतर बनाएं। यदि निकाय का सारणिक शून्येतर है, तो अमानवीय निकाय (1) का एक निश्चित हल होता है, और समांगी निकाय का केवल शून्य हल होता है। यदि प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, तो सजातीय प्रणाली (14) में गैर-शून्य समाधान होते हैं, लेकिन इस स्थिति के तहत, अमानवीय प्रणाली (1), आम तौर पर, कोई समाधान नहीं होता है, क्योंकि इसके लिए क्रम में एक समाधान के लिए, यह आवश्यक है कि इसकी मुक्त शर्तों को चुना जाए ताकि वे सभी विशिष्ट निर्धारकों को गायब कर दें। परिणामों की उपरोक्त समानता निम्नलिखित में एक आवश्यक भूमिका निभाएगी। भौतिकी के प्रश्नों में, प्राकृतिक दोलनों पर विचार करते समय सजातीय प्रणालियों का सामना किया जाएगा, और जबरन दोलनों पर विचार करते समय अमानवीय प्रणाली, और निर्धारक की समानता के शून्य के उपरोक्त मामले में एक सजातीय प्रणाली के लिए प्राकृतिक दोलनों की उपस्थिति की विशेषता होगी, और की घटना एक अमानवीय प्रणाली के लिए अनुनाद।

अब हम सिस्टम (14) के समाधान के बारे में अधिक विस्तृत विचार की ओर मुड़ते हैं, जब इसका मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर होता है। चलो k इसके गुणांकों की तालिका का रैंक हो, और, जाहिर है, । पिछले अंक में सिद्ध प्रमेय के अनुसार, हमें उन k समीकरणों को लेना चाहिए जिनमें मुख्य निर्धारक हों और उन्हें k अज्ञात के लिए हल करना चाहिए।

मान लें, व्यापकता के नुकसान के बिना, कि ये अज्ञात हैं। समाधान इस तरह दिखेगा:

जहां कुछ संख्यात्मक गुणांक और मनमाना मान ले सकते हैं।

हम सिस्टम के समाधान (14) की एक सामान्य संपत्ति पर ध्यान देते हैं, जो सीधे इस प्रणाली की रैखिकता और समरूपता से अनुसरण करता है, और जिसे समाधान लगाने का सिद्धांत कहा जा सकता है, अर्थात्, यदि हमारे पास सिस्टम के कई समाधान हैं:

फिर, उन्हें मनमानी स्थिरांक से गुणा करके और उन्हें एक साथ जोड़कर, हम सिस्टम का समाधान भी प्राप्त करते हैं

उसी तरह से आगे बढ़ते हुए जैसे हमने रैखिक अंतर समीकरणों के लिए किया था, हम समाधान (16) रैखिक रूप से स्वतंत्र कहते हैं यदि स्थिरांक क्यू के कोई मूल्य नहीं हैं, जिनमें से गैर-शून्य वाले हैं, जैसे कि किसी के लिए समानताएं लेती हैं स्थान:

प्रणाली के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का निर्माण करना मुश्किल नहीं है, जैसे कि उन्हें मनमानी स्थिरांक से गुणा करके और उन्हें जोड़कर, हम सिस्टम के सभी समाधान प्राप्त करते हैं। दरअसल, आइए हम सूत्रों (15) की ओर मुड़ें, जो सिस्टम का सामान्य समाधान देते हैं, और इन सूत्रों के आधार पर समाधान तैयार करते हैं: पहले समाधान में, हम सेट करते हैं और बाकी सभी शून्य के बराबर होते हैं; दूसरे समाधान में हम ए और अन्य सभी को शून्य के बराबर सेट करते हैं, और अंत में, अंतिम समाधान में हम अन्य सभी को शून्य के बराबर सेट करते हैं। यह देखना आसान है कि निर्मित समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक में एक के बराबर अज्ञात है, जो अन्य समाधानों में शून्य के बराबर है। आइए हम प्राप्त समाधानों को निम्नानुसार निरूपित करें।