Jinsi ya kupata vidokezo vya juu zaidi vya mifano ya kazi. Jinsi ya kupata upeo (kiwango cha chini na alama za juu) za chaguo la kukokotoa. Kuongezeka, kupungua na mwisho wa kazi

Kupitisha usawa huu hadi kikomo kama Δ x→ 0 na kwa kuzingatia kwamba derivative f "(x 0) ipo, na kwa hivyo kikomo upande wa kushoto hautegemei jinsi Δ x→ 0, tunapata: kwa Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 na kwa Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Tangu f"(x 0) inafafanua nambari, basi usawa hizi mbili zinaendana ikiwa tu f"(x 0) = 0.

Nadharia iliyothibitishwa inasema kwamba alama za juu na za chini zinaweza tu kuwa kati ya zile maadili ya hoja ambayo derivative yake inatoweka.

Tumezingatia kisa wakati kipengele cha kukokotoa kinapotoka katika sehemu zote za sehemu fulani. Nini kinatokea wakati derivative haipo? Fikiria mifano.

y=|x|.

Chaguo hili la kukokotoa halina derivative kwa uhakika x=0 (kwa hatua hii, grafu ya kazi haina tangent dhahiri), lakini kwa hatua hii kazi ina kiwango cha chini, kwani y(0)=0, na kwa wote x≠ 0y > 0.

Kwa hiyo, kutokana na mifano iliyotolewa na theorem iliyoundwa ni wazi kwamba kazi inaweza kuwa na upeo tu katika matukio mawili: 1) katika pointi ambapo derivative ipo na ni sawa na sifuri; 2) mahali ambapo derivative haipo.

Walakini, ikiwa wakati fulani x 0 tunajua hilo f"(x 0 ) =0, basi haiwezi kuhitimishwa kutoka kwa hii kwamba kwa uhakika x 0 kitendakazi kina upeo.

Kwa mfano.

Lakini uhakika x=0 sio hatua ya mwisho, kwani upande wa kushoto wa hatua hii maadili ya kazi iko chini ya mhimili. Ng'ombe, na juu kulia.

Maadili ya hoja kutoka kwa kikoa cha chaguo za kukokotoa, ambayo derivative ya chaguo la kukokotoa hutoweka au haipo, huitwa. pointi muhimu.

Inafuata kutokana na yaliyotangulia kwamba pointi za mwisho za chaguo za kukokotoa ni kati ya pointi muhimu, na, hata hivyo, si kila nukta muhimu ni hatua ya mwisho. Kwa hiyo, ili kupata upeo wa kazi, unahitaji kupata pointi zote muhimu za kazi, na kisha uchunguze kila moja ya pointi hizi tofauti kwa kiwango cha juu na cha chini. Kwa hili, theorem ifuatayo hutumikia.

Nadharia ya 2. (Hali ya kutosha ya kuwepo kwa upeo.) Acha chaguo la kukokotoa liendelee kwa muda fulani ulio na sehemu muhimu. x 0 , na inaweza kutofautishwa katika sehemu zote za muda huu (isipokuwa, labda, hatua yenyewe x 0). Ikiwa, wakati wa kupita kutoka kushoto kwenda kulia kupitia hatua hii, derivative inabadilisha ishara kutoka kwa kuongeza hadi minus, basi kwa uhakika. x = x 0 kitendakazi kina kiwango cha juu zaidi. Ikiwa, wakati wa kupita x 0 kutoka kushoto kwenda kulia, mabadiliko ya derivative ishara kutoka minus hadi plus, basi kazi ina kiwango cha chini katika hatua hii.

Kwa hivyo, ikiwa

f"(x)>0 kwa x<x 0 na f"(x)< 0 kwa x > x 0, basi x 0 - kiwango cha juu;

Ushahidi. Hebu kwanza tufikirie hilo wakati wa kupita x 0, ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka plus hadi minus, i.e. kwa wote x karibu na uhakika x 0 f "(x)> 0 kwa x< x 0 , f"(x)< 0 kwa x > x 0 . Wacha tutumie nadharia ya Lagrange kwa tofauti hiyo f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), wapi c iko kati x na x 0 .

Hebu x< x 0 . Kisha c< x 0 na f "(c)> 0. Ndiyo maana f"(c)(x-x 0)< 0 na kwa hivyo

f(x) - f(x 0 )< 0, yaani. f(x)< f(x 0 ).

Hebu x > x 0 . Kisha c>x 0 na f"(c)< 0. Maana f"(c)(x-x 0)< 0. Ndiyo maana f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Kwa hivyo, kwa maadili yote x karibu vya kutosha x 0 f(x)< f(x 0 ) . Na hii ina maana kwamba katika hatua x 0 kitendakazi kina kiwango cha juu zaidi.

Sehemu ya pili ya nadharia ya kiwango cha chini imethibitishwa vile vile.

Wacha tuonyeshe maana ya nadharia hii kwenye takwimu. Hebu f"(x 1 ) =0 na kwa yoyote x, karibu vya kutosha x 1, ukosefu wa usawa

f"(x)< 0 kwa x< x 1 , f "(x)> 0 kwa x > x 1 .

Kisha upande wa kushoto wa uhakika x 1 kazi inaongezeka, na inapungua upande wa kulia, kwa hivyo, lini x = x Chaguo 1 la kukokotoa linakwenda kutoka kuongezeka hadi kupungua, yaani, lina kiwango cha juu zaidi.

Vile vile, mtu anaweza kuzingatia pointi x 2 na x 3 .

Kwa mpangilio, yote yaliyo hapo juu yanaweza kuonyeshwa kwenye picha:

Sheria ya kusoma chaguo za kukokotoa y=f(x) kwa upeo

Tafuta upeo wa chaguo za kukokotoa f(x).

Tafuta derivative ya kwanza ya chaguo za kukokotoa f"(x).

Amua pointi muhimu, kwa hili:

kupata mizizi halisi ya equation f"(x)=0;

tafuta maadili yote x chini ya ambayo derivative f"(x) haipo.

Amua ishara ya derivative kwa kushoto na kulia ya hatua muhimu. Kwa kuwa ishara ya derivative inabaki mara kwa mara kati ya pointi mbili muhimu, inatosha kuamua ishara ya derivative katika hatua yoyote upande wa kushoto na kwa hatua moja kwa haki ya hatua muhimu.

Hesabu thamani ya chaguo za kukokotoa katika sehemu za juu zaidi.

Kama unaweza kuona, ishara hii ya mwisho wa kazi inahitaji uwepo wa derivative angalau hadi mpangilio wa pili kwa uhakika.

Mfano.

Tafuta mwisho wa chaguo la kukokotoa.

Suluhisho.

Wacha tuanze na wigo:

Wacha tutofautishe kazi asilia:

x=1, yaani, ni hatua ya upeo unaowezekana. Tunapata derivative ya pili ya chaguo za kukokotoa na kuhesabu thamani yake kwa x=1:

Kwa hiyo, kwa hali ya pili ya kutosha ya mwisho, x=1- kiwango cha juu. Kisha ndio upeo wa chaguo za kukokotoa.

Mchoro wa picha.

Jibu:

Hali ya tatu ya kutosha kwa upeo wa chaguo za kukokotoa.

Hebu kazi y=f(x) ina derivatives hadi n-th mpangilio katika -ujirani wa uhakika na derivatives hadi n+1 th ili katika hatua yenyewe. Hebu na.

Mfano.

Pata alama za juu zaidi za chaguo la kukokotoa .

Suluhisho.

Kazi ya asili ni mantiki nzima, kikoa chake cha ufafanuzi ni seti nzima ya nambari halisi.

Wacha tutofautishe kazi:

Derivative hutoweka wakati , kwa hiyo, hizi ni pointi za upeo unaowezekana. Wacha tutumie hali ya tatu ya kutosha kwa hali ya juu.

Tunapata derivative ya pili na kuhesabu thamani yake katika pointi za upeo unaowezekana (tutaacha mahesabu ya kati):

Kwa hivyo, ni hatua ya juu (kwa ishara ya tatu ya kutosha ya uliokithiri, tunayo n=1 na).

Ili kufafanua asili ya pointi pata derivative ya tatu na uhesabu thamani yake katika nukta hizi:

Kwa hivyo, ni sehemu ya inflection ya kazi ( n=2 na).

Inabakia kukabiliana na uhakika. Tunapata derivative ya nne na kuhesabu thamani yake katika hatua hii:

Kwa hiyo, ni hatua ya chini ya kazi.

Mchoro wa picha.

Jibu:

Upeo wa juu ni hatua ya chini ya chaguo la kukokotoa.

10. Extremus ya kazi Ufafanuzi wa mwisho

Chaguo y = f (x) inaitwa kuongezeka (kupungua) kwa muda fulani ikiwa kwa x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Ikiwa kazi inayoweza kutofautishwa y = f(x) kwenye sehemu inaongezeka (inapungua), basi derivative yake kwenye sehemu hii f "(x)  0

(f "(x)  0).

Nukta x kuhusu kuitwa kiwango cha juu cha eneo (kiwango cha chini) ya kazi f(x) ikiwa kuna ujirani wa uhakika x kuhusu, kwa pointi zote ambazo ukosefu wa usawa f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)) ni kweli.

Pointi za juu na za chini zinaitwa pointi kali, na maadili ya kazi katika pointi hizi ni yake uliokithiri.

pointi kali

Masharti ya lazima kwa uliokithiri. Ikiwa uhakika x kuhusu ni sehemu ya mwisho ya chaguo za kukokotoa f (x), basi ama f "(x o) \u003d 0, au f (x o) haipo. Pointi kama hizo huitwa. kukosoa, ambapo kazi yenyewe inafafanuliwa katika hatua muhimu. Upeo wa kazi unapaswa kutafutwa kati ya pointi zake muhimu.

Hali ya kwanza ya kutosha. Hebu x kuhusu- hatua muhimu. Ikiwa f "(x) wakati wa kupitia hatua x kuhusu hubadilisha ishara ya kuongeza hadi minus, kisha kwenye uhakika x kuhusu kazi ina kiwango cha juu, vinginevyo ina kiwango cha chini. Ikiwa derivative haibadilishi ishara wakati unapitia hatua muhimu, basi kwa uhakika x kuhusu hakuna uliokithiri.

Hali ya pili ya kutosha. Acha chaguo la kukokotoa f(x) liwe na derivative f "(x) katika kitongoji cha uhakika x kuhusu na derivative ya pili kwa uhakika x kuhusu. Ikiwa f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x kuhusu ni kiwango cha chini zaidi (kiwango cha juu) cha eneo la chaguo za kukokotoa f(x). Ikiwa =0, ​​basi lazima mtu atumie hali ya kwanza ya kutosha au ahusishe derivatives ya juu.

Kwenye sehemu, chaguo la kukokotoa y = f(x) linaweza kufikia thamani yake ya chini au ya juu zaidi katika sehemu muhimu au kwenye miisho ya sehemu.

Mfano 3.22. Pata mwisho wa chaguo za kukokotoa f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Suluhisho. Kwa kuwa f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), basi pointi muhimu za kazi x 1 \u003d 2 na x 2 \u003d 3. Alama za juu zinaweza kuwa tu katika pointi hizi.Kwa hivyo kama wakati wa kupitia hatua x 1 \u003d 2, mabadiliko ya derivative ishara pamoja na minus, basi katika hatua hii kazi ina kiwango cha juu.Wakati wa kupitia hatua x 2 \u003d 3, derivative mabadiliko ishara minus hadi plus, kwa hivyo, katika hatua x 2 \u003d 3, kazi ina kiwango cha chini. Baada ya kuhesabu maadili ya kazi katika pointi x 1 = 2 na x 2 = 3, tunapata mwisho wa kazi: upeo f (2) = 14 na kiwango cha chini f (3) = 13.

Algorithm rahisi ya kutafuta extrema..

• Kutafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
• Linganisha derivative hii kwa sifuri
• Tunapata maadili ya kutofautisha kwa usemi unaosababishwa (maadili ya kutofautisha ambayo derivative inabadilishwa kuwa sifuri)
• Tunagawanya mstari wa kuratibu katika vipindi na maadili haya (wakati huo huo, hatupaswi kusahau kuhusu pointi za mapumziko, ambazo zinahitaji pia kutumika kwa mstari), pointi hizi zote huitwa pointi za "tuhuma" kwa uliokithiri.
• Tunahesabu ni ipi kati ya vipindi hivi derivative itakuwa chanya, na ambayo itakuwa hasi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kubadilisha thamani kutoka kwa muda hadi kwenye derivative.

Ya pointi zinazoshukiwa kuwa kali, ni muhimu kupata hasa. Ili kufanya hivyo, tunaangalia mapungufu yetu kwenye mstari wa kuratibu. Ikiwa, wakati wa kupita katika hatua fulani, ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka plus hadi minus, basi hatua hii itakuwa. upeo, na ikiwa kutoka minus hadi plus, basi kiwango cha chini.

Ili kupata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa, unahitaji kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika ncha za sehemu na katika sehemu za juu zaidi. Kisha chagua thamani kubwa na ndogo zaidi.

Fikiria mfano mmoja
Tunapata derivative na kuilinganisha na sifuri:

Tunatumia maadili yaliyopatikana ya vigezo kwenye mstari wa kuratibu na kuhesabu ishara ya derivative kwa kila vipindi. Naam, kwa mfano, kwa kwanza kuchukua-2 , basi derivative itakuwa-0,24 , kwa mara ya pili0 , basi derivative itakuwa2 , na kwa tatu tunachukua2 , basi derivative itakuwa-0.24. Tunaweka alama zinazofaa.

Tunaona kwamba wakati wa kupitia hatua -1, ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka minus hadi plus, yaani, itakuwa hatua ya chini, na wakati wa kupita 1, kutoka kwa plus hadi minus, kwa mtiririko huo, hii ni hatua ya juu.

Wacha tugeuke kwenye grafu ya kazi y \u003d x 3 - 3x 2. Fikiria kitongoji cha uhakika x = 0, i.e. muda fulani ulio na hatua hii. Ni busara kwamba kuna kitongoji cha uhakika x \u003d 0 kwamba kazi y \u003d x 3 - 3x 2 inachukua thamani kubwa zaidi katika kitongoji hiki kwa uhakika x \u003d 0. Kwa mfano, kwa muda (- 1; 1) thamani kubwa zaidi sawa na 0, kazi inachukua katika hatua x = 0. Hatua x = 0 inaitwa hatua ya juu ya kazi hii.

Vivyo hivyo, hatua x \u003d 2 inaitwa hatua ya chini ya kazi x 3 - 3x 2, kwani katika hatua hii thamani ya kazi sio kubwa kuliko thamani yake katika hatua nyingine karibu na hatua x \u003d 2. , kwa mfano, jirani (1.5; 2.5).

Kwa hivyo, hatua x 0 inaitwa kiwango cha juu cha chaguo la kukokotoa f (x) ikiwa kuna kitongoji cha hatua x 0 - ili kutokuwepo kwa usawa f (x) ≤ f (x 0) kuridhika kwa yote x kutoka kwa hii. jirani.

Kwa mfano, hatua x 0 \u003d 0 ndio kiwango cha juu cha chaguo la kukokotoa f (x) \u003d 1 - x 2, kwani f (0) \u003d 1 na usawa f (x) ≤ 1 ni kweli kwa maadili yote. cha x.

Sehemu ya chini ya chaguo za kukokotoa f (x) inaitwa nukta x 0 ikiwa kuna ujirani wa uhakika x 0 hivi kwamba ukosefu wa usawa f (x) ≥ f (x 0) unaridhishwa kwa wote x kutoka mtaa huu.

Kwa mfano, hatua x 0 \u003d 2 ni hatua ya chini ya kazi f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, tangu f (2) \u003d 3 na f (x) ≥ 3 kwa wote x .

Pointi zilizokithiri huitwa alama za chini na alama za juu.

Wacha tugeukie chaguo la kukokotoa f(x), ambalo linafafanuliwa katika kitongoji fulani cha nukta x 0 na ina derivative katika hatua hii.

Ikiwa x 0 ni sehemu kuu ya chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa f (x), basi f "(x 0) \u003d 0. Taarifa hii inaitwa nadharia ya Fermat.

Nadharia ya Fermat ina maana wazi ya kijiometri: katika hatua ya mwisho, tanjenti ni sambamba na mhimili wa x na kwa hivyo mteremko wake.
f "(x 0) ni sifuri.

Kwa mfano, kazi f (x) \u003d 1 - 3x 2 ina upeo katika hatua x 0 \u003d 0, derivative yake f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Kazi f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 ina kiwango cha chini katika hatua x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Kumbuka kuwa ikiwa f "(x 0) \u003d 0, basi hii haitoshi kudai kuwa x 0 ndio sehemu ya mwisho ya chaguo la kukokotoa f (x).

Kwa mfano, ikiwa f (x) \u003d x 3, basi f "(0) \u003d 0. Hata hivyo, hatua x \u003d 0 sio hatua kali, kwani kazi x 3 huongezeka kwenye mhimili mzima wa kweli.

Kwa hivyo, sehemu za mwisho za kazi inayoweza kutofautishwa lazima zitafutwe tu kati ya mizizi ya equation.
f "(x) \u003d 0, lakini mzizi wa equation hii sio kila wakati ni hatua kali.

Pointi za stationary ni pointi ambapo derivative ya chaguo za kukokotoa ni sawa na sifuri.

Kwa hivyo, ili hatua x 0 iwe hatua ya mwisho, ni muhimu kuwa ni hatua ya kusimama.

Fikiria hali ya kutosha kwa ajili ya hatua ya stationary kuwa hatua kali, i.e. masharti ambayo hatua tuliyoweka ni kiwango cha chini au cha juu zaidi cha chaguo la kukokotoa.

Ikiwa derivative upande wa kushoto wa hatua ya stationary ni chanya, na kwa haki ni hasi, i.e. mabadiliko derivative saini "+" kutia sahihi "-" wakati wa kupita katika hatua hii, basi hatua hii stationary ni hatua ya juu.

Hakika, katika kesi hii, upande wa kushoto wa hatua ya stationary, kazi huongezeka, na kwa haki, inapungua, i.e. hatua hii ni hatua ya juu.

Ikiwa mabadiliko ya derivative yanatia saini "-" kusaini "+" wakati unapitia mahali pa kusimama, basi hatua hii ya kusimama ni hatua ya chini.

Ikiwa derivative haibadilishi ishara wakati wa kupita kwenye hatua ya stationary, i.e. derivative ni chanya au hasi kwa upande wa kushoto na kwa haki ya hatua ya stationary, basi hatua hii si hatua kali.

Hebu fikiria moja ya kazi. Pata alama za juu za chaguo za kukokotoa f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Suluhisho.

1) Pata derivative: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Pata alama za stationary: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Kwa kutumia njia ya muda, tunathibitisha kuwa derivative f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) ni chanya kwa x\u003e 3, hasi kwa x.< 0 и при 0 < х < 3.

4) Kwa kuwa wakati wa kupita kwa uhakika x 1 \u003d 0, ishara ya derivative haibadilika, hatua hii sio hatua kali.

5) Derivative hubadilisha ishara "-" kwa ishara "+" wakati wa kupitia hatua x 2 \u003d 3. Kwa hiyo, x 2 \u003d 3 ni hatua ya chini.

tovuti, na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Kutoka kwa nakala hii, msomaji atajifunza juu ya kile kinachozidi thamani ya kazi ni, na pia juu ya sifa za matumizi yake katika mazoezi. Utafiti wa dhana kama hiyo ni muhimu sana kwa kuelewa misingi ya hisabati ya juu. Mada hii ni ya msingi kwa uchunguzi wa kina wa kozi.

Katika kuwasiliana na

Kukithiri ni nini?

Katika kozi ya shule, ufafanuzi mwingi wa dhana ya "uliokithiri" hutolewa. Nakala hii imekusudiwa kutoa ufahamu wa kina na wazi wa istilahi kwa wale wasiojua suala hilo. Kwa hivyo, neno hilo linaeleweka ni kwa kiwango gani muda wa utendakazi unapata thamani ya chini au ya juu kwenye seti fulani.

Upeo ni thamani ya chini kabisa ya chaguo za kukokotoa na upeo wa juu kwa wakati mmoja. Kuna kiwango cha chini na kiwango cha juu, ambayo ni, maadili yaliyokithiri ya hoja kwenye grafu. Sayansi kuu ambayo dhana hii hutumiwa:

• takwimu;
• udhibiti wa mashine;
• uchumi.

Vidokezo vya hali ya juu vina jukumu muhimu katika kuamua mlolongo wa chaguo la kukokotoa. Mfumo wa kuratibu kwenye grafu kwa ubora wake unaonyesha mabadiliko katika nafasi iliyokithiri kulingana na mabadiliko ya utendakazi.

Upeo wa kazi ya derivative

Pia kuna kitu kama "derivative". Inahitajika kuamua hatua ya mwisho. Ni muhimu sio kuchanganya pointi za chini au za juu na maadili makubwa na ndogo zaidi. Hizi ni dhana tofauti, ingawa zinaweza kuonekana sawa.

Thamani ya kazi ni jambo kuu katika kuamua jinsi ya kupata hatua ya juu. Derivative haijaundwa kutoka kwa maadili, lakini pekee kutoka kwa nafasi yake kali kwa utaratibu mmoja au mwingine.

Derivative yenyewe imedhamiriwa kulingana na data ya pointi kali, na sio thamani kubwa au ndogo zaidi. Katika shule za Kirusi, mstari kati ya dhana hizi mbili haujatolewa wazi, ambayo inathiri uelewa wa mada hii kwa ujumla.

Wacha sasa tuzingatie kitu kama "mkali mkali". Hadi sasa, kuna thamani ya chini ya papo hapo na thamani ya juu ya papo hapo. Ufafanuzi hutolewa kwa mujibu wa uainishaji wa Kirusi wa pointi muhimu za kazi. Wazo la hatua kali ni msingi wa kupata alama muhimu kwenye chati.

Ili kufafanua dhana kama hiyo, nadharia ya Fermat hutumiwa. Ni muhimu zaidi katika utafiti wa pointi kali na inatoa wazo wazi la kuwepo kwao kwa namna moja au nyingine. Ili kuhakikisha ukali, ni muhimu kuunda hali fulani za kupungua au kuongezeka kwenye chati.

Ili kujibu kwa usahihi swali "jinsi ya kupata kiwango cha juu", lazima ufuate masharti haya:

1. Kupata eneo halisi la ufafanuzi kwenye chati.
2. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa na sehemu ya juu zaidi.
3. Tatua usawa wa kawaida kwa kikoa cha hoja.
4. Kuwa na uwezo wa kudhibitisha ni katika kazi gani nukta kwenye grafu imefafanuliwa na kuendelea.

Makini! Utafutaji wa hatua muhimu ya kazi inawezekana tu ikiwa kuna derivative ya angalau utaratibu wa pili, ambayo inahakikishwa na sehemu kubwa ya uwepo wa hatua kali.

Hali ya lazima kwa upeo wa kazi

Ili uliokithiri kuwepo, ni muhimu kwamba kuna pointi zote za chini na pointi za juu. Ikiwa sheria hii inazingatiwa kwa sehemu tu, basi hali ya kuwepo kwa uliokithiri inakiukwa.

Kila kazi katika nafasi yoyote lazima itofautishwe ili kutambua maana zake mpya. Ni muhimu kuelewa kwamba kesi wakati hatua inapotea sio kanuni kuu ya kupata hatua ya kutofautisha.

Upeo mkali, pamoja na kiwango cha chini cha utendaji, ni kipengele muhimu sana cha kutatua tatizo la hisabati kwa kutumia maadili yaliyokithiri. Ili kuelewa vizuri sehemu hii, ni muhimu kurejelea maadili ya tabular kwa mgawo wa kazi.

Upeo wa kazi

Ili kupata thamani hapo juu, lazima uzingatie sheria zifuatazo:

• kuamua hali muhimu kwa uwiano uliokithiri;
• kuzingatia hali ya kutosha ya pointi kali kwenye grafu;
• kufanya hesabu ya extremum ya papo hapo.

Pia kuna dhana kama vile kiwango cha chini dhaifu na kima cha chini kabisa. Hii lazima izingatiwe wakati wa kuamua uliokithiri na hesabu yake halisi. Wakati huo huo, utendaji mkali ni utafutaji na uundaji wa hali zote muhimu za kufanya kazi na grafu ya kazi.