ऑनलाइन संयुग्म सम्मिश्र संख्या ज्ञात कीजिए। जटिल संख्याएँ और उन पर बीजीय संक्रियाएँ

एक द्विघात समीकरण पर विचार करें।

आइए इसकी जड़ों को परिभाषित करें।

ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग -1 हो। लेकिन यदि सूत्र संकारक को परिभाषित करता है मैंएक काल्पनिक इकाई के रूप में, तब इस समीकरण के हल को रूप में लिखा जा सकता है . जिसमें तथा - जटिल संख्याएँ, जिसमें -1 वास्तविक भाग है, 2 या दूसरे मामले में -2 काल्पनिक भाग है। काल्पनिक भाग भी एक वास्तविक (वास्तविक) संख्या है। काल्पनिक भाग को काल्पनिक इकाई से गुणा करने का अर्थ है पहले से ही काल्पनिक संख्या.

सामान्य तौर पर, एक सम्मिश्र संख्या का रूप होता है

जेड = एक्स + अइ ,

कहाँ पे एक्स, वाईवास्तविक संख्याएँ हैं, एक काल्पनिक इकाई है। कई अनुप्रयुक्त विज्ञानों में, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, इलेक्ट्रॉनिक्स, सिग्नल थ्योरी में, काल्पनिक इकाई को किसके द्वारा निरूपित किया जाता है जे. वास्तविक संख्या एक्स = रे (जेड)तथा वाई =मैं हूँ(जेड)बुलाया वास्तविक और काल्पनिक भागनंबर जेडअभिव्यक्ति कहा जाता है बीजगणितीय रूपएक जटिल संख्या का अंकन।

कोई भी वास्तविक संख्या प्रपत्र में सम्मिश्र संख्या का एक विशेष मामला है . एक काल्पनिक संख्या भी एक जटिल संख्या का एक विशेष मामला है। .

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय की परिभाषा C

यह अभिव्यक्ति इस प्रकार पढ़ती है: सेट से, जैसे तत्वों से मिलकर एक्सतथा वाईवास्तविक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित हैं आरऔर काल्पनिक इकाई है। ध्यान दें कि आदि।

दो सम्मिश्र संख्याएँ तथा समान हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हैं, अर्थात तथा ।

विज्ञान और प्रौद्योगिकी में जटिल संख्या और कार्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से यांत्रिकी, विश्लेषण और एसी सर्किट की गणना, एनालॉग इलेक्ट्रॉनिक्स, सिग्नल सिद्धांत और प्रसंस्करण, स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत और अन्य अनुप्रयुक्त विज्ञान।

1. जटिल संख्याओं का अंकगणित

दो जटिल संख्याओं के योग में उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़ना शामिल है, अर्थात।

तदनुसार, दो जटिल संख्याओं का अंतर

जटिल संख्या बुलाया जटिल संयुग्मसंख्या जेड =एक्स +i.y.

जटिल संयुग्म संख्या z और z * काल्पनिक भाग के संकेतों में भिन्न हैं। जाहिर है कि

.

इस समानता में हर जगह जटिल अभिव्यक्तियों के बीच कोई समानता मान्य रहती है मैंद्वारा प्रतिस्थापित - मैं, अर्थात। संयुग्मी संख्याओं की समानता पर जाएँ। नंबर मैंतथा – मैंबीजगणितीय रूप से अप्रभेद्य हैं क्योंकि .

दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल (गुणन) की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन:

उदाहरण:

1. जटिल विमान

आयताकार समन्वय प्रणाली में एक जटिल संख्या को रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है। आइए विमान में एक आयताकार समन्वय प्रणाली स्थापित करें (एक्स, वाई)।

एक्सल पर बैलहम वास्तविक भागों की व्यवस्था करेंगे एक्स, यह कहा जाता है वास्तविक (वास्तविक) अक्ष, अक्ष पर ओए- काल्पनिक भाग वाईजटिल आंकड़े। वह नाम धारण करती है काल्पनिक अक्ष. इसके अलावा, प्रत्येक जटिल संख्या विमान के एक निश्चित बिंदु से मेल खाती है, और ऐसे विमान को कहा जाता है जटिल विमान. बिंदु लेकिनजटिल विमान वेक्टर के अनुरूप होगा ओए.

संख्या एक्सबुलाया सूच्याकार आकृति का भुजजटिल संख्या, संख्या वाई – तालमेल.

जटिल संयुग्म संख्याओं की एक जोड़ी को वास्तविक अक्ष के सममित रूप से स्थित डॉट्स के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

अगर प्लेन सेट पर ध्रुवीय समन्वय प्रणाली, फिर हर सम्मिश्र संख्या जेडध्रुवीय निर्देशांक द्वारा निर्धारित। जिसमें मापांकनंबर बिंदु और कोण की ध्रुवीय त्रिज्या है - इसका ध्रुवीय कोण या सम्मिश्र संख्या तर्क जेड.

जटिल संख्या मापांक हमेशा गैर-नकारात्मक। एक जटिल संख्या का तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। तर्क का मुख्य मूल्य शर्त को पूरा करना चाहिए . जटिल तल का प्रत्येक बिंदु तर्क के कुल मान से भी मेल खाता है। वे तर्क जो 2π के गुणक से भिन्न होते हैं, उन्हें समान माना जाता है। संख्या तर्क शून्य परिभाषित नहीं है।

तर्क का मुख्य मूल्य भावों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जाहिर है कि

जिसमें
, .

जटिल संख्या प्रतिनिधित्व जेडजैसा

बुलाया त्रिकोणमितीय रूपजटिल संख्या।

उदाहरण.

1. जटिल संख्याओं का घातीय रूप

में अपघटन मैकलॉरिन श्रृंखलावास्तविक तर्क कार्यों के लिए की तरह लगता है:

एक जटिल तर्क के घातीय कार्य के लिए जेडअपघटन समान है

.

काल्पनिक तर्क के घातीय कार्य के लिए मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार को इस रूप में दर्शाया जा सकता है

परिणामी पहचान कहा जाता है यूलर सूत्र.

एक नकारात्मक तर्क के लिए, ऐसा लगता है

इन व्यंजकों को मिलाकर, हम ज्या और कोज्या के लिए निम्नलिखित व्यंजकों को परिभाषित कर सकते हैं

.

जटिल संख्याओं के प्रतिनिधित्व के त्रिकोणमितीय रूप से यूलर सूत्र का उपयोग करना

उपलब्ध ठोस(घातीय, ध्रुवीय) एक सम्मिश्र संख्या का रूप, अर्थात इसका प्रतिनिधित्व रूप में

,

कहाँ पे - आयताकार निर्देशांक वाले बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक ( एक्स,वाई).

एक सम्मिश्र संख्या के संयुग्म को चरघातांकी रूप में इस प्रकार लिखा जाता है।

घातीय रूप के लिए, जटिल संख्याओं के गुणन और विभाजन के लिए निम्नलिखित सूत्रों को परिभाषित करना आसान है

यही है, घातीय रूप में, बीजगणितीय रूप की तुलना में जटिल संख्याओं का उत्पाद और विभाजन आसान है। गुणा करते समय, कारकों के मॉड्यूल को गुणा किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं। यह नियम किसी भी कारक पर लागू होता है। विशेष रूप से, जब एक सम्मिश्र संख्या का गुणा किया जाता है जेडपर मैंवेक्टर जेड 90 से वामावर्त घुमाता है

विभाजन में, अंश मापांक को भाजक मापांक से विभाजित किया जाता है, और भाजक तर्क को अंश तर्क से घटाया जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं के घातीय रूप का उपयोग करके, प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के लिए व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहचान से

यूलर सूत्र का उपयोग करके हम लिख सकते हैं

इस अभिव्यक्ति में वास्तविक और काल्पनिक भागों की बराबरी करते हुए, हम कोणों के योग के कोसाइन और साइन के लिए भाव प्राप्त करते हैं

1. सम्मिश्र संख्याओं की घात, मूल और लघुगणक

एक सम्मिश्र संख्या को एक प्राकृतिक घात में उठाना एनसूत्र के अनुसार निर्मित

उदाहरण. गणना करना .

एक संख्या की कल्पना करो त्रिकोणमितीय रूप में

’

घातांक सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

व्यंजक में मान लगाना आर= 1, हमें तथाकथित मिलता है डी मोइवर का सूत्र, जिसके साथ आप कई कोणों की ज्या और कोज्या के लिए व्यंजक निर्धारित कर सकते हैं।

जड़ एनएक जटिल संख्या की वें शक्ति जेडयह है एनअभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित विभिन्न मूल्य

उदाहरण. हमे पता करने दें ।

ऐसा करने के लिए, हम जटिल संख्या () को त्रिकोणमितीय रूप में व्यक्त करते हैं

.

एक जटिल संख्या की जड़ की गणना के सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

एक सम्मिश्र संख्या का लघुगणक जेडएक संख्या है डब्ल्यू, जिसके लिए । एक जटिल संख्या के प्राकृतिक लघुगणक में अनंत मान होते हैं और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है

वास्तविक (कोसाइन) और काल्पनिक (साइन) भागों से मिलकर बनता है। इस तरह के तनाव को लंबाई के वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है यू एम, प्रारंभिक चरण (कोण), कोणीय वेग के साथ घूर्णन ω .

इसके अलावा, यदि जटिल कार्यों को जोड़ा जाता है, तो उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग जोड़े जाते हैं। यदि किसी सम्मिश्र फलन को किसी स्थिर या वास्तविक फलन से गुणा किया जाता है, तो उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों को एक ही गुणक से गुणा किया जाता है। इस तरह के एक जटिल कार्य का विभेदन/एकीकरण वास्तविक और काल्पनिक भागों के विभेदन/एकीकरण के लिए कम हो जाता है।

उदाहरण के लिए, जटिल तनाव अभिव्यक्ति का विभेदन

से गुणा करना है iω फलन f(z) का वास्तविक भाग है, और समारोह का काल्पनिक हिस्सा है। उदाहरण: .

अर्थ जेडजटिल जेड विमान में एक बिंदु और संबंधित मूल्य द्वारा दर्शाया गया है डब्ल्यू- जटिल विमान में एक बिंदु डब्ल्यू. जब प्रदर्शित किया गया डब्ल्यू = एफ (जेड)समतल रेखाएँ जेडविमान की तर्ज पर गुजरें डब्ल्यू, एक तल की आकृतियों को दूसरे तल की आकृतियों में, लेकिन रेखाओं या आकृतियों के आकार में उल्लेखनीय परिवर्तन हो सकता है।