Mfumo wa milinganyo ya mstari wa mpangilio wa 3. Mifumo ya kutatua milinganyo ya algebra ya mstari, njia za suluhisho, mifano. V.S. Shchipachev, Hisabati ya Juu, ch.10, p.2

Fikiria mfumo wa milinganyo 3 na tatu zisizojulikana

Kutumia viashiria vya utaratibu wa tatu, ufumbuzi wa mfumo huo unaweza kuandikwa kwa fomu sawa na kwa mfumo wa equations mbili, i.e.

(2.4)

ikiwa 0. Hapa

Ni Utawala wa Cramer kutatua mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari katika mambo matatu yasiyojulikana.

Mfano 2.3. Tatua mfumo wa hesabu za mstari kwa kutumia sheria ya Cramer:

Suluhisho . Kupata kiamua cha matrix kuu ya mfumo

Kwa kuwa 0, basi kupata suluhisho kwa mfumo, unaweza kutumia sheria ya Cramer, lakini kwanza uhesabu viashiria vitatu zaidi:

Uchunguzi:

Kwa hiyo, suluhisho linapatikana kwa usahihi. 

Sheria za Cramer zilizopatikana kwa mifumo ya mstari wa mpangilio wa 2 na wa 3 zinaonyesha kuwa sheria sawa zinaweza kutengenezwa kwa mifumo ya mstari wa mpangilio wowote. Kweli hufanyika

Nadharia ya Cramer. Mfumo wa quadratic wa milinganyo ya mstari na kibainishi kisicho cha sifuri cha matriki kuu ya mfumo (0) ina suluhisho moja na moja tu, na suluhisho hili linahesabiwa na fomula

(2.5)

wapi  – kiashiria kikuu cha matrix,  i – kiashiria cha matrix, inayotokana na kuu, uingizwajiisafu wima ya bure ya wanachama.

Kumbuka kwamba ikiwa =0, basi sheria ya Cramer haitumiki. Hii ina maana kwamba mfumo ama hauna suluhu hata kidogo, au una masuluhisho mengi sana.

Baada ya kuunda nadharia ya Cramer, swali kawaida hujitokeza la kukokotoa vibainishi vya mpangilio wa juu.

2.4. Viashiria vya agizo la nth

Ndogo ya ziada M ij kipengele a ij inaitwa kiambishi kilichopatikana kutoka kwa iliyotolewa kwa kufuta i- mstari na j-th safu. Nyongeza ya algebra A ij kipengele a ij inaitwa ndogo ya kipengele hiki, ikichukuliwa na ishara (-1) i + j, i.e. A ij = (–1) i + j M ij .

Kwa mfano, hebu tutafute vipengele vidogo na vya aljebra a 23 na a Viamuzi 31

Tunapata



Kwa kutumia dhana ya kijalizo cha aljebra, tunaweza kutunga nadharia ya upanuzi ya kuamuan-th mpangilio kwa safu au safu.

Nadharia 2.1. Kiamuzi cha matrixAni sawa na jumla ya bidhaa za vitu vyote vya safu (au safu) na nyongeza zao za algebra:

(2.6)

Nadharia hii ni msingi wa mojawapo ya njia kuu za kuhesabu viambatisho, kinachojulikana. njia ya kupunguza agizo. Kama matokeo ya upanuzi wa kiashiria n mpangilio katika safu au safu yoyote, tunapata viashiria n ( n-1) - utaratibu. Ili kuwa na viashiria vichache kama hivyo, inashauriwa kuchagua safu mlalo au safu ambayo ina sufuri nyingi zaidi. Kwa mazoezi, fomula ya upanuzi ya kiambishi kawaida huandikwa kama:

hizo. nyongeza za aljebra zimeandikwa kwa uwazi katika suala la watoto.

Mifano 2.4. Hesabu vibainishi kwa kuvipanua kwanza katika safu mlalo au safu wima yoyote. Kawaida katika hali kama hizi, chagua safu au safu ambayo ina sufuri nyingi. Safu mlalo au safu wima iliyochaguliwa itawekwa alama ya mshale.



2.5. Tabia za kimsingi za viashiria

Kupanua kibainishi katika safu mlalo au safu yoyote, tunapata viashiria n ( n-1) - utaratibu. Kisha kila moja ya viashiria hivi ( n-1)-agizo pia linaweza kugawanywa kuwa jumla ya viashiria ( n-2) utaratibu. Kuendelea mchakato huu, mtu anaweza kufikia viashiria vya utaratibu wa 1, i.e. kwa vipengele vya tumbo ambavyo kibainishi kinakokotolewa. Kwa hivyo, ili kuhesabu viashiria vya mpangilio wa 2, italazimika kuhesabu jumla ya maneno mawili, kwa viashiria vya agizo la 3 - jumla ya masharti 6, kwa viashiria vya mpangilio wa 4 - maneno 24. Idadi ya istilahi itaongezeka kwa kasi kadri mpangilio wa kibainishi unavyoongezeka. Hii ina maana kwamba hesabu ya viashiria vya maagizo ya juu sana inakuwa kazi badala ya kazi, zaidi ya uwezo wa hata kompyuta. Walakini, viashiria vinaweza kuhesabiwa kwa njia nyingine, kwa kutumia sifa za viashiria.

Mali 1 . Kiamuzi hakitabadilika ikiwa safu na safu wima zimebadilishwa ndani yake, i.e. wakati wa kupitisha matrix:

Sifa hii inaonyesha usawa wa safu mlalo na safu wima za kibainishi. Kwa maneno mengine, taarifa yoyote kuhusu safu wima za kiambishi ni kweli kwa safu mlalo zake, na kinyume chake.

Mali 2 . Kiashiria hubadilisha ishara wakati safu mlalo (safu) mbili zinapobadilishwa.

Matokeo . Ikiwa kiashiria kina safu mbili zinazofanana (safu), basi ni sawa na sifuri.

Mali 3 . Kipengele cha kawaida cha vipengee vyote kwenye safu mlalo yoyote (safu wima) kinaweza kutolewa nje ya ishara ya kiambishi.

Kwa mfano,

Matokeo . Ikiwa vipengele vyote vya safu mlalo fulani (safu) ya kiambishi ni sawa na sifuri, basi kibainishi chenyewe ni sawa na sifuri..

Mali 4 . Kiamuzi hakitabadilika ikiwa vipengee vya safu mlalo moja (safu wima) vimeongezwa kwa vipengee vya safu mlalo nyingine (safu wima) vikizidishwa na nambari fulani..

Kwa mfano,

Mali 5 . Kiamuzi cha bidhaa ya matrix ni sawa na bidhaa ya viambishi vya matrix:

Kazi ya vitendo

"Suluhisho la mifumo ya milinganyo ya mstari wa mpangilio wa tatu kwa njia ya Cramer"

Malengo ya kazi:

kupanua uelewa wa njia za kutatua SLE na ufanyie kazi algorithm ya kutatua SLE kwa njia ya Cramor;

kukuza mawazo ya kimantiki ya wanafunzi, uwezo wa kupata suluhisho la busara kwa shida;

kuwaelimisha wanafunzi katika usahihi na utamaduni wa hotuba iliyoandikwa ya hisabati wanapofanya uamuzi wao.

Nyenzo za msingi za kinadharia.

Njia ya Cramer. Maombi ya mifumo ya milinganyo ya mstari.

Mfumo wa milinganyo ya aljebra ya N linear (SLAE) yenye zisizojulikana imetolewa, migawo yake ambayo ni vipengele vya matrix , na washiriki huru ni nambari.

Ripoti ya kwanza karibu na coefficients inaonyesha ambayo equation mgawo iko, na pili - ambayo haijulikani iko.

Ikiwa kibainishi cha matriki si sawa na sifuri

basi mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari una suluhisho la kipekee. Suluhisho la mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari ni seti ya nambari zilizopangwa, ambazo hubadilisha kila milinganyo ya mfumo kuwa usawa sahihi. Ikiwa pande za kulia za equations zote za mfumo ni sawa na sifuri, basi mfumo wa equations unaitwa homogeneous. Katika kesi wakati baadhi yao ni nonzero, yasiyo ya sare Ikiwa mfumo wa usawa wa algebraic wa mstari una angalau suluhisho moja, basi inaitwa sambamba, vinginevyo haiendani. Ikiwa suluhisho la mfumo ni la kipekee, basi mfumo wa usawa wa mstari unaitwa dhahiri. Katika kesi wakati ufumbuzi wa mfumo sambamba sio pekee, mfumo wa equations huitwa usio na kipimo. Mifumo miwili ya milinganyo ya mstari inaitwa sawa (au sawa) ikiwa suluhu zote za mfumo mmoja ni suluhu za pili, na kinyume chake. Mifumo sawa (au sawa) hupatikana kwa kutumia mabadiliko sawa.

Mabadiliko sawa ya SLAE

1) upangaji upya wa equations;

2) kuzidisha (au mgawanyiko) wa equations kwa nambari isiyo ya sifuri;

3) kuongeza mlinganyo mwingine mlinganyo mwingine, unaozidishwa na nambari ya kiholela isiyo ya sifuri.

Suluhisho la SLAE linaweza kupatikana kwa njia tofauti, kwa mfano, na formula za Cramer (njia ya Cramer)

Nadharia ya Cramer. Ikiwa kibainishi cha mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari na zisizojulikana ni nonzero, basi mfumo huu una suluhisho la kipekee, ambalo linapatikana na fomula za Cramer: - viambishi vilivyoundwa na uingizwaji wa safu wima -th, safu ya washiriki huru.

If , na angalau moja ya nonzero, basi SLAE haina suluhu. Kama , basi SLAE ina suluhisho nyingi.

Mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari na tatu zisizojulikana hutolewa. Tatua mfumo kwa mbinu ya Cramer

Suluhisho.

Tafuta kibainishi cha matriki ya mgawo wa zisizojulikana

Kwa kuwa , basi mfumo uliopewa wa equations ni thabiti na una suluhisho la kipekee. Wacha tuhesabu viashiria:

Kwa kutumia fomula za Cramer, tunapata zisizojulikana

Hivyo suluhisho pekee kwa mfumo.

Mfumo wa milinganyo minne ya aljebra imetolewa. Tatua mfumo kwa mbinu ya Cramer.

Wacha tupate kiashiria cha matrix ya coefficients kwa zisizojulikana. Ili kufanya hivyo, tunapanua kwa mstari wa kwanza.

Tafuta vipengele vya kiashiria:

Badilisha maadili yaliyopatikana kwenye kibainishi

Kiamuzi, kwa hivyo, mfumo wa milinganyo ni thabiti na una suluhisho la kipekee. Tunahesabu viashiria kwa kutumia fomula za Cramer:

Vigezo vya tathmini:

Kazi inatathminiwa kwa "3" ikiwa: moja ya mifumo imetatuliwa kabisa na kwa usahihi kwa kujitegemea.

Kazi inatathminiwa kwa "4" ikiwa: mifumo yoyote miwili imetatuliwa kabisa na kwa usahihi kwa kujitegemea.

Kazi inatathminiwa kwa "5" ikiwa: mifumo mitatu imetatuliwa kabisa na kwa usahihi kwa kujitegemea.

Njia ya Cramer inategemea utumiaji wa viashiria katika kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari. Hii inaharakisha sana mchakato wa suluhisho.

Mbinu ya Cramer inaweza kutumika kutatua mfumo wa milinganyo mingi ya mstari kama vile kuna zisizojulikana katika kila mlinganyo. Ikiwa kiashiria cha mfumo si sawa na sifuri, basi njia ya Cramer inaweza kutumika katika suluhisho; ikiwa ni sawa na sifuri, basi haiwezi. Kwa kuongeza, njia ya Cramer inaweza kutumika kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo ina suluhisho la kipekee.

Ufafanuzi. Kiamuzi, kinachoundwa na coefficients ya zisizojulikana, inaitwa determinant ya mfumo na inaonyeshwa na (delta).

Viamuzi

zinapatikana kwa kubadilisha coefficients katika zisizojulikana sambamba na masharti bure:

;

Nadharia ya Cramer. Ikiwa kiashiria cha mfumo ni nonzero, basi mfumo wa usawa wa mstari una suluhisho moja, na haijulikani ni sawa na uwiano wa viashiria. Nambari ni kibainishi cha mfumo, na nambari ni kibainishi kinachopatikana kutoka kwa kibainishi cha mfumo kwa kuchukua nafasi ya mgawo na isiyojulikana kwa masharti ya bure. Nadharia hii inashikilia mfumo wa milinganyo ya mstari wa mpangilio wowote.

Mfano 1 Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari:

Kulingana na Nadharia ya Cramer tuna:

Kwa hivyo, suluhisho la mfumo (2):

kikokotoo cha mkondoni, njia ya suluhisho la Cramer.

Kesi tatu katika utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari

Kama inavyoonekana kutoka Nadharia za Cramer, wakati wa kutatua mfumo wa equations za mstari, kesi tatu zinaweza kutokea:

Kesi ya kwanza: mfumo wa milinganyo ya mstari una suluhisho la kipekee

(mfumo ni thabiti na dhahiri)

Kesi ya pili: mfumo wa milinganyo ya mstari una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho

(mfumo ni thabiti na hauwezi kuamua)

** ,

hizo. coefficients ya haijulikani na masharti ya bure ni sawia.

Kesi ya tatu: mfumo wa milinganyo ya mstari hauna suluhu

(mfumo hauendani)

Hivyo mfumo m milinganyo ya mstari na n vigezo inaitwa zisizopatana ikiwa haina suluhu, na pamoja ikiwa ina suluhisho angalau moja. Mfumo wa pamoja wa equations ambao una suluhisho moja tu unaitwa fulani, na zaidi ya moja kutokuwa na uhakika.

Mifano ya utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari kwa mbinu ya Cramer

Wacha mfumo

Kulingana na nadharia ya Cramer

………….
,

wapi
-

kitambulisho cha mfumo. Viamuzi vilivyosalia hupatikana kwa kubadilisha safu wima na mgawo wa kigeu kinacholingana (kisichojulikana) na washiriki wa bure:

Mfano 2

Kwa hiyo, mfumo ni wa uhakika. Ili kupata suluhisho lake, tunahesabu viashiria

Kwa fomula za Cramer tunapata:

Kwa hivyo, (1; 0; -1) ndio suluhisho pekee kwa mfumo.

Kuangalia suluhu za mifumo ya milinganyo 3 X 3 na 4 X 4, unaweza kutumia kikokotoo cha mtandaoni, mbinu ya kutatua Cramer.

Ikiwa hakuna vigezo katika mfumo wa equations linear katika equations moja au zaidi, basi katika determinant vipengele vinavyolingana nao ni sawa na sifuri! Huu ni mfano unaofuata.

Mfano 3 Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa njia ya Cramer:

Suluhisho. Tunapata kiashiria cha mfumo:

Angalia kwa makini mfumo wa milinganyo na kibainishi cha mfumo na urudie jibu la swali ambalo kipengele kimoja au zaidi cha kibainishi ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kiashiria si sawa na sifuri, kwa hiyo, mfumo ni wa uhakika. Ili kupata suluhisho lake, tunahesabu viashiria vya haijulikani

Kwa fomula za Cramer tunapata:

Kwa hivyo, suluhisho la mfumo ni (2; -1; 1).

Kuangalia suluhu za mifumo ya milinganyo 3 X 3 na 4 X 4, unaweza kutumia kikokotoo cha mtandaoni, mbinu ya kutatua Cramer.

Juu ya ukurasa

Tunaendelea kutatua mifumo kwa kutumia mbinu ya Cramer pamoja

Kama ilivyoelezwa tayari, ikiwa kiashiria cha mfumo ni sawa na sifuri, na viashiria vya zisizojulikana si sawa na sifuri, mfumo hauendani, yaani, hauna ufumbuzi. Hebu tuonyeshe kwa mfano ufuatao.

Mfano 6 Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa njia ya Cramer:

Suluhisho. Tunapata kiashiria cha mfumo:

Kiamuzi cha mfumo ni sawa na sifuri, kwa hivyo, mfumo wa milinganyo ya mstari ama haiendani na ni dhahiri, au haiendani, ambayo ni, haina suluhisho. Ili kufafanua, tunahesabu viashiria vya zisizojulikana

Vipimo vya vitu visivyojulikana si sawa na sifuri, kwa hiyo, mfumo haufanani, yaani, hauna ufumbuzi.

Kuangalia suluhu za mifumo ya milinganyo 3 X 3 na 4 X 4, unaweza kutumia kikokotoo cha mtandaoni, mbinu ya kutatua Cramer.

Katika matatizo kwenye mifumo ya equations linear, pia kuna wale ambapo, pamoja na herufi zinazoashiria vigezo, pia kuna barua nyingine. Herufi hizi zinasimama kwa nambari fulani, mara nyingi nambari halisi. Katika mazoezi, equations vile na mifumo ya equations husababisha matatizo ya kupata mali ya jumla ya matukio yoyote na vitu. Hiyo ni, umevumbua nyenzo mpya au kifaa, na kuelezea mali zake, ambazo ni za kawaida bila kujali saizi au idadi ya nakala, unahitaji kutatua mfumo wa hesabu za mstari, ambapo badala ya mgawo wa vigezo kuna herufi. Sio lazima utafute mbali kwa mifano.

Mfano unaofuata ni wa tatizo sawa, ni idadi tu ya milinganyo, vigeu, na herufi zinazoashiria baadhi ya nambari halisi huongezeka.

Mfano 8 Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa njia ya Cramer:

Suluhisho. Tunapata kiashiria cha mfumo:

Kutafuta viashiria vya wasiojulikana

TAWI LA KOSTROMA LA CHUO KIKUU CHA JESHI CHA RCHB ULINZI

Idara ya "Automatisering ya amri na udhibiti"

Kwa walimu pekee

"Nimekubali"

Mkuu wa Idara namba 9

Kanali YAKOVLEV A.B.

"____" ______________ 2004

Profesa Mshiriki A.I. Smirnova

"WAAMUZI.

SULUHU LA MIFUMO YA MILIngano WA MISTARI"

MUHADHARA № 2 / 1

Iliyojadiliwa katika mkutano wa idara Na

"____" ___________ 2004

Nambari ya Itifaki ___________

Kostroma, 2004.

Utangulizi

1. Viamuzi vya utaratibu wa pili na wa tatu.

2. Sifa za vibainishi. Nadharia ya mtengano.

3. Nadharia ya Cramer.

Hitimisho

Fasihi

1. V.E. Schneider et al., Kozi Fupi katika Hisabati ya Juu, Juzuu ya I, Ch. 2, kipengele 1.

2. V.S. Shchipachev, Hisabati ya Juu, ch.10, p.2.

UTANGULIZI

Hotuba inahusika na viashiria vya amri ya pili na ya tatu, mali zao. Pamoja na nadharia ya Cramer, ambayo inaruhusu kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia viashiria. Viamuzi pia hutumiwa baadaye katika mada "Vector Algebra" wakati wa kuhesabu bidhaa ya msalaba wa vectors.

Swali la 1 la masomo SIFA ZA PILI NA TATU

AGIZA

Fikiria jedwali la nambari nne za fomu

Nambari zilizo kwenye jedwali zinaonyeshwa na barua iliyo na fahirisi mbili. Fahirisi ya kwanza inaonyesha nambari ya safu, index ya pili inaonyesha nambari ya safu.

UFAFANUZI 1.Kiamuzi cha agizo la pili kuitwakujielezaaina:

(1)

Nambari a 11, …, a 22 huitwa vipengele vya kiambishi.

Ulalo unaoundwa na vipengele a 11 ; a 22 inaitwa kuu, na diagonal inayoundwa na vipengele a 12 ; a 21 - upande.

Kwa hivyo, kiashiria cha utaratibu wa pili ni sawa na tofauti kati ya bidhaa za vipengele vya diagonals kuu na za sekondari.

Kumbuka kuwa jibu ni nambari.

MIFANO. Hesabu:

Fikiria sasa jedwali la nambari tisa zilizoandikwa katika safu tatu na safu wima tatu:

UFAFANUZI 2. Kiamuzi cha agizo la tatu inaitwa usemi wa fomu:

Vipengele a 11; a 22 ; a 33 - kuunda diagonal kuu.

Nambari a 13; a 22 ; a 31 - kuunda diagonal upande.

Wacha tuonyeshe, kimkakati, jinsi maneno na plus na minus yanaundwa:

" + " " – "

Plus ni pamoja na: bidhaa ya vipengele kwenye diagonal kuu, maneno mengine mawili ni bidhaa ya vipengele vilivyo kwenye wima ya pembetatu na besi zinazofanana na diagonal kuu.

Masharti na minus huundwa kwa njia sawa na heshima ya diagonal ya sekondari.

Sheria hii ya kuhesabu kibainishi cha mpangilio wa tatu inaitwa

haki

MIFANO. Kuhesabu kwa kanuni ya pembetatu:

MAONI. Viamuzi pia huitwa viashiria.

Swali la 2 la masomo MALI ZA WAAMUZI.

NADHARIA YA UPANUZI

Mali 1. Thamani ya kibainishi haitabadilika ikiwa safu mlalo zake zitabadilishwa na safuwima zinazolingana.

Kupanua viambatisho vyote viwili, tunasadikishwa juu ya uhalali wa usawa.

Sifa ya 1 huweka usawa wa safu mlalo na safu wima za kibainishi. Kwa hivyo, sifa zote zaidi za kibainishi zitaundwa kwa safu na safu wima zote mbili.

Mali 2. Wakati safu mlalo mbili (au safu wima) zinabadilishwa, kiashiria hubadilisha ishara kwenda kinyume, ikihifadhi dhamana kamili..

Mali 3. Kizidishi cha kawaida cha vipengele vya safu(au safu)inaweza kutolewa nje ya ishara ya kibainishi.

Mali 4. Ikiwa kiashiria kina safu mbili zinazofanana (au safu wima), basi ni sawa na sifuri.

Mali hii inaweza kuthibitishwa na uthibitishaji wa moja kwa moja, au mali 2 inaweza kutumika.

Onyesha kiashiria na D. Wakati safu mbili za kwanza na za pili zinazofanana zinabadilishwa, haitabadilika, na kwa mali ya pili lazima ibadilishe ishara, i.e.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Mali 5. Ikiwa vipengele vyote vya kamba fulani(au safu)ni sifuri, kisha kiambishi ni sifuri.

Mali hii inaweza kuzingatiwa kama kesi maalum ya mali 3 na

Mali 6. Ikiwa vipengele vya safu mbili(au nguzo)viambishi ni sawia, kisha kiangazio ni sifuri.

Inaweza kuthibitishwa kwa uthibitishaji wa moja kwa moja au kwa kutumia mali 3 na 4.

Mali 7. Thamani ya kibainishi haibadilika ikiwa vipengele vya safu mlalo yoyote (au safu wima) vimeongezwa kwa vipengele vinavyolingana vya safu mlalo nyingine (au safu wima), ikizidishwa na nambari sawa.

Inathibitishwa na uthibitishaji wa moja kwa moja.

Matumizi ya mali hizi yanaweza katika baadhi ya matukio kuwezesha mchakato wa kuhesabu viashiria, hasa vya utaratibu wa tatu.

Kwa kile kinachofuata, tunahitaji dhana za kijalizo kidogo na cha aljebra. Fikiria dhana hizi ili kufafanua utaratibu wa tatu.

UFAFANUZI 3. Ndogo ya kipengele fulani cha kibainishi cha mpangilio wa tatu kinaitwa kiambishi cha mpangilio wa pili kilichopatikana kutoka kwa kilichotolewa kwa kufuta safu mlalo na safu wima kwenye makutano ambayo kipengele kilichotolewa kinasimama.

Kipengele kidogo aij iliyoashiria Mij. Hivyo kwa kipengele a 11 ndogo

Inapatikana kwa kufuta safu mlalo ya kwanza na safu wima ya kwanza katika kibainishi cha mpangilio wa tatu.

UFAFANUZI 4. Ukamilishaji wa aljebra wa kipengele kibainishi iite ndogo ukizidisha(-1)k, wapik- jumla ya nambari za safu na safu kwenye makutano ambayo kipengele kilichopewa iko.

Nyongeza ya kipengele cha algebra aij iliyoashiria LAKINIij.

Kwa njia hii, LAKINIij =

Wacha tuandike nyongeza za aljebra za vipengee a 11 na a 12.

. .

Ni muhimu kukumbuka sheria: nyongeza ya algebra ya kipengee cha kiambishi ni sawa na ndogo iliyotiwa saini. pamoja, ikiwa jumla ya nambari za safu na safu ambayo kitu kiko, hata, na ishara kuondoa kama kiasi hiki isiyo ya kawaida.

MFANO. Tafuta vijalizo vya watoto na aljebra kwa vipengee vya safu mlalo ya kwanza ya kibainishi:

Ni wazi kwamba watoto wadogo na nyongeza za aljebra zinaweza kutofautiana kwa ishara tu.

Wacha tufikirie bila uthibitisho nadharia muhimu - nadharia ya upanuzi ya kuamua.

NADHARIA YA UPANUZI

Kiamuzi ni sawa na jumla ya bidhaa za vipengee vya safu mlalo au safu yoyote na nyongeza zao za aljebra.

Kwa kutumia nadharia hii, tunaandika upanuzi wa kibainishi cha mpangilio wa tatu katika safu ya kwanza.

Imepanuliwa:

Fomula ya mwisho inaweza kutumika kama kuu wakati wa kukokotoa kiambishi cha mpangilio wa tatu.

Nadharia ya mtengano inaturuhusu kupunguza hesabu ya kiambishi cha mpangilio wa tatu kwa hesabu ya vibainishi vitatu vya mpangilio wa sekunde.

Nadharia ya mtengano inatoa njia ya pili ya kukokotoa vibainishi vya mpangilio wa tatu.

MIFANO. Kokotoa kiambishi kwa kutumia nadharia ya mtengano.

Mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya aljebra ya mstari (SLAE) bila shaka ndiyo mada muhimu zaidi ya kozi ya aljebra ya mstari. Idadi kubwa ya shida kutoka kwa matawi yote ya hesabu hupunguzwa kwa mifumo ya utatuzi wa hesabu za mstari. Sababu hizi zinaelezea sababu ya kuunda nakala hii. Nyenzo za kifungu zimechaguliwa na zimeundwa ili kwa msaada wake uweze

chagua njia bora ya kutatua mfumo wako wa milinganyo ya algebraic,
soma nadharia ya njia iliyochaguliwa,
suluhisha mfumo wako wa milinganyo ya mstari, ukizingatia kwa undani masuluhisho ya mifano na shida za kawaida.

Maelezo mafupi ya nyenzo za kifungu hicho.

Kwanza, tunatoa ufafanuzi wote muhimu, dhana, na kuanzisha nukuu fulani.

Ifuatayo, tunazingatia njia za kutatua mifumo ya milinganyo ya algebra ya mstari ambayo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya vigeu visivyojulikana na ambavyo vina suluhisho la kipekee. Kwanza, hebu tuzingatie njia ya Cramer, pili, tutaonyesha njia ya matrix ya kutatua mifumo hiyo ya equations, na tatu, tutachambua njia ya Gauss (njia ya kuondoa mfululizo wa vigezo visivyojulikana). Ili kuunganisha nadharia, kwa hakika tutatatua SLAE kadhaa kwa njia mbalimbali.

Baada ya hayo, tunageukia mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya algebraic ya mstari wa fomu ya jumla, ambayo idadi ya equations hailingani na idadi ya vigezo visivyojulikana au matrix kuu ya mfumo imepungua. Tunaunda nadharia ya Kronecker-Capelli, ambayo hutuwezesha kuanzisha upatanifu wa SLAEs. Wacha tuchambue suluhisho la mifumo (katika kesi ya utangamano wao) kwa kutumia dhana ya msingi mdogo wa matrix. Pia tutazingatia njia ya Gauss na kuelezea kwa undani suluhisho za mifano.

Hakikisha kukaa juu ya muundo wa suluhisho la jumla la mifumo ya homogeneous na inhomogeneous ya milinganyo ya algebraic ya mstari. Hebu tupe dhana ya mfumo wa msingi wa ufumbuzi na kuonyesha jinsi ufumbuzi wa jumla wa SLAE umeandikwa kwa kutumia vectors ya mfumo wa msingi wa ufumbuzi. Kwa ufahamu bora, hebu tuangalie mifano michache.

Kwa kumalizia, tunazingatia mifumo ya equations ambayo imepunguzwa kuwa ya mstari, pamoja na matatizo mbalimbali, katika suluhisho ambalo SLAEs hutokea.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi, dhana, sifa.

Tutazingatia mifumo ya milinganyo ya aljebra ya p na vigeu n visivyojulikana (p inaweza kuwa sawa na n ) ya fomu.

Vigezo visivyojulikana, - coefficients (baadhi ya nambari halisi au ngumu), - wanachama wa bure (pia nambari halisi au ngumu).

Aina hii ya SLAE inaitwa kuratibu.

KATIKA fomu ya matrix mfumo huu wa milinganyo una namna,
wapi - matrix kuu ya mfumo, - matrix-safu ya vigezo visivyojulikana, - safu-safu ya wanachama wa bure.

Ikiwa tunaongeza kwenye matrix A kama safu ya (n + 1)-th safu wima ya matrix ya maneno ya bure, basi tunapata kinachojulikana. matrix iliyopanuliwa mifumo ya milinganyo ya mstari. Kawaida, matrix iliyoongezwa inaonyeshwa na herufi T, na safu ya washiriki wa bure hutenganishwa na safu wima kutoka kwa safu zingine, ambayo ni,

Kwa kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari inayoitwa seti ya maadili ya vigeu visivyojulikana , ambayo hubadilisha hesabu zote za mfumo kuwa vitambulisho. Mlinganyo wa matrix kwa thamani zilizotolewa za vigeu visivyojulikana pia hubadilika kuwa kitambulisho.

Ikiwa mfumo wa equations una angalau suluhisho moja, basi inaitwa pamoja.

Ikiwa mfumo wa equations hauna suluhisho, basi inaitwa zisizopatana.

Ikiwa SLAE ina suluhisho la kipekee, basi inaitwa fulani; ikiwa kuna suluhisho zaidi ya moja, basi - kutokuwa na uhakika.

Ikiwa masharti ya bure ya milinganyo yote ya mfumo ni sawa na sifuri , basi mfumo unaitwa zenye homogeneous, vinginevyo - tofauti.

Suluhisho la mifumo ya msingi ya milinganyo ya algebraic ya mstari.

Ikiwa idadi ya milinganyo ya mfumo ni sawa na idadi ya vigeu visivyojulikana na kibainishi cha matrix yake kuu si sawa na sifuri, basi tutaita SLAE hizo. msingi. Mifumo hiyo ya equations ina ufumbuzi wa pekee, na katika kesi ya mfumo wa homogeneous, vigezo vyote visivyojulikana ni sawa na sifuri.

Tulianza kusoma SLAE kama hii katika shule ya upili. Wakati wa kuyatatua, tulichukua equation moja, tukaelezea tofauti moja isiyojulikana kwa suala la wengine na kuibadilisha katika equations iliyobaki, kisha tukachukua equation inayofuata, tukaelezea kutofautiana kwa pili isiyojulikana na kuiweka katika equations nyingine, na kadhalika. Au walitumia njia ya kuongeza, yaani, waliongeza milinganyo miwili au zaidi ili kuondoa baadhi ya vigeu visivyojulikana. Hatutakaa juu ya njia hizi kwa undani, kwani kimsingi ni marekebisho ya njia ya Gauss.

Njia kuu za kutatua mifumo ya msingi ya milinganyo ya mstari ni njia ya Cramer, njia ya matrix na njia ya Gauss. Hebu tuyatatue.

Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa mbinu ya Cramer.

Hebu tuhitaji kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari

ambayo idadi ya equations ni sawa na idadi ya vigezo haijulikani na determinant ya tumbo kuu ya mfumo ni tofauti na sifuri, yaani,.

Hebu iwe kiamua cha matrix kuu ya mfumo, na ni viashiria vya matrices ambayo hupatikana kutoka kwa A kwa kubadilisha 1, 2, ..., nth safu mtawalia kwa safu ya washiriki huru:

Kwa nukuu kama hii, vigeu visivyojulikana vinakokotolewa na fomula za mbinu ya Cramer kama . Hivi ndivyo suluhu la mfumo wa milinganyo ya aljebra linavyopatikana kwa mbinu ya Cramer.

Mfano.

Mbinu ya Cramer .

Suluhisho.

Matrix kuu ya mfumo ina fomu . Hesabu kiashiria chake (ikiwa ni lazima, angalia kifungu):

Kwa kuwa kibainishi cha matrix kuu ya mfumo ni nonzero, mfumo una suluhisho la kipekee ambalo linaweza kupatikana kwa njia ya Cramer.

Tunga na uhesabu viashiria muhimu (kiasi hupatikana kwa kubadilisha safu wima ya kwanza kwenye matrix A na safu ya washiriki huru, kiangazi - kwa kubadilisha safu wima ya pili na safu ya washiriki huru, - kwa kubadilisha safu ya tatu ya matrix A na safu ya washiriki huru. ):

Kutafuta vigeu visivyojulikana kwa kutumia fomula :

Jibu:

Hasara kuu ya njia ya Cramer (ikiwa inaweza kuitwa hasara) ni ugumu wa kuhesabu viambatisho wakati idadi ya milinganyo ya mfumo ni zaidi ya tatu.

Mifumo ya kusuluhisha ya milinganyo ya aljebra ya mstari kwa mbinu ya matrix (kwa kutumia matriki ya kinyume).

Ruhusu mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari itolewe katika umbo la matrix , ambapo matriki A ina mwelekeo n kwa n na kibainishi chake ni nonzero.

Kwa kuwa , basi matrix A haiwezi kubadilika, yaani, kuna matrix inverse. Ikiwa tutazidisha sehemu zote mbili za usawa kwa upande wa kushoto, basi tunapata fomula ya kupata safu ya safu ya anuwai zisizojulikana. Kwa hivyo tulipata suluhisho la mfumo wa milinganyo ya aljebra kwa njia ya matrix.

Mfano.

Tatua Mfumo wa Milingano ya Mistari njia ya matrix.

Suluhisho.

Wacha tuandike tena mfumo wa equations katika fomu ya matrix:

Kwa sababu

basi SLAE inaweza kutatuliwa kwa njia ya tumbo. Kwa kutumia matrix inverse, suluhisho la mfumo huu linaweza kupatikana kama .

Wacha tutengeneze matrix ya kinyume kwa kutumia matrix ya nyongeza za aljebra ya vitu vya matrix A (ikiwa ni lazima, angalia kifungu):

Inabakia kuhesabu - matrix ya vigezo visivyojulikana kwa kuzidisha matrix inverse kwenye safu ya matrix ya washiriki wa bure (ikiwa ni lazima, angalia nakala):

Jibu:

au katika nukuu nyingine x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Tatizo kuu katika kutafuta suluhu za mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari kwa mbinu ya matriki ni ugumu wa kutafuta matriki kinyume, hasa kwa matriki ya mraba ya mpangilio wa juu kuliko ya tatu.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa njia ya Gauss.

Tuseme tunahitaji kupata suluhu kwa mfumo wa n milinganyo ya mstari na n vigeu visivyojulikana
kibainishi cha matrix kuu ambayo ni tofauti na sifuri.

Kiini cha njia ya Gauss inajumuisha kutengwa kwa mfululizo kwa vigezo visivyojulikana: kwanza, x 1 imetengwa kutoka kwa hesabu zote za mfumo, kuanzia ya pili, kisha x 2 imetengwa kutoka kwa equations zote, kuanzia ya tatu, na kadhalika, mpaka tu kutofautiana haijulikani. x n inasalia katika mlingano wa mwisho. Mchakato kama huo wa kubadilisha equations ya mfumo kwa uondoaji wa mfululizo wa vigezo visivyojulikana huitwa njia ya moja kwa moja ya Gauss. Baada ya kukamilika kwa kukimbia kwa njia ya Gaussian, x n hupatikana kutoka kwa equation ya mwisho, x n-1 inahesabiwa kutoka kwa equation ya mwisho kwa kutumia thamani hii, na kadhalika, x 1 hupatikana kutoka kwa equation ya kwanza. Mchakato wa kuhesabu vigezo visivyojulikana wakati wa kusonga kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo hadi ya kwanza inaitwa badilisha njia ya Gauss.

Hebu tueleze kwa ufupi algorithm ya kuondoa vigezo visivyojulikana.

Tutadhani kwamba, kwa kuwa tunaweza kufikia hili kila wakati kwa kupanga upya milinganyo ya mfumo. Tunatenga tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo, kuanzia ya pili. Ili kufanya hivyo, ongeza equation ya kwanza iliyozidishwa kwa equation ya pili ya mfumo, ongeza ya kwanza iliyozidishwa hadi ya tatu, na kadhalika, ongeza ya kwanza iliyozidishwa na kwa nth. Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi, a .

Tungefikia matokeo sawa ikiwa tungeonyesha x 1 kulingana na vigeu vingine visivyojulikana katika mlingano wa kwanza wa mfumo na kubadilisha usemi unaotokana na milinganyo mingine yote. Kwa hivyo, tofauti x 1 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya pili.

Ifuatayo, tunatenda sawa, lakini tu na sehemu ya mfumo unaosababishwa, ambao umewekwa alama kwenye takwimu

Ili kufanya hivyo, ongeza ya pili iliyozidishwa kwa equation ya tatu ya mfumo, ongeza ya pili iliyozidishwa na equation ya nne, na kadhalika, ongeza ya pili iliyozidishwa na nth. Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi, a . Kwa hivyo, tofauti x 2 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya tatu.

Ifuatayo, tunaendelea na uondoaji wa x 3 isiyojulikana, huku tukifanya vivyo hivyo na sehemu ya mfumo iliyowekwa kwenye takwimu.

Kwa hivyo tunaendelea mwendo wa moja kwa moja wa njia ya Gauss hadi mfumo uchukue fomu

Kuanzia wakati huu, tunaanza mwendo wa nyuma wa njia ya Gauss: tunahesabu x n kutoka kwa equation ya mwisho kama , kwa kutumia thamani iliyopatikana x n tunapata x n-1 kutoka kwa equation ya penultimate, na kadhalika, tunapata x 1 kutoka kwa kwanza. mlingano.

Mfano.

Tatua Mfumo wa Milingano ya Mistari Njia ya Gaussian.

Suluhisho.

Wacha tuondoe tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa milinganyo ya pili na ya tatu ya mfumo. Ili kufanya hivyo, kwa sehemu zote mbili za equation ya pili na ya tatu, tunaongeza sehemu zinazolingana za equation ya kwanza, iliyozidishwa na na, kwa mtiririko huo:

Sasa tunatenga x 2 kutoka kwa equation ya tatu kwa kuongeza sehemu zake za kushoto na kulia sehemu za kushoto na kulia za equation ya pili, ikizidishwa na:

Juu ya hili, kozi ya mbele ya njia ya Gauss imekamilika, tunaanza kozi ya nyuma.

Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo unaotokana wa equations, tunapata x 3:

Kutoka kwa equation ya pili tunapata.

Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata tofauti iliyobaki isiyojulikana na hii inakamilisha mwendo wa nyuma wa njia ya Gauss.

Jibu:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Mifumo ya kutatua ya milinganyo ya aljebra ya mstari wa fomu ya jumla.

Katika hali ya jumla, idadi ya equations ya mfumo p hailingani na idadi ya vigezo visivyojulikana n:

SLAE kama hizo zinaweza kukosa suluhu, kuwa na suluhisho moja, au kuwa na suluhisho nyingi sana. Taarifa hii pia inatumika kwa mifumo ya milinganyo ambayo matriki yake kuu ni ya mraba na iliyoharibika.

Nadharia ya Kronecker-Capelli.

Kabla ya kupata suluhisho la mfumo wa equations za mstari, ni muhimu kuanzisha utangamano wake. Jibu la swali wakati SLAE inalingana, na wakati haiendani, inatoa Nadharia ya Kronecker-Capelli:
kwa mfumo wa hesabu za p na n zisizojulikana (p inaweza kuwa sawa na n ) kuwa sawa ni muhimu na inatosha kuwa kiwango cha matrix kuu ya mfumo ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, ambayo ni, Cheo( A)=Cheo(T) .

Wacha tuzingatie matumizi ya nadharia ya Kronecker-Cappelli kwa kuamua utangamano wa mfumo wa milinganyo ya mstari kama mfano.

Mfano.

Jua ikiwa mfumo wa milinganyo ya mstari unayo ufumbuzi.

Suluhisho.

. Wacha tutumie njia ya kupakana na watoto. Ndogo ya utaratibu wa pili tofauti na sifuri. Wacha tuchunguze watoto wa mpangilio wa tatu wanaoizunguka:

Kwa kuwa watoto wote wanaopakana na mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, kiwango cha matrix kuu ni mbili.

Kwa upande wake, kiwango cha matrix iliyoongezwa ni sawa na tatu, kwa kuwa mdogo wa utaratibu wa tatu

tofauti na sifuri.

Kwa njia hii, Rang(A) , kwa hivyo, kulingana na nadharia ya Kronecker-Capelli, tunaweza kuhitimisha kuwa mfumo wa asili wa milinganyo ya mstari hauendani.

Jibu:

Hakuna mfumo wa suluhisho.

Kwa hiyo, tumejifunza kuanzisha kutofautiana kwa mfumo kwa kutumia theorem ya Kronecker-Capelli.

Lakini jinsi ya kupata suluhisho la SLAE ikiwa utangamano wake umeanzishwa?

Ili kufanya hivyo, tunahitaji dhana ya msingi mdogo wa matrix na nadharia juu ya kiwango cha matrix.

Kiwango cha juu zaidi cha matrix A, zaidi ya sifuri, inaitwa msingi.

Inafuata kutoka kwa ufafanuzi wa msingi mdogo kwamba utaratibu wake ni sawa na cheo cha matrix. Kwa matrix A isiyo sifuri, kunaweza kuwa na watoto kadhaa wa kimsingi; kila wakati kuna mtoto mmoja wa kimsingi.

Kwa mfano, fikiria matrix .

Watoto wote wa mpangilio wa tatu wa matrix hii ni sawa na sifuri, kwani vipengele vya safu ya tatu ya matrix hii ni jumla ya vipengele vinavyolingana vya safu ya kwanza na ya pili.

Watoto wafuatayo wa utaratibu wa pili ni wa msingi, kwa kuwa wao ni nonzero

Watoto wadogo sio msingi, kwani ni sawa na sifuri.

Nadharia ya kiwango cha Matrix.

Ikiwa kiwango cha matrix ya mpangilio p kwa n ni r, basi vipengele vyote vya safu (na safu wima) za matrix ambazo hazifanyi msingi uliochaguliwa huonyeshwa kwa mstari kulingana na vipengele vinavyolingana vya safu (na safu wima). ) zinazounda msingi mdogo.

Nadharia ya kiwango cha matrix inatupa nini?

Ikiwa, kwa nadharia ya Kronecker-Capelli, tumeanzisha utangamano wa mfumo, basi tunachagua ndogo yoyote ya msingi ya matrix kuu ya mfumo (mpangilio wake ni sawa na r), na kuwatenga kutoka kwa mfumo equations zote ambazo hazifanyi. kuunda ndogo iliyochaguliwa ya msingi. SLAE iliyopatikana kwa njia hii itakuwa sawa na ile ya asili, kwa kuwa milinganyo iliyotupwa bado haina maana (kulingana na nadharia ya kiwango cha matrix, ni mchanganyiko wa mstari wa milinganyo iliyobaki).

Matokeo yake, baada ya kuondokana na equations nyingi za mfumo, kesi mbili zinawezekana.

Ikiwa idadi ya equations r katika mfumo unaosababisha ni sawa na idadi ya vigezo visivyojulikana, basi itakuwa ya uhakika na suluhisho pekee linaweza kupatikana kwa njia ya Cramer, njia ya tumbo au njia ya Gauss.

Mfano.

Suluhisho.

Cheo cha tumbo kuu la mfumo ni sawa na mbili, kwa kuwa mdogo wa utaratibu wa pili tofauti na sifuri. Nafasi ya matrix iliyopanuliwa pia ni sawa na mbili, kwani ndogo tu ya utaratibu wa tatu ni sawa na sifuri

na ndogo ya utaratibu wa pili unaozingatiwa hapo juu ni tofauti na sifuri. Kulingana na nadharia ya Kronecker-Capelli, mtu anaweza kuthibitisha upatanifu wa mfumo asilia wa milinganyo ya mstari, kwa kuwa Rank(A)=Rank(T)=2 .

Kama msingi mdogo, tunachukua . Inaundwa na coefficients ya equations ya kwanza na ya pili:

Equation ya tatu ya mfumo haishiriki katika uundaji wa msingi mdogo, kwa hivyo tunaitenga kutoka kwa mfumo kulingana na nadharia ya kiwango cha matrix:

Kwa hivyo tumepata mfumo wa msingi wa milinganyo ya aljebra ya mstari. Wacha tuitatue kwa njia ya Cramer:

Jibu:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ikiwa idadi ya equations r katika SLAE inayosababisha ni chini ya idadi ya vigezo visivyojulikana n , basi tunaacha masharti ambayo yanaunda ndogo ya msingi katika sehemu za kushoto za equations, na kuhamisha maneno yaliyobaki kwenye sehemu sahihi za equations. ya mfumo na ishara kinyume.

Vigezo visivyojulikana (kuna r kati yao) vilivyobaki kwenye pande za mkono wa kushoto wa milinganyo huitwa. kuu.

Vigezo visivyojulikana (kuna n - r wao) ambavyo viliishia upande wa kulia vinaitwa bure.

Sasa tunadhania kwamba vigezo visivyojulikana vya bure vinaweza kuchukua maadili ya kiholela, wakati r vigezo kuu visivyojulikana vitaonyeshwa kwa suala la vigezo vya bure visivyojulikana kwa njia ya pekee. Usemi wao unaweza kupatikana kwa kutatua SLAE inayotokana na njia ya Cramer, njia ya matrix, au njia ya Gauss.

Hebu tuchukue mfano.

Mfano.

Tatua Mfumo wa Milingano ya Aljebra ya Linear .

Suluhisho.

Pata kiwango cha matrix kuu ya mfumo kwa njia ya watoto wanaopakana. Wacha tuchukue 1 1 = 1 kama mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa kwanza. Wacha tuanze kutafuta mtoto ambaye sio sifuri wa mpangilio wa pili anayezunguka mtoto huyu:

Kwa hivyo tulipata mdogo asiye na sifuri wa utaratibu wa pili. Wacha tuanze kutafuta mtoto asiye na sifuri anayepakana na agizo la tatu:

Kwa hivyo, kiwango cha matrix kuu ni tatu. Kiwango cha matrix iliyoongezwa pia ni sawa na tatu, ambayo ni, mfumo ni thabiti.

Kinachopatikana kisicho sifuri kidogo cha agizo la tatu kitachukuliwa kama cha msingi.

Kwa uwazi, tunaonyesha vitu ambavyo huunda msingi mdogo:

Tunaacha masharti yanayoshiriki katika madogo ya msingi upande wa kushoto wa hesabu za mfumo, na kuhamisha mengine kwa ishara tofauti kwa pande za kulia:

Tunatoa vigezo vya bure visivyojulikana x 2 na x 5 maadili ya kiholela, yaani, tunachukua , nambari za kiholela ziko wapi. Katika kesi hii, SLAE inachukua fomu

Tunatatua mfumo wa msingi uliopatikana wa milinganyo ya aljebra ya mstari kwa njia ya Cramer:

Kwa hiyo,.

Katika jibu, usisahau kuonyesha vigezo vya bure visivyojulikana.

Jibu:

Nambari za kiholela ziko wapi.

Fanya muhtasari.

Ili kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari wa fomu ya jumla, kwanza tunapata upatanifu wake kwa kutumia nadharia ya Kronecker-Capelli. Ikiwa kiwango cha matrix kuu sio sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, basi tunahitimisha kuwa mfumo hauendani.

Ikiwa kiwango cha matrix kuu ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, basi tunachagua ndogo ya msingi na kutupilia mbali hesabu za mfumo ambazo hazishiriki katika malezi ya mtoto aliyechaguliwa wa msingi.

Ikiwa utaratibu wa msingi mdogo ni sawa na idadi ya vigezo visivyojulikana, basi SLAE ina suluhisho la pekee, ambalo linaweza kupatikana kwa njia yoyote inayojulikana kwetu.

Ikiwa mpangilio wa msingi mdogo ni chini ya idadi ya vigezo visivyojulikana, basi tunaacha masharti na vigezo kuu visivyojulikana kwenye upande wa kushoto wa hesabu za mfumo, kuhamisha maneno yaliyobaki kwa pande za kulia na kupeana maadili ya kiholela. kwa vigezo vya bure visivyojulikana. Kutoka kwa mfumo unaotokana wa milinganyo ya mstari, tunapata vigezo kuu visivyojulikana kwa njia ya Cramer, njia ya tumbo au njia ya Gauss.

Njia ya Gauss ya kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya aljebra ya umbo la jumla.

Kwa kutumia mbinu ya Gauss, mtu anaweza kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari wa aina yoyote bila uchunguzi wao wa awali wa uoanifu. Mchakato wa kuondoa mfululizo wa vigezo visivyojulikana hufanya iwezekanavyo kuteka hitimisho kuhusu utangamano na kutofautiana kwa SLAE, na ikiwa suluhisho lipo, inafanya uwezekano wa kuipata.

Kutoka kwa mtazamo wa kazi ya hesabu, njia ya Gaussian inafaa zaidi.

Tazama maelezo yake ya kina na mifano iliyochanganuliwa katika makala Mbinu ya Gauss ya kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya umbo la jumla.

Kurekodi suluhisho la jumla la mifumo ya algebraic ya homogeneous na inhomogeneous kwa kutumia vekta za mfumo wa msingi wa suluhisho.

Katika sehemu hii, tutazingatia mifumo ya pamoja ya homogeneous na inhomogeneous ya milinganyo ya aljebra ya mstari ambayo ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Wacha tushughulike na mifumo ya homogeneous kwanza.

Mfumo wa maamuzi ya kimsingi Mfumo wa homogeneous wa p linear algebraic equations na n vigezo visivyojulikana ni seti ya (n - r) ufumbuzi wa kujitegemea wa mfumo huu, ambapo r ni utaratibu wa msingi mdogo wa matrix kuu ya mfumo.

Ikiwa tutateua masuluhisho huru yanayotegemea mstari ya SLAE yenye mchanganyiko kama X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ni safu wima za matrices za mwelekeo n. na 1 ), basi suluhisho la jumla la mfumo huu wa homogeneous linawakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa veta za mfumo wa msingi wa suluhisho na mgawo wa kiholela wa mara kwa mara С 1 , С 2 , ..., С (n-r), yaani, .

Je, neno suluhu la jumla la mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya aljebra ya mstari (oroslau) inamaanisha nini?

Maana ni rahisi: formula inataja suluhisho zote zinazowezekana kwa SLAE ya asili, kwa maneno mengine, kuchukua seti yoyote ya maadili ya viunga vya kiholela C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , kulingana na formula sisi itapata moja ya suluhisho la SLAE ya asili ya homogeneous.

Kwa hivyo, ikiwa tutapata mfumo wa kimsingi wa suluhisho, basi tunaweza kuweka masuluhisho yote ya SLAE hii ya homogeneous kama .

Wacha tuonyeshe mchakato wa kuunda mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa SLAE ya homogeneous.

Tunachagua msingi mdogo wa mfumo asili wa milinganyo ya mstari, tukitenga milinganyo mingine yote kutoka kwa mfumo, na kuhamisha hadi upande wa kulia wa milinganyo ya mfumo kwa ishara tofauti masharti yote yaliyo na vigeu visivyolipishwa visivyojulikana. Wacha tupe vigeu vya bure visivyojulikana maadili 1,0,0,…, 0 na tuhesabu zisizojulikana kuu kwa kutatua mfumo wa msingi wa hesabu za mstari kwa njia yoyote, kwa mfano, na njia ya Cramer. Kwa hivyo, X (1) itapatikana - suluhisho la kwanza la mfumo wa kimsingi. Ikiwa tunatoa zisizojulikana za bure maadili 0,1,0,0,…,0 na kuhesabu zisizojulikana kuu, basi tunapata X (2) . Nakadhalika. Ikiwa tunapeana vigeu visivyojulikana vya bure 0,0,…,0,1 na kuhesabu zisizojulikana kuu, basi tunapata X (n-r) . Hivi ndivyo mfumo wa kimsingi wa suluhisho za SLAE zenye usawa utajengwa na suluhisho lake la jumla linaweza kuandikwa kwa fomu.

Kwa mifumo isiyo ya kawaida ya milinganyo ya aljebra ya mstari, suluhisho la jumla linawakilishwa kama

Hebu tuangalie mifano.

Mfano.

Pata mfumo wa kimsingi wa suluhisho na suluhisho la jumla la mfumo wa usawa wa usawa wa algebraic. .

Suluhisho.

Kiwango cha matrix kuu ya mifumo ya homogeneous ya milinganyo ya mstari daima ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa. Wacha tupate kiwango cha matrix kuu kwa njia ya kuwafunga watoto. Kama nonzero ndogo ya utaratibu wa kwanza, tunachukua kipengele 1 1 = 9 ya matrix kuu ya mfumo. Tafuta mpaka usio na sifuri mdogo wa mpangilio wa pili:

Kidogo cha utaratibu wa pili, tofauti na sifuri, hupatikana. Wacha tupitie watoto wa mpangilio wa tatu wanaopakana nayo ili kutafuta isiyo ya sifuri:

Watoto wote wanaopakana wa agizo la tatu ni sawa na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix kuu na iliyopanuliwa ni mbili. Hebu tuchukue madogo ya msingi. Kwa uwazi, tunaona vipengele vya mfumo vinavyounda:

Equation ya tatu ya SLAE ya asili haishiriki katika uundaji wa mtoto mdogo, kwa hivyo, inaweza kutengwa:

Tunaacha masharti yaliyo na mambo kuu yasiyojulikana kwenye pande za kulia za milinganyo, na kuhamisha masharti na yasiyojulikana bila malipo kwa upande wa kulia:

Wacha tuunde mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo wa asili wa usawa wa milinganyo ya mstari. Mfumo wa msingi wa ufumbuzi wa SLAE hii una ufumbuzi mbili, kwani SLAE ya awali ina vigezo vinne visivyojulikana, na utaratibu wa madogo yake ya msingi ni mbili. Ili kupata X (1), tunatoa vigezo vya bure visivyojulikana maadili x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, kisha tunapata haijulikani kuu kutoka kwa mfumo wa equations.
.

Wacha tuitatue kwa njia ya Cramer:

Kwa njia hii, .

Sasa wacha tujenge X (2) . Ili kufanya hivyo, tunatoa vigezo vya bure visivyojulikana maadili x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1, kisha tunapata haijulikani kuu kutoka kwa mfumo wa equations za mstari.
.

Wacha tutumie njia ya Cramer tena:

Tunapata.

Kwa hivyo tulipata vekta mbili za mfumo wa kimsingi wa suluhisho na , sasa tunaweza kuandika suluhisho la jumla la mfumo wa usawa wa hesabu za algebraic:

, ambapo C 1 na C 2 ni nambari za kiholela., ni sawa na sifuri. Pia tunachukua ndogo kama ya msingi, tukitenga mlinganyo wa tatu kutoka kwa mfumo, na kuhamisha masharti na yasiyojulikana bila malipo hadi kwenye pande za kulia za milinganyo ya mfumo:

Ili kupata, tunatoa vigezo vya bure visivyojulikana maadili x 2 \u003d 0 na x 4 \u003d 0, kisha mfumo wa equations huchukua fomu. , ambayo tunapata anuwai kuu zisizojulikana kwa kutumia njia ya Cramer:

Tuna , Kwa hiyo,

ambapo C 1 na C 2 ni nambari za kiholela.

Ikumbukwe kwamba suluhu za mfumo usio na kipimo wa homogeneous wa milinganyo ya algebraic ya mstari hutoa. nafasi ya mstari

Suluhisho.

Mlinganyo wa kisheria wa ellipsoid katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili una umbo. . Kazi yetu ni kuamua vigezo a , b na c . Kwa kuwa ellipsoid hupitia pointi A, B na C, basi wakati wa kubadilisha kuratibu zao kwenye equation ya kisheria ya ellipsoid, inapaswa kugeuka kuwa utambulisho. Kwa hivyo tunapata mfumo wa equations tatu:

Taja , basi mfumo unakuwa mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari .

Wacha tuhesabu kiashiria cha matrix kuu ya mfumo:

Kwa kuwa sio sifuri, tunaweza kupata suluhisho kwa njia ya Cramer:
) Ni wazi, x = 0 na x = 1 ni mizizi ya polynomial hii. quotient kutoka kwa mgawanyiko kwenye ni . Kwa hivyo, tuna mtengano na usemi wa asili utachukua fomu .

Hebu tumia njia ya coefficients isiyojulikana.

Kusawazisha mgawo unaolingana wa nambari, tunafika kwenye mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari. . Suluhisho lake litatupa miraba isiyojulikana inayotakikana A, B, C na D.

Tunatatua mfumo kwa kutumia njia ya Gauss:

Katika mwendo wa nyuma wa njia ya Gauss, tunapata D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Tunapata

Jibu: