हार्मोनिक समीकरण। उतार-चढ़ाव। हार्मोनिक कंपन। दोलन विशेषताएँ: आयाम, अवधि, आवृत्ति, चक्रीय आवृत्ति, चरण

हार्मोनिक दोलन कुछ मात्रा के आवधिक परिवर्तन की एक घटना है, जिसमें तर्क पर निर्भरता साइन या कोसाइन फ़ंक्शन का चरित्र है। उदाहरण के लिए, एक मात्रा जो समय के साथ भिन्न होती है, हार्मोनिक रूप से उतार-चढ़ाव करती है:

जहाँ x बदलती मात्रा का मान है, t समय है, शेष पैरामीटर स्थिर हैं: A दोलनों का आयाम है, ω दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है, दोलनों का पूर्ण चरण है, का प्रारंभिक चरण है दोलन।

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

(इस अंतर समीकरण का कोई भी गैर-तुच्छ समाधान चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन है)

कंपन के प्रकार

सिस्टम को संतुलन से बाहर निकालने के बाद सिस्टम की आंतरिक शक्तियों की कार्रवाई के तहत मुक्त दोलन किए जाते हैं। मुक्त दोलनों के हार्मोनिक होने के लिए, यह आवश्यक है कि दोलन प्रणाली रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और इसमें कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं होना चाहिए (बाद वाला अवमंदन का कारण होगा)।

बाहरी आवधिक बल के प्रभाव में जबरन दोलन किए जाते हैं। उनके हार्मोनिक होने के लिए, यह पर्याप्त है कि ऑसिलेटरी सिस्टम रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और बाहरी बल समय के साथ एक हार्मोनिक दोलन के रूप में बदलता है (अर्थात, इस बल की समय निर्भरता साइनसॉइडल है) .

हार्मोनिक कंपन समीकरण

समय टी पर उतार-चढ़ाव मूल्य एस की निर्भरता देता है; यह स्पष्ट रूप में मुक्त हार्मोनिक दोलनों का समीकरण है। हालाँकि, दोलनों के समीकरण को आमतौर पर इस समीकरण के एक अलग रिकॉर्ड के रूप में, अंतर रूप में समझा जाता है। निश्चितता के लिए हम समीकरण (1) को रूप में लेते हैं

समय के संबंध में इसे दो बार विभेदित करें:

यह देखा जा सकता है कि निम्नलिखित संबंध रखता है:

जिसे मुक्त हार्मोनिक दोलनों का समीकरण (अवकल रूप में) कहा जाता है। समीकरण (1) अवकल समीकरण (2) का हल है। चूंकि समीकरण (2) एक दूसरे क्रम का अंतर समीकरण है, एक पूर्ण समाधान प्राप्त करने के लिए दो प्रारंभिक शर्तें आवश्यक हैं (अर्थात, समीकरण (1) में शामिल स्थिरांक A और   निर्धारित करने के लिए); उदाहरण के लिए, t = 0 पर दोलन प्रणाली की स्थिति और गति।

एक गणितीय पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो एक यांत्रिक प्रणाली है जिसमें गुरुत्वाकर्षण बल के एक समान क्षेत्र में भारहीन अविस्तारित धागे पर या भारहीन छड़ पर स्थित भौतिक बिंदु होता है। लम्बाई l के एक गणितीय पेंडुलम के छोटे eigenoscillations की अवधि, मुक्त पतन त्वरण जी के साथ एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गतिहीन रूप से निलंबित, के बराबर है

और लोलक के आयाम और द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

एक भौतिक पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो एक कठोर शरीर है जो किसी भी बल के क्षेत्र में एक ऐसे बिंदु के बारे में दोलन करता है जो इस शरीर के द्रव्यमान का केंद्र नहीं है, या बलों की दिशा के लंबवत एक निश्चित अक्ष है और इसके माध्यम से नहीं गुजर रहा है। इस शरीर के द्रव्यमान का केंद्र।

सबसे सरल प्रकार के कंपन हैं हार्मोनिक कंपन- उतार-चढ़ाव जिसमें संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन साइन या कोसाइन कानून के अनुसार समय के साथ बदलता है।

तो, परिधि के चारों ओर गेंद के एक समान घुमाव के साथ, इसका प्रक्षेपण (प्रकाश की समानांतर किरणों में छाया) एक ऊर्ध्वाधर स्क्रीन (चित्र। 13.2) पर एक हार्मोनिक दोलन गति बनाता है।

हार्मोनिक कंपन के दौरान संतुलन की स्थिति से विस्थापन को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है (इसे हार्मोनिक गति का गतिज नियम कहा जाता है):

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) या \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) टी + \varphi"_0 \Bigl)\)

कहाँ पे एक्स- मिश्रण - एक मान जो समय के क्षण में दोलन बिंदु की स्थिति को दर्शाता है टीसंतुलन की स्थिति के सापेक्ष और किसी निश्चित समय पर संतुलन की स्थिति से बिंदु की स्थिति तक की दूरी से मापा जाता है; लेकिन- दोलन आयाम - संतुलन की स्थिति से शरीर का अधिकतम विस्थापन; टी- दोलन अवधि - एक पूर्ण दोलन का समय; वे। समय की सबसे छोटी अवधि जिसके बाद दोलन की विशेषता वाली भौतिक मात्राओं के मूल्यों को दोहराया जाता है; \(\varphi_0\) - प्रारंभिक चरण; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - समय पर दोलन का चरण टी. दोलन चरण एक आवधिक कार्य का एक तर्क है, जो किसी दिए गए दोलन आयाम के लिए, किसी भी समय शरीर के दोलन प्रणाली (विस्थापन, गति, त्वरण) की स्थिति को निर्धारित करता है।

अगर शुरुआती समय में टी0 = 0दोलन बिंदु अधिकतम रूप से संतुलन की स्थिति से विस्थापित होता है, फिर \(\varphi_0 = 0\), और संतुलन की स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदलता है

\(x = ए \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

यदि टी 0 = 0 पर दोलन बिंदु स्थिर संतुलन की स्थिति में है, तो संतुलन की स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदलता है

\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)

मूल्य वी, अवधि का व्युत्क्रम और 1 एस में किए गए पूर्ण दोलनों की संख्या के बराबर कहा जाता है दोलन आवृत्ति:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(SI में आवृत्ति की इकाई हर्ट्ज़ है, 1Hz = 1s -1)।

अगर समय रहते टीशरीर करता है एनपूर्ण जोरों, फिर

\(टी = \frac(टी)(एन); \nu = \frac(एन)(टी).\)

मान \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) , यह दर्शाता है कि शरीर 2 \(\pi\) में कितने दोलन करता है साथ, बुलाया चक्रीय (परिपत्र) आवृत्ति।

हार्मोनिक गति के गतिज नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

आलेखीय रूप से, समय पर एक दोलन बिंदु के विस्थापन की निर्भरता एक कोसाइन (या साइनसॉइड) द्वारा दर्शायी जाती है।

चित्र 13.3, केस \(\varphi_0=0\), यानी के लिए संतुलन स्थिति से दोलन बिंदु के विस्थापन की समय निर्भरता को दर्शाता है। \(~x=A\cos \omega t.\)

आइए जानें कि एक दोलन बिंदु की गति समय के साथ कैसे बदलती है। ऐसा करने के लिए, हम इस अभिव्यक्ति का व्युत्पन्न समय पाते हैं:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

जहाँ \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) अक्ष पर वेग प्रक्षेपण का आयाम है एक्स.

इस सूत्र से पता चलता है कि हार्मोनिक दोलनों के दौरान, एक्स अक्ष पर शरीर के वेग का प्रक्षेपण भी एक ही आवृत्ति के साथ, एक अलग आयाम के साथ हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता है, और मिश्रण चरण से \(\frac(\pi) से आगे है )(2)\) (चित्र 13.3 , ख)।

त्वरण की निर्भरता का पता लगाने के लिए एक एक्स (टी)वेग प्रक्षेपण का समय व्युत्पन्न खोजें:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

जहाँ \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) धुरी पर त्वरण प्रक्षेपण का आयाम है एक्स।

हार्मोनिक कंपन के लिए, प्रक्षेपण त्वरणके द्वारा चरण बदलाव से आगे (चित्र। 13.3, सी)।

इसी तरह, आप \(~x(t), \upsilon_x (t)\) और \(~a_x(t),\) अगर \(~x = A \sin \omega t\) \(\varphi_0) के साथ प्लॉट कर सकते हैं =0.\)

यह मानते हुए कि \(A \cos \omega t = x\), त्वरण के लिए सूत्र लिखा जा सकता है

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

वे। हार्मोनिक दोलनों के लिए, त्वरण प्रक्षेपण सीधे विस्थापन के समानुपाती होता है और संकेत के विपरीत होता है, अर्थात त्वरण विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

तो, त्वरण प्रक्षेपण विस्थापन का दूसरा व्युत्पन्न है और एक्स \u003d एक्स "", तो परिणामी अनुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) या \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

अंतिम समानता कहा जाता है हार्मोनिक दोलनों का समीकरण।

एक भौतिक प्रणाली जिसमें हार्मोनिक दोलन मौजूद हो सकते हैं, कहलाते हैं लयबद्ध दोलक,और हार्मोनिक दोलनों का समीकरण - हार्मोनिक ऑसिलेटर समीकरण।

साहित्य

Aksenovich L. A. हाई स्कूल में भौतिकी: सिद्धांत। कार्य। टेस्ट: प्रोक। सामान्य प्रदान करने वाले संस्थानों के लिए भत्ता। पर्यावरण, शिक्षा / एल.ए. अक्सेनोविच, एन.एन. राकिना, के.एस. फरिनो; ईडी। के एस फरिनो। - एमएन .: अदुकात्सिया आई व्यखावने, 2004. - एस 368-370।

अधिकतम गति और त्वरण मान

निर्भरता v(t) और a(t) के समीकरणों का विश्लेषण करने के बाद, कोई अनुमान लगा सकता है कि त्रिकोणमितीय कारक 1 या -1 के बराबर होने पर गति और त्वरण के अधिकतम मान लिए जाते हैं। सूत्र द्वारा निर्धारित

कैसे निर्भरता वी (टी) और एक (टी) प्राप्त करने के लिए

7. मुक्त कंपन। दोलन गति का वेग, त्वरण और ऊर्जा। कंपन का जोड़

मुक्त कंपन(या प्राकृतिक कंपन) एक ऑसिलेटरी सिस्टम के कंपन हैं, जो बाहरी प्रभावों की अनुपस्थिति में केवल आरंभिक रूप से रिपोर्ट की गई ऊर्जा (संभावित या गतिज) के कारण किए जाते हैं।

संभावित या गतिज ऊर्जा का संचार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रारंभिक विस्थापन या प्रारंभिक वेग के माध्यम से यांत्रिक प्रणालियों में।

स्वतंत्र रूप से दोलन करने वाले पिंड हमेशा अन्य पिंडों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं और उनके साथ मिलकर पिंडों की एक प्रणाली बनाते हैं जिसे कहा जाता है दोलन प्रणाली.

उदाहरण के लिए, एक स्प्रिंग, एक बॉल और एक वर्टिकल पोस्ट जिससे स्प्रिंग का ऊपरी सिरा जुड़ा हुआ है (नीचे चित्र देखें) एक ऑसिलेटरी सिस्टम में शामिल हैं। यहाँ गेंद डोरी के अनुदिश स्वतंत्र रूप से फिसलती है (घर्षण बल नगण्य हैं)। यदि आप गेंद को दाईं ओर ले जाते हैं और उसे अपने पास छोड़ देते हैं, तो यह संतुलन की स्थिति (बिंदु हे) संतुलन की स्थिति की ओर निर्देशित वसंत की लोचदार बल की कार्रवाई के कारण।

मैकेनिकल ऑसिलेटरी सिस्टम का एक और उत्कृष्ट उदाहरण गणितीय पेंडुलम है (नीचे चित्र देखें)। पर ये मामलागेंद दो बलों की कार्रवाई के तहत स्वतंत्र रूप से दोलन करती है: गुरुत्वाकर्षण बल और धागे की लोचदार शक्ति (पृथ्वी भी दोलन प्रणाली में प्रवेश करती है)। उनके परिणामी को संतुलन की स्थिति के लिए निर्देशित किया जाता है।

ऑसिलेटरी सिस्टम के निकायों के बीच काम करने वाले बलों को कहा जाता है आंतरिक बल. बाहरी ताकतेंउन निकायों से सिस्टम पर कार्य करने वाली शक्तियों को कहा जाता है जो इसमें शामिल नहीं हैं। इस दृष्टिकोण से, मुक्त दोलनों को एक प्रणाली में दोलनों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जब प्रणाली को संतुलन से बाहर ले जाने के बाद आंतरिक बलों की कार्रवाई होती है।

मुक्त दोलनों की घटना के लिए शर्तें हैं:

1) उनमें एक बल का उदय जो इस स्थिति से बाहर निकाले जाने के बाद प्रणाली को स्थिर संतुलन की स्थिति में लौटाता है;

2) सिस्टम में कोई घर्षण नहीं।

मुक्त दोलनों की गतिशीलता।

लोचदार बलों की कार्रवाई के तहत शरीर का कंपन. एक लोचदार बल की कार्रवाई के तहत एक शरीर की दोलन गति का समीकरण एफ(अंजीर देखें।) न्यूटन के दूसरे कानून को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जा सकता है ( एफ = मा) और हुक का नियम ( एफ नियंत्रण= -केएक्स), कहाँ पे एमगेंद का द्रव्यमान है, और लोचदार बल की कार्रवाई के तहत गेंद द्वारा अर्जित त्वरण है, क- वसंत कठोरता का गुणांक, एक्स- संतुलन की स्थिति से शरीर का विस्थापन (दोनों समीकरण क्षैतिज अक्ष पर प्रक्षेपण में लिखे गए हैं ओह). इन समीकरणों के दाहिने पक्षों की बराबरी करना और उस त्वरण को ध्यान में रखना एकनिर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है एक्स(ऑफ़सेट), हम प्राप्त करते हैं:

.

यह एक लोचदार बल की कार्रवाई के तहत दोलन करने वाले शरीर की गति का एक विभेदक समीकरण है: समय के संबंध में समन्वय का दूसरा व्युत्पन्न (शरीर का त्वरण) विपरीत चिह्न के साथ लिया गया इसके समन्वय के सीधे आनुपातिक है।

एक गणितीय पेंडुलम का दोलन।गणितीय पेंडुलम (आंकड़ा) के दोलन के लिए समीकरण प्राप्त करने के लिए, गुरुत्वाकर्षण बल का विस्तार करना आवश्यक है एफ टी= मिलीग्रामसामान्य करने के लिए एफ एन(धागे के साथ निर्देशित) और स्पर्शरेखा एफ τ(गेंद के प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा - एक वृत्त) घटक। गुरुत्वाकर्षण का सामान्य घटक एफ एनऔर धागे की लोचदार शक्ति फ़िनपकुल मिलाकर वे पेंडुलम को अभिकेंद्रीय त्वरण देते हैं, जो गति के परिमाण को प्रभावित नहीं करता है, बल्कि केवल इसकी दिशा और स्पर्शरेखा घटक को बदलता है एफ τवह बल है जो गेंद को उसके संतुलन की स्थिति में लौटाता है और उसे दोलन करने का कारण बनता है। पिछले मामले की तरह, स्पर्शरेखा त्वरण के लिए न्यूटन के नियम का उपयोग करना मा τ = एफ τऔर दिया एफ τ= -mg sinα, हम पाते हैं:

एक τ= -जी sinα,

माइनस साइन दिखाई दिया क्योंकि संतुलन की स्थिति से बल और विचलन का कोण α विपरीत संकेत हैं। छोटे विक्षेपण कोणों के लिए sinα ≈ α. इसकी बारी में, α = एस/एल, कहाँ पे एस- चाप ओए, मैं- धागे की लंबाई। मान लें कि और τ= एस", हम अंत में प्राप्त करते हैं:

समीकरण का रूप समीकरण के समान है . केवल यहाँ सिस्टम के पैरामीटर धागे की लंबाई और मुक्त गिरावट का त्वरण हैं, न कि वसंत की कठोरता और गेंद का द्रव्यमान; निर्देशांक की भूमिका चाप की लंबाई द्वारा निभाई जाती है (अर्थात, पहले मामले की तरह यात्रा की गई पथ)।

इस प्रकार, इन दोलनों का कारण बनने वाली शक्तियों की भौतिक प्रकृति की परवाह किए बिना, मुक्त दोलनों को एक ही प्रकार के समीकरणों (समान कानूनों के अधीन) द्वारा वर्णित किया जाता है।

समीकरणों को हल करना और फॉर्म का एक कार्य है:

एक्स = एक्सएमकॉस ω 0टी(या एक्स = एक्सएमपाप ω 0टी).

यही है, एक शरीर का समन्वय जो मुक्त दोलन करता है, कोसाइन या साइन कानून के अनुसार समय के साथ बदलता है, और इसलिए, ये दोलन हार्मोनिक होते हैं:

समीकरण में एक्स = एक्सएमकॉस ω 0टी(या एक्स = एक्सएमपाप ω 0टी), एक्स एम- दोलन आयाम, ω 0 - अपनी चक्रीय (परिपत्र) दोलन आवृत्ति।

चक्रीय आवृत्ति और मुक्त हार्मोनिक दोलनों की अवधि प्रणाली के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। इसलिए, एक स्प्रिंग से जुड़े पिंड के कंपन के लिए, निम्नलिखित संबंध सत्य हैं:

.

प्राकृतिक आवृत्ति अधिक है, वसंत की कठोरता या भार का कम द्रव्यमान, जो अनुभव द्वारा पूरी तरह से पुष्टि की जाती है।

गणितीय पेंडुलम के लिए, निम्नलिखित समानताएँ हैं:

.

यह सूत्र सबसे पहले डच वैज्ञानिक ह्यूजेंस (न्यूटन के समकालीन) द्वारा प्राप्त और परीक्षण किया गया था।

दोलन की अवधि पेंडुलम की लंबाई के साथ बढ़ती है और इसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।

यह विशेष रूप से ध्यान दिया जाना चाहिए कि हार्मोनिक दोलन सख्ती से आवधिक होते हैं (क्योंकि वे साइन या कोसाइन कानून का पालन करते हैं) और यहां तक ​​​​कि गणितीय पेंडुलम के लिए भी, जो वास्तविक (भौतिक) पेंडुलम का आदर्शीकरण है, वे केवल छोटे दोलन कोणों पर ही संभव हैं। यदि विक्षेपण कोण बड़े हैं, तो भार विस्थापन विक्षेपण कोण (कोण की ज्या) के समानुपाती नहीं होगा और त्वरण विस्थापन के समानुपाती नहीं होगा।

मुक्त दोलन करने वाले पिंड की गति और त्वरण हार्मोनिक दोलन भी करेगा। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न समय लेना ( एक्स = एक्सएमकॉस ω 0टी(या एक्स = एक्सएमपाप ω 0टी)), हमें गति के लिए व्यंजक मिलता है:

वी = -वी एमपाप ω 0टी = -वी एमएक्स एमकॉस (ω 0टी + π/2),

कहाँ पे वी एम= ω 0 एक्स एम- वेग आयाम।

इसी प्रकार, त्वरण के लिए अभिव्यक्ति एकहम अंतर करके प्राप्त करते हैं ( वी = -वी एमपाप ω 0टी = -वी एमएक्स एमकॉस (ω 0टी + π/2)):

ए = -ए एमकॉस ω 0टी,

कहाँ पे पूर्वाह्न= ω 2 0एक्स एम- त्वरण आयाम। इस प्रकार, हार्मोनिक दोलनों की गति का आयाम आवृत्ति के समानुपाती होता है, और त्वरण का आयाम दोलन आवृत्ति के वर्ग के समानुपाती होता है।

हार्मोनिक दोलन
उतार-चढ़ाव जिसमें कोसाइन या साइन लॉ (हार्मोनिक लॉ) के अनुसार भौतिक मात्रा में परिवर्तन होता है, कहलाता है। हार्मोनिक कंपन।उदाहरण के लिए, यांत्रिक हार्मोनिक कंपन के मामले में: इन सूत्रों में, ω दोलन आवृत्ति है, x m दोलन आयाम है, φ 0 और φ 0 'दोलन के प्रारंभिक चरण हैं। उपरोक्त सूत्र प्रारंभिक चरण की परिभाषा में भिन्न हैं और φ 0 '= φ 0 + π/2 पूरी तरह से मेल खाते हैं।
यह आवधिक दोलनों का सबसे सरल रूप है। फ़ंक्शन का विशिष्ट रूप (साइन या कोसाइन) सिस्टम को संतुलन से बाहर लाने के तरीके पर निर्भर करता है। यदि वापसी एक धक्का के साथ होती है (गतिज ऊर्जा की सूचना दी जाती है), तो t=0 पर विस्थापन x=0, इसलिए, sin फ़ंक्शन का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है, सेटिंग φ 0 '=0; t=0 पर संतुलन स्थिति (संभावित ऊर्जा रिपोर्ट की गई) से विचलित होने पर, विस्थापन x=x m, इसलिए, फ़ंक्शन cos और φ 0 =0 का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।
साइन कॉस या पाप के तहत एक अभिव्यक्ति, जिसे कहा जाता है। दोलन चरण:. दोलन का चरण रेडियन में मापा जाता है और एक निश्चित समय पर विस्थापन (उतार-चढ़ाव मूल्य) का मान निर्धारित करता है।
दोलन आयाम केवल प्रारंभिक विचलन (दोलन प्रणाली को प्रदान की जाने वाली प्रारंभिक ऊर्जा) पर निर्भर करता है।
हार्मोनिक दोलनों में वेग और त्वरण।
गति की परिभाषा के अनुसार, गति समय के संबंध में निर्देशांक का व्युत्पन्न है
इस प्रकार, हम देखते हैं कि हार्मोनिक ऑसिलेटरी गति के दौरान गति भी हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलती है, लेकिन गति में उतार-चढ़ाव चरण में विस्थापन के उतार-चढ़ाव से π/2 से आगे है।
मान ऑसिलेटरी गति की अधिकतम गति (गति में उतार-चढ़ाव का आयाम) है।
इसलिए, हार्मोनिक दोलन के दौरान गति के लिए हमारे पास है: , और शून्य प्रारंभिक चरण के मामले में (ग्राफ़ देखें)।
त्वरण की परिभाषा के अनुसार, त्वरण समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न है: समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है। फिर: । हार्मोनिक ऑसिलेटरी गति के दौरान त्वरण भी हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता है, लेकिन त्वरण दोलन वेग दोलनों से π/2 और विस्थापन दोलनों से आगे होते हैं (वे कहते हैं कि दोलन होते हैं) चरण से बाहर).
मान - अधिकतम त्वरण (त्वरण में उतार-चढ़ाव का आयाम)। इसलिए, त्वरण के लिए हमारे पास है: , और शून्य प्रारंभिक चरण के मामले में: (ग्राफ देखें)।
ऑसिलेटरी मोशन, ग्राफ़ और संबंधित गणितीय अभिव्यक्तियों की प्रक्रिया के विश्लेषण से, यह देखा जा सकता है कि जब ऑसिलेटिंग बॉडी संतुलन की स्थिति (विस्थापन शून्य है) से गुजरती है, तो त्वरण शून्य होता है, और शरीर की गति अधिकतम होती है (द शरीर जड़ता से संतुलन की स्थिति से गुजरता है), और जब विस्थापन का आयाम मान पहुंच जाता है, तो गति शून्य के बराबर होती है, और त्वरण निरपेक्ष मान में अधिकतम होता है (शरीर अपनी गति की दिशा बदलता है)।
आइए हार्मोनिक दोलनों के लिए विस्थापन और त्वरण के लिए भावों की तुलना करें: और .
तुम लिख सकते हो: - अर्थात। विस्थापन का दूसरा व्युत्पन्न विस्थापन के सीधे आनुपातिक (विपरीत चिह्न के साथ) है। ऐसा समीकरण कहा जाता है हार्मोनिक दोलन समीकरण। यह निर्भरता किसी भी हार्मोनिक दोलन के लिए संतुष्ट है, चाहे उसकी प्रकृति कुछ भी हो। चूँकि हमने कहीं भी एक विशिष्ट दोलन प्रणाली के मापदंडों का उपयोग नहीं किया है, केवल चक्रीय आवृत्ति ही उन पर निर्भर कर सकती है।
दोलनों के लिए समीकरणों को रूप में लिखना अक्सर सुविधाजनक होता है: , जहां टी दोलन अवधि है। फिर, यदि समय अवधि के अंशों में व्यक्त किया जाता है, तो गणना सरल हो जाएगी। उदाहरण के लिए, यदि आपको अवधि के 1/8 के बाद ऑफ़सेट खोजने की आवश्यकता है, तो हमें यह मिलता है: . इसी प्रकार गति और त्वरण के लिए।

एक प्रणाली के लिए एक साथ दो या दो से अधिक स्वतंत्र दोलनों में भाग लेना असामान्य नहीं है। इन मामलों में, एक जटिल ऑसिलेटरी मोशन बनता है, जो एक दूसरे पर सुपरइम्पोज़िंग (जोड़कर) कंपन द्वारा बनाया जाता है। जाहिर है, दोलनों के योग के मामले बहुत विविध हो सकते हैं। वे न केवल जोड़े गए दोलनों की संख्या पर निर्भर करते हैं, बल्कि उनकी आवृत्तियों, चरणों, आयामों, दिशाओं पर दोलन मापदंडों पर भी निर्भर करते हैं। दोलनों के योग के सभी संभावित प्रकार के मामलों की समीक्षा करना संभव नहीं है, इसलिए हम केवल व्यक्तिगत उदाहरणों पर विचार करने तक ही सीमित रहेंगे।
1. एक दिशा में स्पंदन का योग। आइए हम एक ही आवृत्ति के दो दोलनों को जोड़ते हैं, लेकिन अलग-अलग चरण और आयाम।

(4.40)
जब दोलन एक दूसरे पर अध्यारोपित होते हैं


हम समीकरणों के अनुसार नए पैरामीटर ए और जे पेश करते हैं:

(4.42)
समीकरणों की प्रणाली (4.42) आसानी से हल हो जाती है।

(4.43)

(4.44)
इस प्रकार, x के लिए हम अंत में समीकरण प्राप्त करते हैं

(4.45)
तो, एक ही आवृत्ति के यूनिडायरेक्शनल दोलनों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, हम एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) दोलन प्राप्त करते हैं, जिसका आयाम और चरण सूत्र (4.43) और (4.44) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
आइए हम उन विशेष मामलों पर विचार करें जिनमें दो सम्‍मिलित दोलनों के चरणों के बीच अनुपात भिन्‍न हैं:


(4.46)
आइए अब हम समान आयाम, समान कलाओं, लेकिन विभिन्न आवृत्तियों के एकदिशीय दोलनों को जोड़ते हैं।


(4.47)
आइए उस मामले पर विचार करें जब आवृत्तियाँ एक दूसरे के करीब हों, अर्थात w1~w2=w
तब हम लगभग मान लेंगे कि (w1+w2)/2= w, और (w2-w1)/2 छोटा है। परिणामी दोलन समीकरण इस तरह दिखेगा:

(4.48)
इसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 4.5 इस दोलन को बीट कहा जाता है। यह एक आवृत्ति w के साथ किया जाता है लेकिन इसका आयाम एक बड़ी अवधि के साथ दोलन करता है।

2. दो परस्पर लंबवत दोलनों का योग। मान लें कि एक दोलन x-अक्ष के साथ किया जाता है, दूसरा - y-अक्ष के साथ। परिणामी गति स्पष्ट रूप से xy तल में स्थित है।
1. आइए मान लें कि दोलन आवृत्तियाँ और कलाएँ समान हैं, लेकिन आयाम भिन्न हैं।

(4.49)
परिणामी गति के प्रक्षेपवक्र को खोजने के लिए, समय को समीकरणों (4.49) से बाहर करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, यह शब्द को एक समीकरण से दूसरे समीकरण में विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, जिसके परिणामस्वरूप हमें मिलता है

(4.50)
समीकरण (4.50) से पता चलता है कि इस मामले में, दोलनों को जोड़ने से एक सीधी रेखा के साथ दोलन होता है, जिसके ढलान कोण की स्पर्शरेखा आयाम के अनुपात से निर्धारित होती है।
2. जोड़े गए दोलनों के चरण एक दूसरे से / 2 से भिन्न होते हैं और समीकरणों का रूप होता है:

(4.51)
परिणामी गति के प्रक्षेपवक्र को खोजने के लिए, समय को छोड़कर, समीकरणों (4.51) को वर्ग करना आवश्यक है, पहले उन्हें क्रमशः A1 और A2 से विभाजित करना और फिर उन्हें जोड़ना। प्रक्षेपवक्र समीकरण रूप लेगा:

(4.52)
यह दीर्घवृत्त का समीकरण है। यह साबित किया जा सकता है कि किसी भी प्रारंभिक चरणों और समान आवृत्ति के दो परस्पर लंबवत दोलनों के किसी भी आयाम के लिए, परिणामी दोलन दीर्घवृत्त के साथ किया जाएगा। इसका अभिविन्यास जोड़े गए दोलनों के चरणों और आयामों पर निर्भर करेगा।
यदि जोड़े गए दोलनों की अलग-अलग आवृत्तियाँ हैं, तो परिणामी गतियों के प्रक्षेपवक्र बहुत विविध हैं। केवल अगर x और y में दोलन आवृत्तियाँ एक दूसरे की गुणज हों, तो बंद प्रक्षेपवक्र प्राप्त होते हैं। इस तरह के आंदोलनों को आवधिक लोगों की संख्या के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। इस मामले में, आंदोलनों के प्रक्षेपवक्र को लिसाजस आंकड़े कहा जाता है। आइए लिसाजस आंकड़ों में से एक पर विचार करें, जो आंदोलन की शुरुआत में समान आयाम और चरणों के साथ 1: 2 के आवृत्ति अनुपात के साथ दोलनों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

(4.53)
Y अक्ष के साथ, दोलन x अक्ष के साथ दो बार होते हैं। इस तरह के दोलनों को जोड़ने से आकृति आठ (चित्र 4.7) के रूप में एक गति प्रक्षेपवक्र हो जाएगा।

8. नम दोलन और उनके पैरामीटर: कमी और दोलन गुणांक, विश्राम का समय

)अवमंदित दोलनों की अवधि:

टी = (58)

पर δ << ω o कंपन हार्मोनिक से भिन्न नहीं होते हैं: टी = 2π/ हे.

2) अवमंदित दोलनों का आयामसूत्र (119) द्वारा व्यक्त किया गया है।

3) भिगोना कमी,दो क्रमिक दोलन आयामों के अनुपात के बराबर लेकिन(टी) तथा लेकिन(टी + टी), अवधि के दौरान आयाम में कमी की दर को दर्शाता है:

= EDT (59)

4) लघुगणक अवमंदन ह्रास- समय बिंदुओं के अनुरूप दो क्रमिक दोलनों के आयाम के अनुपात का प्राकृतिक लघुगणक जो एक अवधि से भिन्न होता है

क्यू \u003d एलएन \u003d एलएन ई डी टी \u003d डीटी(60)

लॉगरिदमिक डंपिंग डिक्रीमेंट किसी दिए गए ऑसिलेटरी सिस्टम के लिए एक स्थिर मान है।

5) आराम का समयसमय की अवधि कहा जाता है ( टी) जिसके दौरान नम दोलनों का आयाम ई के एक कारक से घट जाता है:

ई डी τ = ई, δτ = 1,

टी = 1/डी, (61)

भाव (60) और (61) की तुलना से हम प्राप्त करते हैं:

क्यू= = , (62)

कहाँ पे एन ई -विश्राम के समय किए गए दोलनों की संख्या।

अगर समय के दौरान टीसिस्टम बनाता है Ν उतार-चढ़ाव, फिर टी = Ν . Τ और अवमंदित दोलनों के समीकरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

एस \u003d ए 0 ई -डी एन टी कॉस(डब्ल्यू टी + जे)\u003d ए 0 ई -क्यू एन कॉस(डब्ल्यू टी + जे).

6)ऑसिलेटरी सिस्टम का गुणवत्ता कारक(क्यू) यह दोलन अवधि के दौरान सिस्टम में ऊर्जा हानि को दर्शाने वाली मात्रा को कॉल करने के लिए प्रथागत है:

क्यू = 2पी , (63)

कहाँ पे डब्ल्यूप्रणाली की कुल ऊर्जा है, ∆डब्ल्यूअवधि के दौरान छितरी हुई ऊर्जा है। जितनी कम ऊर्जा का क्षय होगा, सिस्टम का गुणवत्ता कारक उतना ही अधिक होगा। गणना यह दर्शाती है

क्यू = = पीएनई = =। (64)

वास्तव में, गुणवत्ता कारक लॉगरिदमिक डंपिंग डिक्रीमेंट के व्युत्क्रमानुपाती होता है। सूत्र (64) से यह इस प्रकार है कि गुणवत्ता कारक दोलनों की संख्या के समानुपाती होता है एन ईआराम के समय के दौरान सिस्टम द्वारा किया जाता है।

7) संभावित ऊर्जासमय पर प्रणाली को संभावित ऊर्जा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है डब्ल्यूसबसे बड़े विचलन पर 0:

डब्ल्यू = = केए ओ 2 ई -2 क्यूएन = डब्ल्यू 0 ई -2 क्यूएन। (65)

यह आमतौर पर सशर्त माना जाता है कि दोलन व्यावहारिक रूप से बंद हो गए हैं यदि उनकी ऊर्जा 100 के कारक से कम हो गई है (आयाम 10 के कारक से कम हो गया है)। यहां से आप सिस्टम द्वारा किए गए दोलनों की संख्या की गणना के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं:

= ई 2qN= 100, ln100 = 2 क्यूएन;

एन = = . (66)

9. मजबूर कंपन। प्रतिध्वनि। एपेरियोडिक उतार-चढ़ाव। स्व-दोलन।

प्रणाली के लिए अवमंदित दोलनों को करने के लिए, बाहर से घर्षण के कारण दोलनों के ऊर्जा नुकसान की भरपाई करना आवश्यक है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि सिस्टम के दोलनों की ऊर्जा कम नहीं होती है, आमतौर पर एक बल लगाया जाता है जो समय-समय पर सिस्टम पर कार्य करता है (हम इस तरह के बल को कहेंगे सम्मोहक, और मजबूर दोलन)।

परिभाषा: मजबूरऐसे कंपन कहलाते हैं जो बाहरी समय-समय पर बदलते बल की क्रिया के तहत एक दोलन प्रणाली में होते हैं।

यह बल, एक नियम के रूप में, दोहरी भूमिका निभाता है:

सबसे पहले, यह सिस्टम को हिलाता है और इसे एक निश्चित मात्रा में ऊर्जा देता है;

दूसरे, यह प्रतिरोध और घर्षण की ताकतों को दूर करने के लिए समय-समय पर ऊर्जा हानि (ऊर्जा खपत) की भरपाई करता है।

कानून के अनुसार समय के साथ चालक शक्ति को बदलने दें:

.

आइए हम इस तरह के बल के प्रभाव में दोलन करने वाली प्रणाली के लिए गति के समीकरण की रचना करें। हम मानते हैं कि सिस्टम अर्ध-लोचदार बल और माध्यम के ड्रैग फोर्स (जो छोटे दोलनों की धारणा के तहत मान्य है) से भी प्रभावित होता है। तब सिस्टम की गति का समीकरण इस तरह दिखेगा:

या .

प्रतिस्थापित करके, - सिस्टम दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति, हम एक गैर-सजातीय रैखिक अंतर समीकरण 2 प्राप्त करते हैं वांगण:

अवकल समीकरणों के सिद्धांत से ज्ञात होता है कि एक विषम समीकरण का सामान्य हल एक समांगी समीकरण के व्यापक हल और एक विषम समीकरण के विशेष हल के योग के बराबर होता है।

सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात है:

,

कहाँ पे ; एक 0 और एक- मनमाना स्थिरांक।

.

वेक्टर आरेख का उपयोग करके, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि ऐसी धारणा सत्य है, और "के मान भी निर्धारित करें" एक" तथा " जे”.

दोलन आयाम निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

.

अर्थ " जे”, जो कि मजबूर दोलन के चरण विलंब का परिमाण है ड्राइविंग बल से जो इसका कारण बना, वेक्टर आरेख से भी निर्धारित होता है और है:

.

अंत में, विषम समीकरण का एक विशेष समाधान रूप लेगा:

(8.18)

यह समारोह, साथ में

(8.19)

मजबूर कंपन के तहत एक प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करने वाले एक विषम अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान देता है। दोलनों की तथाकथित स्थापना (चित्र। 8.10) के दौरान, शब्द (8.19) प्रक्रिया के प्रारंभिक चरण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। समय के दौरान, घातांक कारक के कारण, दूसरे पद (8.19) की भूमिका अधिक से अधिक घटती जाती है, और पर्याप्त समय के बाद इसे उपेक्षित किया जा सकता है, केवल पद (8.18) को समाधान में रखते हुए।

इस प्रकार, फ़ंक्शन (8.18) स्थिर मजबूर दोलनों का वर्णन करता है। वे प्रेरक बल की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलन हैं। मजबूर दोलनों का आयाम ड्राइविंग बल के आयाम के समानुपाती होता है। किसी दिए गए ऑसिलेटरी सिस्टम (w 0 और b परिभाषित) के लिए आयाम ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है। जबरन दोलन चरण में ड्राइविंग बल से पीछे हो जाते हैं, और अंतराल "जे" की मात्रा भी ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भर करती है।

ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि किसी दिए गए सिस्टम के लिए निर्धारित एक निश्चित आवृत्ति पर, दोलन आयाम अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है। इस आवृत्ति पर चालक बल की कार्रवाई के लिए थरथरानवाला प्रणाली विशेष रूप से उत्तरदायी है। इस घटना को कहा जाता है गूंज, और इसी आवृत्ति है गुंजयमान आवृत्ति.

परिभाषा: एक घटना जिसमें मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि देखी जाती है, कहलाती है गूंज.

गुंजयमान आवृत्ति मजबूर दोलनों के आयाम के लिए अधिकतम स्थिति से निर्धारित होती है:

. (8.20)

फिर, इस मान को आयाम के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

. (8.21)

मध्यम प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, अनुनाद पर दोलनों का आयाम अनंत हो जाएगा; समान परिस्थितियों में गुंजयमान आवृत्ति (b=0) प्राकृतिक दोलन आवृत्ति के साथ मेल खाती है।

प्रेरक बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता (या, जो समान है, दोलनों की आवृत्ति पर) को रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है (चित्र। 8.11)। अलग-अलग वक्र "बी" के विभिन्न मूल्यों के अनुरूप हैं। छोटा "बी", उच्चतर और दाईं ओर इस वक्र का अधिकतम भाग होता है (w res के लिए अभिव्यक्ति देखें।)। बहुत बड़ी भिगोना के साथ, प्रतिध्वनि नहीं देखी जाती है - बढ़ती आवृत्ति के साथ, मजबूर दोलनों का आयाम नीरस रूप से घटता है (चित्र 8.11 में निचला वक्र)।

b के विभिन्न मानों के अनुरूप प्रस्तुत आलेखों के समुच्चय को कहा जाता है प्रतिध्वनि वक्र.

टिप्पणियांअनुनाद घटता के बारे में:

जैसा कि w®0 जाता है, सभी वक्र समान अशून्य मान के बराबर आते हैं। यह मान उस संतुलन स्थिति से विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है जो सिस्टम एक स्थिर बल की कार्रवाई के तहत प्राप्त करता है एफ 0 .

जैसा कि w®¥ सभी वक्र असम्बद्ध रूप से शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, चूँकि उच्च आवृत्ति पर, बल अपनी दिशा इतनी तेज़ी से बदलता है कि सिस्टम के पास संतुलन की स्थिति से ध्यान देने योग्य बदलाव का समय नहीं होता है।

छोटा बी, अनुनाद के पास आयाम जितना मजबूत होता है, आवृत्ति के साथ बदलता है, अधिकतम "तेज" होता है।

अनुनाद की घटना अक्सर उपयोगी होती है, विशेष रूप से ध्वनिकी और रेडियो इंजीनियरिंग में।

स्व-दोलन- निरंतर की ऊर्जा द्वारा समर्थित गैर-रैखिक प्रतिक्रिया के साथ एक अपव्यय गतिशील प्रणाली में असंतुलित दोलन, जो है गैर आवधिकबाहरी प्रभाव।

स्व-दोलन से भिन्न होते हैं मजबूर कंपनक्योंकि बाद वाले कारण होते हैं नियत कालीनबाहरी प्रभाव और इस प्रभाव की आवृत्ति के साथ घटित होता है, जबकि स्व-दोलनों की घटना और उनकी आवृत्ति स्वयं-दोलन प्रणाली के आंतरिक गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है।

शर्त स्व-दोलन 1928 में एए एंड्रोनोव द्वारा रूसी शब्दावली में पेश किया गया।

उदाहरण[

स्व-दोलन के उदाहरण हैं:

· घड़ी के भार के गुरुत्व की निरंतर क्रिया के कारण घड़ी के पेंडुलम के अवमंदित दोलन;

समान रूप से चलने वाले धनुष के प्रभाव में वायलिन स्ट्रिंग का कंपन

एक निरंतर आपूर्ति वोल्टेज पर मल्टीवीब्रेटर सर्किट और अन्य इलेक्ट्रॉनिक जनरेटर में प्रत्यावर्ती धारा की घटना;

अंग के पाइप में वायु स्तंभ का उतार-चढ़ाव, इसमें हवा की एक समान आपूर्ति के साथ। (स्थायी लहर भी देखें)

एक चुंबक से निलंबित स्टील अक्ष के साथ एक पीतल घड़ी गियर के घूर्णी दोलन (Gamazkov का प्रयोग) (एकध्रुवीय जनरेटर के रूप में पहिया की गतिज ऊर्जा, विद्युत क्षेत्र की संभावित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, की संभावित ऊर्जा विद्युत क्षेत्र, जैसा कि एकध्रुवीय इंजन में होता है, पहिये आदि की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।)

मक्लाकोव हथौड़ा

एक हथौड़ा जो विद्युत परिपथ में धारा की आवृत्ति से कई गुना कम आवृत्ति के साथ प्रत्यावर्ती धारा की ऊर्जा के कारण प्रहार करता है।

ऑसिलेटरी सर्किट का कॉइल एल टेबल (या अन्य वस्तु जिसे हिट करने की आवश्यकता है) के ऊपर रखा गया है। नीचे से, एक लोहे की नली इसमें प्रवेश करती है, जिसका निचला सिरा हथौड़े का प्रभाव वाला हिस्सा होता है। फौकॉल्ट धाराओं को कम करने के लिए ट्यूब में एक ऊर्ध्वाधर स्लॉट है। ऑसिलेटरी सर्किट के पैरामीटर ऐसे हैं कि इसके दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति सर्किट में करंट की आवृत्ति के साथ मेल खाती है (उदाहरण के लिए, सिटी करंट, 50 हर्ट्ज)।

करंट चालू होने और दोलन स्थापित होने के बाद, सर्किट की धाराओं और बाहरी सर्किट की प्रतिध्वनि देखी जाती है, और लोहे की ट्यूब को कॉइल में खींचा जाता है। कॉइल का अधिष्ठापन बढ़ जाता है, ऑसिलेटरी सर्किट अनुनाद से बाहर हो जाता है, और कॉइल में वर्तमान दोलनों का आयाम कम हो जाता है। इसलिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में ट्यूब अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाती है - कुंडल के बाहर। फिर सर्किट के अंदर वर्तमान में उतार-चढ़ाव बढ़ने लगते हैं, और अनुनाद फिर से सेट हो जाता है: ट्यूब फिर से कॉइल में खींची जाती है।

ट्यूब करता है स्व-दोलन, अर्थात्, समय-समय पर ऊपर और नीचे की हलचल, और एक ही समय में यह हथौड़े की तरह मेज पर जोर से दस्तक देता है। इन यांत्रिक स्व-दोलनों की अवधि उन्हें समर्थन देने वाली प्रत्यावर्ती धारा की अवधि से दस गुना अधिक है।

इस हथौड़े का नाम मास्को इंस्टीट्यूट ऑफ फिजिक्स एंड टेक्नोलॉजी के लेक्चर असिस्टेंट एम. आई. मक्लाकोव के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने आत्म-दोलन प्रदर्शित करने के लिए इस तरह के एक प्रयोग का प्रस्ताव रखा और उसे अंजाम दिया।

स्व-दोलनों का तंत्र

चित्र एक।स्व-दोलनों का तंत्र

स्व-दोलनों की एक अलग प्रकृति हो सकती है: यांत्रिक, थर्मल, विद्युत चुम्बकीय, रासायनिक। विभिन्न प्रणालियों में स्व-दोलनों की घटना और रखरखाव का तंत्र भौतिकी या रसायन विज्ञान के विभिन्न कानूनों पर आधारित हो सकता है। विभिन्न प्रणालियों के स्व-दोलनों के सटीक मात्रात्मक विवरण के लिए, विभिन्न गणितीय उपकरणों की आवश्यकता हो सकती है। फिर भी, एक ऐसी योजना की कल्पना करना संभव है जो सभी स्व-दोलन प्रणालियों के लिए सामान्य है और गुणात्मक रूप से इस तंत्र का वर्णन करती है (चित्र 1)।

आरेख पर: एस- निरंतर (गैर-आवधिक) प्रभाव का स्रोत; आर- एक गैर-रेखीय नियंत्रक जो एक निरंतर प्रभाव को एक चर में परिवर्तित करता है (उदाहरण के लिए, समय में रुक-रुक कर), जो "झूलता है" थरथरानवाला वी- प्रणाली के दोलन तत्व (तत्व), और प्रतिक्रिया के माध्यम से दोलक के दोलन बीनियामक के संचालन को नियंत्रित करें आर, स्थापना अवस्थातथा आवृत्तिउसके कार्य। स्व-दोलन प्रणाली में अपव्यय (ऊर्जा का अपव्यय) निरंतर प्रभाव के स्रोत से इसमें प्रवेश करने वाली ऊर्जा द्वारा मुआवजा दिया जाता है, जिसके कारण आत्म-दोलन क्षय नहीं होता है।

चावल। 2पेंडुलम घड़ी के शाफ़्ट तंत्र की योजना

यदि सिस्टम का एक ऑसिलेटिंग तत्व स्वयं के लिए सक्षम है नम दोलन(तथाकथित। हार्मोनिक अपव्यय थरथरानवाला), स्व-दोलन (अवधि के दौरान सिस्टम में समान अपव्यय और ऊर्जा इनपुट के साथ) एक आवृत्ति के करीब स्थापित होते हैं गुंजयमानइस थरथरानवाला के लिए, उनका आकार हार्मोनिक के करीब हो जाता है, और आयाम, मूल्यों की एक निश्चित सीमा में, अधिक से अधिक, निरंतर बाहरी प्रभाव का परिमाण जितना अधिक होता है।

ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण एक पेंडुलम घड़ी का शाफ़्ट तंत्र है, जिसका आरेख चित्र में दिखाया गया है। 2. शाफ़्ट व्हील एक्सल पर ए(जो इस प्रणाली में एक गैर-रेखीय नियंत्रक का कार्य करता है) बल का एक निरंतर क्षण होता है एममेनस्प्रिंग से या वजन से गियर के माध्यम से प्रेषित। जब पहिया घूमता है एइसके दांत पेंडुलम को अल्पकालिक बल प्रदान करते हैं पी(थरथरानवाला), जिसकी बदौलत इसके दोलन फीके नहीं पड़ते। तंत्र की कीनेमेटीक्स प्रणाली में प्रतिक्रिया की भूमिका निभाती है, पेंडुलम के दोलनों के साथ पहिया के रोटेशन को इस तरह से सिंक्रनाइज़ करती है कि दोलन की पूरी अवधि के दौरान पहिया एक दांत के अनुरूप कोण से घूमता है।

स्व-ऑसिलेटिंग सिस्टम जिसमें हार्मोनिक ऑसिलेटर नहीं होते हैं, कहलाते हैं विश्राम. उनमें दोलन हार्मोनिक से बहुत भिन्न हो सकते हैं, और एक आयताकार, त्रिकोणीय या समलम्बाकार आकार हो सकते हैं। विश्राम स्व-दोलनों का आयाम और अवधि निरंतर क्रिया के परिमाण और प्रणाली की जड़ता और अपव्यय की विशेषताओं के अनुपात से निर्धारित होती है।

चावल। 3बिजली की घंटी

विश्राम स्व-दोलन का सबसे सरल उदाहरण एक विद्युत घंटी का संचालन है, जिसे अंजीर में दिखाया गया है। 3. यहाँ निरंतर (गैर-आवधिक) जोखिम का स्रोत एक इलेक्ट्रिक बैटरी है यू; एक गैर-रैखिक नियंत्रक की भूमिका एक हेलिकॉप्टर द्वारा की जाती है टी, विद्युत परिपथ को बंद करना और खोलना, जिसके परिणामस्वरूप उसमें आंतरायिक धारा उत्पन्न होती है; दोलन करने वाले तत्व एक चुंबकीय क्षेत्र हैं जो समय-समय पर एक विद्युत चुंबक के कोर में प्रेरित होते हैं इ, और लंगर एएक वैकल्पिक चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में चल रहा है। आर्मेचर के दोलन चॉपर को क्रियान्वित करते हैं, जो फीडबैक बनाता है।

इस प्रणाली की जड़ता दो अलग-अलग भौतिक मात्राओं द्वारा निर्धारित की जाती है: आर्मेचर की जड़ता का क्षण लेकिनऔर इलेक्ट्रोमैग्नेट वाइंडिंग का इंडक्शन इ. इनमें से किसी भी पैरामीटर में वृद्धि से स्व-दोलन की अवधि में वृद्धि होती है।

यदि सिस्टम में कई तत्व हैं जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से दोलन करते हैं और एक साथ एक गैर-रैखिक नियंत्रक या नियंत्रकों (जिनमें से कई भी हो सकते हैं) पर कार्य करते हैं, तो स्व-दोलन अधिक जटिल चरित्र प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, अनावधिक, या गतिशील अराजकता.

प्रकृति और प्रौद्योगिकी में

स्व-दोलन कई प्राकृतिक घटनाओं के अंतर्गत आते हैं:

एक समान वायु प्रवाह की क्रिया के तहत पौधे की पत्तियों में उतार-चढ़ाव;

· नदियों की दरारों और रैपिड्स पर अशांत प्रवाह का निर्माण;

नियमित गीजर आदि की क्रिया।

बड़ी संख्या में विभिन्न तकनीकी उपकरणों और उपकरणों के संचालन का सिद्धांत स्व-दोलनों पर आधारित है, जिनमें शामिल हैं:

मैकेनिकल और इलेक्ट्रिक दोनों प्रकार की घड़ियों का काम;

· सभी हवा और स्ट्रिंग-बोउ संगीत वाद्ययंत्रों की ध्वनि;

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उतार चढ़ावआंदोलनों या प्रक्रियाओं को कहा जाता है जो समय में एक निश्चित पुनरावृत्ति की विशेषता होती है। ऑसिलेटरी प्रक्रियाएं प्रकृति और प्रौद्योगिकी में व्यापक हैं, उदाहरण के लिए, एक घड़ी के पेंडुलम का झूला, वैकल्पिक विद्युत प्रवाह, आदि। सर्किट में उतार-चढ़ाव। दोलनों की भौतिक प्रकृति भिन्न हो सकती है, इसलिए, यांत्रिक, विद्युत चुम्बकीय, आदि दोलन प्रतिष्ठित हैं। हालाँकि, विभिन्न दोलन प्रक्रियाओं को समान विशेषताओं और समान समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है। इसी से व्यवहार्यता आती है एकीकृत दृष्टिकोणकंपन के अध्ययन के लिए विभिन्न भौतिक प्रकृति।

उतार-चढ़ाव कहलाते हैं नि: शुल्क, यदि वे केवल आंतरिक बलों के प्रभाव के तहत बनाए जाते हैं जो सिस्टम के तत्वों के बीच काम करते हैं, तो सिस्टम को बाहरी ताकतों द्वारा संतुलन से बाहर ले जाने और खुद पर छोड़ देने के बाद। मुक्त कंपन हमेशा नम दोलन क्योंकि वास्तविक प्रणालियों में ऊर्जा की हानि अपरिहार्य है। ऊर्जा हानि के बिना एक प्रणाली के आदर्श मामले में, मुक्त दोलन (जब तक वांछित जारी रहता है) कहा जाता है अपना.

मुक्त अवमंदित दोलनों का सबसे सरल प्रकार है हार्मोनिक दोलन -उतार-चढ़ाव जिसमें साइन (कोसाइन) कानून के अनुसार उतार-चढ़ाव का मूल्य समय के साथ बदलता है। प्रकृति और प्रौद्योगिकी में होने वाले दोलनों में अक्सर हार्मोनिक के करीब एक चरित्र होता है।

हार्मोनिक कंपन को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जिसे हार्मोनिक कंपन का समीकरण कहा जाता है:

कहाँ पे लेकिन- उतार-चढ़ाव का आयाम, उतार-चढ़ाव मूल्य का अधिकतम मूल्य एक्स; - प्राकृतिक दोलनों की परिपत्र (चक्रीय) आवृत्ति; - समय के एक क्षण में दोलन का प्रारंभिक चरण टी= 0; - समय के क्षण में दोलन का चरण टी।दोलन का चरण एक निश्चित समय पर दोलन मात्रा का मान निर्धारित करता है। चूंकि कोसाइन +1 से -1 तक भिन्न होता है, तब एक्स+ से मान ले सकता है एइससे पहले - लेकिन.

समय टी, जिसके लिए तंत्र एक पूर्ण दोलन पूरा करता है, कहलाता है दोलन की अवधि. दौरान टीदोलन चरण 2 से बढ़ा है π , अर्थात।

कहाँ पे । (14.2)

दोलन काल का व्युत्क्रम

अर्थात, प्रति इकाई समय में पूर्ण दोलनों की संख्या को दोलन आवृत्ति कहते हैं। (14.2) और (14.3) की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है

आवृत्ति की इकाई हर्ट्ज (हर्ट्ज) है: 1 हर्ट्ज वह आवृत्ति है जिस पर 1 एस में एक पूर्ण दोलन होता है।

जिन तंत्रों में मुक्त कंपन हो सकता है, कहलाते हैं दोलन . इसमें होने वाले मुक्त दोलनों के लिए एक प्रणाली में क्या गुण होने चाहिए? यांत्रिक प्रणाली होनी चाहिए स्थिर संतुलन की स्थिति, बाहर निकलने पर जो प्रकट होता है संतुलन की ओर बल बहाल करना. यह स्थिति प्रणाली की संभावित ऊर्जा के न्यूनतम के अनुरूप है, जैसा कि जाना जाता है। आइए हम कई ऑसिलेटरी सिस्टम पर विचार करें जो सूचीबद्ध गुणों को पूरा करते हैं।

बाहरी, समय-समय पर बदलती ताकतों की कार्रवाई के तहत उत्पन्न होने वाले दोलन (बाहर से दोलन प्रणाली के लिए ऊर्जा की आवधिक आपूर्ति के साथ)

ऊर्जा परिवर्तन

स्प्रिंग पेंडुलम

चक्रीय आवृत्ति और दोलन अवधि क्रमशः हैं:

पूरी तरह से लोचदार वसंत से जुड़ा एक भौतिक बिंदु

Ø एक्स-निर्देशांक पर वसंत पेंडुलम की संभावित और गतिज ऊर्जा की साजिश।

Ø समय पर गतिज और संभावित ऊर्जा की निर्भरता के गुणात्मक रेखांकन।

Ø मजबूर

Ø मजबूर दोलनों की आवृत्ति बाहरी बल में परिवर्तन की आवृत्ति के बराबर होती है

Ø यदि साइन या कोसाइन कानून के अनुसार एफबीसी बदलता है, तो मजबूर दोलन हार्मोनिक होंगे

Ø स्व-दोलनों के साथ, दोलन प्रणाली के अंदर अपने स्वयं के स्रोत से ऊर्जा की आवधिक आपूर्ति आवश्यक है

हार्मोनिक दोलन ऐसे दोलन हैं जिनमें साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार दोलन मूल्य समय के साथ बदलता है

हार्मोनिक दोलनों (बिंदुओं की गति के नियम) के समीकरणों का रूप है

हार्मोनिक कंपन ऐसे दोलन कहलाते हैं, जिनमें कानून के अनुसार दोलन मूल्य समय के साथ बदलता रहता हैसाइनस याकोज्या .
हार्मोनिक कंपन समीकरण की तरह लगता है:

,
जहाँ एक - दोलन आयाम (संतुलन की स्थिति से प्रणाली के सबसे बड़े विचलन का मान); -परिपत्र (चक्रीय) आवृत्ति। समय-समय पर बदलते कोसाइन तर्क - कहलाते हैं दोलन चरण . दोलन चरण एक निश्चित समय टी पर संतुलन की स्थिति से दोलन मात्रा के विस्थापन को निर्धारित करता है। स्थिर φ समय t = 0 पर चरण का मान है और इसे कहा जाता है दोलन का प्रारंभिक चरण . प्रारंभिक चरण का मूल्य संदर्भ बिंदु की पसंद से निर्धारित होता है। X मान -A से +A तक के मान ले सकता है।
समय अंतराल टी, जिसके बाद ऑसिलेटरी सिस्टम की कुछ अवस्थाएँ दोहराई जाती हैं, दोलन काल कहलाता है . कोसाइन 2π की अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है, इसलिए, समय की अवधि के दौरान, जिसके बाद दोलन चरण को 2π के बराबर वृद्धि प्राप्त होगी, हार्मोनिक दोलन करने वाली प्रणाली की स्थिति दोहराई जाएगी। समय की इस अवधि को हार्मोनिक दोलनों की अवधि कहा जाता है।
हार्मोनिक दोलनों की अवधि है : टी = 2π/.
प्रति इकाई समय दोलनों की संख्या कहलाती है दोलन आवृत्ति ν.
हार्मोनिक कंपन की आवृत्ति के बराबर है: ν = 1/टी। आवृत्ति इकाई हेटर्स(हर्ट्ज) - प्रति सेकंड एक दोलन।
वृत्ताकार आवृत्ति = 2π/T = 2πν 2π सेकंड में दोलनों की संख्या देता है।

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

ग्राफिक रूप से, हार्मोनिक दोलनों को टी पर एक्स की निर्भरता के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र 1.1.ए), और घूर्णन आयाम विधि (वेक्टर आरेख विधि)(चित्र 1.1.बी) .

घूर्णन आयाम विधि आपको हार्मोनिक दोलनों के समीकरण में शामिल सभी मापदंडों की कल्पना करने की अनुमति देती है। दरअसल, अगर आयाम वेक्टर लेकिन x-अक्ष के कोण φ पर स्थित है (चित्र 1.1. B देखें), तो x-अक्ष पर इसका प्रक्षेपण इसके बराबर होगा: x = Acos(φ)। कोण φ प्रारंभिक चरण है। यदि वेक्टर लेकिनदोलनों की परिपत्र आवृत्ति के बराबर कोणीय वेग के साथ रोटेशन में डालें, फिर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण एक्स-अक्ष के साथ आगे बढ़ेगा और -ए से + ए तक मान लेगा, और इस प्रक्षेपण का समन्वय कानून के अनुसार समय के साथ बदल जाएगा:
.
इस प्रकार, वेक्टर की लंबाई हार्मोनिक दोलन के आयाम के बराबर होती है, प्रारंभिक क्षण में वेक्टर की दिशा दोलन के प्रारंभिक चरण के बराबर एक्स-अक्ष के साथ एक कोण बनाती है, और दिशा में परिवर्तन समय के साथ कोण हार्मोनिक दोलनों के चरण के बराबर है। जिस समय के लिए आयाम वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करता है वह हार्मोनिक दोलनों की अवधि टी के बराबर होता है। प्रति सेकंड वेक्टर के क्रांतियों की संख्या दोलन आवृत्ति ν के बराबर होती है।