Намерете спрегнатото комплексно число онлайн. Комплексни числа и алгебрични операции върху тях

Да разгледаме квадратно уравнение.

Нека да определим корените му.

Няма реално число, чийто квадрат е -1. Но ако формулата дефинира оператора азкато имагинерна единица, тогава решението на това уравнение може да бъде записано във формата . При което и - комплексни числа, при които -1 е реалната част, 2 или във втория случай -2 е имагинерната част. Имагинерната част също е реално (реално) число. Имагинерната част, умножена по имагинерната единица, означава вече имагинерно число.

Като цяло комплексното число има формата

z = х + iy ,

където x, yса реални числа, е имагинерна единица. В редица приложни науки, например в електротехниката, електрониката, теорията на сигнала, имагинерната единица се обозначава с й. Реални числа x = Re(z)и y=Аз съм(з)Наречен реални и въображаеми частичисла z.Изразът се нарича алгебрична формазапис на комплексно число.

Всяко реално число е частен случай на комплексно число във формата . Имагинерното число също е частен случай на комплексно число. .

Определение на множеството от комплексни числа C

Този израз се чете по следния начин: набор ОТ, състоящ се от такива елементи, че хи гпринадлежат на множеството от реални числа Ри е въображаемата единица. Имайте предвид, че т.н.

Две комплексни числа и са равни тогава и само тогава, когато техните реални и имагинерни части са равни, т.е. и .

Комплексните числа и функции се използват широко в науката и технологиите, по-специално в механиката, анализа и изчисляването на AC вериги, аналоговата електроника, теорията и обработката на сигналите, теорията на автоматичното управление и други приложни науки.

Аритметика на комплексни числа

Събирането на две комплексни числа се състои в събиране на техните реални и имагинерни части, т.е.

Съответно разликата на две комплексни числа

Комплексно число Наречен комплекс конюгатномер z=x+i.y.

Комплексно спрегнатите числа z и z * се различават по знаците на имагинерната част. Очевидно е, че

Всяко равенство между сложни изрази остава в сила, ако в това равенство навсякъде аззаменен от - аз, т.е. отидете до равенството на спрегнатите числа. Числа ази – азса алгебрично неразличими, защото .

Произведението (умножението) на две комплексни числа може да се изчисли по следния начин:

Деление на две комплексни числа:

Пример:

Сложна равнина

Комплексното число може да бъде представено графично в правоъгълна координатна система. Нека зададем правоъгълна координатна система в равнината (x, y).

на ос волние ще организираме реалните части х, нарича се реална (реална) ос, по оста Ой– въображаеми части гкомплексни числа. Тя носи името въображаема ос. Освен това всяко комплексно число съответства на определена точка от равнината и такава равнина се нарича сложна равнина. точка НОкомплексната равнина ще съответства на вектора ОА.

Брой хНаречен абсцисатакомплексно число, число г – ордината.

Двойка комплексно спрегнати числа се показва като точки, разположени симетрично спрямо реалната ос.

Ако в самолета, който поставихме полярна координатна система, след това всяко комплексно число zопределени от полярни координати. При което модулчисла е полярният радиус на точката и ъгълът - неговия полярен ъгъл или аргумент на комплексно число z.

Модул на комплексно число винаги неотрицателен. Аргументът на комплексно число не е еднозначно дефиниран. Основната стойност на аргумента трябва да отговаря на условието . Всяка точка от комплексната равнина също съответства на общата стойност на аргумента. Аргументи, които се различават с кратно на 2π, се считат за равни. Числовият аргумент нула не е дефиниран.

Основната стойност на аргумента се определя от изразите:

Очевидно е, че

При което
, .

Представяне на комплексни числа zкато

Наречен тригонометрична формакомплексно число.

Пример.

Експоненциалната форма на комплексните числа

Разграждане в Серия Maclaurinза реални аргументни функции изглежда като:

За експоненциалната функция на сложен аргумент zразграждането е подобно

Разширението на реда на Maclaurin за експоненциалната функция на въображаемия аргумент може да бъде представено като

Получената идентичност се нарича Формула на Ойлер.

За отрицателен аргумент изглежда

Като комбинираме тези изрази, можем да дефинираме следните изрази за синус и косинус

Използвайки формулата на Ойлер, от тригонометричната форма на представяне на комплексни числа

на разположение демонстративен(експоненциална, полярна) форма на комплексно число, т.е. представянето му във формата

където - полярни координати на точка с правоъгълни координати ( х,г).

Конюгатът на комплексно число се записва в експоненциална форма, както следва.

За експоненциалната форма е лесно да се дефинират следните формули за умножение и деление на комплексни числа

Тоест в експоненциална форма произведението и делението на комплексни числа е по-лесно, отколкото в алгебрична форма. При умножението модулите на факторите се умножават, а аргументите се събират. Това правило се прилага за произволен брой фактори. По-специално, когато умножавате комплексно число zна азвектор zзавърта обратно на часовниковата стрелка на 90

При деление модулът на числителя се разделя на модула на знаменателя и аргументът на знаменателя се изважда от аргумента на числителя.

Използвайки експоненциалната форма на комплексни числа, могат да се получат изрази за добре известни тригонометрични идентичности. Например от самоличността

използвайки формулата на Ойлер, можем да напишем

Приравнявайки реалните и въображаемите части в този израз, получаваме изрази за косинуса и синуса на сумата от ъглите

Степени, корени и логаритми на комплексни числа

Повдигане на комплексно число на естествена степен нпроизведени по формулата

Пример. Изчислете .

Представете си число в тригонометрична форма

’

Прилагайки формулата за степенуване, получаваме

Поставяне на стойността в израза r= 1, получаваме т.нар Формулата на Де Моавър, с който можете да определите изразите за синусите и косинусите на множество ъгли.

корен нта степен на комплексно число zТо има нразлични стойности, определени от израза

Пример. Да намерим.

За да направим това, изразяваме комплексното число () в тригонометрична форма

Според формулата за изчисляване на корена на комплексно число получаваме

Логаритъм на комплексно число zе число w, за което . Натуралният логаритъм на комплексно число има безкраен брой стойности и се изчислява по формулата

Състои се от реални (косинус) и имагинерни (синус) части. Такова напрежение може да бъде представено като вектор на дължината U m, начална фаза (ъгъл) , въртяща се с ъглова скорост ω .

Освен това, ако се добавят сложни функции, тогава се добавят техните реални и имагинерни части. Ако сложна функция се умножи по константа или реална функция, тогава нейните реални и имагинерни части се умножават по един и същ коефициент. Диференцирането/интегрирането на такава сложна функция се свежда до диференциране/интегриране на реалните и въображаемите части.

Например, диференциацията на сложния стрес израз

е да го умножите по iω е реалната част на функцията f(z), и е имагинерната част от функцията. Примери: .

Значение zе представена от точка в комплексната равнина z и съответната стойност w- точка в комплексната равнина w. Когато се покаже w = f(z)равнинни линии zпреминават в линиите на равнината w, фигури от една равнина във фигури от друга, но формите на линиите или фигурите могат да се променят значително.