बदलती जटिलता के त्रिकोणमितीय समीकरण। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके

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त्रिकोणमितीय समीकरण सबसे आसान विषय नहीं हैं। दर्दनाक रूप से वे विविध हैं।) उदाहरण के लिए, ये:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

आदि...

लेकिन इन (और अन्य सभी) त्रिकोणमितीय राक्षसों में दो सामान्य और अनिवार्य विशेषताएं हैं। पहला - आप इस पर विश्वास नहीं करेंगे - समीकरणों में त्रिकोणमितीय फलन होते हैं।) दूसरा: x के साथ सभी व्यंजक हैं इन्हीं कार्यों के भीतर।और केवल वहाँ! यदि x कहीं प्रकट होता है बाहर,उदाहरण के लिए, sin2x + 3x = 3,यह मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों के लिए एक व्यक्तिगत दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। यहां हम उन पर विचार नहीं करेंगे।

हम इस पाठ में बुरे समीकरणों को भी हल नहीं करेंगे।) यहाँ हम इससे निपटेंगे सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण।क्यों? हाँ, क्योंकि निर्णय कोईत्रिकोणमितीय समीकरणों में दो चरण होते हैं। पहले चरण में, विभिन्न परिवर्तनों द्वारा बुराई समीकरण को सरल बना दिया जाता है। दूसरे पर - यह सरलतम समीकरण हल हो गया है। कोई और तरीका नहीं।

इसलिए, यदि आपको दूसरे चरण में समस्या है, तो पहले चरण का कोई मतलब नहीं है।)

प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे दिखते हैं?

सिनक्स = ए

कोसक्स = ए

टीजीएक्स = ए

सीटीजीएक्स = ए

यहां एक किसी भी संख्या के लिए खड़ा है। कोई।

वैसे, फ़ंक्शन के अंदर शुद्ध x नहीं हो सकता है, लेकिन किसी प्रकार की अभिव्यक्ति, जैसे:

cos(3x+π /3) = 1/2

आदि। यह जीवन को जटिल बनाता है, लेकिन त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने की विधि को प्रभावित नहीं करता है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?

त्रिकोणमितीय समीकरणों को दो प्रकार से हल किया जा सकता है। पहला तरीका: तर्क और एक त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करना। हम यहां इस रास्ते का पता लगाएंगे। दूसरा तरीका - स्मृति और सूत्रों का उपयोग - पर अगले पाठ में विचार किया जाएगा।

पहला तरीका स्पष्ट, विश्वसनीय और भूलना कठिन है।) यह त्रिकोणमितीय समीकरणों, असमानताओं और सभी प्रकार के पेचीदा गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए अच्छा है। तर्क स्मृति से ज्यादा मजबूत है!

हम त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके समीकरणों को हल करते हैं।

हम प्राथमिक तर्क और त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करने की क्षमता शामिल करते हैं। क्या आप नहीं कर सकते !? हालांकि... यह आपके लिए त्रिकोणमिति में कठिन होगा...) लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। "त्रिकोणमितीय वृत्त....... यह क्या है?" पाठों पर एक नज़र डालें। और "त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों की गिनती करना।" वहां सब कुछ सरल है। पाठ्यपुस्तकों के विपरीत ...)

आह, तुम्हें पता है !? और यहां तक ​​​​कि "त्रिकोणमितीय सर्कल के साथ व्यावहारिक कार्य" में भी महारत हासिल है !? बधाई स्वीकारें। यह विषय आपके करीब और समझने योग्य होगा।) जो विशेष रूप से मनभावन है वह यह है कि त्रिकोणमितीय वृत्त इस बात की परवाह नहीं करता है कि आप किस समीकरण को हल करते हैं। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कॉटंगेंट - उसके लिए सब कुछ समान है। समाधान सिद्धांत समान है।

इसलिए हम कोई भी प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरण लेते हैं। कम से कम यह:

कोसएक्स = 0.5

मुझे एक्स खोजने की जरूरत है। मानव भाषा में बोलते हुए, आपको चाहिए वह कोण (x) ज्ञात कीजिए जिसका कोसाइन 0.5 है।

हमने पहले सर्कल का उपयोग कैसे किया? हमने उस पर एक कोना खींचा। डिग्री या रेडियन में। और तुरंत देखा गया इस कोण के त्रिकोणमितीय कार्य। अब इसका उल्टा करते हैं। सर्कल पर और तुरंत 0.5 के बराबर एक कोसाइन बनाएं हम देखेंगे कोना। यह केवल उत्तर लिखने के लिए रहता है।) हाँ, हाँ!

हम एक वृत्त बनाते हैं और कोसाइन को 0.5 के बराबर चिह्नित करते हैं। कोसाइन अक्ष पर, बिल्कुल। ऐशे ही:

अब हम वह कोण बनाते हैं जो यह कोसाइन हमें देता है। अपने माउस को चित्र पर होवर करें (या टेबलेट पर चित्र को स्पर्श करें), और देखनायही कोना एक्स।

किस कोण का कोसाइन 0.5 है?

एक्स \u003d π / 3

क्योंकि 60 डिग्री= कॉस ( π /3) = 0,5

कुछ लोग संशयपूर्ण ढंग से घुरघुराएंगे, हां... वे कहते हैं, क्या घेरा बनाना उचित था, जबकि सब कुछ वैसे भी स्पष्ट है... आप निश्चित रूप से घुरघुरा सकते हैं...) लेकिन तथ्य यह है कि यह एक गलत है उत्तर। या यों कहें, अपर्याप्त। सर्कल के पारखी समझते हैं कि अभी भी कोणों का एक पूरा गुच्छा है जो 0.5 के बराबर कोसाइन भी देता है।

यदि आप जंगम पक्ष OA को चालू करते हैं एक पूर्ण मोड़ के लिए, बिंदु A अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगा। उसी कोसाइन के साथ 0.5 के बराबर। वे। कोण बदल जाएगा 360° या 2π रेडियन, और कोसाइन नहीं है।नया कोण 60° + 360° = 420° भी हमारे समीकरण का एक हल होगा, क्योंकि

ऐसे पूर्ण घुमावों की अनंत संख्या है... और ये सभी नए कोण हमारे त्रिकोणमितीय समीकरण के हल होंगे। और उन सभी को किसी तरह लिखने की जरूरत है। सभी।अन्यथा, निर्णय पर विचार नहीं किया जाता, हाँ ...)

गणित इसे आसानी से और सुरुचिपूर्ण ढंग से कर सकता है। एक संक्षिप्त उत्तर में, लिखिए अनंत सेटसमाधान। यह हमारे समीकरण के लिए कैसा दिखता है:

एक्स = π /3 + 2π एन, एन ∈ जेड

मैं समझूंगा। अभी भी लिखो सार्थकबेवकूफी से कुछ रहस्यमय अक्षरों को चित्रित करने से अच्छा है, है ना?)

π /3 वही कोण है जो हम देखासर्कल पर और निर्धारितकोसाइन की तालिका के अनुसार।

2π रेडियंस में एक पूर्ण मोड़ है।

एन - यह पूर्ण की संख्या है, अर्थात। पूरेक्रांतियों। यह स्पष्ट है कि एन 0, ±1, ±2, ±3.... इत्यादि हो सकते हैं। जैसा कि संक्षिप्त प्रविष्टि द्वारा दर्शाया गया है:

एन ∈ जेड

एन के अंतर्गत आता है ( ∈ ) पूर्णांकों के समुच्चय के लिए ( जेड ). वैसे, पत्र के बजाय एन अक्षरों का प्रयोग किया जा सकता है के, एम, टी आदि।

इस अंकन का अर्थ है कि आप कोई भी पूर्णांक ले सकते हैं एन . कम से कम -3, कम से कम 0, कम से कम +55। आप क्या चाहते हैं। यदि आप उस संख्या को अपने उत्तर में प्लग करते हैं, तो आपको एक विशिष्ट कोण मिलता है, जो हमारे कठोर समीकरण का समाधान होना निश्चित है।)

या, दूसरे शब्दों में, एक्स \u003d π / 3 अनंत समुच्चय का एकमात्र मूल है। अन्य सभी जड़ों को प्राप्त करने के लिए, π / 3 में किसी भी पूर्ण मोड़ को जोड़ने के लिए पर्याप्त है ( एन ) रेडियंस में। वे। 2πएन कांति।

हर चीज़? नहीं। मैं विशेष रूप से आनंद को बढ़ाता हूं। बेहतर याद रखने के लिए।) हमें अपने समीकरण के उत्तरों का केवल एक हिस्सा मिला। मैं समाधान के इस पहले भाग को इस प्रकार लिखूंगा:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

एक्स 1 - एक जड़ नहीं, यह जड़ों की एक पूरी श्रृंखला है, जो संक्षिप्त रूप में लिखी गई है।

लेकिन ऐसे अन्य कोण भी हैं जो 0.5 के बराबर एक कोसाइन भी देते हैं!

आइए अपनी तस्वीर पर लौटते हैं, जिसके अनुसार हमने उत्तर लिखा था। वहाँ है वो:

छवि पर माउस ले जाएँ और देखनाएक और कोना 0.5 का कोसाइन भी देता है।आपको क्या लगता है यह बराबर है? त्रिकोण समान हैं... हाँ! यह कोण के बराबर होता है एक्स , केवल नकारात्मक दिशा में प्लॉट किया गया। यह कोना है -एक्स। लेकिन हमने x की गणना पहले ही कर ली है। π /3 या 60 डिग्री। इसलिए, हम सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

एक्स 2 \u003d - π / 3

और, ज़ाहिर है, हम उन सभी कोणों को जोड़ते हैं जो पूर्ण घुमावों के माध्यम से प्राप्त होते हैं:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

अब बस इतना ही।) एक त्रिकोणमितीय वृत्त में, हम देखा(जो समझता है, बिल्कुल)) सबकोण जो 0.5 के बराबर कोसाइन देते हैं। और उन्होंने इन कोणों को संक्षिप्त गणितीय रूप में लिख दिया। उत्तर जड़ों की दो अनंत श्रृंखला है:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

यह सही जवाब है।

आशा, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य सिद्धांतएक वृत्त की सहायता से समझा जा सकता है। हम वृत्त पर दिए गए समीकरण से कोसाइन (ज्या, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श) को चिह्नित करते हैं, संबंधित कोण बनाते हैं और उत्तर लिखते हैं।बेशक, आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि हम किस तरह के कोने हैं देखाघेरे पर। कभी-कभी यह इतना स्पष्ट नहीं होता है। ठीक है, जैसा कि मैंने कहा, यहाँ तर्क की आवश्यकता है।)

उदाहरण के लिए, आइए एक और त्रिकोणमितीय समीकरण का विश्लेषण करें:

कृपया ध्यान दें कि संख्या 0.5 समीकरणों में एकमात्र संभव संख्या नहीं है!) मेरे लिए इसे मूल और भिन्नों की तुलना में लिखना अधिक सुविधाजनक है।

हम सामान्य सिद्धांत के अनुसार काम करते हैं। हम एक वृत्त खींचते हैं, चिह्न (साइन अक्ष पर, निश्चित रूप से!) 0.5। हम इस साइन के अनुरूप सभी कोण एक साथ बनाते हैं। हमें यह चित्र मिलता है:

आइए पहले कोण से निपटें। एक्स पहली तिमाही में। हम ज्या की तालिका को याद करते हैं और इस कोण का मान निर्धारित करते हैं। मामला आसान है:

एक्स \u003d π / 6

हम पूर्ण मोड़ को याद करते हैं और स्पष्ट विवेक के साथ उत्तर की पहली श्रृंखला लिखते हैं:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

आधा काम हो गया है। अब हमें परिभाषित करने की जरूरत है दूसरा कोना...यह कोसाइन की तुलना में पेचीदा है, हाँ ... लेकिन तर्क हमें बचाएगा! दूसरे कोण का निर्धारण कैसे करें एक्स के माध्यम से? हाँ आसान! चित्र में त्रिभुज समान हैं, और लाल कोना है एक्स कोण के बराबर एक्स . केवल इसे ऋणात्मक दिशा में π कोण से गिना जाता है। इसलिए यह लाल है।) और उत्तर के लिए, हमें सकारात्मक अर्ध-अक्ष OX, यानी से सही ढंग से मापे गए कोण की आवश्यकता है। 0 डिग्री के कोण से।

चित्र पर कर्सर ले जाएँ और सब कुछ देखें। मैंने पहला कोना हटा दिया ताकि चित्र को जटिल न बनाया जा सके। हमारे लिए ब्याज का कोण (हरे रंग में खींचा गया) इसके बराबर होगा:

π - एक्स

एक्स हम इसे जानते हैं π /6 . तो दूसरा कोण होगा:

π - π /6 = 5π /6

दोबारा, हम पूर्ण क्रांतियों के जोड़ को याद करते हैं और उत्तर की दूसरी श्रृंखला लिखते हैं:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

बस इतना ही। एक पूर्ण उत्तर में जड़ों की दो श्रृंखलाएँ होती हैं:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए समान सामान्य सिद्धांत का उपयोग करके स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श वाले समीकरणों को आसानी से हल किया जा सकता है। जब तक, निश्चित रूप से, आप नहीं जानते कि एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श कैसे खींचना है।

उपरोक्त उदाहरणों में, मैंने साइन और कोसाइन के सारणीबद्ध मान का उपयोग किया: 0.5। वे। उन अर्थों में से एक जो छात्र जानता है ज़रूरी।अब आइए अपनी क्षमताओं का विस्तार करें अन्य सभी मूल्य।तय करें, इसलिए तय करें!)

तो, मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

शॉर्ट टेबल में कोज्या का ऐसा कोई मूल्य नहीं है। हम इस भयानक तथ्य को ठंडे बस्ते में डाल देते हैं। हम एक वृत्त खींचते हैं, कोसाइन अक्ष पर 2/3 को चिह्नित करते हैं और संबंधित कोण बनाते हैं। हमें यह चित्र मिलता है।

हम समझते हैं, शुरुआत के लिए, पहली तिमाही में एक कोण के साथ। यह जानने के लिए कि x किसके बराबर है, वे तुरंत उत्तर लिख देंगे! हम नहीं जानते... असफलता!? शांत! गणित अपना साथ मुसीबत में नहीं छोड़ता! उसने इस मामले के लिए चाप कोसाइन का आविष्कार किया। मत जानो? व्यर्थ में। पता लगाएँ। यह आपके विचार से कहीं अधिक आसान है। इस लिंक के अनुसार, "व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों" के बारे में एक भी मुश्किल मंत्र नहीं है ... यह इस विषय में अतिश्योक्तिपूर्ण है।

यदि आप जानते हैं, तो बस अपने आप से कहें, "X एक कोण है जिसका कोसाइन 2/3 है।" और तुरंत, विशुद्ध रूप से आर्ककोसाइन की परिभाषा के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

हम अतिरिक्त क्रांतियों के बारे में याद करते हैं और शांति से हमारे त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों की पहली श्रृंखला लिखते हैं:

एक्स 1 = आर्ककोस 2/3 + 2π एन, एन ∈ जेड

दूसरे कोण के लिए जड़ों की दूसरी श्रृंखला भी लगभग स्वचालित रूप से लिखी जाती है। सब कुछ समान है, केवल x (arccos 2/3) माइनस के साथ होगा:

एक्स 2 = - आर्ककोस 2/3 + 2π एन, एन ∈ जेड

और सारी चीज़ें! यह सही जवाब है। सारणीबद्ध मूल्यों से भी आसान। आपको कुछ भी याद रखने की आवश्यकता नहीं है।) वैसे, सबसे चौकस ध्यान देंगे कि चाप कोसाइन के माध्यम से समाधान के साथ यह चित्र अनिवार्य रूप से समीकरण cosx = 0.5 के चित्र से अलग नहीं है।

बिल्कुल! उस पर सामान्य सिद्धांत और सामान्य! मैंने विशेष रूप से लगभग एक जैसी दो तस्वीरें खींची हैं। वृत्त हमें कोण दिखाता है एक्स इसके कोसाइन द्वारा। यह एक सारणीबद्ध कोसाइन है या नहीं - सर्कल नहीं जानता। यह किस प्रकार का कोण है, π/3, या किस प्रकार का चाप कोसाइन हमें तय करना है।

एक साइन के साथ एक ही गाना। उदाहरण के लिए:

फिर से हम एक वृत्त बनाते हैं, साइन को 1/3 के बराबर चिह्नित करते हैं, कोनों को खींचते हैं। यह तस्वीर निकलती है:

और फिर से तस्वीर लगभग वैसी ही है जैसी समीकरण के लिए है sinx = 0.5।फिर से हम पहली तिमाही में कोने से शुरू करते हैं। X किसके बराबर है यदि इसकी ज्या 1/3 है? कोई बात नहीं!

तो तैयार है जड़ों का पहला पैक:

x 1 = आर्क्सिन 1/3 + 2π n, n ∈ Z

आइए दूसरे कोण पर नजर डालते हैं। 0.5 के तालिका मान वाले उदाहरण में, यह इसके बराबर था:

π - एक्स

तो यहाँ बिल्कुल वैसा ही होगा! केवल x भिन्न है, चाप 1/3 है। तो क्या!? आप जड़ों के दूसरे पैक को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

x 2 = π - चाप 1/3 + 2π n, n ∈ Z

यह बिल्कुल सही उत्तर है। हालांकि यह बहुत जाना-पहचाना नहीं लगता। लेकिन यह समझ में आता है, मुझे उम्मीद है।)

इस प्रकार एक वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल किया जाता है। यह रास्ता साफ और समझने योग्य है। यह वह है जो त्रिकोणमितीय असमानताओं में एक दिए गए अंतराल पर जड़ों के चयन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों में बचाता है - वे आम तौर पर एक सर्कल में लगभग हमेशा हल होते हैं। संक्षेप में, किसी भी ऐसे कार्य में जो मानक कार्यों की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल हो।

ज्ञान को व्यवहार में लाना?

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें:

सबसे पहले यह आसान है, सीधे इस पाठ पर।

अब यह और कठिन है।

संकेत: यहाँ आपको वृत्त के बारे में सोचना है। व्यक्तिगत रूप से।)

और अब बाह्य रूप से स्पष्ट ... उन्हें विशेष मामले भी कहा जाता है।

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

संकेत: यहां आपको एक सर्कल में यह पता लगाने की जरूरत है कि उत्तर की दो श्रृंखलाएं कहां हैं, और जहां एक है ... और उत्तर की दो श्रृंखलाओं के बजाय एक को कैसे लिखना है। हां, ताकि अनंत संख्या से एक भी जड़ न खो जाए!)

अच्छा, काफी सरल):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

संकेत: यहाँ आपको यह जानने की आवश्यकता है कि चापज्या, चापकोज्या क्या है? चाप स्पर्शरेखा, चाप स्पर्शरेखा क्या है? सबसे सरल परिभाषाएँ। लेकिन आपको किसी सारणीबद्ध मान को याद रखने की आवश्यकता नहीं है!)

उत्तर निश्चित रूप से अव्यवस्था में हैं):

एक्स 1= आर्क्सिन0,3 + 2πn, n ∈ Z
एक्स 2= π - चाप0.3 + 2

सब कुछ नहीं चलता? हो जाता है। पाठ फिर से पढ़ें। सिर्फ़ सोच समजकर(ऐसा एक अप्रचलित शब्द है...) और लिंक का अनुसरण करें। मुख्य लिंक सर्कल के बारे में हैं। इसके बिना त्रिकोणमिति में - आंखों पर पट्टी बांधकर सड़क कैसे पार करें। कभी-कभी यह काम करता है।)

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

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विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. त्रिकोणमितीय समीकरण क्या होते हैं?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की दो मुख्य विधियाँ।
4. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।
5. उदाहरण।

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या होते हैं?

दोस्तों, हम पहले से ही आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट का अध्ययन कर चुके हैं। अब आइए सामान्य रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखें।

त्रिकोणमितीय समीकरण - वे समीकरण जिनमें चर त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह के अंतर्गत समाहित है।

हम सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के रूप को दोहराते हैं:

1) यदि |а|≤ 1, तो समीकरण cos(x) = a का एक हल है:

एक्स = ± आर्ककोस (ए) + 2πk

2) यदि |а|≤ 1, तो समीकरण sin(x) = a का एक हल है:

3) अगर |ए| > 1, तो समीकरण sin(x) = a और cos(x) = a का कोई हल नहीं है 4) समीकरण tg(x)=a का एक हल है: x=arctg(a)+ πk

5) समीकरण ctg(x)=a का एक हल है: x=arcctg(a)+ πk

सभी सूत्रों के लिए, k एक पूर्णांक है

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का रूप है: Т(kx+m)=a, T- कोई भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन।

समीकरण हल करें: a) sin(3x)= √3/2

समाधान:

ए) आइए 3x=t को निरूपित करें, फिर हम अपने समीकरण को इस रूप में फिर से लिखेंगे:

इस समीकरण का हल होगा: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

मूल्यों की तालिका से हमें मिलता है: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

आइए अपने चर पर वापस जाएं: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

फिर x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, जहाँ n एक पूर्णांक है। (-1)^n - n की घात घटा एक।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के अधिक उदाहरण।

समाधान:

ए) इस बार हम सीधे समीकरण की जड़ों की गणना के लिए आगे बढ़ेंगे:

एक्स / 5 = ± आर्ककोस (1) + 2πk। तब x/5= πk => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जहाँ k एक पूर्णांक है।

बी) हम इस रूप में लिखते हैं: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। हम जानते हैं कि: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जहाँ k एक पूर्णांक है।

समीकरण हल करें: cos(4x)= √2/2। और खंड पर सभी जड़ें खोजें।

समाधान:

आइए हमारे समीकरण को सामान्य रूप में हल करें: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

एक्स = ± π/16+ πk/2;

अब देखते हैं कि हमारे सेगमेंट में क्या जड़ें हैं। k के लिए k = 0, x = π/16 के लिए, हम दिए गए सेगमेंट में हैं।
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 के साथ, वे फिर से हिट करते हैं।
k=2 के लिए, x= π/16+ π=17π/16, लेकिन यहां हमने हिट नहीं किया, जिसका मतलब है कि हम बड़े k के लिए भी हिट नहीं करेंगे।

उत्तर: x= π/16, x= 9π/16

दो मुख्य समाधान विधियाँ।

आइए समीकरण को हल करें:

समाधान:
हमारे समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि का उपयोग करते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है: t=tg(x)।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: टी 2 + 2टी -1 = 0

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: t=-1 और t=1/3

फिर tg(x)=-1 और tg(x)=1/3, हमें सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिला, आइए इसकी जड़ें खोजें।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

एक समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

समीकरणों को हल करें: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

समाधान:

आइए पहचान का उपयोग करें: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

हमारा समीकरण बन जाता है: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

आइए प्रतिस्थापन t=cos(x) का परिचय दें: 2t 2 -3t - 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल हैं: t=2 और t=-1/2

फिर cos(x)=2 और cos(x)=-1/2.

इसलिये कोसाइन एक से अधिक मान नहीं ले सकता है, तो cos(x)=2 कोई जड़ नहीं है।

cos(x)=-1/2 के लिए: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

रूप के समीकरण

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

पहली डिग्री के एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे cos(x) से विभाजित करते हैं: यदि कोसाइन शून्य के बराबर है तो इसे विभाजित करना असंभव है, आइए सुनिश्चित करें कि ऐसा नहीं है:
चलो cos(x)=0, फिर asin(x)+0=0 => sin(x)=0, लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, हमें एक विरोधाभास मिला, इसलिए हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं शून्य से।

प्रश्न हल करें:
उदाहरण: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

समाधान:

सामान्य कारक निकालें: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

फिर हमें दो समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है:

cos(x)=0 और cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk;

समीकरण cos(x)+sin(x)=0 पर विचार करें हमारे समीकरण को cos(x) से विभाजित करें:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

उत्तर: x= π/2 + πk और x= -π/4+πk

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?
दोस्तों इन नियमों का हमेशा पालन करें!

1. देखें कि गुणांक किसके बराबर है, यदि a \u003d 0 है, तो हमारा समीकरण cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) का रूप लेगा, जिसका एक उदाहरण पिछले पर है फिसल पट्टी

2. यदि a≠0, तो आपको समीकरण के दोनों भागों को वर्ग कोसाइन से विभाजित करने की आवश्यकता है, हमें मिलता है:

हम चर का परिवर्तन करते हैं t=tg(x) हमें समीकरण मिलता है:

उदाहरण हल करें #:3

समीकरण के दोनों पक्षों को कोज्या वर्ग से विभाजित करें:

हम चर t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0 में परिवर्तन करते हैं

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: t=-3 और t=1

फिर: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

उत्तर: x=-arctg(3) + πk और x= π/4+ πk

उदाहरण हल करें #:4

समाधान:
आइए हमारी अभिव्यक्ति को बदलें:

हम ऐसे समीकरणों को हल कर सकते हैं: x= - π/4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उत्तर: x= - π/4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उदाहरण हल करें #:5

समाधान:
आइए हमारी अभिव्यक्ति को बदलें:

हम प्रतिस्थापन tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 का परिचय देते हैं

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल होगा: t=-2 और t=1/2

तब हमें मिलता है: tg(2x)=-2 और tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= आर्कटग(1/2) + πk => x=आर्कटग(1/2)/2+ πk/2

उत्तर: x=-arctg(2)/2 + πk/2 और x=arctg(1/2)/2+ πk/2

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) समीकरण हल करें: sin(3x)= √3/2। और खंड पर सभी जड़ें खोजें [π/2; π]।

3) समीकरण को हल करें: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) समीकरण को हल करें: 3 sin 2 (x) + √3 sin (x) cos (x) = 0

5) समीकरण को हल करें: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) समीकरण को हल करें: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

बहुतों को हल करते समय गणित की समस्याये, विशेष रूप से वे जो ग्रेड 10 से पहले होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम स्पष्ट रूप से परिभाषित होता है जो लक्ष्य तक ले जाएगा। इस तरह की समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएँ, भिन्नात्मक समीकरण, और समीकरण जो द्विघात समीकरणों को कम करते हैं। उल्लिखित कार्यों में से प्रत्येक के सफल समाधान का सिद्धांत इस प्रकार है: यह स्थापित करना आवश्यक है कि किस प्रकार की समस्या का समाधान किया जा रहा है, कार्यों के आवश्यक क्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।

जाहिर है, किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या असफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितना सही ढंग से निर्धारित किया गया है, इसके समाधान के सभी चरणों के अनुक्रम को कितनी सही तरीके से पुन: पेश किया गया है। बेशक, इस मामले में समान परिवर्तन और गणना करने के लिए कौशल होना आवश्यक है।

के साथ एक अलग स्थिति उत्पन्न होती है त्रिकोणमितीय समीकरण।इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं के अनुक्रम का निर्धारण करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाती हैं।

कभी-कभी किसी समीकरण के स्वरूप द्वारा इसके प्रकार का निर्धारण करना कठिन होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय फ़ार्मुलों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें प्रयास करना चाहिए:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;
2. समीकरण को "समान कार्यों" पर लाएं;
3. समीकरण के बाईं ओर गुणनखण्ड करें, आदि।

विचार करना त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

I. सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान योजना

स्टेप 1।ज्ञात घटकों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करें।

चरण दोसूत्र का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:

कॉस एक्स = ए; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

पाप एक्स = ए; x \u003d (-1) n आर्कसिन a + πn, n Є Z।

तन एक्स = ए; x \u003d आर्कटग ए + πn, n Є Z।

सीटीजी एक्स = ए; x \u003d आर्कक्टग ए + πn, n Є Z।

चरण 3एक अज्ञात चर खोजें।

उदाहरण।

2 cos(3x – π/4) = -√2.

समाधान।

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ±(π - π/4) + 2πn, n Є Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

द्वितीय। परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय कार्यों में से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजगणितीय रूप में लाएं।

चरण दोपरिणामी फ़ंक्शन को वेरिएबल टी द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, तो टी पर प्रतिबंध लगाएं)।

चरण 3परिणामी बीजगणितीय समीकरण को लिखिए और हल कीजिए।

चरण 4एक उलटा प्रतिस्थापन करें।

चरण 5सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0।

समाधान।

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0।

2) माना sin (x/2) = t, जहाँ |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 या e = -3/2 प्रतिबंध |t| को संतुष्ट नहीं करता है ≤ 1.

4) पाप (x/2) = 1।

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z।

उत्तर: x = π + 4πn, n Є Z।

तृतीय। समीकरण क्रम में कमी विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।बिजली कटौती सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को एक रैखिक समीकरण से बदलें:

पाप 2 x \u003d 1/2 (1 - कॉस 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)।

चरण दोविधि I और II का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos2x + cos2x = 5/4।

समाधान।

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4।

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 कॉस 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

उत्तर: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

चतुर्थ। सजातीय समीकरण

समाधान योजना

स्टेप 1।इस समीकरण को रूप में लाओ

a) a sin x + b cos x = 0 (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण)

या देखने के लिए

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण दोसमीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करें

ए) कॉस एक्स ≠ 0;

बी) कॉस 2 एक्स ≠ 0;

और tg x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टीजी एक्स + बी = 0;

बी) एक टीजी 2 एक्स + बी आर्कटग एक्स + सी = 0।

चरण 3ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0।

समाधान।

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0।

2) टीजी 2 एक्स + 3टीजी एक्स - 4 = 0।

3) मान लीजिए tg x = t, तब

टी 2 + 3टी - 4 = 0;

टी = 1 या टी = -4, इसलिए

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4।

पहले समीकरण से x = π/4 + πn, n Є Z; दूसरे समीकरण x = -arctg 4 + से πk, k Є Z।

उत्तर: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z।

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।सभी प्रकार के त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक ऐसे समीकरण में लाएँ जिसे विधियों I, II, III, IV द्वारा हल किया जा सके।

चरण दोज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

sinx + sin2x + sin3x = 0.

समाधान।

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Є Z; दूसरे समीकरण cos x = -1/2 से।

हमारे पास x = π/4 + πn/2, n Є Z; दूसरे समीकरण से x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

परिणामस्वरूप, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

उत्तर: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता और कौशल बहुत हैं महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से काफी प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं।इस तरह की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं जो त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करते समय प्राप्त किए जाते हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण सामान्य रूप से गणित और व्यक्तित्व विकास के शिक्षण की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

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त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों का ज्ञान आवश्यक है - साइन और कोसाइन के वर्गों का योग, साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति, और अन्य। उन लोगों के लिए जो उन्हें भूल गए हैं या नहीं जानते हैं, हम "" लेख पढ़ने की सलाह देते हैं।
इसलिए, हम मूल त्रिकोणमितीय सूत्र जानते हैं, उन्हें व्यवहार में लाने का समय आ गया है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करनासही दृष्टिकोण के साथ, यह काफी रोमांचक गतिविधि है, जैसे, उदाहरण के लिए, रूबिक क्यूब को हल करना।

नाम के आधार पर ही यह स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें अज्ञात एक त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह के अंतर्गत होता है।
तथाकथित सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। यहाँ वे इस तरह दिखते हैं: sinх = a, cos x = a, tg x = a। विचार करना, ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करेंस्पष्टता के लिए, हम पहले से परिचित त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करेंगे।

सिनक्स = ए

कॉस एक्स = ए

तन एक्स = ए

कॉट एक्स = ए

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: हम समीकरण को सरलतम रूप में लाते हैं और फिर इसे सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करते हैं।
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की 7 मुख्य विधियाँ हैं।

1. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि

समीकरण को हल करें 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

कमी के फार्मूले का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

सादगी के लिए cos(x + /6) को y से बदलें और सामान्य द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

2y 2 - 3y + 1 + 0

जिसके मूल y 1 = 1, y 2 = 1/2

अब पीछे चलते हैं

हम y के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और दो उत्तर प्राप्त करते हैं:

2. गुणनखंडन के माध्यम से त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

समीकरण sin x + cos x = 1 को कैसे हल करें?

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ ताकि 0 दाईं ओर रहे:

पाप एक्स + कॉस एक्स - 1 = 0

समीकरण को सरल बनाने के लिए हम उपरोक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

चलो गुणनखंड करते हैं:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

हमें दो समीकरण मिलते हैं

3. एक सजातीय समीकरण में कमी

साइन और कोसाइन के संबंध में एक समीकरण सजातीय है यदि इसके सभी शब्द साइन और कोसाइन के संबंध में समान कोण के समान डिग्री के हैं। एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित करें;

बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर रखें;

c) सभी कारकों और कोष्ठकों को 0 के बराबर करें;

घ) कोष्ठक में, कम डिग्री का एक सजातीय समीकरण प्राप्त होता है, जो बदले में, साइन या कोसाइन द्वारा उच्च डिग्री तक विभाजित होता है;

ई) टीजी के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।

समीकरण को हल करें 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

आइए सूत्र sin 2 x + cos 2 x = 1 का उपयोग करें और दाईं ओर के दो खुले से छुटकारा पाएं:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Cosx द्वारा विभाजित करें:

टीजी 2 एक्स + 4 टीजी एक्स + 3 = 0

हम tg x को y से प्रतिस्थापित करते हैं और एक द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं:

y 2 + 4y +3 = 0 जिसका मूल y 1 =1, y 2 = 3 है

यहाँ से हमें मूल समीकरण के दो हल मिलते हैं:

x 2 \u003d आर्कटग 3 + के

4. आधे कोण में संक्रमण के माध्यम से समीकरणों को हल करना

समीकरण 3sin x - 5cos x = 7 को हल करें

चलिए x/2 पर चलते हैं:

6sin(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

सब कुछ बाईं ओर स्थानांतरित करना:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) से विभाजित करें:

टीजी 2 (एक्स/2) - 3टीजी(एक्स/2) + 6 = 0

5. एक सहायक कोण का परिचय

विचार के लिए, आइए फॉर्म का एक समीकरण लें: a sin x + b cos x \u003d c,

जहाँ a, b, c कुछ स्वेच्छ गुणांक हैं और x एक अज्ञात है।

समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें:



अब समीकरण के गुणांक, त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार, पाप और कोस के गुण हैं, अर्थात्: उनका मापांक 1 से अधिक नहीं है और वर्गों का योग = 1. चलो उन्हें क्रमशः कॉस और पाप के रूप में निरूपित करते हैं, जहां ऐसा है -सहायक कोण कहलाता है। तब समीकरण रूप लेगा:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

या sin(x + ) = C

इस सरल त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है

x \u003d (-1) k * आर्क्सिन C - + k, जहाँ



यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पदनाम कॉस और पाप विनिमेय हैं।

समीकरण sin 3x - cos 3x = 1 को हल कीजिये I

इस समीकरण में, गुणांक हैं:

a \u003d, b \u003d -1, इसलिए हम दोनों भागों को \u003d 2 से विभाजित करते हैं