Vízszintes sebességképlet. Vízszintesen, sebességgel dobott test mozgása

Tekintsük a vízszintesen eldobott test mozgását, amely önmagában a gravitáció hatására mozog (a légellenállást figyelmen kívül hagyva). Például képzeljük el, hogy egy asztalon fekvő labdát lökést kap, és az az asztal széléhez gurul, és vízszintes kezdeti sebességgel szabadon zuhanni kezd (174. ábra).

Vetítsük ki a labda mozgását a függőleges és a vízszintes tengelyre. A labda tengelyre vetületének mozgása gyorsulás nélküli mozgás, melynek sebessége ; a golyó vetületének a tengelyen való mozgása a gravitáció hatására a kezdeti sebességet meghaladó gyorsulású szabadesés. Ismerjük mindkét mozgás törvényeit. A sebességkomponens állandó marad és egyenlő . A komponens időarányosan nő: . Az eredményül kapott sebesség könnyen meghatározható a paralelogramma-szabály segítségével, amint az az ábrán látható. 175. Lefelé fog dőlni, és a lejtése idővel nő.

Rizs. 174. Az asztalról legördülő labda mozgása

Rizs. 175. Egy sebességgel vízszintesen dobott labdának pillanatnyi sebessége van

Keresse meg a vízszintesen elhajított test röppályáját. A test pillanatnyi koordinátái számítanak

A pályaegyenlet megtalálásához (112.1)-ből fejezzük ki az időt, és ezt a kifejezést (112.2) helyettesítjük. Ennek eredményeként azt kapjuk

Ennek a függvénynek a grafikonja az ábrán látható. 176. A pályapontok ordinátái arányosnak bizonyulnak az abszciszák négyzetével. Tudjuk, hogy az ilyen görbéket paraboláknak nevezzük. Egy parabola az egyenletesen gyorsított mozgás útjának grafikonját ábrázolta (22. §). Így egy vízszintes kezdeti sebességű szabadon eső test egy parabola mentén mozog.

A függőleges irányban megtett út nem függ a kezdeti sebességtől. De a vízszintes irányban megtett út arányos a kezdeti sebességgel. Ezért nagy vízszintes kezdősebesség mellett a parabola, amely mentén a test esik, vízszintes irányban jobban megnyúlik. Ha vízsugarat lőnek ki egy vízszintesen elhelyezkedő csőből (177. ábra), akkor az egyes vízrészecskék a golyóhoz hasonlóan egy parabola mentén mozognak. Minél nyitottabb a csap, amelyen keresztül a víz belép a csőbe, annál nagyobb a víz kezdeti sebessége, és minél távolabb kerül a vízsugár a csaptól a küvetta aljába. Ha a sugár mögé elhelyezünk egy parabolát tartalmazó paravánt, akkor ellenőrizhetjük, hogy a vízsugár valóban parabola alakú-e.

Rizs. 176. Vízszintesen elhajított test pályája

Tekintsük a vízszintesen eldobott test mozgását, amely önmagában a gravitáció hatására mozog (a légellenállás figyelmen kívül hagyása). Például képzeljük el, hogy egy asztalon fekvő labdát lökést kap, és az az asztal széléhez gurul, és vízszintes kezdeti sebességgel szabadon zuhanni kezd (174. ábra).

Vetítsük ki a labda mozgását a függőleges és a vízszintes tengelyre. A labda tengelyre vetületének mozgása gyorsulás nélküli mozgás, melynek sebessége ; a golyó vetületének a tengelyen való mozgása a gravitáció hatására a kezdeti sebességet meghaladó gyorsulású szabadesés. Ismerjük mindkét mozgás törvényeit. A sebességkomponens állandó marad és egyenlő . A komponens az idővel arányosan nő: . Az eredményül kapott sebesség könnyen meghatározható a paralelogramma-szabály segítségével, amint az az ábrán látható. 175. Lefelé fog dőlni, és a lejtése idővel nő.

Rizs. 174. Az asztalról legördülő labda mozgása

Rizs. 175. Egy sebességgel vízszintesen dobott labdának pillanatnyi sebessége van

Keresse meg a vízszintesen elhajított test röppályáját. A test pillanatnyi koordinátái számítanak

A pályaegyenlet megtalálásához (112.1)-ből fejezzük ki az időt, és helyettesítjük ezt a kifejezést (112.2-vel). Ennek eredményeként azt kapjuk

Ennek a függvénynek a grafikonja az ábrán látható. 176. A pályapontok ordinátái arányosnak bizonyulnak az abszciszák négyzetével. Tudjuk, hogy az ilyen görbéket paraboláknak nevezzük. Egy parabola az egyenletesen gyorsított mozgás útjának grafikonját ábrázolta (22. §). Így egy vízszintes kezdeti sebességű szabadon eső test egy parabola mentén mozog.

A függőleges irányban megtett út nem függ a kezdeti sebességtől. De a vízszintes irányban megtett út arányos a kezdeti sebességgel. Ezért nagy vízszintes kezdősebesség mellett a parabola, amely mentén a test esik, vízszintes irányban jobban megnyúlik. Ha vízsugarat lőnek ki egy vízszintesen elhelyezett csőből (177. ábra), akkor az egyes vízrészecskék a labdához hasonlóan egy parabola mentén mozognak. Minél nyitottabb a csap, amelyen keresztül a víz belép a csőbe, annál nagyobb a víz kezdeti sebessége, és minél távolabb kerül a vízsugár a csaptól a küvetta aljába. Ha a sugár mögé elhelyezünk egy parabolát tartalmazó paravánt, akkor ellenőrizhetjük, hogy a vízsugár valóban parabola alakú-e.

112.1. Mekkora lesz a 15 m/s sebességgel vízszintesen dobott test sebessége 2 másodperc repülés után? Melyik pillanatban irányul a sebesség 45°-os szöget a vízszintessel? A légellenállás figyelmen kívül hagyása.

112.2. Egy 1 m magas asztalról legördült labda az asztal szélétől 2 m távolságra esett le. Mekkora volt a labda vízszintes sebessége? A légellenállás figyelmen kívül hagyása.

Számos példát használva (amelyeket kezdetben, mint általában az otvet.mail.ru oldalon oldottam meg), megvizsgáljuk az elemi ballisztika problémáinak egy osztályát: egy test repülését, amelyet a horizonthoz képest szögben indítottak el bizonyos kezdeti sebességgel, anélkül, hogy figyelembe véve a légellenállást és a földfelszín görbületét (azaz a g irányú szabadesési gyorsulási vektort változatlannak tételezzük fel).

1. feladat. A test repülési távolsága megegyezik a Föld felszíne feletti repülésének magasságával. Milyen szögben dobják a testet? (egyes forrásokban valamilyen okból rossz választ adnak - 63 fok).

Jelöljük a repülési időt 2*t-val (majd t alatt a test felemelkedik, a következő t intervallumban pedig leereszkedik). Legyen a sebesség vízszintes összetevője V1, a függőleges komponense V2. Ekkor a repülési távolság S = V1*2*t. Repülési magasság H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2. Egyenlíteni
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
A függőleges és vízszintes sebességek aránya a szükséges α szög érintője, innen α = arctan(4) = 76 fok.

2. feladat. V0 sebességgel egy testet dobnak ki a Föld felszínéről a horizonthoz képest α szögben. Határozza meg a test pályájának görbületi sugarát: a) a mozgás elején; b) a pálya tetején.

A görbe vonalú mozgás forrása mindkét esetben a gravitáció, azaz a függőlegesen lefelé irányuló szabadesési gyorsulás g. Itt csak meg kell találni a V áramsebességre merőleges g vetületet, és egyenlővé kell tenni a V^2/R centripetális gyorsulással, ahol R a kívánt görbületi sugár.

Amint az ábrán látható, a mozgás elindításához írhatunk
gn = g*cos(a) = V0^2/R
honnan a kívánt sugár R = V0^2/(g*cos(a))

A pálya felső pontjához (lásd az ábrát) rendelkezünk
g = (V0*cos(a))^2/R
ahol R = (V0*cos(a))^2/g

3. feladat. (variáció egy témára) A lövedék vízszintesen elmozdult h magasságban, és két egyforma töredékre robbant, amelyek közül az egyik a robbanás után t1 időben a földre esett. Meddig esik le az első darab leesése után a második?

Bármilyen V függőleges sebességet ér el az első töredék, a második ugyanilyen függőleges sebességet ér el abszolút értékben, de ellenkező irányban (ez a töredékek azonos tömegéből és az impulzusmegmaradásból következik). Ráadásul V lefelé irányul, mert különben a második töredék az első ELŐTT érkezik a földre.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
A második felrepül, a V/g idő után veszít függőleges sebességéből, majd ugyanennyi idő után lerepül a kezdeti h magasságra, és az első töredékhez viszonyított késésének t2 idejére (nem a repülési időre a robbanás pillanata) lesz
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

frissítve: 2018-06-03

Idézet:
Egy követ 10 m/s sebességgel, a vízszinteshez képest 60°-os szögben dobnak. Határozza meg a test tangenciális és normál gyorsulását a mozgás megkezdése után 1,0 mp után, a pálya görbületi sugarát ebben az időpillanatban, a repülés időtartamát és tartományát. Milyen szöget zár be a teljes gyorsulásvektor a sebességvektorral t = 1,0 másodpercnél

1 másodperc múlva a függőleges sebesség 8,66 - 9,8*1 = -1,14 m/s (lefelé). Ez azt jelenti, hogy a sebesség szöge a horizonthoz képest arctan(1,14/5) = 12,8° (lefelé). Mivel itt a teljes gyorsulás egyedi és változatlan (ez a szabadesés gyorsulása g, függőlegesen lefelé irányítva), akkor a test sebessége és a szög g ebben az időpontban 90-12,8 = 77,2° lesz.

A tangenciális gyorsulás egy vetület g a sebességvektor irányába, ami azt jelenti, hogy g*sin(12,8) = 2,2 m/s2. A normál gyorsulás a sebességvektorra merőleges vetület g, akkor egyenlő g*cos(12,8) = 9,56 m/s2. És mivel ez utóbbi a sebességgel és a görbületi sugárral a V^2/R kifejezéssel van összefüggésben, így 9,56 = (5*5 + 1,14*1,14)/R van, ahonnan a szükséges sugár R = 2,75 m.

A test úgy dobható, hogy a kezdeti sebessége v0 vízszintesen lesz irányítva (α = 0). Ez például a vízszintesen repülő repülőgépről leválasztott test kezdeti sebességének iránya. Könnyű megérteni, hogy a test melyik pályán mozog. Térjünk át a 15. ábrára, amely a horizonttal α szögben bedobott test parabolapályáját mutatja. A parabola pályájának legmagasabb pontján a test sebessége pontosan vízszintesen irányul. Mint már tudjuk, ezen a ponton túl a test a parabola jobb oldali ága mentén mozog. Nyilvánvaló, hogy minden vízszintesen dobott test a parabola ága mentén is mozog.

A vízszintesen vagy a horizonthoz képest szöget bezáró testek mozgási pályája vizuálisan tanulmányozható egy egyszerű kísérletben. Egy vízzel megtöltött edényt egy bizonyos magasságban az asztal fölé helyeznek, és gumicsővel összekötik a csappal felszerelt hegyével. A kibocsátott vízsugarak közvetlenül mutatják a vízrészecskék mozgásának pályáját. Így lehetséges a trajektóriák megfigyelése az α beesési szög és a sebesség különböző értékeinél v0.

Egy bizonyos kezdeti magasságból vízszintesen eldobott test mozgási idejét csak az az idő határozza meg, amely a test szabad eséséhez szükséges ebből a kezdeti magasságból. Ezért például egy lövő által vízszintes irányban kilőtt golyó a lövéskor véletlenül leesett golyóval egyidejűleg a földre esik (feltéve, hogy a lövő ugyanabból ejti le a golyót magasság, amelyen a lövéskor a fegyverben van!. .). De egy leejtett golyó a lövő lába elé zuhan, a fegyvercsőből kilőtt golyó pedig sok száz méterre esik tőle.

Példa a probléma megoldására

Ezt a példát azért választották, mert a vizsgált probléma meglehetősen általános jellegű, és a megoldás példáján keresztül lehetővé teszi a test gravitáció hatására történő mozgásának minden jellemzőjének jobb megértését.

A probléma megoldásának feltételeire vonatkozó kezdeti feltételezések

A probléma megoldásához csak két kezdeti feltevést fogunk használni:

1. figyelmen kívül hagyjuk a gravitációs gyorsulási vektor modulusértékének függését attól a magasságtól, amelyen a test bármely mozgási pillanatban elhelyezkedik (lásd a 11. ábrát és annak kommentárját)
2. a test mozgásának elemzésekor figyelmen kívül hagyjuk a földfelszín görbületét (lásd 11. ábra és kommentárja)

A feladat:

• a test helyzete és sebessége t idő után;
• repülési útvonal egyenlet;
• normál és tangenciális gyorsulások és a pálya görbületi sugara a t pillanatban;
• teljes repülési idő;
• a legmagasabb emelési magasság;
• az a szög, amelybe a testet be kell dobni, hogy emelkedési magassága egyenlő legyen a repülési távolsággal (feltéve, hogy x 0 \u003d y 0 \u003d 0).

Megoldás

Irányítsuk a derékszögű X és Y koordinátarendszer tengelyeit a pont vízszintes és függőleges elmozdulásának irányai mentén. Mivel a gravitációs gyorsulás vektorának nincs az X tengellyel párhuzamos komponense, vagyis a test vektormozgásegyenletei a következő alakúak:

Explicit formában az első egyenletben szereplő vektormennyiségeknek a koordinátarendszer tengelyeire vonatkozó vetületeinek kifejezése olyan formában van, amely meghatározza a test helyzetét a t időpontban:

Mivel minden vektor ábrázolható a koordinátatengelyeken lévő vetületeinek összegeként (ezek is vektorok), ezért minden vektoregyenlet két vektoregyenletként is ábrázolható, de vetületekre. Miután kifejeztük a második egyenletben szereplő vektormennyiségek vetületeit a koordinátarendszer tengelyeire, megtaláljuk a sebességkomponenseket

Ha mindkét egyenletből kihagyjuk a t-t, amely meghatározza a test helyzetét t időpontban, megkapjuk a repülési útvonal egyenletet

A test tangenciális és normál gyorsulásának meghatározásához egy x, y koordinátájú pontban meg kell jegyeznünk, hogy a test teljes gyorsulása mindig lefelé irányul, és csak a gravitáció gyorsulását jelenti (nincs más erő és gyorsulás a szerint. a probléma feltétele). A tangenciális gyorsulás egyenlő a vektor vetületével a pálya érintőjére (azaz −g sinγ , amint a probléma magyarázó ábráján látható), az érintőre merőleges gyorsulás pedig egyenlő a −g cosγ ( lásd 16. ábra)

Keressük meg az út mentén a pálya görbületi sugarának (R) közelítő értékét a t pillanatban. Feltételezve, hogy a pont egy körív mentén mozog (ez egy közelítés, amely leegyszerűsíti az eredmény végső matematikai képletét, ami valójában nem történik meg, és a legjobb a test maximális emelésének pontja közelében végrehajtani), a képletet használjuk.

Ha a testet a felület olyan pontjáról dobjuk ki, ahol és y = 0 , a probléma sokkal egyszerűbbé válik. (x max − x 0) -vel redukálva azt kapjuk, hogy

A teljes repülési idő a képletből határozható meg ahol

A test legnagyobb emelési magasságát a t pillanatban éri el, amikor v y = 0. Mivel a sebességvektor Y tengely menti komponense , ezért a test maximális emelkedési pontjában a v y = 0 egyenlőség lép fel, amiből megkapjuk