Defineerige kompleksarv. Mis on kompleksarv? Näited

§üks. Keerulised numbrid

1°. Definitsioon. Algebraline tähistus.

Definitsioon 1. Keerulised numbrid nimetatakse reaalarvude järjestatud paarideks ja , kui nende jaoks on määratletud võrdsuse mõiste, liitmise ja korrutamise operatsioonid, mis vastavad järgmistele aksioomidele:

1) Kaks numbrit
ja
võrdne siis ja ainult siis
,
, st.


,
.

2) Kompleksarvude summa
ja

ja võrdne
, st.

+
=
.

3) Kompleksarvude korrutis
ja
numbrile helistatakse
ja võrdne, st.

∙=.

Kompleksarvude hulk on tähistatud C.

Vormi numbrite valemid (2), (3).
võta vorm

millest järeldub, et vormi arvude liitmise ja korrutamise tehted
kattuvad reaalarvude liitmise ja korrutamisega vormi kompleksarv
identifitseeritakse reaalarvuga .

Kompleksnumber
helistas kujuteldav ühik ja tähistatud , st.
Seejärel alates (3)

Alates (2), (3)  mis tähendab

Avaldist (4) nimetatakse algebraline tähistus kompleksarv.

Algebralises vormis on liitmise ja korrutamise toimingud järgmisel kujul:

Kompleksarv on tähistatud
,- tegelik osa, on kujuteldav osa, on puhtalt imaginaarne arv. Määramine:
,
.

2. definitsioon. Kompleksnumber
helistas konjugaat kompleksarvuga
.

Kompleksse konjugatsiooni omadused.

2)
.

3) Kui
, siis
.

4)
.

5)
on reaalne arv.

Tõestus toimub otsese arvutuse teel.

3. definitsioon. Number
helistas moodul kompleksarv
ja tähistatud
.

See on ilmne
, ja

. Valemid on samuti ilmsed:
ja
.

2°. Liitmis- ja korrutustehete omadused.

1) Kommutatiivsus:
,
.

2) Assotsiatiivsus:,
.

3) Jaotuvus: .

Tõestus 1) - 3) viiakse läbi otseste arvutustega, mis põhinevad reaalarvude sarnastel omadustel.

4)
,
.

5) , C ! , mis rahuldab võrrandi
. Sellised

6) ,C, 0, ! :
. Sellised leitakse võrrandi korrutamisel arvuga

.

Näide. Kujutage ette kompleksarvu
algebralises vormis. Selleks korrutage murdosa lugeja ja nimetaja nimetaja konjugaadiga. Meil on:

3°. Kompleksarvude geomeetriline tõlgendamine. Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline ja eksponentsiaalne vorm.

Olgu tasapinnal antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem. Siis
C tasapinnal oleva punkti saab seostada koordinaatidega
.(vt joonis 1). On ilmne, et selline kirjavahetus on üks-ühele. Sel juhul asuvad reaalarvud abstsissteljel ja puhtalt imaginaarsed numbrid ordinaatteljel. Seetõttu nimetatakse abstsisstelge tegelik telg, ja y-telg − kujuteldav telg. Kutsutakse tasapinda, millel asuvad kompleksarvud keeruline lennuk.

Pange tähele, et ja
on sümmeetrilised päritolu suhtes ja ja on härja suhtes sümmeetrilised.

Iga kompleksarvu (st iga tasandi punkti) saab seostada vektoriga, mille algus on punktis O ja lõpp punktis
. Vektorite ja kompleksarvude vaheline vastavus on üks-ühele. Seega kompleksarvule vastav vektor , tähistatud sama tähega

D vektorjoon
mis vastab kompleksarvule
, on võrdne
, ja
,
.

Vektori tõlgendust kasutades on näha, et vektor
− vektorite summa ja , a
− vektorite summa ja
.(vt joonis 2). Seetõttu on tõesed järgmised ebavõrdsused:

Koos pikkusega vektor tutvustame nurka vektori vahel ja Hrja telg, mis on arvestatud Hrja telje positiivsest suunast: kui loendus on vastupeva, siis loetakse nurga phi positiivseks, kui päripäeva, siis negatiivseks. Seda nurka nimetatakse kompleksarvu argument ja tähistatud
. Nurk ei määratleta üheselt, vaid täpselt
…. Sest
argument ei ole määratletud.

Valemid (6) defineerivad nn trigonomeetriline tähistus kompleksarv.

(5) järeldub, et kui
ja
siis

,
.

Alates (5)
mille järgi ja Kompleksarv on üheselt määratletud. Vastupidine pole tõsi: nimelt kompleksarvu järgi selle moodul on ainulaadne ja argument , tänu (7), − täpsusega
. Samuti tuleneb punktist (7), et argument võib leida võrrandi lahendusena

Kuid mitte kõik selle võrrandi lahendid ei ole (7) lahendused.

Kõigi kompleksarvu argumendi väärtuste hulgast valitakse üks, mida nimetatakse argumendi põhiväärtuseks ja tähistatakse
. Tavaliselt valitakse argumendi põhiväärtus kas intervallis
, või intervallis

Trigonomeetrilises vormis on mugav teha korrutamis- ja jagamistehiseid.

1. teoreem. Kompleksarvude korrutise moodul ja on võrdne moodulite korrutisega ja argument on võrdne argumentide summaga, st.

, a .

Samamoodi

Tõestus. Lase,. Siis saame otsese korrutamise teel:

Samamoodi

.■

Tagajärg(De Moivre’i valem). Sest
Moivre'i valem kehtib

P näiteks. Laske Leia punkti geomeetriline asukoht
. 1. teoreemist järeldub, et .

Seetõttu peate selle konstrueerimiseks kõigepealt konstrueerima punkti , mis on pöördvõrdeline ühikuringi ümber ja seejärel leida sellele sümmeetriline punkt x-telje ümber.

Lase
, need.
Kompleksnumber
tähistatud
, st. R Euleri valem kehtib

Sest
, siis
,
. 1. teoreemist
kuidas on funktsiooniga
on võimalik töötada nagu tavalise eksponentsiaalfunktsiooniga, st. võrdsused on tõesed

,
,
.

Alates (8)
eksponentsiaalne tähistus kompleksarv

, kus
,

Näide. .

4°. Juured th võimsus kompleksarvust.

Mõelge võrrandile

,
FROM ,
N .

Lase
, ja valemi (9) lahendust otsitakse kujul
. Seejärel võtab (9) kuju
, kust me selle leiame
,
, st.

,
,
.

Seega on võrrandil (9) juured

,
.

Näitame, et (10) hulgas on täpselt mitmesugused juured. Tõesti,

on erinevad, sest nende argumendid on erinevad ja erinevad vähem kui
. Edasi,
, sest
. Samamoodi
.

Seega võrrand (9) jaoks
on täpselt juured
mis asub korrapärase tippudes -gon, mis on kantud raadiusega ringi mille keskmes on T.O.

Seega on see tõestatud

2. teoreem. juure ekstraheerimine kompleksarvu astmes
alati võimalik. Kõik juurväärtused aste asub õige ülaosas -gon on kantud ringi, mille keskpunkt on nullis ja raadiuses
. kus,

Tagajärg. Juured 1. aste väljendatakse valemiga

Kahe juure korrutis 1 on juur, 1 on juur - ühtsuse aste, juur
:
.

Ruutvõrrandi omaduste uurimisel seati piirang - nullist väiksema diskriminandi korral lahendus puudub. Kohe sätestati, et me räägime reaalarvude hulgast. Matemaatiku uudishimulik meel tunneb huvi – mis on tõeliste väärtuste reservatsiooni saladus?

Aja jooksul võtsid matemaatikud kasutusele kompleksarvude mõiste, kus miinus ühe teise juure tingimuslikku väärtust võetakse ühikuna.

Ajaloo viide

Matemaatiline teooria areneb järjestikku, lihtsast keerukani. Mõelgem välja, kuidas tekkis mõiste nimega "kompleksarv" ja miks seda vaja on.

Juba ammustest aegadest on matemaatika aluseks olnud tavaline arvestus. Teadlased teadsid ainult loomulikku väärtuste kogumit. Liitmine ja lahutamine olid lihtsad. Kuna majandussuhted muutusid keerukamaks, hakati samade väärtuste liitmise asemel kasutama korrutamist. Korrutamisele tehti pöördtehte – jagamine.

Naturaalarvu mõiste piiras aritmeetiliste tehete kasutamist. Kõiki jagamisülesandeid on täisarvu väärtuste hulgal võimatu lahendada. viis esmalt ratsionaalsete tähenduste kontseptsioonini ja seejärel irratsionaalsete tähendusteni. Kui ratsionaalse jaoks on võimalik näidata punkti täpset asukohta joonel, siis irratsionaalsete jaoks pole sellist punkti võimalik näidata. Saate intervalli ainult ligikaudselt hinnata. Ratsionaal- ja irratsionaalarvude liit moodustas reaalhulga, mida saab esitada etteantud skaalaga kindla sirgena. Iga samm piki joont on naturaalarv ning nende vahel on ratsionaalsed ja irratsionaalsed väärtused.

Algas teoreetilise matemaatika ajastu. Astronoomia, mehaanika, füüsika areng nõudis üha keerukamate võrrandite lahendamist. Üldiselt leiti ruutvõrrandi juured. Keerulisema kuuppolünoomi lahendamisel sattusid teadlased vasturääkivusse. Mõiste kuupjuur negatiivsest on mõttekas, kuid ruutjuure puhul saadakse määramatus. Pealegi on ruutvõrrand ainult kuupvõrrandi erijuhtum.

1545. aastal tegi itaallane J. Cardano ettepaneku võtta kasutusele imaginaararvu mõiste.

See arv oli miinus ühe teine juur. Mõiste kompleksarv tekkis lõpuks alles kolmsada aastat hiljem kuulsa matemaatiku Gaussi töödes. Ta tegi ettepaneku laiendada formaalselt kõiki algebra seadusi imaginaararvule. Tegelik liin on laienenud tasapinnaliseks. Maailm on muutunud suuremaks.

Põhimõisted

Tuletage meelde mitmeid funktsioone, millel on reaalkomplektile piirangud:

y = arcsin(x), mis on määratletud väärtuste vahemikus negatiivse ja positiivse vahel.
y = ln(x), on positiivsete argumentide puhul mõistlik.
ruutjuur y = √x, arvutatud ainult x ≥ 0 korral.

Tähistades i = √(-1), võtame sellise mõiste kasutusele imaginaararvuna, see eemaldab kõik piirangud ülaltoodud funktsioonide definitsioonipiirkonnast. Sellised avaldised nagu y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) on mõnes kompleksarvude ruumis mõttekad.

Algebralise vormi saab kirjutada avaldisena z = x + i×y reaalsete x ja y väärtuste hulgale ning i 2 = -1.

Uus kontseptsioon kaotab kõik piirangud mis tahes algebralise funktsiooni kasutamisele ja meenutab oma välimuselt reaal- ja kujutlusväärtuste koordinaatide sirgjoone graafikut.

Keeruline tasapind

Kompleksarvude geomeetriline vorm võimaldab visuaalselt kujutada paljusid nende omadusi. Teljel Re(z) märgime x tegelikud väärtused, Im(z) - y kujutlusväärtused, siis tasandi punkt z kuvab vajaliku kompleksväärtuse.

Määratlused:

Re(z) – reaaltelg.
Im(z) – tähendab kujuteldavat telge.
z on kompleksarvu tingimuslik punkt.
Vektori pikkuse arvulist väärtust nullpunktist z-ni nimetatakse mooduliks.
Tegelik ja kujuteldav telg jagavad tasapinna neljandikku. Koordinaatide positiivse väärtusega - I veerand. Kui tegeliku telje argument on väiksem kui 0 ja kujuteldav telg on suurem kui 0 - II veerand. Kui koordinaadid on negatiivsed - III veerand. Viimane, neljas kvartal sisaldab palju positiivseid reaalväärtusi ja negatiivseid kujutlusväärtusi.

Seega saab x ja y koordinaatväärtustega tasapinnal alati visualiseerida kompleksarvu punkti. Sümbol i võetakse kasutusele selleks, et eraldada tegelik osa kujuteldavast.

Omadused

Kui imaginaarse argumendi väärtus on null, saame lihtsalt arvu (z = x), mis asub reaalteljel ja kuulub reaalhulka.
Erijuhul, kui tegeliku argumendi väärtus muutub nulliks, vastab avaldis z = i×y punkti asukohale kujuteldaval teljel.
Üldvorm z = x + i × y on argumentide nullist erineva väärtuse jaoks. See tähendab kompleksarvu iseloomustava punkti asukohta ühes veerandis.

trigonomeetriline tähistus

Tuletage meelde polaarkoordinaatide süsteem ning sin ja cos määratlus. On ilmne, et nende funktsioonide abil on võimalik kirjeldada tasapinna mis tahes punkti asukohta. Selleks piisab, kui on teada polaarkiire pikkus ja kaldenurk reaaltelje suhtes.

Definitsioon. Kirjet kujul ∣z ∣, mis on korrutatud trigonomeetriliste funktsioonide cos(ϴ) ja imaginaarse osa i ×sin(ϴ) summaga, nimetatakse trigonomeetriliseks kompleksarvuks. Siin on tähistus tegeliku telje suhtes kaldenurk

ϴ = arg(z) ja r = ∣z∣, kiire pikkus.

Trigonomeetriliste funktsioonide määratlusest ja omadustest tuleneb väga oluline De Moivre'i valem:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Selle valemi abil on mugav lahendada paljusid trigonomeetrilisi funktsioone sisaldavaid võrrandisüsteeme. Eriti siis, kui tekib astendamise ülesanne.

Moodul ja faas

Kompleksse komplekti kirjelduse lõpuleviimiseks pakume välja kaks olulist määratlust.

Teades Pythagorase teoreemi, on polaarkoordinaatide süsteemis kiire pikkuse arvutamine lihtne.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), sellist tähistust kompleksruumil nimetatakse "mooduliks" ja see iseloomustab kaugust nullist tasandi punktini.

Komplekskiire kaldenurka tegeliku joone suhtes ϴ nimetatakse tavaliselt faasiks.

Definitsioonist on näha, et tegelikku ja imaginaarset osa kirjeldatakse tsükliliste funktsioonide abil. Nimelt:

x = r × cos(ϴ);
y = r × sin(ϴ);

Ja vastupidi, faas on seotud algebraliste väärtustega järgmise valemi kaudu:

ϴ = arctan(x / y) + µ, parandus µ võetakse arvesse geomeetriliste funktsioonide perioodilisuse arvessevõtmiseks.

Euleri valem

Matemaatikud kasutavad sageli eksponentsiaalset vormi. Komplekstasandi arvud kirjutatakse avaldisena

z = r × e i × ϴ , mis tuleneb Euleri valemist.

Selline rekord on füüsikaliste suuruste praktiliseks arvutamiseks laialt levinud. Esitusvorm eksponentsiaalsete kompleksarvude kujul on eriti mugav inseneriarvutuste jaoks, kus on vaja arvutada siinusvooludega ahelaid ja on vaja teada antud perioodiga funktsioonide integraalide väärtust. Arvutused ise toimivad erinevate masinate ja mehhanismide projekteerimisel.

Operatsioonide määratlemine

Nagu juba märgitud, kehtivad kompleksarvude kohta kõik põhiliste matemaatiliste funktsioonidega töötamise algebralised seadused.

summa operatsioon

Kompleksväärtuste lisamisel liidetakse ka nende tegelikud ja mõttelised osad.

z = z 1 + z 2, kus z 1 ja z 2 on üldised kompleksarvud. Avaldise teisendamisel saame pärast sulgude avamist ja märgistuse lihtsustamist tegeliku argumendi x \u003d (x 1 + x 2), kujuteldava argumendi y \u003d (y 1 + y 2).

Graafikul näeb see välja nagu kahe vektori liitmine tuntud rööpkülikureegli järgi.

lahutamistehte

Seda peetakse liitmise erijuhuks, kui üks arv on positiivne, teine on negatiivne, st asub peegelkvartalis. Algebraline tähistus näeb välja nagu erinevus tegelike ja imaginaarsete osade vahel.

z \u003d z 1 - z 2 või, võttes arvesse argumentide väärtusi, saame sarnaselt liitmistoiminguga tegelike väärtuste jaoks \u200b\u200bx \u003d (x 1 - x 2) ja imaginaarsed y \u003d (y 1 - y 2).

Korrutamine komplekstasandil

Kasutades polünoomidega töötamise reegleid, tuletame kompleksarvude lahendamise valemi.

Järgides üldalgebralisi reegleid z=z 1 ×z 2 kirjeldame iga argumenti ja anname sarnased. Tegelikud ja kujuteldavad osad saab kirjutada järgmiselt:

x \u003d x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

See näeb ilusam välja, kui kasutame eksponentsiaalseid kompleksnumbreid.

Avaldis näeb välja selline: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Jaoskond

Käsitledes jagamistehte korrutustehte pöördväärtusena, saame lihtsa avaldise eksponentsiaalsel kujul. Z 1 väärtuse jagamine z 2-ga on nende moodulite ja faaside erinevuse jagamise tulemus. Formaalselt näeb kompleksarvude eksponentsiaalset vormi kasutades välja järgmine:

z \u003d z 1 / z 2 \u003d r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 \u003d r 1 / r 2 × e i (ϴ 1- ϴ 2) .

Algebralise tähise kujul on komplekstasandi arvude jagamise operatsioon kirjutatud veidi keerulisemalt:

Argumentide kirjutamise ja polünoomteisenduste tegemisega on lihtne saada vastavalt väärtusi x \u003d x 1 × x 2 + y 1 × y 2, y \u003d x 2 × y 1 - x 1 × y 2, kirjeldatud ruumi piires on see avaldis siiski mõttekas, kui z 2 ≠ 0.

Me ekstraheerime juure

Kõike eelnevat saab rakendada keerukamate algebraliste funktsioonide määramisel – mis tahes astmeni tõstmine ja selle pöördväärtus – juure eraldamine.

Kasutades astmeni n tõstmise üldist kontseptsiooni, saame definitsiooni:

z n = (r × e i ϴ) n .

Ühiseid omadusi kasutades saame selle ümber kirjutada järgmisel kujul:

z n = r n × e i ϴ n .

Saime lihtsa valemi kompleksarvu astmeks tõstmiseks.

Kraadi määratlusest saame väga olulise tagajärje. Imaginaarse ühiku paaritu võimsus on alati 1. Kujutise ühiku paaritu võimsus on alati -1.

Nüüd uurime pöördfunktsiooni – juure ekstraheerimist.

Märgistamise lihtsuse huvides võtame n = 2. Komplekstasandil C oleva kompleksväärtuse z ruutjuur w on tavaliselt avaldis z = ±, mis kehtib iga nullist suurema või sellega võrdse reaalse argumendi korral. Kui w ≤ 0, ei ole lahendust.

Vaatame lihtsaimat ruutvõrrandit z 2 = 1. Kasutades kompleksarvude valemeid, kirjutame ümber r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 . Kirjest on näha, et r 2 \u003d 1 ja ϴ \u003d 0, seega on meil ainus lahendus, mis on võrdne 1-ga. Kuid see on vastuolus kontseptsiooniga, et z \u003d -1, vastab ka ruudu määratlusele juur.

Mõelgem välja, mida me ei arvesta. Kui meenutada trigonomeetrilist tähistust, siis taastame väite - faasi ϴ perioodilise muutumisega kompleksarv ei muutu. Olgu p tähistab perioodi väärtust, siis saame r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , kust 2ϴ = 0 + p või ϴ = p / 2. Seega on meil e i 0 = 1 ja e i p / 2 = -1. Saime teise lahenduse, mis vastab üldarusaamale ruutjuurest.

Nii et kompleksarvu suvalise juure leidmiseks järgime protseduuri.

Kirjutame eksponentsiaalse kuju w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k on suvaline täisarv.
Soovitud arvu võib esitada ka Euleri kujul z = r × e i ϴ .
Kasutame juure eraldamise funktsiooni üldist definitsiooni r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
Moodulite ja argumentide võrdsuse üldistest omadustest kirjutame r n = ∣w∣ ja nϴ = arg (w) + p×k.
Kompleksarvu juure lõppkirjet kirjeldatakse valemiga z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n .
Kommenteeri. Väärtus ∣w∣ on definitsiooni järgi positiivne reaalarv, seega on iga astmejuur mõistlik.

Väli ja konjugatsioon

Kokkuvõtteks anname kaks olulist definitsiooni, millel on kompleksarvudega rakendusülesannete lahendamisel vähe tähtsust, kuid mis on matemaatilise teooria edasiarendamisel hädavajalikud.

Öeldakse, et liitmise ja korrutamise avaldised moodustavad välja, kui need vastavad komplekstasandi z mis tahes elemendi aksioomidele:

Kompleksterminite kohtade muutumisest komplekssumma ei muutu.
Väide on tõene – kompleksavaldises saab iga kahe arvu summa asendada nende väärtusega.
On olemas neutraalne väärtus 0, mille puhul z + 0 = 0 + z = z on tõene.
Iga z jaoks on vastand - z, mille liitmine annab nulli.
Kui keerukate tegurite kohti muudetakse, siis kompleksprodukt ei muutu.
Suvalise kahe arvu korrutamise saab asendada nende väärtusega.
On olemas neutraalne väärtus 1, millega korrutamine ei muuda kompleksarvu.
Iga z ≠ 0 korral on z -1 pöördprotsent, mille korrutamisel saadakse 1.
Kahe arvu summa korrutamine kolmandikuga võrdub mõlema arvu korrutamisega selle arvuga ja tulemuste liitmisega.
0 ≠ 1.

Arve z 1 = x + i×y ja z 2 = x - i×y nimetatakse konjugaadiks.

Teoreem. Konjugatsiooni puhul kehtib väide:

Summa konjugatsioon on võrdne konjugeeritud elementide summaga.
Korrutise konjugatsioon on võrdne konjugatsioonide korrutisega.
võrdne arvu endaga.

Üldalgebras nimetatakse selliseid omadusi välja automorfismideks.

Näited

Järgides ülaltoodud kompleksarvude reegleid ja valemeid, saate nendega hõlpsasti töötada.

Vaatleme lihtsamaid näiteid.

Ülesanne 1. Kasutades võrrandit 3y +5 x i= 15 - 7i, määrake x ja y.

Lahendus. Tuletame meelde keeruliste võrduste määratlust, siis 3y = 15, 5x = -7. Seetõttu x = -7/5, y = 5.

2. ülesanne. Arvutage väärtused 2 + i 28 ja 1 + i 135 .

Lahendus. Ilmselgelt on 28 paarisarv, tulenevalt kompleksarvu definitsioonist astmes, kus meil on i 28 = 1, mis tähendab, et avaldis on 2 + i 28 = 3. Teine väärtus, i 135 = -1 , siis 1 + i 135 = 0.

3. ülesanne. Arvutage väärtuste 2 + 5i ja 4 + 3i korrutis.

Lahendus. Kompleksarvude korrutamise üldistest omadustest saame (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Uus väärtus on -7 + 26i.

4. ülesanne. Arvutage võrrandi z 3 = -i juured.

Lahendus. Kompleksarvu leidmiseks on mitu võimalust. Vaatleme ühte võimalikest. Definitsiooni järgi ∣ - i∣ = 1, faas -i jaoks on -p / 4. Algse võrrandi saab ümber kirjutada kujul r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , kust z = e - p / 12 + pk /3 , mis tahes täisarvu k korral.

Lahenduste hulk on kujul (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3).

Miks on vaja kompleksarve

Ajalugu teab palju näiteid, kui teadlased teooria kallal töötades isegi ei mõtle oma tulemuste praktilisele rakendamisele. Matemaatika on ennekõike mõistusemäng, põhjus-tagajärg seoste range järgimine. Peaaegu kõik matemaatilised konstruktsioonid taandatakse integraal- ja diferentsiaalvõrrandite lahendamisele ning need omakorda mõne lähendusega lahendatakse polünoomide juurte leidmisega. Siin puutume esmalt kokku imaginaarsete arvude paradoksiga.

Loodusteadlased, lahendades täiesti praktilisi probleeme, kasutades erinevate võrrandite lahendusi, avastavad matemaatilisi paradokse. Nende paradokside tõlgendamine viib täiesti hämmastavate avastusteni. Üks selline näide on elektromagnetlainete kahetine olemus. Kompleksarvud mängivad nende omaduste mõistmisel otsustavat rolli.

See omakorda on leidnud praktilist rakendust optikas, raadioelektroonikas, energeetikas ja paljudes teistes tehnoloogilistes valdkondades. Teine näide, palju raskemini mõistetavad füüsikalised nähtused. Antiainet ennustati pastaka otsas. Ja alles paljude aastate pärast algavad katsed seda füüsiliselt sünteesida.

Ei maksa arvata, et sellised olukorrad eksisteerivad ainult füüsikas. Mitte vähem huvitavaid avastusi tehakse eluslooduses, makromolekulide sünteesil, tehisintellekti uurimisel. Ja kõik see on tingitud meie teadvuse avardumisest, vältides lihtsat loodusväärtuste liitmist ja lahutamist.

Tuletage meelde vajalik teave kompleksarvude kohta.

Kompleksnumber on vormi väljendus a + bi, kus a, b on reaalarvud ja i- nn kujuteldav ühik, sümbol, mille ruut on -1, s.o. i 2 = -1. Number a helistas pärisosa ja number b - kujuteldav osa kompleksarv z = a + bi. Kui a b= 0, siis selle asemel a + 0i kirjuta lihtsalt a. On näha, et reaalarvud on kompleksarvude erijuht.

Aritmeetilised toimingud kompleksarvudega on samad, mis reaalarvudega: neid saab omavahel liita, lahutada, korrutada ja jagada. Liitmine ja lahutamine toimub vastavalt reeglile ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, ja korrutamine - vastavalt reeglile ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (reklaam + eKr)i(siin on seda lihtsalt kasutatud i 2 = -1). Arv = a – bi helistas kompleksne konjugaat juurde z = a + bi. Võrdsus z · = a 2 + b 2 võimaldab teil mõista, kuidas jagada üks kompleksarv teise (nullist erineva) kompleksarvuga:

(Näiteks, .)

Kompleksarvudel on mugav ja visuaalne geomeetriline esitus: arv z = a + bi saab esitada vektorina koordinaatidega ( a; b) Descartes'i tasapinnal (või, mis on peaaegu sama, punkt - vektori lõpp nende koordinaatidega). Sel juhul kujutatakse kahe kompleksarvu summat vastavate vektorite summana (mille saab leida rööpkülikureegli abil). Pythagorase teoreemi järgi on vektori pikkus koordinaatidega ( a; b) on võrdne . Seda väärtust nimetatakse moodul kompleksarv z = a + bi ja seda tähistatakse | z|. Nurka, mille see vektor moodustab x-telje positiivse suunaga (loendatakse vastupäeva), nimetatakse nurka argument kompleksarv z ja tähistatakse Arg z. Argument ei ole üheselt määratletud, vaid ainult kuni 2 kordse liitmiseni π radiaanid (või 360°, kui lugeda kraadides) - on ju selge, et sellise nurga ümber origopunkti keeramine ei muuda vektorit. Aga kui pikkuse vektor r moodustab nurga φ x-telje positiivse suunaga, siis on selle koordinaadid võrdsed ( r cos φ ; r patt φ ). Seetõttu selgub trigonomeetriline tähistus kompleksarv: z = |z| (cos (Arg z) + i sin (arg z)). Sellisel kujul on sageli mugav kirjutada keerukaid numbreid, kuna see lihtsustab arvutusi oluliselt. Kompleksarvude korrutamine trigonomeetrilisel kujul näeb välja väga lihtne: züks · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos (Arg z 1+arg z 2) + i sin (arg z 1+arg z 2)) (kahe kompleksarvu korrutamisel korrutatakse nende moodulid ja liidetakse argumendid). Siit järgi De Moivre'i valemid: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i patt ( n(Arg z))). Nende valemite abil on lihtne õppida, kuidas lahutada kompleksarvudest mis tahes astme juuri. n-s juur z-st on selline kompleksarv w, mida w n = z. Selge see , Ja kus k võib võtta mis tahes väärtuse hulgast (0, 1, ..., n- üks). See tähendab, et alati on täpselt olemas n juured n aste kompleksarvust (tasapinnal asuvad nad korrapärase tippudes n-gon).

TeemaKompleksarvud ja polünoomid

Loeng 22

§üks. Kompleksarvud: põhimõisted

Sümbol sisestage suhe
ja seda nimetatakse imaginaarseks ühikuks. Teisisõnu,
.

Definitsioon. Vormi väljendamine
, kus
, nimetatakse kompleksarvuks ja arvuks nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja tähistada
, number - kujuteldav osa ja tähistada
.

Sellest definitsioonist järeldub, et reaalarvud on need kompleksarvud, mille imaginaarosa on võrdne nulliga.

Kompleksarve on mugav esitada tasapinna punktidena, millel on antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, nimelt: kompleksarv
mängupunkt
ja vastupidi. teljel
kuvatakse reaalarvud ja seda nimetatakse reaalteljeks. Vormi kompleksarvud

nimetatakse puhtalt väljamõeldud. Need on näidatud teljel punktidena.
, mida nimetatakse kujuteldavaks teljeks. Seda tasapinda, mis on ette nähtud kompleksarvude esitamiseks, nimetatakse komplekstasandiks. Kompleksarv, mis ei ole reaalne, s.t. selline, et
, mida mõnikord nimetatakse imaginaarseks.

Kahte kompleksarvu nimetatakse võrdseteks siis ja ainult siis, kui neil on sama reaal- ja mõtteline osa.

Kompleksarvude liitmine, lahutamine ja korrutamine toimub polünoomalgebra tavaliste reeglite järgi, võttes arvesse asjaolu, et

. Jagamistehte saab defineerida kui korrutustehte pöördtehet ja saab tõestada tulemuse kordumatust (kui jagaja erineb nullist). Praktikas kasutatakse aga teistsugust lähenemist.

Keerulised numbrid
ja
nimetatakse konjugaadiks, komplekstasandil kujutatakse neid reaaltelje suhtes sümmeetriliste punktidega. On ilmne, et:

1)

;

2)
;

3)
.

Nüüd jagatud peal saab teha järgmiselt:

Seda pole raske näidata

kus sümbol tähistab mis tahes aritmeetilisi tehteid.

Lase
mingi kujuteldav arv ja on tõeline muutuja. Kahe binoomarvu korrutis

on reaalkoefitsientidega ruuttrinominaal.

Nüüd, kui meie käsutuses on kompleksarvud, saame lahendada mis tahes ruutvõrrandi
.Kui siis

ja võrrandil on kaks keerulist konjugaatjuurt

Kui a
, siis on võrrandil kaks erinevat reaaljuurt. Kui a
, siis on võrrandil kaks identset juurt.

§2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Nagu eespool mainitud, kompleksarv
mugav tähistada punktiga
. Sellise arvu saab tuvastada ka selle punkti raadiusvektoriga
. Selle tõlgenduse korral toimub kompleksarvude liitmine ja lahutamine vastavalt vektorite liitmise ja lahutamise reeglitele. Kompleksarvude korrutamiseks ja jagamiseks on mugavam teine vorm.

Tutvustame komplekstasandil
polaarkoordinaatide süsteem. Siis kuhu
,
ja kompleksarv
võib kirjutada järgmiselt:

Seda tähistusvormi nimetatakse trigonomeetriliseks (erinevalt algebralisest vormist
). Sellel kujul number nimetatakse mooduliks ja - kompleksarvu argument . Need on märgistatud:
,

. Mooduli jaoks on meil valem

Arvu argument on määratletud mitmetähenduslikult, kuid kuni termini ulatuses
,
. Argumendi väärtus, mis rahuldab ebavõrdsust
, nimetatakse peamiseks ja tähistatakse
. Siis
. Argumendi põhiväärtuse jaoks saate järgmised avaldised:

arvu argument
loetakse määratlemata.

Kahe kompleksarvu võrdsuse tingimus trigonomeetrilisel kujul on järgmine: arvude moodulid on võrdsed ja argumendid erinevad kordse
.

Leidke kahe kompleksarvu korrutis trigonomeetrilisel kujul:

Seega korrutatakse arvude korrutamisel nende moodulid ja argumendid liidetakse.

Samamoodi saab kindlaks teha, et jagamisel jagatakse arvude moodulid ja lahutatakse argumendid.

Mõistes eksponentsimist kui mitmekordset korrutamist, saame kompleksarvu astmeks tõstmise valemi:

Tuletame valemi
- juur kompleksarvu astmes (mitte segi ajada reaalarvu aritmeetilise juurega!). Juureeraldustehte on astendamise tehte pöördtehte. Sellepärast
on kompleksarv selline, et
.

Lase
tuntud ja
tuleb leida. Siis

Kahe kompleksarvu võrdsusest trigonomeetrilisel kujul järeldub, et

,
,
.

Siit
(see on aritmeetiline juur!),

,
.

Seda on lihtne kontrollida saab ainult vastu võtta sisuliselt erinevad väärtused, näiteks millal
. Lõpuks on meil valem:

,
.

Nii et juur aste kompleksarvust on erinevad väärtused. Komplekstasandil asuvad need väärtused tippudes õigesti -gon, mis on kantud raadiusega ringi
tsentreeritud lähtepunktile. "Esimesel" juurel on argument
, erinevad kahe “naaberjuure” argumendid
.

Näide. Võtame kujuteldava ühiku kuupjuure:
,
,
. Seejärel: