Leidke võrgust konjugeeritud kompleksarv. Kompleksarvud ja algebralised tehted nendega

Vaatleme ruutvõrrandit.

Määratleme selle juured.

Pole olemas reaalarvu, mille ruut on -1. Aga kui valem defineerib operaatori i kujuteldava ühikuna, siis saab selle võrrandi lahendi kirjutada kujule . Kus ja - kompleksarvud, milles -1 on reaalosa, 2 või teisel juhul -2 on imaginaarne osa. Imaginaarne osa on ka reaalne (reaal)arv. Mõtteline osa korrutatuna imaginaarse ühikuga tähendab juba kujuteldav arv.

Üldiselt on kompleksarvul vorm

z = x + iy ,

kus x, y on reaalarvud, on imaginaarne ühik. Paljudes rakendusteadustes, näiteks elektrotehnikas, elektroonikas, signaaliteoorias, tähistatakse imaginaarset ühikut j. Reaalarvud x = Re(z) ja y=im(z) helistas tegelikud ja kujuteldavad osad numbrid z. Väljendit nimetatakse algebraline vorm kompleksarvu tähistus.

Iga reaalarv on vormis oleva kompleksarvu erijuht . Imaginaararv on ka kompleksarvu erijuht. .

Kompleksarvude hulga C definitsioon

See avaldis kõlab järgmiselt: set FROM, mis koosneb sellistest elementidest, et x ja y kuuluvad reaalarvude hulka R ja on kujuteldav ühik. Pange tähele, et jne.

Kaks kompleksarvu ja on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende tegelik ja mõtteline osa on võrdsed, s.t. ja .

Keerulisi numbreid ja funktsioone kasutatakse laialdaselt teaduses ja tehnoloogias, eelkõige mehaanikas, vahelduvvooluahelate analüüsis ja arvutamises, analoogelektroonikas, signaaliteoorias ja -töötluses, automaatjuhtimise teoorias ja teistes rakendusteadustes.

1. Kompleksarvude aritmeetika

Kahe kompleksarvu liitmine seisneb nende reaal- ja imaginaarsete osade liitmises, s.o.

Vastavalt sellele kahe kompleksarvu erinevus

Kompleksnumber helistas keeruline konjugaat number z=x +i.y.

Komplekskonjugaatarvud z ja z * erinevad imaginaarse osa märkide poolest. See on ilmne

.

Mis tahes võrdsus keeruliste avaldiste vahel jääb kehtima, kui selles võrdsuses on kõikjal i asendatud - i, st. minge konjugeeritud arvude võrdusse. Numbrid i ja – i on algebraliselt eristamatud, sest .

Kahe kompleksarvu korrutise (korrutise) saab arvutada järgmiselt:

Kahe kompleksarvu jagamine:

Näide:

1. Keeruline tasapind

Kompleksarvu saab graafiliselt esitada ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Seadistage tasapinnal ristkülikukujuline koordinaatsüsteem (x, y).

teljel Ox me korraldame pärisosad x, seda nimetatakse tegelik (päris) telg, teljel Oy– mõttelised osad y kompleksarvud. Ta kannab nime kujuteldav telg. Pealegi vastab iga kompleksarv tasandi teatud punktile ja sellist tasapinda nimetatakse keeruline lennuk. punkt AGA komplekstasand vastab vektorile OA.

Number x helistas abstsiss kompleksarv, arv y – ordinaat.

Komplekssete konjugaatarvude paar kuvatakse punktidena, mis paiknevad sümmeetriliselt reaaltelje ümber.

Kui lennukis seatud polaarkoordinaatide süsteem, siis iga kompleksarv z määratud polaarkoordinaatidega. Kus moodul numbrid on punkti polaarraadius ja nurk - selle polaarnurk või kompleksarvu argument z.

Kompleksarvu moodul alati mittenegatiivne. Kompleksarvu argument ei ole üheselt määratletud. Argumendi põhiväärtus peab tingimusele vastama . Komplekstasandi iga punkt vastab ka argumendi koguväärtusele. Argumente, mis erinevad 2π kordselt, loetakse võrdseteks. Arvu argument null ei ole määratletud.

Argumendi põhiväärtuse määravad järgmised avaldised:

See on ilmne

Kus
, .

Kompleksarvude esitus z nagu

helistas trigonomeetriline vorm kompleksarv.

Näide.

1. Kompleksarvude eksponentsiaalne vorm

Lagunemine sisse Maclaurin seeria tõeliste argumentide funktsioonide jaoks tundub, et:

Keerulise argumendi eksponentsiaalfunktsiooni jaoks z lagunemine on sarnane

.

Kujutise argumendi eksponentsiaalfunktsiooni Maclaurini rea laiendust saab esitada kui

Saadud identiteeti nimetatakse Euleri valem.

Negatiivse argumendi puhul tundub

Neid avaldisi kombineerides saame siinuse ja koosinuse jaoks defineerida järgmised avaldised

.

Kasutades Euleri valemit, kompleksarvude esituse trigonomeetrilisest vormist

saadaval demonstratiivne kompleksarvu (eksponentsiaalne, polaarne) vorm, s.o. selle esitus kujul

,

kus - ristkülikukujuliste koordinaatidega punkti polaarkoordinaadid ( x,y).

Kompleksarvu konjugaat kirjutatakse eksponentsiaalsel kujul järgmiselt.

Eksponentvormi jaoks on lihtne määratleda järgmised kompleksarvude korrutamise ja jagamise valemid

See tähendab, et eksponentsiaalsel kujul on kompleksarvude korrutis ja jagamine lihtsam kui algebralisel kujul. Korrutamisel korrutatakse tegurite moodulid ja argumendid liidetakse. See reegel kehtib paljude tegurite kohta. Eelkõige kompleksarvu korrutamisel z peal i vektor z pöörleb vastupäeva 90 võrra

Jagamisel jagatakse lugeja moodul nimetaja mooduliga ja nimetaja argument lahutatakse lugeja argumendist.

Kompleksarvude eksponentsiaalset vormi kasutades on võimalik saada avaldised tuntud trigonomeetriliste identiteetide jaoks. Näiteks identiteedist

kasutades Euleri valemit, saame kirjutada

Võrdsustades selles avaldises reaalse ja imaginaarse osa, saame avaldised nurkade summa koosinuse ja siinuse jaoks

1. Kompleksarvude astmed, juured ja logaritmid

Kompleksarvu tõstmine loomuliku astmeni n toodetud vastavalt valemile

Näide. Arvuta .

Kujutage ette numbrit trigonomeetrilisel kujul

’

Astendamisvalemit rakendades saame

Väärtuse lisamine avaldisesse r= 1, saame nn De Moivre'i valem, millega saab määrata mitme nurga siinuste ja koosinuste avaldisi.

Juur n kompleksarvu astmes z Sellel on n väljendiga määratud erinevad väärtused

Näide. Otsime üles.

Selleks väljendame kompleksarvu () trigonomeetrilisel kujul

.

Kompleksarvu juure arvutamise valemi järgi saame

Kompleksarvu logaritm z on number w, milleks . Kompleksarvu naturaallogaritmil on lõpmatu arv väärtusi ja see arvutatakse valemiga

Koosneb reaalsest (koosinus) ja imaginaarsest (siinus) osast. Sellist pinget saab esitada pikkuse vektorina U m, algfaas (nurk) , pöörlemine nurkkiirusega ω .

Veelgi enam, kui liita keerukad funktsioonid, siis liidetakse nende tegelikud ja mõttelised osad. Kui kompleksfunktsiooni korrutada konstandi või reaalfunktsiooniga, siis selle reaal- ja imaginaarne osa korrutatakse sama teguriga. Sellise keeruka funktsiooni diferentseerimine/integreerimine taandub tegelike ja kujuteldavate osade eristamisele/integreerimisele.

Näiteks kompleksse stressiavaldise diferentseerimine

on see korrutada iω on funktsiooni f(z) ja reaalosa on funktsiooni kujuteldav osa. Näited: .

Tähendus z on esindatud punktiga komplekstasandil z ja vastava väärtusega w- punkt komplekstasandil w. Kui kuvatakse w = f(z) tasapinnalised jooned z lähevad lennuki joontesse w, ühe tasapinna kujundeid teise tasandi kujunditeks, kuid joonte või kujundite kuju võib oluliselt muutuda.