Élcsúcs homlokprizma. A prizma oldalfelülete

Meghatározás. Prizma- ez egy poliéder, amelynek minden csúcsa két párhuzamos síkban található, és ugyanabban a két síkban van a prizma két lapja, amelyek egyenlő sokszögek, amelyeknek megfelelően párhuzamos oldalaik vannak, és minden olyan él, amely nem ezekben fekszik a síkok párhuzamosak.

Két egyenlő arcot hívnak prizma alapok(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

A prizma összes többi lapját hívják oldalsó arcok(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Minden oldalfelület kialakul a prizma oldalfelülete .

A prizma minden oldallapja paralelogramma .

Azokat az éleket, amelyek nem fekszenek az alapokon, a prizma oldalsó éleinek ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizma átlós szakaszt nevezzük, amelynek végei a prizma két olyan csúcsa, amelyek nem az egyik lapján fekszenek (AD 1).

A prizma alapjait összekötő és mindkét alapra egyidejűleg merőleges szakasz hosszát ún. prizma magassága .

Kijelölés:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Először a megkerülési sorrendben az egyik alap csúcsait, majd ugyanabban a sorrendben a másiknak a csúcsait jelzik; az oldalélek végeit ugyanazok a betűk jelölik, csak a benne lévő csúcsok az egyik alapot index nélküli betűk jelölik, a másikban pedig indexet)

A prizma nevéhez az alapjában elhelyezkedő ábra szögeinek számához kapcsolódik, például az 1. ábrán az alap egy ötszög, ezért a prizmát ún. ötszögletű prizma. De azóta egy ilyen prizmának 7 lapja van, akkor az heptaéder(2 lap a prizma alapja, 5 lap paralelogramma, oldallapja)

Az egyenes prizmák közül kiemelkedik egy bizonyos típus: a szabályos prizmák.

Az egyenes prizmát nevezzük helyes, ha alapjai szabályos sokszögek.

Paralelepipedon

kocka alakú- derékszögű paralelepipedon, melynek alapja egy téglalap.

Tulajdonságok és tételek:

,

ahol d a négyzet átlója;
a tér a - oldala.

A prizma ötletét a következő adja:

• különféle építészeti struktúrák;
• Gyerekjátékok;
• csomagoló dobozok;
• dizájner cikkek stb.

A prizma teljes és oldalfelülete

S teljes \u003d S oldal + 2S fő,

ahol S tele- teljes felület, S oldal- oldalfelület, S fő- alapterület

Az egyenes prizma oldalfelületének területe egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával.

S oldal\u003d P fő * h,

ahol S oldal az egyenes prizma oldalfelületének területe,

P main - az egyenes prizma alapjának kerülete,

h az egyenes prizma magassága, egyenlő az oldaléllel.

Prizma térfogata

A prizma térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.

Általános információk az egyenes prizmáról

A prizma oldalfelületét (pontosabban az oldalfelületét) ún összeg oldalsó arcterületek. A prizma teljes felülete megegyezik az oldalfelület és az alapok területeinek összegével.

19.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelülete egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával, azaz az oldalél hosszával.

Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok. Ezeknek a téglalapoknak az alapja a sokszög oldalai, amelyek a prizma alapjában helyezkednek el, és a magasságuk megegyezik az oldalélek hosszával. Ebből következik, hogy a prizma oldalfelülete egyenlő

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

ahol a 1 és n az alap bordáinak hossza, p a prizma alapjának kerülete, I pedig az oldalbordák hossza. A tétel bizonyítást nyert.

Gyakorlati feladat

Feladat (22) . Ferde prizmában szakasz, merőleges az oldalélekre és metszi az összes oldalélt. Határozzuk meg a prizma oldalfelületét, ha a szelvény kerülete p, oldalélei l.

Megoldás. A megrajzolt metszet síkja két részre osztja a prizmát (411. ábra). Vegyük alá az egyiket egy párhuzamos fordításnak, amely egyesíti a prizma alapjait. Ebben az esetben egy egyenes prizmát kapunk, amelyben az eredeti prizma szakasza szolgál alapként, és az oldalélek egyenlőek l-vel. Ennek a prizmának az oldalfelülete megegyezik az eredetivel. Így az eredeti prizma oldalfelülete egyenlő pl.

A téma általánosítása

És most próbáljuk meg összefoglalni a prizma témáját, és emlékezzünk arra, hogy milyen tulajdonságai vannak a prizmának.

Prizma tulajdonságai

Először is, egy prizmánál minden alapja egyenlő sokszög;
Másodszor, egy prizma esetében az összes oldallapja paralelogramma;
Harmadszor, egy ilyen sokoldalú alakban, mint egy prizma, minden oldalél egyenlő;

Emlékeztetni kell arra is, hogy a poliéderek, például a prizmák lehetnek egyenesek és ferdeek.

Mi az az egyenes prizma?

Ha egy prizma oldaléle merőleges az alapja síkjára, akkor az ilyen prizmát egyenesnek nevezzük.

Nem lesz felesleges felidézni, hogy az egyenes prizma oldallapjai téglalapok.

Mi az a ferde prizma?

De ha a prizma oldaléle nem merőleges az alapja síkjára, akkor nyugodtan mondhatjuk, hogy ez egy ferde prizma.

Mi a helyes prizma?

Ha egy szabályos sokszög egy egyenes prizma alapjában fekszik, akkor az ilyen prizma szabályos.

Most emlékezzünk vissza a szabályos prizmák tulajdonságaira.

Szabályos prizma tulajdonságai

Először is, a szabályos sokszögek mindig egy szabályos prizma alapjául szolgálnak;
Másodszor, ha egy szabályos prizma oldallapjait tekintjük, akkor ezek mindig egyenlő téglalapok;
Harmadszor, ha összehasonlítjuk az oldalbordák méretét, akkor a megfelelő prizmában mindig egyenlőek.
Negyedszer, a szabályos prizma mindig egyenes;
Ötödször, ha egy szabályos prizmában az oldallapok négyzet alakúak, akkor egy ilyen alakzatot általában félig szabályos sokszögnek neveznek.

Prizma szakasz

Most nézzük egy prizma keresztmetszetét:

Házi feladat

És most próbáljuk meg a vizsgált témát problémák megoldásával megszilárdítani.

Rajzoljunk egy ferde háromszög alakú prizmát, amelyben az élei közötti távolság: 3 cm, 4 cm és 5 cm lesz, és ennek a prizmának az oldalfelülete 60 cm2 lesz. Ezekkel a paraméterekkel keresse meg az adott prizma oldalélét.

Tudja-e, hogy nemcsak a geometria órákon vesznek körül minket folyamatosan geometriai alakzatok, hanem a mindennapi életben is vannak olyan tárgyak, amelyek egy-egy geometrikus alakra hasonlítanak.

Minden otthonban, iskolában vagy munkahelyen van számítógép, melynek rendszeregysége egyenes prizma alakú.

Ha felvesz egy egyszerű ceruzát, látni fogja, hogy a ceruza fő része egy prizma.

A város főutcáján sétálva azt látjuk, hogy a lábunk alatt hatszögletű hasáb alakú cserép hever.

A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosok számára, Tankönyv oktatási intézmények számára

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és ajánlásokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges - a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű okokból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A szilárd geometria tantervében a háromdimenziós alakzatok tanulmányozása általában egy egyszerű geometriai testtel kezdődik - egy prizma poliéderrel. Alapjainak szerepét 2 egyenlő, párhuzamos síkban elhelyezkedő sokszög tölti be. Különleges eset a szabályos négyszögű prizma. Alapjai 2 egyforma szabályos négyszög, amelyekre az oldalak merőlegesek, paralelogramma alakúak (vagy téglalapok, ha a prizma nem ferde).

Hogy néz ki egy prizma

A szabályos négyszögű prizma egy hatszög, amelynek alapjaiban 2 négyzet található, és az oldallapokat téglalapok ábrázolják. Ennek a geometriai alaknak egy másik neve egyenes paralelepipedon.

Az alábbi ábra egy négyszögű prizmát ábrázol.

A képen is láthatod a geometriai testet alkotó legfontosabb elemek. Általában a következőképpen hivatkoznak rájuk:

Néha a geometriai problémákban megtalálhatja a szakasz fogalmát. A definíció így hangzik: a metszet egy térfogati test minden olyan pontja, amely a vágási síkhoz tartozik. A metszet merőleges (90 fokos szögben metszi az ábra széleit). Téglalap alakú prizmánál egy átlós szakaszt is figyelembe veszünk (maximum 2 darab építhető szakasz), amely 2 élen és az alap átlóin halad át.

Ha a metszet úgy van megrajzolva, hogy a vágási sík ne legyen párhuzamos sem az alapokkal, sem az oldalfelületekkel, az eredmény egy csonka prizma.

Különféle arányokat és képleteket használnak a redukált prizmatikus elemek megtalálásához. Némelyikük a planimetria során ismert (például egy prizma alapterületének meghatározásához elegendő felidézni a négyzet területének képletét).

Felület és térfogat

A prizma térfogatának a képlet segítségével történő meghatározásához ismernie kell az alapterületét és a magasságát:

V = Sprim h

Mivel a szabályos tetraéder prizma alapja egy négyzet, amelynek oldala van a, A képletet részletesebb formában is megírhatja:

V = a² h

Ha kockáról beszélünk - egyenlő hosszúságú, szélességű és magasságú szabályos prizmáról, akkor a térfogatot a következőképpen számítjuk ki:

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehet megtalálni a prizma oldalsó felületét, el kell képzelni a söpörését.

A rajzon látható, hogy az oldalfelület 4 egyenlő téglalapból áll. Területét az alap kerületének és az ábra magasságának szorzataként számítják ki:

Sside = Pos h

Mivel a négyzet kerülete az P = 4a a képlet a következő alakot ölti:

Sside = 4a h

A kockához:

Oldal = 4a²

A prizma teljes felületének kiszámításához adjon hozzá 2 alapterületet az oldalfelülethez:

Teljes = Sside + 2Sbase

Négyszögletű szabályos prizmára alkalmazva a képlet a következőképpen alakul:

Teljes = 4a h + 2a²

Egy kocka felületéhez:

Teljes = 6a²

A térfogat vagy felület ismeretében kiszámíthatja a geometriai test egyes elemeit.

Prizmaelemek keresése

Gyakran adódnak olyan problémák, amikor adott a térfogat, vagy ismert az oldalfelület értéke, ahol meg kell határozni az alap oldalhosszát vagy a magasságot. Ilyen esetekben képletek származtathatók:

• alapoldal hossza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• magasság vagy oldalborda hossza: h = Sside / 4a = V / a²;
• alapterület: Sprim = V / h;
• oldalsó arc területe: Oldal gr = Sside / 4.

Annak meghatározásához, hogy mekkora területe van egy átlós szakasznak, ismernie kell az átló hosszát és az ábra magasságát. Egy négyzetre d = a√2. Ezért:

Sdiag = ah√2

A prizma átlójának kiszámításához a következő képletet kell használni:

dprize = √(2a² + h²)

A fenti arányok alkalmazásának megértéséhez gyakorolhat és megoldhat néhány egyszerű feladatot.

Példák a megoldásokkal kapcsolatos problémákra

Íme néhány feladat, amely a matematika államzáró vizsgákon jelenik meg.

1. Feladat.

A homokot egy szabályos négyszögű prizma alakú dobozba öntik. Szintének magassága 10 cm Mekkora lesz a homok szintje, ha egy ugyanolyan alakú, de 2-szer hosszabb talphosszúságú edénybe viszed?

A következőképpen kell érvelni. Az első és a második tartályban lévő homok mennyisége nem változott, azaz a térfogata bennük azonos. Az alap hosszát a következőképpen határozhatja meg a. Ebben az esetben az első dobozban az anyag térfogata:

V₁ = ha² = 10a²

A második doboznál az alap hossza 2a, de a homokszint magassága ismeretlen:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Mert a V1 = V2, a kifejezések egyenlővé tehetők:

10a² = 4ha²

Miután az egyenlet mindkét oldalát a²-vel csökkentjük, a következőt kapjuk:

Ennek eredményeként az új homokszint lesz h = 10/4 = 2,5 cm.

2. feladat.

Az ABCDA₁B₁C₁D₁ szabályos prizma. Ismeretes, hogy BD = AB₁ = 6√2. Határozza meg a test teljes felületét.

Az ismert elemek könnyebb megértése érdekében rajzolhat egy ábrát.

Mivel szabályos prizmáról beszélünk, megállapíthatjuk, hogy az alap egy 6√2 átlójú négyzet. Az oldallap átlója azonos értékű, ezért az oldallapnak is négyzet alakú az alapja. Kiderült, hogy mindhárom méret - hosszúság, szélesség és magasság - egyenlő. Megállapíthatjuk, hogy az ABCDA₁B₁C₁D₁ egy kocka.

Bármely él hosszát az ismert átlón keresztül határozzuk meg:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

A teljes felületet a kocka képlete határozza meg:

Teljes = 6a² = 6 6² = 216

3. feladat.

A szoba felújítás alatt áll. Ismeretes, hogy a padlója négyzet alakú, 9 m² területű. A szoba magassága 2,5 m Mennyibe kerül a legalacsonyabb egy szoba tapétázása, ha 1 m² 50 rubel?

Mivel a padló és a mennyezet négyzetek, azaz szabályos négyszögek, falai pedig vízszintes felületekre merőlegesek, megállapíthatjuk, hogy szabályos prizmáról van szó. Meg kell határozni az oldalsó felületének területét.

A szoba hossza a a = √9 = 3 m.

A teret tapéta borítja Oldal = 4 3 2,5 = 30 m².

A legalacsonyabb tapéta költség ebben a szobában lesz 50 30 = 1500 rubel.

Így a téglalap alakú prizma feladatok megoldásához elegendő egy négyzet és egy téglalap területének és kerületének kiszámítása, valamint a térfogat és a felület meghatározására szolgáló képletek ismerete.

Hogyan találjuk meg a kocka területét

A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.

Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.