सभी विभिन्न शक्तियों के पावर फ़ंक्शन ग्राफिक्स। कार्य और रेखांकन

ग्राफ (चित्र 2)।

चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\left(x\right)=x^(2n)$

प्राकृतिक विषम घातांक के साथ एक शक्ति फलन के गुण

परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ एक विषम फलन है।

$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।

रेंज सभी वास्तविक संख्याएं हैं।

$f"\बाएं(x\दाएं)=\बाएं(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फ़ंक्शन बढ़ता है।

$f\बाएं(x\दाएं)0$, $x\in (0,+\infty)$ के लिए।

$f(""\बाएं(x\दाएं))=(\बाएं(\बाएं(2n-1\दाएं)\cdot x^(2\बाएं(n-1\दाएं))\दाएं))"=2 \बाएं(2n-1\दाएं)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

फ़ंक्शन $x\in (-\infty ,0)$ के लिए अवतल है और $x\in (0,+\infty)$ के लिए उत्तल है।

ग्राफ (चित्र 3)।

चित्र 3. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\बाएं(x\दाएं)=x^(2n-1)$

पूर्णांक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन

आरंभ करने के लिए, हम एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 3

एक पूर्णांक घातांक $n$ के साथ एक वास्तविक संख्या $a$ की डिग्री सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

चित्र 4

अब एक पूर्णांक घातांक, उसके गुणधर्म और ग्राफ के साथ एक घात फलन पर विचार करें।

परिभाषा 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ को इंटीजर एक्सपोनेंट वाला पावर फंक्शन कहा जाता है।

यदि डिग्री शून्य से अधिक है, तो हम एक प्राकृतिक घातांक वाले घात फलन के मामले में आते हैं। हम पहले ही ऊपर विचार कर चुके हैं। $n=0$ के लिए हमें एक रैखिक फलन $y=1$ मिलता है। हम इसका विचार पाठक पर छोड़ते हैं। यह एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करने के लिए बनी हुई है

एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति समारोह के गुण

दायरा $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ है।

यदि घातांक सम है, तो फलन सम है, यदि विषम है, तो फलन विषम है।

$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।

मूल्य की सीमा:

यदि घातांक सम है, तो $(0,+\infty)$, यदि विषम है, तो $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$।

यदि घातांक विषम है, तो फ़ंक्शन $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ के रूप में घटता है। एक सम घातांक के लिए, फ़ंक्शन $x\in (0,+\infty)$ के रूप में घटता है। और $x\in \left(-\infty ,0\right)$ के रूप में बढ़ता है।

पूरे डोमेन पर $f(x)\ge 0$

घातांक के विभिन्न मूल्यों के लिए शक्ति कार्यों के गुण और रेखांकन प्रस्तुत किए जाते हैं। मूल सूत्र, डोमेन और मूल्यों के सेट, समता, एकरसता, वृद्धि और कमी, एक्स्ट्रेमा, उत्तलता, विभक्ति, समन्वय अक्षों के साथ चौराहे के बिंदु, सीमाएं, विशेष मूल्य।

पावर फंक्शन फॉर्मूला

पावर फ़ंक्शन y = x p के डोमेन पर, निम्न सूत्र धारण करते हैं:
; ;
;
; ;
; ;
; .

शक्ति कार्यों के गुण और उनके रेखांकन

शून्य के बराबर एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शन, पी = 0

यदि घात फलन y = x p का घातांक शून्य, p = 0 के बराबर है, तो घात फलन सभी x 0 के लिए परिभाषित है और स्थिर है, एक के बराबर है:
वाई \u003d एक्स पी \u003d एक्स 0 \u003d 1, एक्स 0।

प्राकृतिक विषम घातांक के साथ घात फलन, p = n = 1, 3, 5, ...

प्राकृतिक विषम घातांक n = 1, 3, 5, ... के साथ एक घात फलन y = x p = x n पर विचार करें। इस तरह के एक संकेतक को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: n = 2k + 1, जहां k = 0, 1, 2, 3, ... एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। नीचे ऐसे कार्यों के गुण और रेखांकन दिए गए हैं।

घातांक n = 1, 3, 5, ... के विभिन्न मूल्यों के लिए एक प्राकृतिक विषम घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन y = x n का ग्राफ।

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक मान: -∞ < y < ∞
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
चरम:नहीं
उत्तल:
पर -∞< x < 0 выпукла вверх
0 . पर< x < ∞ выпукла вниз
ब्रेकप्वाइंट:एक्स = 0, वाई = 0
एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
;
निजी मान:
एक्स = -1 पर,
y(-1) = (-1) n (-1) 2k+1 = -1
x = 0 के लिए, y(0) = 0 n = 0
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:
n = 1 के लिए, फलन स्वयं के विपरीत है: x = y
n 1 के लिए प्रतिलोम फलन घात n का मूल है:

प्राकृतिक सम घातांक के साथ घात फलन, p = n = 2, 4, 6, ...

प्राकृतिक सम घातांक n = 2, 4, 6, ... के साथ एक घात फलन y = x p = x n पर विचार करें। इस तरह के एक संकेतक को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: n = 2k, जहाँ k = 1, 2, 3, ... एक प्राकृत संख्या है। ऐसे फलनों के गुण और आलेख नीचे दिए गए हैं।

घातांक n = 2, 4, 6, ... के विभिन्न मानों के लिए एक प्राकृतिक सम घातांक के साथ एक शक्ति फलन y = x n का ग्राफ।

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक मान: 0 y< ∞
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x 0 के लिए नीरस रूप से घटता है
x 0 के लिए नीरस रूप से बढ़ता है
चरम:न्यूनतम, x=0, y=0
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
;
निजी मान:
एक्स = -1 के लिए, y(-1) = (-1) n (-1) 2k = 1
x = 0 के लिए, y(0) = 0 n = 0
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:
n = 2 के लिए, वर्गमूल:
n 2 के लिए, घात n का मूल:

पूर्णांक ऋणात्मक घातांक के साथ घात फलन, p = n = -1, -2, -3, ...

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक n = -1, -2, -3, ... के साथ एक शक्ति फलन y = x p = x n पर विचार करें। यदि हम n = -k रखें, जहाँ k = 1, 2, 3, ... एक प्राकृत संख्या है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

घातांक n = -1, -2, -3, ... के विभिन्न मानों के लिए एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन y = x n का ग्राफ।

विषम घातांक, n = -1, -3, -5, ...

नीचे एक विषम ऋणात्मक घातांक n = -1, -3, -5, ... के साथ y = x n फलन के गुण हैं।

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई 0
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरस रूप से घटता है
चरम:नहीं
उत्तल:
x . पर< 0 : выпукла вверх
x > 0 के लिए: उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:
x . पर< 0, y < 0
x > 0, y > 0 . के लिए
सीमाएं:
; ; ;
निजी मान:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:
एन = -1 के लिए,
नहीं के लिए< -2 ,

सम घातांक, n = -2, -4, -6, ...

नीचे एक ऋणात्मक घातांक n = -2, -4, -6, ... के साथ फलन y = x n के गुण दिए गए हैं।

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई > 0
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x . पर< 0 : монотонно возрастает
x > 0 के लिए : नीरस रूप से घटते हुए
चरम:नहीं
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:वाई > 0
सीमाएं:
; ; ;
निजी मान:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:
एन = -2 के लिए,
नहीं के लिए< -2 ,

परिमेय (आंशिक) घातांक के साथ शक्ति फलन

एक परिमेय (आंशिक) घातांक के साथ एक घात फलन y = x p पर विचार करें, जहां n एक पूर्णांक है, m > 1 एक प्राकृत संख्या है। इसके अलावा, n, m में उभयनिष्ठ भाजक नहीं हैं।

भिन्नात्मक सूचक का हर विषम है

मान लीजिए भिन्नात्मक घातांक का हर विषम है: m = 3, 5, 7, .... इस मामले में, पावर फ़ंक्शन x p को सकारात्मक और नकारात्मक x दोनों मानों के लिए परिभाषित किया गया है। ऐसे शक्ति कार्यों के गुणों पर विचार करें जब घातांक p निश्चित सीमा के भीतर हो।

पी नकारात्मक है, पी< 0

माना परिमेय घातांक (विषम हर m = 3, 5, 7, ... के साथ) शून्य से कम है।

घातांक के विभिन्न मूल्यों के लिए एक तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ घातीय कार्यों के रेखांकन, जहां एम = 3, 5, 7, ... विषम है।

विषम अंश, n = -1, -3, -5, ...

यहाँ परिमेय ऋणात्मक घातांक वाले घात फलन y = x p के गुण हैं, जहाँ n = -1, -3, -5, ... एक विषम ऋणात्मक पूर्णांक है, m = 3, 5, 7 ... एक है विषम प्राकृतिक संख्या।

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई 0
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरस रूप से घटता है
चरम:नहीं
उत्तल:
x . पर< 0 : выпукла вверх
x > 0 के लिए: उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:
x . पर< 0, y < 0
x > 0, y > 0 . के लिए
सीमाएं:
; ; ;
निजी मान:
x = -1 के लिए, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

सम अंश, n = -2, -4, -6, ...

परिमेय ऋणात्मक घातांक के साथ घात फलन गुण y = x p, जहाँ n = -2, -4, -6, ... एक सम ऋणात्मक पूर्णांक है, m = 3, 5, 7 ... एक विषम प्राकृत संख्या है।

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई > 0
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x . पर< 0 : монотонно возрастает
x > 0 के लिए : नीरस रूप से घटते हुए
चरम:नहीं
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:वाई > 0
सीमाएं:
; ; ;
निजी मान:
x = -1 के लिए, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

पी-मान सकारात्मक है, एक से कम, 0< p < 1

एक परिमेय घातांक के साथ एक घात फलन का ग्राफ़ (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

विषम अंश, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < +∞
एकाधिक मान: -∞ < y < +∞
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
चरम:नहीं
उत्तल:
x . पर< 0 : выпукла вниз
x > 0 के लिए: उत्तल ऊपर
ब्रेकप्वाइंट:एक्स = 0, वाई = 0
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
संकेत:
x . पर< 0, y < 0
x > 0, y > 0 . के लिए
सीमाएं:
;
निजी मान:
x = -1, y(-1) = -1 . के लिए
x = 0 के लिए, y(0) = 0
x = 1, y(1) = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

सम अंश, n = 2, 4, 6, ...

परिमेय घातांक वाले घात फलन y = x p के गुण, जो 0 के भीतर हैं, प्रस्तुत किए गए हैं।< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < +∞
एकाधिक मान: 0 y< +∞
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x . पर< 0 : монотонно убывает
x > 0 के लिए : नीरस रूप से बढ़ रहा है
चरम:न्यूनतम x = 0, y = 0 . पर
उत्तल: x 0 . पर ऊपर की ओर उत्तल
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
संकेत: x 0, y > 0 . के लिए
सीमाएं:
;
निजी मान:
x = -1, y(-1) = 1 . के लिए
x = 0 के लिए, y(0) = 0
x = 1, y(1) = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

घातांक p एक से बड़ा है, p > 1

घातांक के विभिन्न मानों के लिए परिमेय घातांक (p > 1 ) के साथ घात फलन का आलेख, जहां m = 3, 5, 7, ... विषम है।

विषम अंश, n = 5, 7, 9, ...

एक से अधिक परिमेय घातांक वाले घातांक फलन y = x p के गुण: . जहाँ n = 5, 7, 9, ... एक विषम प्राकृत संख्या है, m = 3, 5, 7 ... एक विषम प्राकृत संख्या है।

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक मान: -∞ < y < ∞
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
चरम:नहीं
उत्तल:
पर -∞< x < 0 выпукла вверх
0 . पर< x < ∞ выпукла вниз
ब्रेकप्वाइंट:एक्स = 0, वाई = 0
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
;
निजी मान:
x = -1, y(-1) = -1 . के लिए
x = 0 के लिए, y(0) = 0
x = 1, y(1) = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

सम अंश, n = 4, 6, 8, ...

एक से अधिक परिमेय घातांक वाले घातांक फलन y = x p के गुण: . जहाँ n = 4, 6, 8, ... एक सम प्राकृत संख्या है, m = 3, 5, 7 ... एक विषम प्राकृत संख्या है।

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक मान: 0 y< ∞
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x . पर< 0 монотонно убывает
x > 0 के लिए नीरस रूप से बढ़ता है
चरम:न्यूनतम x = 0, y = 0 . पर
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
;
निजी मान:
x = -1, y(-1) = 1 . के लिए
x = 0 के लिए, y(0) = 0
x = 1, y(1) = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

भिन्नात्मक सूचक का हर सम है

माना भिन्नात्मक घातांक का हर सम हो: m = 2, 4, 6, .... इस मामले में, पावर फ़ंक्शन x p तर्क के नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित नहीं है। इसके गुण अपरिमेय घातांक (अगले भाग को देखें) के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के साथ मेल खाते हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ शक्ति फलन

एक अपरिमेय घातांक p के साथ एक घात फलन y = x p पर विचार करें। इस तरह के कार्यों के गुण ऊपर विचार किए गए लोगों से भिन्न होते हैं क्योंकि वे x तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित नहीं होते हैं। तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए, गुण केवल घातांक p के मान पर निर्भर करते हैं और इस पर निर्भर नहीं करते हैं कि p पूर्णांक, परिमेय या अपरिमेय है या नहीं।

y = x p घातांक p के विभिन्न मानों के लिए।

नकारात्मक पी . के साथ पावर फ़ंक्शन< 0

कार्यक्षेत्र:एक्स > 0
एकाधिक मान:वाई > 0
मोनोटोन:नीरस रूप से घटता है
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
सीमाएं: ;
निजी मूल्य: x = 1, y(1) = 1 p = 1 . के लिए

धनात्मक घातांक p > 0 . के साथ घात फलन

संकेतक एक 0 . से कम है< p < 1

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई 0
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
उत्तल:उत्तल ऊपर
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
निजी मान: x = 0 के लिए, y(0) = 0 p = 0।
x = 1, y(1) = 1 p = 1 . के लिए

संकेतक एक p > 1 . से बड़ा है

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई 0
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
निजी मान: x = 0 के लिए, y(0) = 0 p = 0।
x = 1, y(1) = 1 p = 1 . के लिए

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, लैन, 2009।

पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ प्रदर्शन सामग्री पाठ-व्याख्यान फ़ंक्शन की अवधारणा। समारोह गुण। पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ। ग्रेड 10 सर्वाधिकार सुरक्षित। कॉपीराइट के साथ कॉपीराइट

पाठ प्रगति: दोहराव। समारोह। समारोह गुण। नई सामग्री सीखना। 1. एक शक्ति समारोह की परिभाषा। एक शक्ति समारोह की परिभाषा। 2. शक्ति कार्यों के गुण और रेखांकन। शक्ति कार्यों के गुण और रेखांकन। अध्ययन सामग्री का समेकन। मौखिक गणना। मौखिक गणना। पाठ का सारांश। गृहकार्य, गृहकार्य।

फ़ंक्शन का डोमेन और रेंज स्वतंत्र चर के सभी मान फ़ंक्शन का डोमेन बनाते हैं x y=f(x) f फ़ंक्शन का डोमेन फ़ंक्शन का डोमेन सभी मान जो आश्रित चर फ़ंक्शन का डोमेन बनाते हैं समारोह। समारोह गुण

फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक फ़ंक्शन दिया जाता है जहां xY y x.75 3 0.6 4 0.5 फ़ंक्शन का ग्राफ़ समन्वय विमान के सभी बिंदुओं का सेट होता है, जिनमें से एब्सिसास तर्क के मूल्यों के बराबर होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संगत मानों के बराबर हैं। समारोह। समारोह गुण

Y x फलन की परिभाषा और परिसर का क्षेत्र 4 y=f(x) फलन का क्षेत्र: फलन का प्रांत: फलन। समारोह गुण

सम फलन y x y=f(x) सम फलन का ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। फलन y=f(x) को तब भी कहा जाता है, जब किसी x के लिए f(-x) = f(x) फ़ंक्शन का डोमेन फ़ंक्शन। समारोह गुण

विषम फलन y x y \u003d f (x) विषम फलन का ग्राफ मूल O के प्रति सममित है (0; 0) फलन y \u003d f (x) को विषम कहा जाता है यदि f (-x) \u003d -f (x) ) क्षेत्र फ़ंक्शन परिभाषाओं से किसी भी x के लिए फ़ंक्शन। समारोह गुण

पावर फ़ंक्शन की परिभाषा एक फ़ंक्शन, जहां p एक वास्तविक संख्या है, पावर फ़ंक्शन कहलाता है। पी वाई \u003d एक्स पी पी \u003d एक्स वाई 0 पाठ प्रगति

पावर फ़ंक्शन x y 1. परिभाषा का डोमेन और फॉर्म के पावर फ़ंक्शंस के मानों का डोमेन, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, सभी वास्तविक संख्याएं हैं। 2. ये फलन विषम हैं। उनका ग्राफ मूल के संबंध में सममित है। पावर फंक्शन गुण और भूखंड

परिमेय धनात्मक घातांक के साथ घात कार्य करता है परिभाषा का क्षेत्र सभी धनात्मक संख्याएँ और संख्या 0 है। ऐसे घातांक वाले फलनों का परिसर भी सभी धनात्मक संख्याएँ और संख्या 0 है। ये फलन न तो सम और न ही विषम हैं। y x पावर फंक्शन के गुण और रेखांकन

तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन। परिभाषा का क्षेत्र और ऐसे कार्यों की सीमा सभी सकारात्मक संख्याएं हैं। कार्य न तो सम हैं और न ही विषम। इस तरह के कार्य उनकी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटते हैं। y x पावर फ़ंक्शन के गुण और ग्राफ़ पाठ प्रगति

1. पावर फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ;

2. परिवर्तन:

समानांतर स्थानांतरण;

निर्देशांक अक्षों के बारे में समरूपता;

उत्पत्ति के बारे में समरूपता;

रेखा y = x के बारे में सममिति;

समन्वय अक्षों के साथ खिंचाव और सिकुड़ना।

3. एक घातीय कार्य, इसके गुण और ग्राफ, समान परिवर्तन;

4. लघुगणक फलन, इसके गुण और ग्राफ;

5. त्रिकोणमितीय फलन, इसके गुण और ग्राफ, समान परिवर्तन (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

फलन: y = x\n - इसके गुण और ग्राफ।

पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / xआदि। ये सभी फ़ंक्शन पावर फ़ंक्शन, यानी फ़ंक्शन के विशेष मामले हैं वाई = एक्सपीजहाँ p एक वास्तविक संख्या है।
एक शक्ति फ़ंक्शन के गुण और ग्राफ अनिवार्य रूप से एक वास्तविक घातांक के साथ एक शक्ति के गुणों पर और विशेष रूप से उन मूल्यों पर निर्भर करते हैं जिनके लिए एक्सतथा पीसमझ में आता है एक्सपी. आइए हम विभिन्न मामलों पर एक समान विचार के लिए आगे बढ़ें, जो निम्न पर निर्भर करता है:
प्रतिपादक पी।

1. अनुक्रमणिका पी = 2एनएक सम प्राकृत संख्या है।

y=x2n, कहाँ पे एनएक प्राकृतिक संख्या है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

• परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, अर्थात् समुच्चय R;
• मानों का सेट - गैर-ऋणात्मक संख्याएं, यानी y 0 से अधिक या उसके बराबर है;
• समारोह y=x2nयहां तक ​​कि, क्योंकि एक्स 2एन = (-एक्स) 2एन
• समारोह अंतराल पर घट रहा है एक्स< 0 और अंतराल पर बढ़ रहा है एक्स > 0.

फंक्शन ग्राफ y=x2nएक ही रूप है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = x4.

2. संकेतक पी = 2एन - 1- विषम प्राकृतिक संख्या

इस मामले में, शक्ति समारोह वाई = x2n-1, जहां एक प्राकृतिक संख्या है, निम्नलिखित गुण हैं:

• परिभाषा का क्षेत्र - सेट आर;
• मूल्यों का सेट - आर सेट करें;
• समारोह वाई = x2n-1अजीब है क्योंकि (- एक्स) 2एन-1= एक्स 2एन-1;
• संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर फलन बढ़ रहा है।

फंक्शन ग्राफ वाई = x2n-1 वाई = x3.

3. संकेतक पी=-2एन, कहाँ पे एन-प्राकृतिक संख्या।

इस मामले में, शक्ति समारोह y=x-2n=1/x2nनिम्नलिखित गुण हैं:

• मूल्यों का सेट - सकारात्मक संख्या y>0;
• समारोह y = 1/x2nयहां तक ​​कि, क्योंकि 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• अंतराल x0 पर फलन बढ़ रहा है।

फंक्शन का ग्राफ y = 1/x2nएक ही रूप है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y . का ग्राफ = 1/x2.

4. संकेतक पी = -(2एन-1), कहाँ पे एन- प्राकृतिक संख्या।
इस मामले में, शक्ति समारोह y=x-(2n-1)निम्नलिखित गुण हैं:

• x = 0 को छोड़कर, परिभाषा का क्षेत्र समुच्चय R है;
• मानों का सेट - y = 0 को छोड़कर, R सेट करें;
• समारोह y=x-(2n-1)अजीब है क्योंकि (- x)-(2एन-1) = -एक्स-(2एन-1);
• समारोह अंतराल पर घट रहा है एक्स< 0 तथा एक्स > 0.

फंक्शन ग्राफ y=x-(2n-1)एक ही रूप है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का ग्राफ y=1/x3.