Формулата за обема на наклонена триъгълна призма. Урок „Обем на наклонена призма
"Призма на геометрично тяло" - Правоъгълен паралелепипед. Правоъгълник. Диагонални секции. Питагорова теорема. Количеството площи. Върхове. основата на призмата. Как се нарича призмата, показана на фигурата. Математически бой. Решение. Призма. Какво е права призма. Получени знания. Диагонал на правилна триъгълна призма.
"Фигурна призма" - Определение за призма. Наклонена и права призма. Нека първо докажем теоремата за триъгълна призма. Видове призми. Обемът на наклонена призма. Призма. Площта на страничната повърхност на призмата. Общата повърхност на призмата. Нека сега докажем теоремата за произволна призма. правилна призма.
"Обем на призмата" - Площ S на основата на оригиналната призма. Решението на проблема. Цели на урока. Обемът на оригиналната призма е равен на произведението S · h. Обемът на права призма. Призмата може да бъде разделена на прави триъгълни призми с височина h. Концепцията за призма. Начертайте надморската височина на триъгълник ABC. Въпроси. Изследване на теоремата за обема на призмата. Основни стъпки при доказване на теоремата за пряката призма?
„Концепцията за призма“ - Площта на общата повърхност на призмата. директна призма. Площта на страничната повърхност на призмата. Многоъгълник. Призмени сечения. правилна призма. Призми, срещани в живота. триъгълни призми. Доказателство. Обемът на наклонена призма. Определение за призма. Наклонена и права призма. Видове призми. Призма.
„Свойства на призмата“ – Има ли наклонени призми, в които може да се впише сфера. свойства на призмата. Условието, формулирано за права призма. Цилиндър. Призма. Напречно сечение на цилиндър. Формула от три косинуса. База. триъгълна призма. Синусова теорема за тристенен ъгъл. Ръб на триъгълна призма. Около коя от разновидностите на призмите винаги можете да опишете сфера.
„Концепцията за призмен полиедър“ - В секцията се формира успоредник. Последица. свойства на призмата. Терминът "призма" е от гръцки произход и буквално означава "отрязан" (тяло). Площта на призмата и площта на страничната повърхност на призмата. Такова сечение се нарича диагонално сечение на призмата. Дадено: Страната на основата на правилна триъгълна призма е 8 cm, страничният ръб е 6 cm.
Определение на призмата:
А1А2…AnВ1В2Вn– призма
Многоъгълници А1А2…An и В1В2…Вn – призмени основи
Успоредници A1A2B2B1, A1A2B2B1, ... AnA1B1Bn - странични лица
Сегменти А1В1, А2В2…AnBn – странични ръбове на призмата
Видове призми
Шестоъгълна триъгълна четириъгълна призма призма призма
Наклонена и права призма
Ако страничните ръбове на призмата са перпендикулярни на основите, тогава призмата се нарича прав , в противен случай - косо .
Правилна призма
Призмата се нарича правилно ако е права и основите й са правилни многоъгълници.
Обща повърхност на призмата
Площ на страничната повърхност на призмата
Теорема
Площта на страничната повърхност на права призма е равна на половината от произведението на периметъра на основата и височината на призмата.
Обем на наклонена призма
Теорема
Обемът на наклонена призма е равен на произведението на площта на основата и височината.
Доказателство
Доказателство
Нека първо докажем теоремата за триъгълна призма, а след това и за произволна призма.
1. Да разгледаме триъгълна призма с обем V, основна площ S и височина h. Маркирайте точка O върху една от основите на призмата и насочете оста Ox перпендикулярно на основите. Помислете за разрез на призма с равнина, перпендикулярна на оста Ox и следователно успоредна на равнината на основата. Означаваме с буквата x абсцисата на пресечната точка на тази равнина с оста Ox, а през S (x) - площта на получената секция.
Нека докажем, че площта S (x) е равна на площта S на основата на призмата. За да направите това, имайте предвид, че триъгълниците ABC (основата на призмата) и A1B1C1 (сечението на призмата от разглежданата равнина) са равни. Наистина, четириъгълникът AA1BB1 е успоредник (отсечките AA1 и BB1 са равни и успоредни), така че A1B1=AB. По същия начин се доказва, че B1C1=BC и A1C1=AC. И така, триъгълниците A1B1C1 и ABC са равни по три страни. Следователно S(x)=S. Прилагайки сега основната формула за изчисляване на обемите на телата при a=0 и b=h, получаваме
2. ч ч ч, С П*з.Теоремата е доказана.
2. Нека сега докажем теоремата за произволна призма с височина чи основна площ S. Такава призма може да бъде разделена на триъгълни призми с обща височина ч. Изразяваме обема на всяка триъгълна призма според формулата, която доказахме, и събираме тези обеми. Поставяне на общия множител в скоби ч,получаваме в скоби сумата от площите на основите на триъгълни призми, т.е. Сосновата на оригиналната призма. По този начин обемът на оригиналната призма е П*з.Теоремата е доказана.
Обемът е характеристика на всяка фигура, която има ненулеви размери и в трите измерения на пространството. В тази статия, от гледна точка на стереометрията (геометрията на пространствените фигури), ще разгледаме призма и ще покажем как да намерим обемите на призми от различни видове.
Стереометрията има точен отговор на този въпрос. Под призма в него се разбира фигура, образувана от две еднакви многоъгълни лица и няколко успоредника. Фигурата по-долу показва четири различни призми.
Всеки от тях може да бъде получен по следния начин: трябва да вземете многоъгълник (триъгълник, четириъгълник и т.н.) и сегмент с определена дължина. След това всеки връх на многоъгълника трябва да бъде прехвърлен с помощта на успоредни сегменти в друга равнина. В новата равнина, която ще бъде успоредна на оригиналната, ще се получи нов многоъгълник, подобен на първоначално избрания.
Призмите могат да бъдат от различни видове. Така че, те могат да бъдат прави, наклонени и правилни. Ако страничният ръб на призмата (сегментът, свързващ върховете на основите) е перпендикулярен на основите на фигурата, тогава последната е права линия. Съответно, ако това условие не е изпълнено, тогава говорим сиза наклонена призма. Правилна фигура е права призма с равноъгълна и равностранна основа.
Обем на правилните призми
Да започнем с най-простия случай. Даваме формулата за обем на правилна призма с n-ъгълна основа. Формулата за обем V за всяка фигура от разглеждания клас има следната форма:
Тоест, за да се определи обемът, е достатъчно да се изчисли площта на всяка от основите S o и да се умножи по височината h на фигурата.
При правилната призма дължината на страната на нейната основа означаваме с буквата a, а височината, която е равна на дължината на страничния ръб, с буквата h. Ако основата на n-ъгълника е правилна, тогава най-лесният начин да изчислите неговата площ е да използвате следната универсална формула:
S n \u003d n / 4 * a2 * ctg (pi / n).
Замествайки в равенството стойността на броя на страните n и дължината на едната страна a, можете да изчислите площта на основата на n-въглища. Имайте предвид, че котангенсната функция тук се изчислява за ъгъла pi/n, който се изразява в радиани.
Като вземем предвид равенството, написано за S n, получаваме крайната формула за обема на правилна призма:
Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
За всеки конкретен случай могат да се запишат съответните формули за V, но всички те следват недвусмислено от записания общ израз. Например за правилна четириъгълна призма, която в общия случай е правоъгълен паралелепипед, получаваме:
V 4 \u003d 4/4 * a2 * h * ctg (pi / 4) \u003d a2 * h.
Ако вземем h=a в този израз, тогава ще получим формула за обема на куб.
Обем на прави призми
Веднага отбелязваме, че за прави фигури няма обща формула за изчисляване на обема, която беше дадена по-горе за обикновени призми. При намиране на разглежданото количество трябва да се използва оригиналният израз:
Тук h е дължината на страничния ръб, както в предишния случай. Що се отнася до основната площ S o, тя може да приема различни стойности. Задачата за изчисляване на права призма на обема се свежда до намиране на площта на нейната основа.
Изчисляването на стойността на S o трябва да се извърши въз основа на характеристиките на самата основа. Например, ако е триъгълник, площта може да се изчисли, както следва:
Тук h a е апотема на триъгълника, тоест неговата височина, спусната до основата a.
Ако основата е четириъгълник, тогава тя може да бъде трапец, успоредник, правоъгълник или напълно произволен тип. За всички тези случаи трябва да използвате подходящата планиметрична формула, за да определите площта. Например за трапец тази формула изглежда така:
S o4 \u003d 1/2 * (a 1 + a 2) * h a .
Където h a е височината на трапеца, a 1 и a 2 са дължините на успоредните му страни.
За да се определи площта на полигоните от по-висок порядък, трябва да се разделят на прости фигури (триъгълници, четириъгълници) и да се изчисли сумата от площите на последните.
Обем на наклонени призми
Това е най-трудният случай за изчисляване на обема на призма. Прилага се и общата формула за такива цифри:
Въпреки това, към сложността на намирането на площта на основата, представляваща произволен тип многоъгълник, се добавя проблемът с определянето на височината на фигурата. В наклонена призма тя винаги е по-малка от дължината на страничния ръб.
Най-лесният начин да намерите тази височина е, ако знаете някакъв ъгъл на фигурата (плосък или двустенен). Ако е даден такъв ъгъл, тогава трябва да го използвате, за да построите правоъгълен триъгълник вътре в призмата, който ще съдържа височината h като една от страните и, използвайки тригонометрични функции и Питагоровата теорема, да намерите стойността h.
Проблем с геометричен обем
Дадена е правилна призма с триъгълна основа с височина 14 см и дължина на страната 5 см. Какъв е обемът на триъгълна призма?
Тъй като говорим за правилната фигура, имаме право да използваме добре познатата формула. Ние имаме:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Триъгълна призма е доста симетрична фигура, под формата на която често се изпълняват различни архитектурни структури. Тази стъклена призма се използва в оптиката.
Концепцията за призма. Обемни формули за призми от различни видове: правилни, прави и наклонени. Решаване на проблеми - всичко за пътуването до сайта
Обем на наклонена призма
Всички призми са разделени на прав и косо .
Права призма, основа
който служи на правото
многоъгълник се нарича
правилно призма.
Свойства на правилната призма:
1. Основите на правилната призма са правилни многоъгълници. 2. Страничните стени на правилната призма са равни правоъгълници. 3. Страничните ръбове на правилната призма са равни .
Разрез на ПРИЗМА.
Ортогонално сечение на призма е сечение, образувано от равнина, перпендикулярна на страничния ръб.
Страничната повърхност на призмата е равна на произведението на периметъра на ортогоналното сечение и дължината на страничното ребро.
S b \u003d P ortho.sec C
1. Разстояния между ребрата на наклонените
триъгълна призма са: 2cm, 3cm и 4cm
Странична повърхност на призмата - 45см 2 .Намерете страничния му ръб.
Решение:
В перпендикулярно сечение на призма триъгълник, чийто периметър е 2+3+4=9
Така че страничният ръб е 45:9=5(cm)
Намерете неизвестни елементи
правилен триъгълник
призми
по елементи, посочени в таблицата.
ОТГОВОРИ.
Благодаря ти за урока.
Домашна работа.
