Wastani wote wa pembetatu hukatiza kwa uhakika. Wastani. Mwongozo wa Visual (2019)

Wastani na urefu wa pembetatu ni moja ya mada ya kuvutia na ya kuvutia katika jiometri. Neno "Median" linamaanisha mstari au sehemu inayounganisha kipeo cha pembetatu kwa upande wake wa kinyume. Kwa maneno mengine, wastani ni mstari unaotoka katikati ya upande mmoja wa pembetatu hadi kipeo kinyume cha pembetatu sawa. Kwa kuwa pembetatu ina wima tatu tu na pande tatu, inamaanisha kunaweza kuwa na wapatanishi watatu tu.

Sifa za wastani wa pembetatu

1. Wastani wote wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja na hutenganishwa na hatua hii kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa vertex. Kwa hivyo, ikiwa utachora wapatanishi wote watatu kwenye pembetatu, basi sehemu yao ya makutano itawagawanya katika sehemu mbili. Sehemu ambayo iko karibu na vertex itakuwa 2/3 ya mstari mzima, na sehemu ambayo iko karibu na upande wa pembetatu itakuwa 1/3 ya mstari. Wastani huingilia kati kwa wakati mmoja.
2. Wastani watatu waliochorwa katika pembetatu moja hugawanya pembetatu hii katika pembetatu ndogo 6, ambazo eneo lake litakuwa sawa.
3. Upande mkubwa wa pembetatu ambayo wastani hutoka, ndogo ya wastani. Kinyume chake, upande mfupi zaidi una wastani mrefu zaidi.
4. Wastani katika pembetatu ya kulia ina idadi ya sifa zake. Kwa mfano, ikiwa tunaelezea mduara kuzunguka pembetatu kama hiyo ambayo itapita kwenye wima zote, basi wastani wa pembe ya kulia inayotolewa kwa hypotenuse itakuwa radius ya mduara uliozingirwa (ambayo ni, urefu wake utakuwa umbali kutoka. hatua yoyote ya duara katikati yake).

Mlinganyo wa urefu wa wastani wa pembetatu

Fomula ya wastani inatokana na nadharia ya Stewart na inasema kwamba wastani ni mzizi wa mraba wa uwiano wa miraba ya jumla ya pande za pembetatu zinazounda kipeo, ukiondoa mraba wa upande ambao wastani umechorwa hadi nne. . Kwa maneno mengine, ili kujua urefu wa wastani, unahitaji kuweka mraba urefu wa kila upande wa pembetatu, na kisha uandike kama sehemu, nambari ambayo itakuwa jumla ya mraba wa pande ambazo. tengeneza pembe ambayo wastani hutoka, ukiondoa mraba wa upande wa tatu. Denominator hapa ni namba 4. Kisha tunahitaji kutoa mizizi ya mraba kutoka sehemu hii, na kisha tutapata urefu wa wastani.

Sehemu ya makutano ya viunga vya pembetatu

Kama tulivyoandika hapo juu, wapatanishi wote wa pembetatu moja huingiliana kwa wakati mmoja. Hatua hii inaitwa katikati ya pembetatu. Inagawanya kila wastani katika sehemu mbili, urefu ambao ni sawia na 2:1. Katika kesi hii, katikati ya pembetatu pia ni katikati ya mduara unaozunguka. Na takwimu zingine za kijiometri zina vituo vyao.

Kuratibu za hatua ya makutano ya viunga vya pembetatu

Ili kupata kuratibu za makutano ya wapatanishi wa pembetatu moja, tunatumia mali ya centroid, kulingana na ambayo inagawanya kila wastani katika sehemu 2: 1. Tunaashiria wima kama A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

na uhesabu kuratibu za katikati ya pembetatu kwa kutumia formula: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3.

Eneo la pembetatu kupitia wastani

Wastani wote wa pembetatu moja hugawanya pembetatu hii katika pembetatu 6 sawa, na katikati ya pembetatu hugawanya kila wastani katika uwiano wa 2: 1. Kwa hivyo, ikiwa vigezo vya kila wastani vinajulikana, unaweza kuhesabu eneo la pembetatu kupitia eneo la moja ya pembetatu ndogo, na kisha kuongeza kiashiria hiki kwa mara 6.

Ushahidi. Hebu tuthibitishe kwamba wapatanishi AA 1 na CC 1 kwenye hatua ya makutano M imegawanywa katika uwiano wa 2: 1. Nadharia. Wastani wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja na kugawanya katika hatua hii kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa wima. Acha D iwe sehemu ya kati ya sehemu BA 1. Kisha C 1 D ni mstari wa kati wa pembetatu ABA 1. Kwa hiyo, mistari AA 1 na C 1 D ni sambamba. Kwa kuwa CA 1:A 1 D = 2:1, basi kwa nadharia ya sehemu sawia tunapata: CM:MC 1 = 2:1. Vile vile, imethibitishwa kuwa wapatanishi BB 1 na CC 1 kwenye sehemu ya makutano wamegawanywa katika uwiano wa 2:1. Hii ina maana kwamba wapatanishi wote huvuka kwa hatua moja na wamegawanywa katika hatua hii kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa wima. Wastani wa pembetatu

BC, basi CM ya kati iko karibu na upande wa AC, i.e. angle ACM ni chini ya angle BCM. Zoezi 1 Ushahidi. Wacha tuendelee CM ya wastani na tuweke kando sehemu ya MD sawa na CM. Pembetatu AMD" title="Thibitisha kwamba ikiwa ukosefu wa usawa AC > BC unashikilia pande za pembetatu ABC, basi CM ya wastani iko karibu na upande wa AC, yaani, pembe ACM ni chini ya angle ya BCM. Uthibitisho wa Zoezi la 1. Wacha tuendelee CM ya wastani na tupange sehemu ya MD sawa na CM Triangles AMD." class="link_thumb"> 2 !} Thibitisha kwamba ikiwa usawa wa AC > BC unashikilia kwa pande za pembetatu ABC, basi CM ya wastani iko karibu na upande wa AC, i.e. angle ACM ni chini ya angle BCM. Zoezi 1 Ushahidi. Wacha tuendelee CM ya wastani na tuweke kando sehemu ya MD sawa na CM. Pembetatu AMD na BMC ni sawa katika pande mbili na pembe kati yao. Kwa hiyo AD = BC. Kwa kuwa pembe ndogo iko kinyume na upande mdogo wa pembetatu, ACD ya pembe ni chini ya ADC ya pembe. Hii ina maana kwamba angle ACM ni chini ya angle BCM. BC, basi CM ya kati iko karibu na upande wa AC, i.e. angle ACM ni chini ya angle BCM. Zoezi 1 Ushahidi. Wacha tuendelee CM ya wastani na tuweke kando sehemu ya MD sawa na CM. Triangles AMD"> BC, kisha CM ya wastani iko karibu na upande wa AC, yaani angle ACM ni chini ya angle BCM. Zoezi la 1 Uthibitisho. Hebu tuendeleze CM ya wastani na kupanga sehemu MD sawa na CM. Pembetatu AMD na BMC ni sawa katika pande mbili na pembe kati yao Kwa hiyo, AD = BC Kwa kuwa pembe ndogo iko kinyume na upande mdogo wa pembetatu, basi angle ya ACD ni chini ya ADC ya angle. "> BC, kisha CM ya wastani iko karibu na upande wa AC, yaani. angle ACM ni chini ya angle BCM. Zoezi 1 Ushahidi. Wacha tuendelee CM ya wastani na tuweke kando sehemu ya MD sawa na CM. Pembetatu AMD" title="Thibitisha kwamba ikiwa ukosefu wa usawa AC > BC unashikilia pande za pembetatu ABC, basi CM ya wastani iko karibu na upande wa AC, yaani, pembe ACM ni chini ya angle ya BCM. Uthibitisho wa Zoezi la 1. Wacha tuendelee CM ya wastani na tupange sehemu ya MD sawa na CM Triangles AMD."> title="Thibitisha kwamba ikiwa usawa wa AC > BC unashikilia kwa pande za pembetatu ABC, basi CM ya wastani iko karibu na upande wa AC, i.e. angle ACM ni chini ya angle BCM. Zoezi 1 Ushahidi. Wacha tuendelee CM ya wastani na tuweke kando sehemu ya MD sawa na CM. Pembetatu za AMD"> !}

Thibitisha kuwa CM ya wastani ya pembetatu ABC ni chini ya nusu ya jumla ya pande AC na BC. Zoezi 2 Ushahidi. Wacha tuendelee CM ya wastani na tuweke kando sehemu ya MD sawa na CM. Pembetatu AMD na BMC ni sawa katika pande mbili na pembe kati yao. Kwa hiyo AD = BC. Kwa mujibu wa usawa wa pembetatu, CD ya upande ni chini ya jumla ya pande AC na AD. Hii ina maana kwamba CM ya wastani ya pembetatu ABC ni chini ya nusu ya jumla ya pande AC na BC.

Uthibitisho unafuata kutokana na ukweli kwamba katikati ya duara iliyozungukwa kuhusu pembetatu ya kulia ni katikati ya hypotenuse. Thibitisha kwamba wastani wa pembetatu ya kulia inayotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia ni sawa na nusu ya hypotenuse. Zoezi 4

Acha AB = c, AC = b, BC = a katika pembetatu ABC. Thibitisha kuwa kwa wastani m c inayotolewa kutoka kwa kipeo C, fomula ina Uthibitisho. Kwa nadharia ya cosine inayotumika kwa pembetatu ACD na BCD, tuna: Kuongeza usawa huu, tunapata usawa ambao fomula inayohitajika inafuata moja kwa moja. Zoezi 5

Eneo la pembetatu ABC ni 1. Tafuta eneo la pembetatu ambalo pande zake ni sawa na wastani wa pembetatu ABC. Zoezi la 10 Suluhisho. Juu ya kuendelea kwa sehemu ya MC 1, tunapanga sehemu C 1 D sawa nayo Pande za pembetatu ya ADM ni sawa na theluthi mbili ya wapatanishi, na eneo lake ni sawa na theluthi moja. Kwa hivyo, eneo la pembetatu ambalo pande zake ni sawa na wapatanishi wa pembetatu ABC ni robo tatu. Jibu. 0.75.

Nadharia. Sehemu mbili za pembe ya pembetatu hugawanya upande wa pili katika sehemu sawia na pande zilizo karibu. Bisectors ya pembetatu Uthibitisho. Acha CD iwe sehemu mbili ya pembetatu ABC. Hebu tuthibitishe kwamba AD: DB = AC: BC. Wacha tuchore mstari wa moja kwa moja BE sambamba na CD. Katika pembetatu BEC, angle B ni sawa na angle E. Kwa hiyo, BC = EC. Kwa nadharia ya sehemu sawia, AD: DB = AC: CE = AC: BC.

Acha AC = b, BC = a katika pembetatu ABC. Thibitisha kwamba kwa kipenyo l c kilichochorwa kutoka kwenye kipeo C, fomula inashikilia ambapo c, c ni sehemu ambazo kipenyo kinagawanya upande AB Uthibitisho. Kwa nadharia ya kosine inayotumika kwa pembetatu ACD na BCD, tuna: Zidisha usawa wa kwanza kwa c, wa pili kwa c na uongeze usawa unaopatikana. Kufanya mabadiliko yanayofanana, tunapata usawa. Zoezi 3

Thibitisha kuwa sehemu-mbili ya pembe ya pembetatu inagawanya eneo lake katika sehemu sawia na pande zilizo karibu. Ushahidi. Pembetatu AC 1 C na BC 1 C zina urefu wa kawaida unaochorwa kutoka kwenye kipeo C, na pande AC 1 na BC 1 zinahusiana kama pande AC na BC. Kwa hivyo, maeneo ya pembetatu AC 1 C na BC 1 C yanahusiana kama pande AC na BC. Zoezi 8

Acha AB = c, AC = b, BC = a katika pembetatu ABC. Thibitisha kuwa sehemu ya pili CC 1 imegawanywa na sehemu ya makutano ya vipeo viwili katika uwiano (a+b):c, kuhesabu kutoka kwenye kipeo. Zoezi 10 Ushahidi. Hebu tuchore mstari C 1 C sambamba na AA 1. Kisha A 1 C: CB = AC 1: C 1 B = b: a. Acha A 1 C = bx, CB = shoka. Tangu CA 1: A 1 B = b: c, kisha CA 1: A 1 C = b(a+b)x/c. Kwa hiyo, CO: OC 1 = (a + b)/c.

Urefu wa Theorem ya pembetatu. Katika pembetatu ya kulia, perpendicular imeshuka kutoka pembe ya kulia hadi hypotenuse ni maana ya kijiometri ya makadirio ya miguu kwenye hypotenuse. (Maana ya kijiometri ya nambari mbili chanya a na b ni nambari chanya c ambayo mraba wake ni sawa na ab, yaani c =). Ushahidi. Pembetatu ADC na CDB ni sawa. Kwa hiyo, ama CD 2 = AD BD, i.e. CD ni maana ya kijiometri ya AD na BD.

Zoezi la 5 Katika pembetatu ABC, miinuko AA 1 na BB 1 imechorwa Thibitisha kwamba pembe A 1 AC na B 1 BC ni sawa. Ushahidi. Mduara wenye kipenyo cha AB utapitia pointi A 1 na B 1. Pembe zilizoandikwa A 1 AC na B 1 BC hutegemea arc moja AB 1. Kwa hiyo, ni sawa. Ili kuthibitisha usawa wa pembe, mtu anaweza kutumia ukweli kwamba pande za pembe hizi ni perpendicular.

Zoezi la 6 Katika pembetatu ABC, miinuko AA 1 na BB 1 imechorwa Thibitisha kwamba pembe AA 1 B 1 na ABB 1 ni sawa. Ushahidi. Mduara wenye kipenyo cha AB utapitia pointi A 1 na B 1. Pembe zilizoandikwa AA 1 B 1 na ABB 1 hupumzika kwenye arc moja AB 1. Kwa hiyo, ni sawa.

Zoezi la 7 Katika pembetatu ABC, miinuko AA 1 na BB 1 imechorwa Thibitisha kuwa pembe za BAC na B 1 A 1 C ni sawa. Ushahidi. Angle BAC ni sawa na 90 o minus angle ABB 1. Pembe B 1 A 1 C ni sawa na 90 o minus angle AA 1 B 1. Kwa kuwa pembe AA 1 B 1 na ABB 1 ni sawa (angalia tatizo la awali), basi pembe BAC na B 1 A 1 C.

Zoezi la 8 Katika pembetatu ABC, miinuko AA 1 na BB 1 imechorwa Thibitisha kuwa pembetatu ABC ni sawa na pembetatu A 1 B 1 C. Uthibitisho. Pembe BAC na B 1 A 1 C ni sawa (angalia tatizo la awali). Angle C ya pembetatu ABC na A 1 B 1 C ni ya kawaida. Kwa hiyo, pembetatu hizi ni sawa katika pembe mbili.

Nadharia ya Zoezi la 11. Kwa radius r ya duara iliyoandikwa katika pembetatu, fomula inashikilia: ambapo h a, h b, h c ni urefu wa pembetatu. Ushahidi. Acha pande za pembetatu ABC ziwe a, b, c. Kwa eneo S la pembetatu, usawa ufuatao unashikilia: Ambayo fomula inayohitajika inafuata.

Zoezi la 12 Thibitisha kwamba pointi zenye ulinganifu hadi kufikia hatua ya makutano ya miinuko ya pembetatu inayohusiana na pande zake ziko kwenye mduara wa pembetatu hii. Ushahidi. Kwa uhakika C ulinganifu kwa uhakika H wa makutano ya urefu wa pembetatu ABC, tuna Kwa hiyo, uhakika C ni wa mduara uliozingirwa. Vile vile, pointi mbili zilizobaki za ulinganifu ni za mduara wa mzunguko.

Mduara 1 Nadharia 1. Pembe iliyo na kipeo ndani ya duara inapimwa na nusu-jumla ya arcs ambayo pembe hii na pembe ya wima nayo hutegemea. Ushahidi. Fikiria ACB ya pembe yenye kipeo C ndani ya duara na pointi A na B kwenye duara. Acha A 1, B 1 iwe sehemu za makutano na mduara wa pande za pembe wima kwake. Hebu tuchore chord BB 1. Angle ACB ni pembe ya nje ya pembetatu B 1 CB. Kwa hiyo, ACB = AB 1 B + B 1 BA 1. Pembe za upande wa kulia wa usawa hupimwa na nusu za arcs zinazofanana, ambazo zinakamilisha uthibitisho.

Mduara wa 2 Nadharia 2. Pembe kati ya tangent kwa mduara na chord inayotolewa kupitia hatua ya kuwasiliana inapimwa na nusu ya arc ya mduara iliyo ndani ya pembe hii. Ushahidi. Acha pembe ACB iundwe na tangent AC na chord BC ya duara. Ikiwa angle hii ni pembe ya kulia, basi BC ni kipenyo cha mduara na, kwa hiyo, angle ya ACB inapimwa na nusu ya arc ya semicircle iliyo ndani ya pembe hii. Ikiwa angle ya ACB ni ya papo hapo, kisha chora CD ya kipenyo. Tuna ACB = ACD - BCD. Angle ACD inapimwa kwa nusu ya CBD ya duara. Angle BCD inapimwa na nusu ya arc BD ya mduara. Kwa hiyo, tofauti yao (angle ACB) inapimwa na nusu ya arc CB ya mduara ulio ndani ya pembe hii. Fikiria kesi ya angle obtuse mwenyewe.

Mduara wa 3 Theorem 3. Pembe yenye vertex nje ya mduara, pande zake ambazo huingiliana na mduara, hupimwa na tofauti ya nusu ya arcs ya mduara iliyo ndani ya pembe hii. Ushahidi. Fikiria ACB ya pembe yenye kipeo C nje ya duara na pointi A na B kwenye duara. Hebu A 1, B 1 iwe pointi za makutano na mduara wa pande AC na BC. Wacha tuchore gumzo AB 1. Pembe AB 1 B ni pembe ya nje ya pembetatu AB 1 C. Kwa hivyo, ACB = AB 1 B - B 1 AA 1. Pembe za upande wa kulia wa usawa hupimwa kwa nusu ya sambamba. arcs, ambayo inakamilisha uthibitisho.

Mduara wa 4 Theorem 4. Bidhaa ya makundi ya chord yoyote inayotolewa kupitia hatua ya ndani ya mduara ni sawa na bidhaa ya makundi ya kipenyo kilichotolewa kupitia hatua sawa. Ushahidi. Hebu tupewe mduara ulio na kituo katika sehemu ya O, chord AB na kipenyo cha CD hupishana kwa uhakika E. Hebu tuthibitishe kwamba Pembetatu ACE na DBE zinafanana. Kwa hiyo, ina maana

Zoezi la 21 Tafuta eneo la pointi ambapo sehemu fulani AB inaonekana kwa pembe fulani, yaani, pointi C ambayo angle ACB ni sawa na angle fulani. Jibu: Miduara miwili ya kipenyo sawa kulingana na sehemu ya AB, bila alama A na B.

Zoezi la 23 Jibu: a) HMTs zilizolala nje ya duara zenye kipenyo cha AB na zisizo za mstari wa moja kwa moja AB; Kwa pointi zilizotolewa A na B, tafuta eneo la pointi C ambayo angle ya ACB ni: a) papo hapo; b) mjinga. b) HMT zikiwa ndani ya duara zenye kipenyo cha AB na zisizo za sehemu ya AB.

Zoezi la 26 Acha AC na BD ziwe chodi za mduara unaokatiza kwenye ncha E. Thibitisha kuwa pembetatu ABE na CDE zinafanana. Uthibitisho: Pembe A ya pembetatu ABE ni sawa na pembe D ya pembetatu CDE, kama vile pembe zilizoandikwa chini ya upinde sawa wa duara. Vile vile, angle B ni sawa na angle C. Kwa hiyo, pembetatu ABE na CDE ni sawa katika heshima ya kwanza.

Zoezi la 31 Jibu: DEK na DLF, DEK na ELK, DLF na ELK, DFK na DLE, DFK na FLK, DLE na FLK. Katika takwimu, DL ni sehemu mbili ya pembetatu DEF iliyoandikwa kwenye mduara. DL hukatiza mduara kwenye sehemu ya K, ambayo imeunganishwa na sehemu hadi wima E na F ya pembetatu. Tafuta pembetatu zinazofanana.

Zoezi la 32 Jibu: ABH na ADC, ACH na ADB, ABM na CDM, BMD na AMC. Pembetatu ya papo hapo ABC imeandikwa kwenye mduara, AH ni urefu wake, AD ni kipenyo cha mduara, unaoingilia upande wa BC kwa uhakika M. Point D imeunganishwa na wima B na C ya pembetatu. Tafuta pembetatu zinazofanana.

Zoezi la 33 Mistari miwili iliyonyooka huchorwa kupitia sehemu ya nje E ya duara, ikikatiza mduara kwa pointi A, C na B, D, mtawalia. Uthibitisho: Pembe D ya pembetatu ADE ni sawa na pembe C ya pembetatu KWK, kama vile pembe zilizoandikwa chini ya upinde sawa wa duara. Pembe E ya pembetatu hizi ni ya kawaida. Kwa hiyo, pembetatu ADE na BCE ni sawa katika heshima ya kwanza.

Zoezi la 34 Mistari miwili iliyonyooka inachorwa kupitia ncha ya nje E ya duara, ikikatiza mduara kwa pointi A, C na B, D, mtawalia. Uthibitisho: Pembetatu ADE na BCE zinafanana. Kwa hivyo AE: DE = BE: CE. Kwa hiyo, AE·CE = BE·DE.
Zoezi la 36 Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia hatua ya nje ya E ya mduara, ikipitia mduara kwenye pointi A na B, na tangent EC (C ni hatua ya tangency). Thibitisha kuwa pembetatu za EAC na ECB zinafanana. Ushahidi. Pembetatu EAC na ECB pembe ya kushiriki E. Angles ACE na CBE ni sawa, kama vile pembe chini ya chord sawa. Kwa hiyo, pembetatu EAC na ECB ni sawa.
78 Mstari wa moja kwa moja unagusa miduara ya radii R na r kwenye pointi A na B. Inajulikana kuwa umbali kati ya vituo vya miduara ni sawa na a, na r.

Trapezoid yenye besi 14 na 40 imeandikwa kwenye mduara wa radius 25. Pata urefu wa trapezoid. Suluhisho. Hebu ABCD iwe trapezoid iliyoandikwa kwenye mduara na kituo cha O na radius 25. Kesi mbili zinawezekana: besi AB na CD ya trapezoid iko upande mmoja wa kituo cha O, besi za AB na CD ziko kwenye pande tofauti. kituo cha O. Katika kesi ya kwanza (Mchoro 1) kupitia hatua O tunachora mstari wa perpendicular kwa AB, na kuashiria P, Q pointi zake za makutano na AB na CD, kwa mtiririko huo. Kisha urefu wa PQ wa trapezoid ni sawa na OQ - OP. Tuna OQ = OP = Kwa hiyo, PQ = 9. Katika kesi ya pili (Mchoro 2), kupitia hatua O tunachora mstari wa perpendicular kwa AB, na kuashiria P, Q pointi zake za makutano na AB na CD, kwa mtiririko huo. Kisha urefu wa PQ wa trapezoid ni sawa na OQ + OP. Tuna OQ = OP = Kwa hiyo, PQ = 39. Jibu. 9 au 39. Zoezi 39

Miduara yenye vituo vya O 1 na O 2 huingiliana kwa pointi A na B. Inajulikana kuwa angle AO 1 B ni sawa na 90 o, angle AO 2 B ni sawa na 60 o, O 1 O 2 = a. Pata radii ya miduara. Suluhisho. Matukio mawili yanawezekana: pointi O 1, O 2 ziko kwenye pande tofauti za mstari wa AB, pointi O 1, O 2 ziko upande mmoja wa mstari AB. Hebu tuonyeshe kwa r radius ya mduara na kituo cha O 1. Kisha radius ya mduara na kituo cha O 2 itakuwa sawa. Hebu tuonyeshe kwa P hatua ya makutano ya mistari O 1 O 2 na AB. Kisha O 1 P =, O 2 P =. Katika kesi ya kwanza (Mchoro 1) na, kwa hiyo, Katika kesi ya pili (Mchoro 2) na, kwa hiyo, Jibu. au Zoezi 40

Mduara ulio na katikati O umezungushwa kuzunguka pembetatu ABC na pembe AOC ni 60°. Mduara ulio na kituo cha M umeandikwa katika pembetatu ABC. Katika kesi ya kwanza (Mchoro 1), jumla ya pembe A na C ya pembetatu ABC ni sawa na 150 °. Kwa kuwa AM na CM ni viambata viwili vya pembe hizi, jumla ya pembe CAM na ACM ni sawa na 75° na, kwa hiyo, angle AMC ni sawa na 105°. Jibu. 105 o au 165 o. Suluhisho. Kuna sehemu mbili zinazowezekana za kipeo B cha pembetatu ABC. Katika kesi ya pili (Mchoro 2), jumla ya pembe A na C ya pembetatu ABC ni sawa na 30 °. Kwa kuwa AM na CM ni sehemu mbili za pembe hizi, jumla ya pembe CAM na ACM ni sawa na 15 o na, kwa hiyo, angle AMC ni sawa na 165 o. Zoezi 41

Triangle ABC imeandikwa katika mduara wa radius 12. Inajulikana kuwa AB = 6 na BC = 4. Pata AC. Suluhisho. Kulingana na nadharia ya sines, kuna kesi mbili zinazowezekana za eneo la vertex C ya pembetatu ABC. Wacha tushushe BH ya pembeni kwenye mstari wa AC. Kisha BH = ABsinA = 1. Kwa theorem ya Pythagorean AH = CH = Katika kesi ya kwanza (Mchoro 1) AC = Katika kesi ya pili (Mchoro 2) AC = Jibu. au Zoezi 42

Mistari iliyo na urefu wa pembetatu ABC inakatiza kwenye hatua H. Inajulikana kuwa CH = AB. Tafuta pembe ACB. Katika kesi ya kwanza (Mchoro 1), angle C ni sawa na angle CAA 1, kama pembe zilizoandikwa kulingana na arcs sawa. Kwa hiyo, angle C ni 45 °. Katika kesi ya pili (Mchoro 2), angle C ni 135 °. Jibu. 45 o au 135 o. Suluhisho. Acha AA 1, BB 1 iwe miinuko ya pembetatu ABC. Wacha tueleze miduara kwenye CH na AB kama kipenyo. Watapitia pointi A 1 na B 1. Kuna maeneo mawili yanayowezekana kwa uhakika H. Zoezi la 43

Katika pembetatu ABC, urefu wa BB 1 na CC 1 hutolewa, O ni katikati ya mduara ulioandikwa. Inajulikana kuwa BC = 24, B 1 C 1 = 12. Pata radius R ya mduara iliyozunguka kuhusu pembetatu ya BOC. Suluhisho. Kuna matukio mawili yanayowezekana ya eneo la sehemu B 1 C 1. Kwenye BC, kama kwenye kipenyo, tunaelezea mduara na kituo cha P. Pembetatu B 1 C 1 P ni ya usawa. Kwa hiyo, jumla ya pembe BPB 1 na CPC 1 ni sawa na 120 o. Katika kesi ya kwanza (Mchoro 1), pembetatu BPC 1 na CPB 1 ni isosceles. Kwa hiyo, jumla ya pembe B na C ni 120 °. Kwa kuwa BO na CO ni sehemu mbili, pembe BOC ni sawa na 120 °. Kwa kutumia nadharia ya sines tunapata R =. Katika kesi ya pili (Mchoro 2), jumla ya pembe B na C ni sawa na 60 °. Kwa kuwa BO na CO ni sehemu mbili, pembe ya BOC ni 150 °. Kwa kutumia sheria ya sines tunapata R = 24. Jibu. au 24. Zoezi 44

Wastani wa pembetatu- hii ni sehemu inayounganisha vertex ya pembetatu na katikati ya upande wa pili wa pembetatu hii.

Sifa za wapatanishi wa pembetatu

1. Wastani hugawanya pembetatu katika pembetatu mbili za eneo sawa.

2. Wastani wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja, ambayo hugawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa vertex. Hatua hii inaitwa katikati ya mvuto wa pembetatu (centroid).

3. Pembetatu nzima imegawanywa na wapatanishi wake katika pembetatu sita sawa.

Urefu wa wastani uliochorwa kwa upande: ( uthibitisho kwa kujenga hadi parallelogramu na kutumia usawa katika msambao wa mara mbili ya jumla ya miraba ya pande na jumla ya miraba ya diagonal. )

T1. Wastani watatu wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja M, ambayo hugawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa wima ya pembetatu. Imetolewa: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - wapatanishi
∆ABC. Thibitisha: na

D-vo: Acha M iwe sehemu ya makutano ya wastani CC 1, AA 1 ya pembetatu ABC. Hebu tuweke alama A 2 - katikati ya sehemu AM na C 2 - katikati ya sehemu ya CM. Kisha A 2 C 2 ni mstari wa kati wa pembetatu AMS. Ina maana, A2C2| AC

na A 2 C 2 = 0.5 * AC. NA 1 A 1 - mstari wa kati wa pembetatu ABC. Kwa hivyo A 1 NA 1 | AC na A 1 NA 1 = 0.5 * AC.

Quadrangle A 2 C 1 A 1 C 2- parallelogram, kwani pande zake tofauti ni A 1 NA 1 Na A2C2 sawa na sambamba. Kwa hivyo, A 2 M = MA 1 Na C 2 M = MC 1 . Hii ina maana kwamba pointi A 2 Na M kugawanya wastani AA 2 katika sehemu tatu sawa, yaani AM = 2MA 2. Sawa na CM = 2MC 1 . Kwa hivyo, onyesha M ya makutano ya wapatanishi wawili AA 2 Na CC 2 pembetatu ABC inagawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa wima ya pembetatu. Inathibitishwa kwa njia sawa kabisa kwamba hatua ya makutano ya wapatanishi AA 1 na BB 1 inagawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa wima ya pembetatu.

Kwenye AA ya wastani 1 hatua kama hiyo ni M, kwa hivyo, hatua M na kuna sehemu ya makutano ya vianzishi AA 1 na BB 1.

Hivyo, n

T2. Thibitisha kwamba sehemu zinazounganisha katikati na vipeo vya pembetatu zinaigawanya katika sehemu tatu sawa. Imetolewa: ∆ABC, - wastani wake.

Thibitisha: S AMB =S BMC =S AMC .Ushahidi. NDANI, wanafanana. kwa sababu misingi yao ni sawa na urefu unaotolewa kutoka kwenye vertex M, wanafanana. Kisha

Kwa njia sawa inathibitishwa kuwa S AMB = S AMC . Hivyo, S AMB = S AMC = S CMB.n

Nadharia za pembetatu zinazohusiana na visekta viwili. Mifumo ya kutafuta sehemu mbili

Angle bisector- ray yenye mwanzo kwenye vertex ya angle, kugawanya angle katika pembe mbili sawa.

Sehemu mbili za pembe ni eneo la pointi ndani ya pembe ambayo ni ya usawa kutoka pande za pembe.

Mali

1. Nadharia ya sehemu mbili: Sehemu mbili ya pembe ya ndani ya pembetatu inagawanya upande wa pili kwa uwiano sawa na uwiano wa pande mbili zinazokaribiana.

2. Vipuli vya pembe za ndani za pembetatu huingiliana kwa hatua moja - kitovu - katikati ya duara iliyoandikwa katika pembetatu hii.

3. Ikiwa bisectors mbili katika pembetatu ni sawa, basi pembetatu ni isosceles (theorem ya Steiner-Lemus).

Uhesabuji wa urefu wa sehemu mbili

l c - urefu wa bisector inayotolewa kwa upande c,

a,b,c - pande za pembetatu kinyume na wima A,B,C, mtawalia;

p ni nusu ya mzunguko wa pembetatu,

a l , b l - urefu wa sehemu ambazo bisector l c inagawanya upande c,

α, β, γ - pembe za ndani za pembetatu kwenye wima A, B, C, mtawaliwa;

h c ni urefu wa pembetatu, iliyoshushwa kwa upande c.

Mbinu ya eneo.

Tabia za mbinu. Kama jina linavyopendekeza, lengo kuu la njia hii ni eneo. Kwa idadi ya takwimu, kwa mfano kwa pembetatu, eneo hilo linaonyeshwa kwa urahisi kupitia mchanganyiko mbalimbali wa vipengele vya takwimu (pembetatu). Kwa hivyo, mbinu nzuri sana ni wakati misemo tofauti ya eneo la takwimu fulani inalinganishwa. Katika kesi hii, equation hutokea yenye vipengele vinavyojulikana na vinavyotakiwa vya takwimu, kwa kutatua ambayo tunaamua haijulikani. Hapa ndipo kipengele kikuu cha njia ya eneo kinajidhihirisha - "hufanya" shida ya algebraic kutoka kwa shida ya kijiometri, kupunguza kila kitu ili kutatua equation (na wakati mwingine mfumo wa equations).

1) Njia ya kulinganisha: inayohusishwa na idadi kubwa ya fomula S za takwimu sawa

2) Njia ya uhusiano wa S: kulingana na shida za usaidizi wa kufuatilia:

Nadharia ya Ceva

Acha pointi A",B",C" zilale kwenye mistari BC,CA,AB ya pembetatu. Mistari AA",BB",CC" ikatike katika hatua moja iwapo tu

Ushahidi.

Wacha tuonyeshe kwa hatua ya makutano ya sehemu na. Hebu tupunguze perpendiculars kutoka kwa pointi C na A hadi mstari wa moja kwa moja BB 1 hadi watakapoingiliana nayo kwa pointi K na L, kwa mtiririko huo (angalia takwimu).

Kwa kuwa pembetatu zina upande wa kawaida, maeneo yao yanahusiana na urefu unaotolewa kwa upande huu, i.e. AL na CK:

Usawa wa mwisho ni kweli, kwani pembetatu za kulia na zinafanana kwa pembe ya papo hapo.

Vile vile tunapata Na

Wacha tuzidishe usawa huu tatu:

Q.E.D.

Maoni. Sehemu (au muendelezo wa sehemu) inayounganisha vertex ya pembetatu na hatua iliyolala upande wa pili au kuendelea kwake inaitwa ceviana.

Theorem (kinyume cha nadharia ya Ceva). Acha pointi A", B", C" ziwe kwenye pande BC, CA na AB za pembetatu ABC, mtawalia. Wacha uhusiano uridhike.

Kisha sehemu AA",BB",CC" huingiliana kwa wakati mmoja.

Nadharia ya Menelaus

Nadharia ya Menelaus. Ruhusu mstari ukute pembetatu ABC, na C 1 hatua ya makutano yake na upande AB, A 1 hatua ya makutano yake na upande BC, na B 1 hatua ya makutano yake na upanuzi wa upande AC. Kisha

Ushahidi . Wacha tuchore mstari sambamba na AB kupitia nukta C. Hebu tuonyeshe kwa K hatua yake ya makutano na mstari B 1 C 1 .

Pembetatu AC 1 B 1 na CKB 1 zinafanana (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Kwa hivyo,

Pembetatu BC 1 A 1 na CKA 1 pia zinafanana (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Ina maana,

Kutoka kwa kila usawa tunaelezea CK:

Wapi Q.E.D.

Theorem (nadharia inverse ya Menelaus). Acha pembetatu ABC itolewe. Acha nukta C 1 iwe upande wa AB, weka A 1 upande wa BC, na alama B 1 kwenye mwendelezo wa upande wa AC, na acha uhusiano ufuatao ushikilie:

Kisha pointi A 1, B 1 na C 1 ziko kwenye mstari huo huo.

Somo la 1

Wastani wa pembetatu. Sehemu ya makutano ya wapatanishi.

Wastani ya pembetatu ni sehemu inayounganisha kipeo cha pembetatu na sehemu ya katikati ya upande wa pili.

Uthibitisho:

Hatua ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu ni kituo cha mvuto pembetatu hii.

Tatizo 1 Hatua ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu imetenganishwa na wima zake kwa umbali sawa na 4, 6 na 8. Pata urefu wa wastani wa pembetatu.

Suluhisho. Acha AM, BE na CD ziwe vipatanishi katika pembetatu ABC, K iwe sehemu yao ya makutano, KS=4, KA=6 na KB=8.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image004_34.gif" width="76" height="50">, yaani, kuna sehemu 2 kwa kila sehemu KA, na sehemu moja kwa kila sehemu KM, kisha wastani mzima wa AM huwa na sehemu tatu sawa na https://pandia.ru/text/78/182/images/image006_24.gif" width="104" height="41">.

Vile vile,

,

Jibu: 6, 9 na 12

Tatizo 2 Wastani AM na SC wa pembetatu ABC ni pande zote mbili perpendicular na ni sawa na 6 na 9, mtawalia. Kuhesabu urefu wa pande AB na BC.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image010_15.gif" width="104" height="41">,

Ndiyo maana Na

, .

Mbali na hilo

, .

Kwa kutumia nadharia ya Pythagorean, tunahesabu urefu wa sehemu za AK na SM, tunapata.

Sasa hebu tuhesabu urefu wa pande AB na BC:

AB=2AK=10, BC=2CM=.

Jibu: 10;.

Mtihani wa kujidhibiti.

1. Wastani wa pembetatu hugawanyika kwa nusu (chagua moja ya chaguzi za jibu)

1) pembe ya pembetatu

2) upande wa pembetatu

3) pande mbili za pembetatu

2. Ni kwa uwiano gani hatua ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu inagawanya kila wastani wa pembetatu (chagua chaguo sahihi za jibu).

1) 2:1 kuhesabu kutoka chini ya pembetatu

2) 1:2 kuhesabu kutoka kwenye kipeo cha pembetatu

3) 2:1 kuhesabu kutoka kwenye kipeo cha pembetatu

4) 1:2 kuhesabu kutoka chini ya pembetatu

5) katika sehemu mbili sawa

3. Ikiwa katika pembetatu ABC AM na P ya wastani huchorwa - mahali pa makutano ya pembetatu, basi ni sehemu gani ya AM ya wastani ni sehemu ya AP? (chagua moja ya chaguzi za jibu)

4. Katika pembetatu ya ABC, AM na P ya wastani hutolewa - hatua ya makutano ya katikati ya pembetatu. Ni sehemu gani ya AM ya wastani ni sehemu ya PM? (chagua moja ya chaguzi za jibu)

5. Katika pembetatu ya ABC, AM na P ya wastani hutolewa - hatua ya makutano ya katikati ya pembetatu. Ni sehemu gani ya sehemu ya AP ni sehemu ya PM? (chagua moja ya chaguzi za jibu)

Tazama majibu sahihi.

Matatizo kwa ajili ya ufumbuzi wa kujitegemea.

1. Hatua ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu iko katika umbali sawa na 6 cm, 8 cm na 12 cm kutoka kwa vipeo vyake.

Tazama suluhisho.

2. Wastani BM na SC wa pembetatu ABC ni pande zote mbili perpendicular na ni sawa na 15 na 36, ​​mtawalia. Tafuta urefu wa pande AB na AC.

Tazama suluhisho.

3. Wastani wa pembetatu ni 6, 9 na 12. Kwa umbali gani kutoka kwa wima ni hatua ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu?

Tazama suluhisho.

4. Wastani wa pembetatu ni 9, 12 na 18. Pata umbali kutoka katikati ya pande za pembetatu hadi katikati ya mvuto wa pembetatu hii.

Tazama suluhisho.

5. Katikati ya mvuto wa pembetatu ni mbali kutoka katikati ya pande zake. Sawa na 5, 6 na 7. Tafuta viambatanisho vya pembetatu hii.

Tazama suluhisho.

6. Hatua ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu huondolewa kutoka katikati ya pande zake kwa umbali sawa na 2, 3 na 4. Katika umbali gani kutoka kwa wima ya pembetatu ni hatua hii iko?

Tazama suluhisho.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.