Serva tipu prisma. Prisma külgpindala

Definitsioon. Prisma- see on hulktahukas, mille kõik tipud asuvad kahel paralleelsel tasapinnal ja samal kahel tasapinnal on prisma kaks tahku, mis on võrdsed hulknurgad vastavalt paralleelsete külgedega ja kõik servad, mis ei asu nendes tasapinnad on paralleelsed.

Kutsutakse kahte võrdset nägu prisma alused(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgmised näod(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kõik külgmised näod moodustuvad prisma külgpind .

Kõik prisma külgpinnad on rööpkülikukujulised .

Servad, mis ei asu alustel, nimetatakse prisma külgservadeks ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonaal nimetatakse lõiku, mille otsteks on prisma kaks tippu, mis ei asu selle ühel küljel (AD 1).

Prisma aluseid ühendava ja mõlema põhjaga korraga risti oleva lõigu pikkus on nn. prisma kõrgus .

Määramine:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kõigepealt märgitakse möödasõidu järjekorras ühe aluse tipud ja seejärel samas järjekorras teise tipud; iga külgserva otsad on tähistatud samade tähtedega, ainult tipud asuvad üks alus on tähistatud tähtedega ilma indeksita ja teine ​​- indeksiga)

Prisma nimetus on seotud nurkade arvuga joonisel, mis asub selle aluses, näiteks joonisel 1 on alus viisnurk, mistõttu prisma nn. viisnurkne prisma. Aga sellest ajast sellisel prismal on 7 tahku, siis see seitsmeeeder(2 tahku on prisma alused, 5 tahku on rööpkülikukujulised, on selle külgpinnad)

Sirgete prismade seas paistab silma konkreetne tüüp: tavalised prismad.

Sirget prismat nimetatakse õige, kui selle alused on korrapärased hulknurgad.

Parallelepiped

risttahukas- parempoolne rööptahukas, mille alus on ristkülik.

Omadused ja teoreemid:

,

kus d on ruudu diagonaal;
a - ruudu külg.

Prisma idee annab:

• mitmesugused arhitektuurilised struktuurid;
• Laste mänguasjad;
• pakkimiskastid;
• disainesemed jne.

Prisma kogu- ja külgpindala

S täis \u003d S pool + 2S põhi,

kus S täis- kogupindala, S pool- külgpindala, S peamine- baaspind

Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega.

S pool\u003d P peamine * h,

kus S pool on sirge prisma külgpinna pindala,

P main - sirge prisma aluse ümbermõõt,

h on sirge prisma kõrgus, mis on võrdne külgservaga.

Prisma maht

Prisma ruumala on võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

Üldinfo sirge prisma kohta

Prisma külgpinda (täpsemalt külgpinda) nimetatakse summa külgmised näopiirkonnad. Prisma kogupind on võrdne külgpinna ja aluste pindalade summaga.

Teoreem 19.1. Sirge prisma külgpind on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega, st külgserva pikkusega.

Tõestus. Sirge prisma külgpinnad on ristkülikud. Nende ristkülikute alused on prisma põhjas asuva hulknurga küljed ja kõrgused on võrdsed külgmiste servade pikkusega. Sellest järeldub, et prisma külgpind on võrdne

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kus a 1 ja n on aluse ribide pikkused, p on prisma aluse ümbermõõt ja I on külgribide pikkus. Teoreem on tõestatud.

Praktiline ülesanne

Ülesanne (22) . Läbiviidud kaldprismas osa, risti külgmiste servadega ja lõikuvad kõik külgmised servad. Leia prisma külgpind, kui lõigu ümbermõõt on p ja külgservad on l.

Lahendus. Joonistatud lõike tasapind jagab prisma kaheks osaks (joonis 411). Alistame ühe neist paralleeltõlkele, mis ühendab prisma alused. Sel juhul saame sirge prisma, milles algse prisma osa on aluseks ja külgmised servad on võrdsed l-ga. Sellel prismal on sama külgpind, mis originaalil. Seega on algprisma külgpind võrdne pl.

Teema üldistus

Ja nüüd proovime koos teiega prisma teema kokku võtta ja meenutada, millised omadused prismal on.

Prisma omadused

Esiteks, prisma puhul on kõik selle alused võrdsed hulknurgad;
Teiseks on prisma kõik külgpinnad rööpkülikukujulised;
Kolmandaks, sellisel mitmetahulisel joonisel nagu prisma on kõik külgservad võrdsed;

Samuti tuleb meeles pidada, et hulktahukad, näiteks prismad, võivad olla sirged ja kaldu.

Mis on sirge prisma?

Kui prisma külgserv asetseb risti selle aluse tasapinnaga, siis nimetatakse sellist prismat sirgeks.

Ei ole üleliigne meenutada, et sirge prisma külgpinnad on ristkülikud.

Mis on kaldus prisma?

Aga kui prisma külgserv ei asu selle aluse tasapinnaga risti, siis võib julgelt öelda, et tegemist on kaldprismaga.

Mis on õige prisma?

Kui sirge prisma põhjas asub korrapärane hulknurk, siis on selline prisma korrapärane.

Tuletame nüüd meelde tavalise prisma omadusi.

Tavaprisma omadused

Esiteks on korrapärased hulknurgad alati tavalise prisma alused;
Teiseks, kui arvestada tavalise prisma külgpindu, siis on need alati võrdsed ristkülikud;
Kolmandaks, kui võrrelda külgribide suurusi, siis õiges prismas on need alati võrdsed.
Neljandaks on tavaline prisma alati sirge;
Viiendaks, kui tavalises prismas on külgpinnad ruutude kujul, siis sellist kujundit nimetatakse tavaliselt poolregulaarseks hulknurgaks.

Prisma sektsioon

Vaatame nüüd prisma ristlõiget:

Kodutöö

Ja nüüd proovime õpitud teemat ülesannete lahendamisega kinnistada.

Joonistame kaldu kolmnurkse prisma, mille servade vaheline kaugus on 3 cm, 4 cm ja 5 cm ning selle prisma külgpind on 60 cm2. Nende parameetritega leidke antud prisma külgserv.

Kas tead, et geomeetrilised kujundid ümbritsevad meid pidevalt mitte ainult geomeetriatundides, vaid ka igapäevaelus leidub esemeid, mis meenutavad üht või teist geomeetrilist kujundit.

Igas kodus, koolis või tööl on arvuti, mille süsteemiüksus on sirge prisma kujul.

Kui võtate kätte lihtsa pliiatsi, näete, et pliiatsi põhiosa on prisma.

Mööda linna peatänavat jalutades näeme, et meie jalge all lebab kuusnurkse prisma kujuga plaat.

A. V. Pogorelov, Geomeetria 7.-11. klassile, Õpik haridusasutustele

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Samuti võime kasutada isikuandmeid sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnal, võistlusel või sarnasel stiimulil, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas administratiivsed, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Tahke geomeetria kursuse kooli õppekavas alustatakse kolmemõõtmeliste kujundite uurimist tavaliselt lihtsa geomeetrilise kehaga - prisma hulktahukast. Selle aluste rolli täidavad 2 võrdset hulknurka, mis asuvad paralleelsel tasapinnal. Erijuhtum on tavaline nelinurkne prisma. Selle alused on 2 identset korrapärast nelinurka, mille küljed on risti ja millel on rööpküliku kuju (või ristkülikukujuline, kui prisma ei ole kaldu).

Kuidas prisma välja näeb

Tavaline nelinurkne prisma on kuusnurk, mille põhjas on 2 ruutu ja külgpinnad on kujutatud ristkülikutega. Selle geomeetrilise kujundi teine ​​nimi on sirge rööptahukas.

Joonis, mis kujutab nelinurkset prismat, on näidatud allpool.

Pildil ka näha kõige olulisemad elemendid, mis moodustavad geomeetrilise keha. Neile on tavaks viidata:

Mõnikord leiate geomeetria probleemidest lõigu mõiste. Määratlus kõlab järgmiselt: lõik on kõik mahulise keha punktid, mis kuuluvad lõiketasandisse. Lõige on risti (ristib joonise servi 90 kraadise nurga all). Ristkülikukujulise prisma puhul arvestatakse ka diagonaallõiget (maksimaalne ehitatavate sektsioonide arv on 2), mis läbib 2 serva ja aluse diagonaale.

Kui lõige on joonistatud nii, et lõiketasand ei ole paralleelne ei aluste ega külgpindadega, on tulemuseks kärbitud prisma.

Redutseeritud prismaelementide leidmiseks kasutatakse erinevaid suhteid ja valemeid. Mõned neist on teada planimeetria käigus (näiteks prisma aluse pindala leidmiseks piisab, kui meenutada ruudu pindala valemit).

Pindala ja maht

Prisma ruumala määramiseks valemiga peate teadma selle aluse pindala ja kõrgust:

V = Sprim h

Kuna tavalise tetraeedrilise prisma alus on küljega ruut a, Valemi saate kirjutada üksikasjalikumal kujul:

V = a² h

Kui me räägime kuubist - tavalisest võrdse pikkuse, laiuse ja kõrgusega prismast, arvutatakse maht järgmiselt:

Prisma külgpinna leidmise mõistmiseks peate ette kujutama selle pühkimist.

Jooniselt on näha, et külgpind koosneb 4 võrdsest ristkülikust. Selle pindala arvutatakse aluse perimeetri ja joonise kõrguse korrutisena:

Sside = Pos h

Kuna ruudu ümbermõõt on P = 4a valem on järgmisel kujul:

Sside = 4a h

Kuubiku jaoks:

Sside = 4a²

Prisma kogupindala arvutamiseks lisage külgpinnale 2 aluspinda:

Täis = Sside + 2Sbase

Nelinurksele regulaarprismale rakendatuna on valem järgmine:

Täis = 4a h + 2a²

Kuubi pindala jaoks:

Täis = 6a²

Teades ruumala või pindala, saate arvutada geomeetrilise keha üksikud elemendid.

Prisma elementide leidmine

Sageli esineb probleeme, mille puhul on antud maht või teada külgpinna väärtus, kus on vaja määrata aluse külje pikkus või kõrgus. Sellistel juhtudel saab tuletada valemeid:

• põhja külje pikkus: a = Sside / 4h = √(V / h);
• kõrgus või külgribi pikkus: h = Sside / 4a = V / a²;
• baaspindala: Sprim = V / h;
• külgne näopiirkond: Külg gr = külg / 4.

Diagonaallõike pindala määramiseks peate teadma diagonaali pikkust ja joonise kõrgust. Ruudu jaoks d = a√2. Seetõttu:

Sdiag = ah√2

Prisma diagonaali arvutamiseks kasutatakse valemit:

dprize = √(2a² + h²)

Et mõista, kuidas ülaltoodud suhteid rakendada, võite harjutada ja lahendada mõned lihtsad ülesanded.

Näited probleemidest koos lahendustega

Siin on mõned matemaatika riigilõpueksamitel ilmuvad ülesanded.

1. harjutus.

Liiv valatakse kasti, millel on tavalise nelinurkse prisma kuju. Selle nivoo kõrgus on 10 cm. Mis on liiva tase, kui viia see sama kujuga, kuid 2 korda pikema põhjapikkusega anumasse?

Seda tuleks argumenteerida järgmiselt. Liiva kogus esimeses ja teises konteineris ei muutunud, st selle maht neis on sama. Aluse pikkuse saate määratleda kui a. Sel juhul on esimese kasti aine maht:

V₁ = ha² = 10a²

Teise kasti puhul on aluse pikkus 2a, kuid liivataseme kõrgus pole teada:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Kuna V1 = V2, võib väljendeid võrdsustada:

10a² = 4ha²

Pärast võrrandi mõlema poole vähendamist a² võrra saame:

Selle tulemusena saab uus liivatase h = 10/4 = 2,5 cm.

2. ülesanne.

ABCDA₁B₁C₁D₁ on tavaline prisma. On teada, et BD = AB₁ = 6√2. Leidke keha kogupindala.

Et oleks lihtsam mõista, millised elemendid on teada, võite joonistada joonise.

Kuna me räägime tavalisest prismast, siis võib järeldada, et alus on ruut diagonaaliga 6√2. Külgpinna diagonaalil on sama väärtus, seetõttu on ka külgpinnal aluspinnaga võrdne ruudu kuju. Selgub, et kõik kolm mõõdet – pikkus, laius ja kõrgus – on võrdsed. Võime järeldada, et ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuubik.

Mis tahes serva pikkus määratakse teadaoleva diagonaali kaudu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kogupindala leitakse kuubi valemiga:

Täis = 6a² = 6 6² = 216

3. ülesanne.

Ruum on renoveerimisel. On teada, et selle põrand on ruudu kujuga, mille pindala on 9 m². Ruumi kõrgus on 2,5 m Mis on madalaim hind ruumi tapetseerimiseks, kui 1 m² maksab 50 rubla?

Kuna põrand ja lagi on ruudukujulised, see tähendab korrapärased nelinurgad ja selle seinad on horisontaalsete pindadega risti, võime järeldada, et tegemist on korrapärase prismaga. On vaja kindlaks määrata selle külgpinna pindala.

Ruumi pikkus on a = √9 = 3 m.

Väljak kaetakse tapeediga Külg = 4 3 2,5 = 30 m².

Selle ruumi tapeedi maksumus on madalaim 50 30 = 1500 rubla.

Seega piisab ülesannete lahendamiseks ristkülikukujulisel prismal, kui oskad arvutada ruudu ja ristküliku pindala ja ümbermõõtu, samuti ruumala ja pindala leidmise valemeid.

Kuidas leida kuubi pindala

Videokursus "Saada A" sisaldab kõiki matemaatika eksami edukaks sooritamiseks vajalikke teemasid 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ülesanded 1-13 KASUTADA matemaatikas. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Eksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamise alus.