Kwa kuzingatia wima za pembetatu aBC pata mlingano wa upande. Mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Mifano ya suluhisho. Unachohitaji kujua na kuweza kusuluhisha shida katika jiometri

Jinsi ya kujifunza kutatua matatizo katika jiometri ya uchambuzi?
Tatizo la kawaida na pembetatu kwenye ndege

Somo hili liliundwa kwa njia ya ikweta kati ya jiometri ya ndege na jiometri ya nafasi. Kwa sasa, kuna haja ya kupanga habari iliyokusanywa na kujibu swali muhimu sana: jinsi ya kujifunza kutatua matatizo katika jiometri ya uchambuzi? Ugumu upo katika ukweli kwamba kuna idadi isiyo na kikomo ya shida katika jiometri, na hakuna kitabu cha maandishi kinaweza kuwa na mifano mingi na anuwai. Sio derivative ya utendaji na kanuni tano za upambanuzi, jedwali, na mbinu chache….

Kuna suluhisho! Sitasema maneno makubwa ambayo nimeanzisha aina fulani ya mbinu ya grandiose, hata hivyo, kwa maoni yangu, kuna njia ya ufanisi ya tatizo linalozingatiwa, ambayo inaruhusu hata kettle kamili kufikia matokeo mazuri na bora. Angalau, algorithm ya jumla ya kutatua shida za kijiometri ilichukua sura wazi sana katika kichwa changu.

UNACHOHITAJI KUJUA NA KUWEZA
kusuluhisha kwa mafanikio shida katika jiometri?

Hakuna kuondoka kutoka kwa hili - ili usifanye vifungo kwa nasibu na pua yako, unahitaji kujua misingi ya jiometri ya uchambuzi. Kwa hivyo, ikiwa umeanza kusoma jiometri au umesahau kabisa, tafadhali anza na somo Vectors kwa dummies. Mbali na veta na vitendo nao, unahitaji kujua dhana za msingi za jiometri ya ndege, haswa, equation ya mstari wa moja kwa moja katika ndege na. Jiometri ya nafasi inawakilishwa na makala Mlinganyo wa ndege, Equations ya mstari wa moja kwa moja katika nafasi, Kazi za msingi kwenye mstari na ndege na masomo mengine. Mistari iliyopotoka na nyuso za anga za mpangilio wa pili zinasimama kando, na hakuna shida nyingi sana nazo.

Tuseme mwanafunzi tayari ana ujuzi na ujuzi wa msingi katika kutatua matatizo rahisi zaidi ya jiometri ya uchambuzi. Lakini hufanyika kama hii: unasoma hali ya shida, na ... unataka kufunga jambo zima kabisa, litupe kwenye kona ya mbali na uisahau, kama ndoto mbaya. Kwa kuongezea, hii haitegemei kiwango cha sifa zako, mara kwa mara mimi mwenyewe hukutana na kazi ambazo suluhisho sio dhahiri. Jinsi ya kutenda katika kesi kama hizo? Hakuna haja ya kuogopa kazi ambayo hauelewi!

Kwanza, inapaswa kuwekwa ni "planar" au shida ya anga? Kwa mfano, ikiwa vekta zilizo na kuratibu mbili zinaonekana katika hali hiyo, basi, bila shaka, hii ni jiometri ya ndege. Na ikiwa mwalimu alipakia msikilizaji mwenye shukrani na piramidi, basi kuna wazi jiometri ya nafasi. Matokeo ya hatua ya kwanza tayari ni nzuri, kwa sababu tuliweza kukata habari nyingi zisizohitajika kwa kazi hii!

Pili. Hali, kama sheria, itakuhusu na takwimu fulani ya kijiometri. Hakika, tembea kando ya korido za chuo kikuu chako cha asili, na utaona nyuso nyingi za wasiwasi.

Katika matatizo ya "gorofa", bila kutaja pointi na mistari ya wazi, takwimu maarufu zaidi ni pembetatu. Tutaichambua kwa kina sana. Inayofuata inakuja parallelogram, na mstatili, mraba, rhombus, mduara, na takwimu nyingine ni kidogo sana.

Katika kazi za anga, takwimu sawa za gorofa + ndege wenyewe na piramidi za kawaida za triangular na parallelepipeds zinaweza kuruka.

Swali la pili - Je! unajua kila kitu kuhusu takwimu hii? Tuseme hali ni kuhusu pembetatu ya isosceles, na unakumbuka kwa uwazi sana ni aina gani ya pembetatu. Tunafungua kitabu cha shule na kusoma kuhusu pembetatu ya isosceles. Nini cha kufanya ... daktari alisema rhombus, hivyo rhombus. Jiometri ya uchanganuzi ni jiometri ya uchanganuzi, lakini tatizo litasaidia kutatua mali ya kijiometri ya takwimu wenyewe inayojulikana kwetu kutoka kwa mtaala wa shule. Ikiwa hujui nini jumla ya pembe za pembetatu ni, basi unaweza kuteseka kwa muda mrefu.

Cha tatu. jaribu kufuata mpango kila wakati(kwenye rasimu / safi / kiakili), hata ikiwa hii haihitajiki na hali hiyo. Katika kazi "gorofa", Euclid mwenyewe aliamuru kuchukua mtawala na penseli mkononi - na si tu ili kuelewa hali hiyo, lakini pia kwa madhumuni ya kujipima. Katika kesi hii, kiwango cha urahisi zaidi ni kitengo 1 = 1 cm (seli 2 za tetrad). Wacha tuzungumze juu ya wanafunzi wazembe na wanahisabati wanaozunguka makaburini mwao - karibu haiwezekani kufanya makosa katika shida kama hizo. Kwa kazi za anga, tunafanya mchoro wa schematic, ambayo pia itasaidia kuchambua hali hiyo.

Mchoro wa kuchora au mchoro mara nyingi hukuruhusu mara moja kuona njia ya kutatua shida. Bila shaka, kwa hili unahitaji kujua msingi wa jiometri na kukata katika mali ya maumbo ya kijiometri (angalia aya iliyotangulia).

nne. Maendeleo ya algorithm ya suluhisho. Shida nyingi za jiometri ni kupita nyingi, kwa hivyo ni rahisi sana kuvunja suluhisho na muundo wake kuwa alama. Mara nyingi, algorithm mara moja inakuja akilini baada ya kusoma hali au kukamilisha kuchora. Ikiwa kuna shida, tunaanza na SWALI la shida. Kwa mfano, kulingana na hali "inahitajika kujenga mstari wa moja kwa moja ...". Hapa swali la mantiki zaidi ni: "Ni nini cha kutosha kujua kujenga mstari huu?". Tuseme, "tunajua uhakika, tunahitaji kujua vector ya mwelekeo." Tunauliza swali lifuatalo: "Jinsi ya kupata vector hii ya mwelekeo? Wapi?" na kadhalika.

Wakati mwingine kuna "kuziba" - kazi haijatatuliwa na ndivyo. Sababu za kuzuia inaweza kuwa zifuatazo:

- Pengo kubwa katika maarifa ya kimsingi. Kwa maneno mengine, hujui au (na) huoni jambo rahisi sana.

- Ujinga wa mali ya maumbo ya kijiometri.

- Kazi ilikuwa ngumu. Ndiyo, hutokea. Hakuna maana katika kuanika kwa saa nyingi na kukusanya machozi kwenye leso. Uliza mwalimu wako, wanafunzi wenzako au uulize swali kwenye jukwaa kwa ushauri. Zaidi ya hayo, ni bora kufanya taarifa yake halisi - kuhusu sehemu hiyo ya suluhisho ambayo huelewi. Kilio kwa namna ya "Jinsi ya kutatua tatizo?" haionekani kuwa nzuri ... na juu ya yote, kwa sifa yako mwenyewe.

Hatua ya tano. Tunasuluhisha-angalia, suluhisha-angalia, suluhisha-angalia-tunatoa jibu. Ni vyema kuangalia kila kipengele cha kazi mara baada ya kufanyika. Hii itakusaidia kupata kosa mara moja. Kwa kawaida, hakuna mtu anayekataza haraka kutatua tatizo zima, lakini kuna hatari ya kuandika tena kila kitu tena (mara nyingi kurasa kadhaa).

Hapa, labda, ni masuala yote kuu ambayo inashauriwa kuongozwa na wakati wa kutatua matatizo.

Sehemu ya vitendo ya somo inawakilishwa na jiometri kwenye ndege. Kutakuwa na mifano miwili tu, lakini haitaonekana kutosha =)

Wacha tupitie uzi wa algoriti ambayo nimehakiki hivi punde katika kazi yangu ndogo ya kisayansi:

Mfano 1

Wima tatu za parallelogram zimetolewa. Tafuta juu.

Wacha tuanze kuigundua:

Hatua ya kwanza: ni dhahiri kwamba tunazungumzia tatizo la "gorofa".

hatua ya pili: Tatizo ni kuhusu parallelogram. Kila mtu anakumbuka takwimu hiyo ya parallelogram? Hakuna haja ya kutabasamu, watu wengi wameelimishwa kwa miaka 30-40-50 au zaidi, kwa hivyo hata ukweli rahisi unaweza kufutwa kutoka kwa kumbukumbu. Ufafanuzi wa parallelogram unapatikana katika Mfano Na. 3 wa somo Utegemezi wa mstari (usio) wa vekta. Msingi wa Vector.

Hatua ya Tatu: Wacha tufanye mchoro ambao tunaweka alama kwenye wima tatu zinazojulikana. Inafurahisha kuwa ni rahisi kujenga mara moja hatua unayotaka:

Kujenga ni, bila shaka, nzuri, lakini ufumbuzi lazima urasimishwe kiuchambuzi.

Hatua ya Nne: Maendeleo ya algorithm ya suluhisho. Jambo la kwanza linalokuja akilini ni kwamba hatua inaweza kupatikana kama makutano ya mistari. Equations zao hazijulikani kwetu, kwa hivyo lazima tushughulikie suala hili:

1) Pande zinazopingana ni sambamba. Kwa pointi pata vekta ya mwelekeo wa pande hizi. Hii ndiyo kazi rahisi zaidi ambayo ilizingatiwa katika somo. Vectors kwa dummies.

Kumbuka: ni sahihi zaidi kusema "equation ya mstari wa moja kwa moja ulio na upande", lakini baadaye, kwa ufupi, nitatumia misemo "equation ya upande", "kuelekeza vector ya upande", nk.

3) Pande zinazopingana ni sambamba. Kutoka kwa pointi tunapata vector ya mwelekeo wa pande hizi.

4) Tunga equation ya mstari wa moja kwa moja kwa uhakika na vector ya mwelekeo

Katika aya ya 1-2 na 3-4, kwa kweli tulitatua shida sawa mara mbili, kwa njia, inachambuliwa kwa mfano Nambari 3 ya somo. Matatizo rahisi zaidi na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Iliwezekana kwenda mbali zaidi - kwanza pata hesabu za mistari na kisha tu "kutoa" veta za mwelekeo kutoka kwao.

5) Sasa milinganyo ya mistari inajulikana. Inabakia kutunga na kutatua mfumo unaolingana wa milinganyo ya mstari (tazama mifano Na. 4, 5 ya somo sawa. Matatizo rahisi zaidi na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege).

Pointi imepatikana.

Kazi ni rahisi sana na suluhisho lake ni dhahiri, lakini kuna njia fupi!

Njia ya pili ya kutatua:

Ulalo wa parallelogram umegawanywa kwa sehemu yao ya makutano. Niliweka alama, lakini ili nisiingie kwenye mchoro, sikujichora diagonal mwenyewe.

Tunga equation ya upande kwa pointi :

Kuangalia, kiakili au kwenye rasimu, badilisha viwianishi vya kila nukta katika mlinganyo unaotokana. Sasa hebu tupate mteremko. Ili kufanya hivyo, tunaandika tena equation ya jumla katika mfumo wa equation na mteremko:

Kwa hivyo sababu ya mteremko ni:

Vile vile, tunapata milinganyo ya pande. Sioni maana kubwa ya kuchora kitu kimoja, kwa hivyo nitatoa matokeo ya kumaliza mara moja:

2) Tafuta urefu wa upande. Hii ndiyo kazi rahisi zaidi iliyojadiliwa katika somo. Vectors kwa dummies. Kwa pointi tunatumia formula:

Kutumia fomula sawa, ni rahisi kupata urefu wa pande zingine. Kuangalia hufanywa haraka sana na mtawala wa kawaida.

Tunatumia formula .

Wacha tupate vekta:

Kwa njia hii:

Kwa njia, njiani, tulipata urefu wa pande.

Matokeo yake:

Kweli, inaonekana kuwa kweli, kwa ushawishi, unaweza kushikamana na protractor kwenye kona.

Makini! Usichanganye pembe ya pembetatu na pembe kati ya mistari iliyonyooka. Pembe ya pembetatu inaweza kuwa butu, lakini pembe kati ya mistari iliyonyooka sio (tazama aya ya mwisho ya kifungu. Matatizo rahisi zaidi na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege) Walakini, fomula za somo hapo juu pia zinaweza kutumika kupata pembe ya pembetatu, lakini ukali ni kwamba fomula hizo daima hutoa pembe ya papo hapo. Kwa msaada wao, nilitatua tatizo hili kwenye rasimu na nikapata matokeo. Na kwenye nakala safi, itabidi uandike visingizio vya ziada.

4) Andika mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopita kwenye nukta sambamba na mstari ulionyooka.

Kazi ya kawaida, iliyojadiliwa kwa undani katika mfano Nambari 2 ya somo Matatizo rahisi zaidi na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Kutoka kwa equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja vuta vekta ya mwelekeo. Wacha tutunge hesabu ya mstari wa moja kwa moja kwa nukta na vekta inayoelekeza:

Jinsi ya kupata urefu wa pembetatu?

5) Hebu tufanye equation ya urefu na tutapata urefu wake.

Hakuna kutoroka kutoka kwa ufafanuzi madhubuti, kwa hivyo lazima uibe kutoka kwa kitabu cha kiada cha shule:

urefu wa pembetatu inayoitwa perpendicular inayotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembetatu hadi kwenye mstari ulio na upande wa kinyume.

Hiyo ni, ni muhimu kutunga equation ya perpendicular inayotolewa kutoka kwa vertex hadi upande. Kazi hii inazingatiwa katika mifano No 6, 7 ya somo Matatizo rahisi zaidi na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Kutoka kwa equation ondoa vector ya kawaida. Tutaunda equation ya urefu kwa uhakika na vekta ya mwelekeo:

Tafadhali kumbuka kuwa hatujui kuratibu za uhakika.

Wakati mwingine usawa wa urefu unapatikana kutoka kwa uwiano wa mteremko wa mistari ya perpendicular:. Katika kesi hii, basi:. Tutatunga mlingano wa urefu kwa nukta na mteremko (ona mwanzo wa somo Equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege):

Urefu wa urefu unaweza kupatikana kwa njia mbili.

Kuna njia ya kuzunguka:

a) kupata - hatua ya makutano ya urefu na upande;
b) pata urefu wa sehemu kwa pointi mbili zinazojulikana.

Lakini darasani Matatizo rahisi zaidi na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege formula rahisi kwa umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari ilizingatiwa. Hoja inajulikana: , equation ya mstari pia inajulikana: , Kwa njia hii:

6) Kuhesabu eneo la pembetatu. Katika nafasi, eneo la pembetatu huhesabiwa kwa jadi kwa kutumia bidhaa ya msalaba wa vekta, lakini hapa pembetatu inatolewa katika ndege. Tunatumia formula ya shule:
Eneo la pembetatu ni nusu ya bidhaa ya msingi wake mara urefu wake.

Kwa kesi hii:

Jinsi ya kupata wastani wa pembetatu?

7) Tunga mlingano wa wastani.

Pembetatu ya wastani Sehemu ya mstari inayounganisha kipeo cha pembetatu na sehemu ya katikati ya upande wa pili inaitwa.

a) Tafuta uhakika - katikati ya upande. Tunatumia midpoint kuratibu fomula. Kuratibu za ncha za sehemu zinajulikana: , kisha kuratibu za katikati:

Kwa njia hii:

Tunatunga usawa wa wastani kwa pointi :

Kuangalia equation, unahitaji kubadilisha kuratibu za pointi ndani yake.

8) Pata hatua ya makutano ya urefu na wastani. Nadhani kila mtu tayari amejifunza jinsi ya kufanya kipengele hiki cha skating takwimu bila kuanguka:

Jukumu la 1. Kuratibu za vipeo vya pembetatu ABC hutolewa: A (4; 3), B (16;-6), C (20; 16). Tafuta: 1) urefu wa upande AB; 2) equations ya pande AB na BC na mteremko wao; 3) angle B katika radians na usahihi wa maeneo mawili ya decimal; 4) equation ya urefu wa CD na urefu wake; 5) equation ya AE ya wastani na kuratibu za hatua K ya makutano ya wastani huu na CD ya urefu; 6) equation ya mstari wa moja kwa moja kupita kwa uhakika K sambamba na upande AB; 7) kuratibu za uhakika M, ziko kwa ulinganifu kwa uhakika A jamaa na CD ya mstari wa moja kwa moja.

Suluhisho:

1. Umbali d kati ya pointi A(x 1,y 1) na B(x 2,y 2) huamuliwa na fomula.

Kuomba (1), tunapata urefu wa upande AB:

2. Mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopitia pointi A (x 1, y 1) na B (x 2, y 2) una fomu.

(2)

Tukibadilisha katika (2) viwianishi vya pointi A na B, tunapata mlinganyo wa upande AB:

Baada ya kusuluhisha equation ya mwisho ya y, tunapata equation ya upande wa AB katika mfumo wa equation ya mstari wa moja kwa moja na mteremko:

wapi

Kubadilisha katika (2) kuratibu za alama B na C, tunapata equation ya mstari wa moja kwa moja BC:

Au

3. Inajulikana kuwa tangent ya pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka, mgawo wa angular ambao ni sawa na huhesabiwa kwa fomula.

(3)

Pembe inayotakiwa B huundwa na mistari ya moja kwa moja AB na BC, mgawo wa angular ambao hupatikana: Kuomba (3), tunapata.

Au furaha.

4. Mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua fulani katika mwelekeo fulani una fomu

(4)

Urefu wa CD ni perpendicular kwa upande AB. Ili kupata mteremko wa urefu wa CD, tunatumia hali ya perpendicularity ya mistari. Tangu wakati huo Kubadilisha (4) kuratibu za uhakika C na mgawo wa angular uliopatikana wa urefu, tunapata

Ili kupata urefu wa urefu wa CD, kwanza tunaamua kuratibu za uhakika D - hatua ya makutano ya mistari AB na CD. Kutatua mfumo pamoja:

tafuta hizo. D(8;0).

Kutumia formula (1), tunapata urefu wa urefu wa CD:

5. Ili kupata equation ya AE ya wastani, kwanza tunaamua kuratibu za uhakika E, ambayo ni katikati ya upande BC, kwa kutumia fomula za kugawanya sehemu katika sehemu mbili sawa:

(5)

Kwa hiyo,

Kubadilisha katika (2) viwianishi vya alama A na E, tunapata mlinganyo wa wastani:

Ili kupata kuratibu za hatua ya makutano ya CD ya urefu na AE ya wastani, tunatatua kwa pamoja mfumo wa hesabu.

Tunapata.

6. Kwa kuwa mstari unaohitajika ni sawa na upande wa AB, basi mteremko wake utakuwa sawa na mteremko wa mstari wa AB. Kubadilisha katika (4) kuratibu za hatua iliyopatikana K na mteremko tunaopata

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Kwa kuwa mstari wa AB ni perpendicular kwa CD ya mstari, hatua inayotakiwa M, iko kwa ulinganifu kwa uhakika A jamaa na CD ya mstari, iko kwenye mstari wa AB. Kwa kuongeza, hatua D ni katikati ya sehemu AM. Kutumia fomula (5), tunapata kuratibu za nukta inayotaka M:

Pembetatu ABC, CD ya urefu, AE ya wastani, mstari wa KF na uhakika M zimejengwa katika mfumo wa kuratibu wa xOy kwenye tini. moja.

Jukumu la 2. Tunga equation kwa eneo la pointi, uwiano wa umbali ambao kwa hatua fulani A (4; 0) na kwa mstari uliopewa x \u003d 1 ni sawa na 2.

Suluhisho:

Katika mfumo wa kuratibu wa xOy, tunajenga uhakika A (4;0) na mstari wa moja kwa moja x = 1. Hebu M (x;y) iwe hatua ya kiholela ya locus inayohitajika ya pointi. Hebu tuache MB perpendicular kwa mstari uliopewa x = 1 na kuamua kuratibu za uhakika B. Kwa kuwa hatua B iko kwenye mstari uliopewa, abscissa yake ni sawa na 1. Mpangilio wa hatua B ni sawa na kuratibu. ya uhakika M. Kwa hiyo, B (1; y) (Mchoro 2).

Kwa hali ya tatizo |MA|: |MV| = 2. Umbali |MA| na |MB| tunapata kwa formula (1) ya tatizo 1:

Kwa kupiga pande za kushoto na kulia, tunapata

au

Equation inayotokana ni hyperbola, ambayo mhimili wa nusu halisi ni = 2, na moja ya kufikiria ni.

Hebu tufafanue foci ya hyperbola. Kwa hyperbola, usawa unaridhika ndio viini vya hyperbola. Kama unavyoona, nukta iliyopewa A(4;0) ndio mwelekeo sahihi wa hyperbola.

Wacha tujue ukweli wa hyperbola inayosababishwa:

Milinganyo ya asymptote ya hyperbola ina fomu na . Kwa hiyo, au na ni asymptotes ya hyperbola. Kabla ya kuunda hyperbola, tunaunda asymptotes zake.

Jukumu la 3. Tunga equation kwa eneo la pointi zinazolingana kutoka kwa uhakika A (4; 3) na mstari wa moja kwa moja y \u003d 1. Punguza equation inayosababisha kwa fomu yake rahisi zaidi.

Suluhisho: Acha M(x; y) iwe moja wapo ya vidokezo vya eneo linalohitajika la vidokezo. Hebu tuache MB perpendicular kutoka kwa uhakika M hadi mstari uliopewa y = 1 (Mchoro 3). Hebu tuamue kuratibu za hatua B. Ni dhahiri kwamba abscissa ya uhakika B ni sawa na abscissa ya uhakika M, na mratibu wa hatua B ni 1, yaani B (x; 1). Kwa hali ya tatizo |MA|=|MV|. Kwa hivyo, kwa nukta yoyote M (x; y) inayomilikiwa na eneo linalohitajika la pointi, usawa ni kweli:

Equation inayotokana inafafanua parabola na vertex katika hatua Ili kupunguza equation ya parabola kwa fomu yake rahisi, tunaweka na y + 2 = Y kisha equation ya parabola inachukua fomu:

Suluhisho fanya kwa calculator.
Viratibu vya pembetatu vinatolewa: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Kuratibu za Vector
Kuratibu za vekta hupatikana kwa formula:
X = x j - x i; Y = y j - y i

Kwa mfano, kwa vector AB

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
KK(-2;2)
2) Moduli za vekta

3) Pembe kati ya mistari iliyonyooka
Pembe kati ya vekta 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) inaweza kupatikana kwa fomula:

ambapo 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Tafuta pembe kati ya pande AB na AC

γ = arccos(0.6) = 53.13 0
4) Makadirio ya Vector
Makadirio ya Vector b kwa kila vekta a inaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Tafuta makadirio ya vekta AB kwenye vekta AC

5) eneo la pembetatu



Suluhisho


Kulingana na formula tunapata:

6) Mgawanyiko wa sehemu katika suala hili
Vekta ya radius r ya uhakika A, ambayo inagawanya sehemu ya AB kuhusiana na AA:AB = m 1:m 2, imedhamiriwa na fomula:

Viwianishi vya nukta A hupatikana na fomula:




Mlinganyo wa Kati wa Pembetatu
Tunaashiria katikati ya upande wa BC kwa barua M. Kisha tunapata kuratibu za uhakika M kwa kanuni za kugawanya sehemu kwa nusu.


M(0;-1)
Tunapata mlinganyo wa AM ya wastani kwa kutumia fomula ya mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopita pointi mbili zilizotolewa. AM ya wastani hupitia nukta A(2;1) na M(0;-1), kwa hivyo:

au

au
y=x-1 au y-x+1=0
7) Equation ya mstari wa moja kwa moja


Mlinganyo wa mstari AB

au

au
y = 3x -5 au y -3x +5 = 0
Mlingano wa AC wa mstari

au

au
y = 1 / 3 x + 1 / 3 au 3y -x - 1 = 0
Mlingano wa BC

au

au
y = -x -1 au y + x +1 = 0
8) Urefu wa urefu wa pembetatu inayotolewa kutoka kwa kipeo A
Umbali d kutoka kwa uhakika M 1 (x 1; y 1) hadi mstari wa moja kwa moja Ax + By + C \u003d 0 ni sawa na thamani kamili ya wingi:

Tafuta umbali kati ya nukta A(2;1) na mstari BC (y + x +1 = 0)

9) Mlinganyo wa urefu kupitia kipeo C
Mstari unaopitia hatua M 0 (x 0 ;y 0) na perpendicular kwa mstari Ax + By + C = 0 ina vekta ya mwelekeo (A;B) na, kwa hiyo, inawakilishwa na milinganyo:


Equation hii pia inaweza kupatikana kwa njia nyingine. Ili kufanya hivyo, tunapata mteremko k 1 wa mstari wa moja kwa moja AB.
Equation AB: y = 3x -5 i.e. k 1 = 3
Hebu tupate mteremko k wa perpendicular kutoka kwa hali ya perpendicularity ya mistari miwili ya moja kwa moja: k 1 *k = -1.
Kubadilisha badala ya k 1 mteremko wa mstari huu ulionyooka, tunapata:
3k = -1, imetoka wapi k = -1 / 3
Kwa kuwa perpendicular inapita kwa uhakika C (-1,0) na ina k = -1 / 3, tutatafuta usawa wake kwa fomu: y-y 0 = k (x-x 0).
Kubadilisha x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 tunapata:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
au
y = -1 / 3 x - 1 / 3
Mlinganyo wa pembetatu
Hebu tutafute sehemu mbili ya pembe A. Onyesha sehemu ya makutano ya sehemu mbili kwa upande wa BC na M.
Wacha tutumie formula:

Mlinganyo wa AB: y -3x +5 = 0, mlinganyo wa AC: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Kipenyo kiwili hutenganisha pembe, kwa hivyo pembe NAK ≈ 26.5 0
Tangent ya mteremko AB ni 3 (kwa sababu y -3x +5 = 0). Pembe ya mteremko ni 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg(45.5 0) = 1
Kijisekta hupitia nukta A(2,1), kwa kutumia fomula, tunayo:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
au
y=x-1
Pakua

Mfano. Kuratibu za vipeo vya pembetatu ABC zimetolewa: A(-3; -1), B (4; 6), C (8; -2).
Inahitajika: 1) kuhesabu urefu wa upande BC; 2) chora equation kwa upande BC; 3) kupata angle ya mambo ya ndani ya pembetatu kwenye vertex B; 4) fanya equation kwa urefu wa AK inayotolewa kutoka juu A; 5) pata kuratibu za katikati ya mvuto wa pembetatu yenye homogeneous (hatua ya makutano ya wapatanishi wake); 6) fanya kuchora katika mfumo wa kuratibu.

Zoezi. Kwa kuzingatia viwianishi vya vipeo vya pembetatu ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Inahitajika:

1. andika mlinganyo wa wastani uliochorwa kutoka kipeo B na uhesabu urefu wake.
2. andika mlinganyo wa urefu uliochorwa kutoka kwenye kipeo A na uhesabu urefu wake.
3. pata cosine ya pembe ya ndani B ya pembetatu ABC.

Mfano #3. Vipeo A(1;1), B(7;4), C(4;5) vya pembetatu vimetolewa. Tafuta: 1) urefu wa upande AB; 2) angle ya ndani A katika radians na usahihi wa 0.001. Fanya mchoro.
Pakua

Mfano #4. Vipeo A(1;1), B(7;4), C(4;5) vya pembetatu vimetolewa. Pata: 1) equation ya urefu inayotolewa kupitia vertex C; 2) equation ya wastani inayotolewa kupitia vertex C; 3) hatua ya makutano ya urefu wa pembetatu; 4) urefu wa urefu uliopungua kutoka kwa vertex C. Fanya kuchora.
Pakua

Mfano #5. Vipeo vya pembetatu ABC vimetolewa: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Kuamua: 1) urefu wa upande AB; 2) equation ya pande AB na AC na mteremko wao; 3) eneo la pembetatu.

Tunapata kuratibu za vectors kwa formula: X = x j - x i; Y = y j - y i
hapa X, Y kuratibu za vekta; x i, y i - kuratibu za uhakika A i; x j , y j - kuratibu za uhakika A j
Kwa mfano, kwa vector AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Zoezi. Kwa kuzingatia kuratibu za wima za piramidi ABCD. Inahitajika:

1. Andika vekta katika mfumo wa ort na upate moduli za vekta hizi.
2. Tafuta pembe kati ya vekta.
3. Tafuta makadirio ya vekta kwenye vekta.
4. Pata eneo la uso wa ABC.
5. Pata kiasi cha piramidi ABCD.

Zoezi. Pata pembe ya papo hapo kati ya mistari x + y -5 = 0 na x + 4y - 8 = 0.
Mapendekezo ya suluhisho. Tatizo linatatuliwa kwa kutumia Angle kati ya huduma ya mistari miwili.
Jibu: 30.96o

Mfano #1. Kuratibu za pointi A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) zimetolewa. Tafuta urefu wa makali A1A2. Andika equation kwa makali A1A4 na uso A1A2A3. Andika mlinganyo wa urefu ulioshuka kutoka hatua A4 hadi ndege A1A2A3. Pata eneo la pembetatu A1A2A3. Pata kiasi cha piramidi ya pembetatu A1A2A3A4.

Tunapata kuratibu za vectors kwa formula: X = x j - x i; Y = y j - y i; Z = z j - z i
hapa X,Y,Z kuratibu za vekta; x i, y i, z i - kuratibu za uhakika A i; x j , y j , z j - kuratibu za uhakika A j ;
Kwa hivyo, kwa vector A 1 A 2 watakuwa kama ifuatavyo:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Urefu wa vekta a(X;Y;Z) unaonyeshwa kulingana na viwianishi vyake na fomula: