Ръб връх лицева призма. Площ на страничната повърхност на призмата

Определение. Призма- това е многостен, всички върхове на който са разположени в две успоредни равнини, а в същите две равнини има две лица на призмата, които са равни многоъгълници със съответно успоредни страни и всички ръбове, които не лежат в тях равнините са успоредни.

Две равни лица се наричат призмени основи(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всички останали лица на призмата се наричат странични лица(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Всички странични лица се образуват странична повърхност на призмата .

Всички странични стени на призмата са успоредници .

Ръбовете, които не лежат в основите, се наричат ​​странични ръбове на призмата ( АА 1, Б.Б. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Диагонал на призмата се нарича сегмент, чиито краища са два върха на призмата, които не лежат на едно от лицата й (AD 1).

Дължината на отсечката, свързваща основите на призмата и перпендикулярна едновременно на двете основи, се нарича височина на призмата .

Обозначаване:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Първо, в реда на заобикалянето, са посочени върховете на едната основа, а след това, в същия ред, върховете на другата; краищата на всеки страничен ръб са обозначени със същите букви, само върховете, разположени в едната основа се означава с букви без индекс, а в другата - с индекс)

Името на призмата е свързано с броя на ъглите във фигурата, лежаща в основата й, например на фигура 1 основата е петоъгълник, така че призмата се нарича петоъгълна призма. Но тъй като такава призма има 7 лица, тогава тя седмостен(2 лица са основите на призмата, 5 лица са успоредници, са нейните странични лица)

Сред правите призми се откроява определен тип: правилни призми.

Права призма се нарича правилно,ако основите му са правилни многоъгълници.

паралелепипед

кубоид- прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник.

Свойства и теореми:

,

където d е диагоналът на квадрата;
а - страна на квадрата.

Идеята за призма е дадена от:

• различни архитектурни структури;
• Детски играчки;
• опаковъчни кутии;
• дизайнерски артикули и др.

Обща и странична повърхност на призмата

S пълен \u003d S страна + 2S основен,

където S пълен- обща площ, S страна- площ на страничната повърхност, S основен- основна площ

Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.

S страна\u003d P основен * h,

където S странае площта на страничната повърхност на права призма,

P main - периметърът на основата на права призма,

h е височината на правата призма, равна на страничния ръб.

Обем на призмата

Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината.

Общи сведения за права призма

Страничната повърхност на призмата (по-точно площта на страничната повърхност) се нарича сумастранични лицеви зони. Общата повърхност на призмата е равна на сумата от страничната повърхност и площите на основите.

Теорема 19.1. Страничната повърхност на права призма е равна на произведението от периметъра на основата и височината на призмата, т.е. дължината на страничния ръб.

Доказателство. Страничните стени на права призма са правоъгълници. Основите на тези правоъгълници са страните на многоъгълника, лежащ в основата на призмата, а височините са равни на дължината на страничните ръбове. От това следва, че страничната повърхност на призмата е равна на

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

където a 1 и n са дължините на ребрата на основата, p е периметърът на основата на призмата, а I е дължината на страничните ребра. Теоремата е доказана.

Практическа задача

Задача (22) . В наклонена призма раздел, перпендикулярна на страничните ръбове и пресичаща всички странични ръбове. Намерете страничната повърхност на призмата, ако периметърът на сечението е p, а страничните ръбове са l.

Решение. Равнината на начертаното сечение разделя призмата на две части (фиг. 411). Нека подложим един от тях на паралелен превод, който комбинира основите на призмата. В този случай получаваме права призма, в която сечението на оригиналната призма служи като основа, а страничните ръбове са равни на l. Тази призма има същата странична повърхност като оригиналната. Така страничната повърхност на оригиналната призма е равна на pl.

Обобщение на темата

А сега нека се опитаме с вас да обобщим темата за призмата и да си спомним какви свойства има призмата.

Свойства на призмата

Първо, за една призма всички нейни основи са равни многоъгълници;
Второ, за една призма, всички нейни странични лица са успоредници;
Трето, в такава многостранна фигура като призма, всички странични ръбове са равни;

Също така трябва да се помни, че полиедри като призми могат да бъдат прави и наклонени.

Какво е права призма?

Ако страничният ръб на призмата е разположен перпендикулярно на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича права линия.

Няма да е излишно да си припомним, че страничните стени на права призма са правоъгълници.

Какво е наклонена призма?

Но ако страничният ръб на призмата не е разположен перпендикулярно на равнината на нейната основа, тогава можем спокойно да кажем, че това е наклонена призма.

Коя е правилната призма?

Ако правилен многоъгълник лежи в основата на права призма, тогава такава призма е правилна.

Сега нека си припомним свойствата, които има правилната призма.

Свойства на правилната призма

Първо, правилните многоъгълници винаги служат като основи на правилна призма;
Второ, ако разгледаме страничните стени на правилна призма, те винаги са равни правоъгълници;
Трето, ако сравним размерите на страничните ребра, тогава в правилната призма те винаги са равни.
Четвърто, правилната призма винаги е права;
Пето, ако в правилна призма страничните лица са под формата на квадрати, тогава такава фигура обикновено се нарича полуправилен многоъгълник.

Призмен участък

Сега нека разгледаме напречното сечение на призма:

Домашна работа

А сега нека се опитаме да затвърдим изучената тема чрез решаване на задачи.

Нека начертаем наклонена триъгълна призма, в която разстоянието между ръбовете й ще бъде: 3 cm, 4 cm и 5 cm, а страничната повърхност на тази призма ще бъде равна на 60 cm2. С тези параметри намерете страничния ръб на дадената призма.

Знаете ли, че геометричните фигури постоянно ни заобикалят не само в уроците по геометрия, но и в ежедневието има предмети, които приличат на една или друга геометрична фигура.

Всеки дом, училище или работа има компютър, чийто системен блок е под формата на права призма.

Ако вземете обикновен молив, ще видите, че основната част на молива е призма.

Разхождайки се по главната улица на града, виждаме, че под краката ни лежи плочка, която има формата на шестоъгълна призма.

А. В. Погорелов, Геометрия за 7-11 клас, Учебник за учебни заведения

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

В училищната програма за курса на твърда геометрия изучаването на триизмерни фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - призмен полиедър. Ролята на неговите основи се изпълняват от 2 равни многоъгълника, лежащи в успоредни равнини. Специален случай е правилната четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи формата на успоредници (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата

Правилната четириъгълна призма е шестоъгълник, в основата на който има 2 квадрата, а страничните стени са представени от правоъгълници. Друго име за тази геометрична фигура е прав паралелепипед.

Фигурата, която изобразява четириъгълна призма, е показана по-долу.

Виждате и на снимката най-важните елементи, които изграждат едно геометрично тяло. Те обикновено се наричат:

Понякога в задачи по геометрия можете да намерите понятието сечение. Дефиницията ще звучи така: разрезът е всички точки на обемно тяло, които принадлежат на режещата равнина. Разрезът е перпендикулярен (пресича краищата на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се разглежда и диагонално сечение (максималния брой сечения, които могат да бъдат построени е 2), минаващо през 2 ребра и диагоналите на основата.

Ако сечението е начертано по такъв начин, че режещата равнина не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.

Използват се различни съотношения и формули за намиране на редуцирани призматични елементи. Някои от тях са известни от курса на планиметрията (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да си припомните формулата за площта на квадрат).

Площ и обем

За да определите обема на призма с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:

V = Sprim h

Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:

V = a² h

Ако говорим за куб - правилна призма с равни дължина, ширина и височина, обемът се изчислява по следния начин:

За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейния размах.

От чертежа се вижда, че страничната повърхност е изградена от 4 еднакви правоъгълника. Площта му се изчислява като произведение от периметъра на основата и височината на фигурата:

Sside \u003d Снимка h

Тъй като периметърът на квадрат е Р = 4аформулата приема формата:

Sside = 4a h

За куб:

Sстрана = 4a²

За да изчислите общата повърхност на призма, добавете 2 основни площи към страничната площ:

Пълна = Sстрана + 2Sоснова

Приложена към четириъгълна правилна призма, формулата има формата:

Пълен = 4a h + 2a²

За повърхността на куб:

Пълно = 6a²

Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.

Намиране на елементи на призмата

Често има задачи, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формули:

• дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
• височина или дължина на странично ребро: h = Sстрана / 4a = V / a²;
• основна площ: Sprim = V / h;
• странична лицева зона: отстрани gr = Sстрана / 4.

За да определите колко площ има диагоналното сечение, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.Следователно:

Sdiag = ah√2

За изчисляване на диагонала на призмата се използва формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете как да приложите горните съотношения, можете да практикувате и да решите няколко прости задачи.

Примери за задачи с решения

Ето част от задачите, които се явяват на държавните зрелостни изпити по математика.

Упражнение 1.

Пясъкът се изсипва в кутия, която има формата на правилна четириъгълна призма. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с дължина на основата 2 пъти по-голяма?

Трябва да се аргументира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да определите дължината на основата като а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:

V₁ = ha² = 10a²

За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Тъй като V₁ = V₂, изразите могат да бъдат приравнени:

10a² = 4ha²

След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:

В резултат на това новото ниво на пясък ще бъде h = 10 / 4 = 2,5см.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.

За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.

Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че основата е квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същата стойност, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известния диагонал:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Общата повърхност се намира по формулата за куба:

Пълно = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Стаята е в ремонт. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 м² струва 50 рубли?

Тъй като подът и таванът са квадрати, тоест правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, можем да заключим, че това е правилна призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.

Дължината на стаята е a = √9 = 3м.

Площадът ще бъде облепен с тапети Sстрана = 4 3 2,5 = 30 m².

Най-ниската цена на тапетите за тази стая ще бъде 50 30 = 1500рубли.

По този начин, за да решите задачи върху правоъгълна призма, е достатъчно да можете да изчислите площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обема и повърхността.

Как да намерите площта на куб

Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешното полагане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профила USE по математика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.