Formule najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi su posebni slučajevi. Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe

Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje ispita iz matematike od 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profila USE iz matematike. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Podloga za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za razred 10 od 1C
Rješavamo zadatke iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Što ćemo proučavati:
1. Što su trigonometrijske jednadžbe?

3. Dvije glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Što su trigonometrijske jednadžbe?

Dečki, već smo proučavali arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe - jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod predznakom trigonometrijske funkcije.

Ponavljamo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, onda jednadžba cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednadžba sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako je |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednadžba tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednadžba ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule, k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T- bilo koja trigonometrijska funkcija.

Riješite jednadžbe: a) sin(3x)= √3/2

Riješenje:

A) Označimo 3x=t, pa ćemo prepisati našu jednadžbu u obliku:

Rješenje ove jednadžbe bit će: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Iz tablice vrijednosti dobivamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se našoj varijabli: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n - minus jedan na potenciju n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješenje:

A) Ovaj put ćemo odmah prijeći izravno na izračun korijena jednadžbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednadžbe: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Riješenje:

Riješimo našu jednadžbu u općem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Za k Za k=0, x= π/16, nalazimo se u zadanom segmentu .
Uz k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, ponovno su pogodili.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da nećemo pogoditi ni za veliko k.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Riješimo jednadžbu:

Riješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristimo se metodom uvođenja nove varijable, označene s: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene dobivamo: t 2 + 2t -1 = 0

Nađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada je tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu, hajmo pronaći njene korijene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riješenje:

Upotrijebimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednadžba postaje: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Uvedimo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može poprimiti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Jednadžbe oblika

homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja.

Da bismo riješili homogenu trigonometrijsku jednadžbu prvog stupnja, podijelimo je s cos(x): Nemoguće je dijeliti kosinusom ako je jednak nuli, uvjerimo se da to nije tako:
Neka cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobili smo kontradikciju, tako da možemo sigurno dijeliti nulom.

Riješite jednadžbu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Riješenje:

Izbacite zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednadžbe:

cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 za x= π/2 + πk;

Razmotrimo jednadžbu cos(x)+sin(x)=0 Podijelimo našu jednadžbu s cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja?
Ljudi, uvijek se držite ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je jednak koeficijent a, ako je a \u003d 0 tada će naša jednadžba poprimiti oblik cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), čiji je primjer rješenja na prethodnoj tobogan

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti oba dijela jednadžbe s kvadratom kosinusa, dobivamo:

Promjenom varijable t=tg(x) dobivamo jednadžbu:

Riješite primjer #:3

Podijelite obje strane jednadžbe s kosinusom na kvadrat:

Vršimo promjenu varijable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Zatim: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješite primjer #:4

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednadžbe: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješite primjer #:5

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:

Uvodimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobivamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Zadaci za samostalno rješavanje.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednadžbe: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednadžbu: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Riješite jednadžbu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednadžbu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednadžbu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Trigonometrijske jednadžbe nisu najlakša tema. Bolno su raznoliki.) Na primjer, ovo:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

itd...

Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obvezne značajke. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi s x su unutar istih funkcija. I samo tamo! Ako se negdje pojavi x vani, na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će biti jednadžba mješovitog tipa. Takve jednadžbe zahtijevaju individualni pristup. Ovdje ih nećemo razmatrati.

Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednadžbe.) Ovdje ćemo se baviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da, jer odluka bilo koji trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dva stupnja. U prvoj se fazi zla jednadžba raznim transformacijama svodi na jednostavnu. Na drugom - ova najjednostavnija jednadžba je riješena. Nema drugog načina.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema previše smisla.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Ovdje a stoji za bilo koji broj. Bilo koje.

Usput, unutar funkcije možda ne postoji čisti x, već neka vrsta izraza, kao što je:

cos(3x+π /3) = 1/2

itd. To komplicira život, ali ne utječe na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?

Trigonometrijske jednadžbe mogu se riješiti na dva načina. Prvi način: pomoću logike i trigonometrijske kružnice. Ovdje ćemo istražiti ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - razmotrit ćemo u sljedećoj lekciji.

Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, nejednadžbi i svih vrsta škakljivih nestandardnih primjera. Logika je jača od pamćenja!

Jednadžbe rješavamo pomoću trigonometrijske kružnice.

Uključujemo elementarnu logiku i sposobnost korištenja trigonometrijske kružnice. Zar ne možete!? Međutim... Bit će ti teško u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug ...... Što je to?" i "Brojanje kutova na trigonometrijskoj kružnici". Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)

Ah, znaš!? Pa čak i savladao "Praktični rad s trigonometrijskom kružnicom"!? Prihvatite čestitke. Ova će vam tema biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno veseli je da je trigonometrijskom krugu svejedno koju ćete jednadžbu riješiti. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - sve mu je isto. Princip rješenja je isti.

Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednadžbu. Barem ovo:

cosx = 0,5

Moram pronaći X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate nađite kut (x) čiji je kosinus 0,5.

Kako smo prije koristili krug? Na njemu smo nacrtali kut. U stupnjevima ili radijanima. I to odmah vidio trigonometrijske funkcije ovog kuta. Sada učinimo suprotno. Na kružnicu i odmah nacrtajte kosinus jednak 0,5 vidjet ćemo kutak. Ostaje samo zapisati odgovor.) Da, da!

Nacrtamo krug i označimo kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Kao ovo:

Sada nacrtajmo kut koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidjeti ovaj isti kut X.

Koji kut ima kosinus 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Neki ljudi će skeptično progunđati, da... Kažu, je li se isplatilo ograditi krug, kad je ionako sve jasno... Možete, naravno, progunđati...) Ali činjenica je da je ovo pogreška odgovor. Ili bolje rečeno, neadekvatan. Poznavatelji kruga razumiju da postoji još cijela hrpa kutova koji također daju kosinus jednak 0,5.

Ako okrenete pokretnu stranu OA za puni okret, točka A će se vratiti u prvobitni položaj. Uz isti kosinus jednak 0,5. Oni. kut će se promijeniti 360° ili 2π radijana, i kosinus nije. Novi kut 60° + 360° = 420° također će biti rješenje naše jednadžbe, jer

Postoji beskonačan broj takvih punih rotacija... I svi ti novi kutovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednadžbe. I sve ih treba nekako zapisati. Svi. U suprotnom, odluka se ne razmatra, da ...)

Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. U jednom kratkom odgovoru zapišite beskonačan skup rješenja. Evo kako izgleda naša jednadžba:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja ću dešifrirati. Piši i dalje značajno ljepše nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)

π /3 je isti kut koji mi pila na krug i odlučan prema tablici kosinusa.

2π je jedan puni okret u radijanima.

n - ovo je broj kompletnih, tj. cijeli revolucije. Jasno je da n može biti 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao što pokazuje kratki zapis:

n ∈ Z

n pripada ( ∈ ) na skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n mogu se koristiti slova k, m, t itd.

Ova oznaka znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Što želiš. Uključite li taj broj u svoj odgovor, dobit ćete određeni kut, koji će sigurno biti rješenje naše teške jednadžbe.)

Ili, drugim riječima, x \u003d π / 3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je π / 3 dodati bilo koji broj punih zavoja ( n ) u radijanima. Oni. 2πn radijan.

Sve? Ne. Konkretno rastežem užitak. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednadžbu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja na sljedeći način:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne jedan korijen, to je cijeli niz korijena, napisanih u kratkom obliku.

Ali postoje i drugi kutovi koji također daju kosinus jednak 0,5!

Vratimo se našoj slici, prema kojoj smo zapisali odgovor. Evo je:

Prijeđite mišem preko slike i vidjeti još jedan kutak koji također daje kosinus od 0,5.Što mislite, čemu je to jednako? Trokuti su isti... Da! Jednak je kutu x , iscrtan samo u negativnom smjeru. Ovo je kut -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga možemo sa sigurnošću napisati:

x 2 \u003d - π / 3

I, naravno, dodajemo sve kutove koji se dobiju punim okretajima:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je sada sve.) U trigonometrijskom krugu mi pila(tko razumije, naravno)) svi kutovi koji daju kosinus jednak 0,5. I zapisali su te kutove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor su dva beskonačna niza korijena:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je točan odgovor.

Nada, opći princip rješavanja trigonometrijskih jednadžbi uz pomoć kruga je razumljivo. Na kružnici označimo kosinus (sinus, tangens, kotangens) iz zadane jednadžbe, nacrtamo odgovarajuće kutove i zapišemo odgovor. Naravno, morate shvatiti kakvi smo mi kutovi pila na krugu. Ponekad to nije tako očito. Pa, kao što sam rekao, ovdje je potrebna logika.)

Na primjer, analizirajmo drugu trigonometrijsku jednadžbu:

Imajte na umu da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbama!) Samo mi je prikladnije napisati ga nego korijene i razlomke.

Radimo prema općem principu. Nacrtamo krug, označimo (na sinusnoj osi, naravno!) 0,5. Nacrtamo odjednom sve kutove koji odgovaraju ovom sinusu. Dobivamo ovu sliku:

Prvo se pozabavimo kutom. x u prvom kvartalu. Podsjećamo na tablicu sinusa i određujemo vrijednost ovog kuta. Stvar je jednostavna:

x \u003d π / 6

Prisjećamo se cijelih redova i mirne savjesti zapisujemo prvi niz odgovora:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pola posla je obavljeno. Sada moramo definirati drugi kut... Ovo je teže nego u kosinusima, da ... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi kut kroz x? Da Lako! Trokuti na slici su isti, a crveni kut x jednaka kutu x . Samo se on računa od kuta π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban kut mjeren točno od pozitivne poluosi OX, tj. pod kutom od 0 stupnjeva.

Postavite pokazivač iznad slike i pogledajte sve. Prvi ugao sam maknula da ne kompliciram sliku. Kut koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:

π - x

x mi to znamo π /6 . Dakle, drugi kut će biti:

π - π /6 = 5π /6

Opet se prisjećamo zbrajanja punih okretaja i zapisujemo drugi niz odgovora:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je sve. Kompletan odgovor sastoji se od dva niza korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jednadžbe s tangensom i kotangensom mogu se jednostavno riješiti koristeći isti opći princip za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Osim, naravno, ako ne znate nacrtati tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici.

U gornjim primjerima koristio sam tabelarnu vrijednost sinusa i kosinusa: 0,5. Oni. jedno od onih značenja koje učenik poznaje mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrijednosti. Odlučite, pa odlučite!)

Dakle, recimo da trebamo riješiti sljedeću trigonometrijsku jednadžbu:

U kratkim tablicama nema te vrijednosti kosinusa. Mi mirno ignoriramo ovu strašnu činjenicu. Nacrtamo kružnicu, označimo 2/3 na kosinusnoj osi i nacrtamo odgovarajuće kutove. Dobili smo ovu sliku.

Razumijemo, za početak, s kutom u prvoj četvrtini. Da znaju koliko je x, odmah bi zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiriti! Matematika ne ostavlja svoje u nevolji! Izumila je ark kosinuse za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte. Puno je lakše nego što mislite. Prema ovom linku, ne postoji niti jedna lukava čarolija o "inverznim trigonometrijskim funkcijama" ... To je suvišno u ovoj temi.

Ako ste upućeni, samo recite sebi: "X je kut čiji je kosinus 2/3." I odmah, čisto prema definiciji arkosinusa, možemo napisati:

Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvi niz korijena naše trigonometrijske jednadžbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Drugi niz korijena također se piše gotovo automatski, za drugi kut. Sve je isto, samo će x (arccos 2/3) biti s minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I sve stvari! Ovo je točan odgovor. Još lakše nego s tabličnim vrijednostima. Ne morate ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da ova slika s rješenjem kroz ark kosinus u biti se ne razlikuje od slike za jednadžbu cosx = 0,5.

Točno! Opće načelo o tome i opće! Posebno sam nacrtao dvije gotovo identične slike. Krug nam pokazuje kut x svojim kosinusom. Je li to tabularni kosinus, ili nije - krug ne zna. O kakvom se kutu radi, π / 3, ili o kakvoj vrsti ark kosinusa odlučujemo mi.

Sa sinusom ista pjesma. Na primjer:

Opet crtamo krug, označavamo sinus jednak 1/3, crtamo uglove. Ispada ova slika:

I opet je slika skoro ista kao kod jednadžbe sinx = 0,5. Opet krećemo iz kuta u prvoj četvrtini. Čemu je x jednak ako je njegov sinus 1/3? Nema problema!

Dakle, prvi paket korijena je spreman:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Pogledajmo drugi kut. U primjeru s vrijednošću tablice od 0,5, to je bilo jednako:

π - x

Dakle, ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa što!? Možete sigurno napisati drugi paket korijena:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je potpuno točan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali to je razumljivo, nadam se.)

Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kruga. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama s odabirom korijena na zadanom intervalu, u trigonometrijskim nejednadžbama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krugu. Ukratko, u svim zadacima koji su malo kompliciraniji od standardnih.

Provođenje znanja u praksi?

Riješite trigonometrijske jednadžbe:

U početku je jednostavnije, izravno na ovoj lekciji.

Sada je još teže.

Savjet: ovdje morate razmišljati o krugu. Osobno.)

A sada izvana nepretenciozan ... Nazivaju ih i posebnim slučajevima.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Savjet: ovdje morate u krugu otkriti gdje postoje dva niza odgovora, a gdje jedan ... I kako zapisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ne izgubi niti jedan korijen iz beskonačnog broja!)

Pa sasvim jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Savjet: ovdje morate znati što je arksinus, arkosinus? Što je arc tangens, arc tangens? Najjednostavnije definicije. Ali ne morate pamtiti tablične vrijednosti!)

Odgovori su, naravno, u rasulu):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne ide sve? Događa se. Ponovno pročitajte lekciju. Samo zamišljeno(ima takva zastarjela riječ...) I slijedite linkove. Glavne poveznice su o krugu. Bez toga u trigonometriji - kako prijeći cestu zavezanih očiju. Ponekad upali.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi

Uvod 2

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi 5

Algebarski 5

Rješavanje jednadžbi korištenjem uvjeta jednakosti istoimenih trigonometrijskih funkcija 7

Faktoring 8

Svođenje na homogenu jednadžbu 10

Uvođenje pomoćnog kuta 11

Pretvorite umnožak u zbroj 14

Univerzalna zamjena 14

Zaključak 17

Uvod

Do desetog razreda redoslijed radnji mnogih vježbi koje vode do cilja, u pravilu, je nedvosmisleno definiran. Na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe i nejednadžbe, frakcijske jednadžbe i jednadžbe koje se svode na kvadratne, itd. Ne analizirajući detaljno princip rješavanja svakog od navedenih primjera, napominjemo ono općenito što je potrebno za njihovo uspješno rješavanje.

U većini slučajeva morate odrediti koja je vrsta zadatka, zapamtiti slijed radnji koje vode do cilja i izvršiti te radnje. Očito je da uspjeh ili neuspjeh učenika u ovladavanju metodama rješavanja jednadžbi ovisi ponajviše o tome koliko će moći točno odrediti vrstu jednadžbe i zapamtiti redoslijed svih faza njezina rješavanja. Naravno, ovo pretpostavlja da student ima vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.

Sasvim drugačija situacija događa se kada se učenik susreće s trigonometrijskim jednadžbama. Istodobno, nije teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri pronalaženju načina djelovanja koji bi doveo do pozitivnog rezultata. I tu se učenik suočava s dva problema. Po izgledu jednadžbe teško je odrediti vrstu. A bez poznavanja vrste gotovo je nemoguće odabrati željenu formulu među nekoliko desetaka dostupnih.

Kako bi učenici lakše snašli kroz složeni labirint trigonometrijskih jednadžbi, najprije se upoznaju s jednadžbama koje se nakon uvođenja nove varijable svode na kvadratne. Zatim riješiti homogene jednadžbe i svesti se na njih. Sve završava, u pravilu, jednadžbama, za čije je rješenje potrebno faktorizirati lijevu stranu, a zatim svaki od faktora izjednačiti s nulom.

Uvidjevši da desetak i pol jednadžbi analiziranih u lekcijama očito nisu dovoljni da bi učenik mogao samostalno ploviti trigonometrijskim "morem", učitelj dodaje još nekoliko vlastitih preporuka.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednadžbu, moramo pokušati:

Dovedite sve funkcije uključene u jednadžbu pod "iste kutove";

Dovedite jednadžbu na "iste funkcije";

Faktorizirajte lijevu stranu jednadžbe itd.

No, usprkos poznavanju glavnih tipova trigonometrijskih jednadžbi i nekoliko principa za pronalaženje njihova rješenja, mnogi se učenici i dalje nalaze u slijepoj ulici pred svakom jednadžbom koja se neznatno razlikuje od onih prethodno riješenih. Ostaje nejasno čemu treba težiti, imajući jednu ili drugu jednadžbu, zašto je u jednom slučaju potrebno primijeniti formule dvostrukog kuta, u drugom - polukuta, au trećem - formule dodavanja itd.

Definicija 1. Trigonometrijska jednadžba je jednadžba u kojoj je nepoznanica sadržana pod predznakom trigonometrijskih funkcija.

Definicija 2. Kaže se da trigonometrijska jednadžba ima iste kutove ako sve trigonometrijske funkcije uključene u nju imaju jednake argumente. Kaže se da trigonometrijska jednadžba ima iste funkcije ako sadrži samo jednu od trigonometrijskih funkcija.

Definicija 3. Stupanj monoma koji sadrži trigonometrijske funkcije zbroj je eksponenata potencija trigonometrijskih funkcija koje su u njega uključene.

Definicija 4. Jednadžba se naziva homogenom ako svi monomi u njoj imaju isti stupanj. Taj se stupanj naziva red jednadžbe.

Definicija 5. Trigonometrijska jednadžba koja sadrži samo funkcije grijeh i cos, nazivamo homogenim ako svi monomi s obzirom na trigonometrijske funkcije imaju isti stupanj, a same trigonometrijske funkcije imaju jednake kutove i broj monoma je za 1 veći od reda jednadžbe.

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi sastoji se od dvije faze: transformacije jednadžbe u njezin najjednostavniji oblik i rješavanja dobivene najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Postoji sedam osnovnih metoda za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi.

ja. algebarska metoda. Ova metoda je dobro poznata iz algebre. (Metoda zamjene varijabli i supstitucije).

Riješite jednadžbe.

1)

Uvedimo notaciju x=2 grijeh3 t, dobivamo

Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo:
ili

oni. može se napisati

Prilikom pisanja rješenja dobivenog zbog prisutnosti znakova stupanj
nema smisla pisati.

Odgovor:

Označiti

Dobivamo kvadratnu jednadžbu
. Njegovi korijeni su brojevi
i
. Stoga se ova jednadžba svodi na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
i
. Rješavajući ih, nalazimo to
ili
.

Odgovor:
;
.

Označiti

ne zadovoljava uvjet

Sredstva

Odgovor:

Transformirajmo lijevu stranu jednadžbe:

Stoga se ova početna jednadžba može napisati kao:

, tj.

Označavanje
, dobivamo
Rješavajući ovu kvadratnu jednadžbu, imamo:

ne zadovoljava uvjet

Zapisujemo rješenje izvorne jednadžbe:

Odgovor:

Zamjena
svodi ovu jednadžbu na kvadratnu jednadžbu
. Njegovi korijeni su brojevi
i
. Jer
, tada navedena jednadžba nema korijena.

Odgovor: nema korijena.

II. Rješavanje jednadžbi korištenjem uvjeta jednakosti istoimenih trigonometrijskih funkcija.

a)
, ako

b)
, ako

u)
, ako

Koristeći ove uvjete, razmotrite rješenje sljedećih jednadžbi:

6)

Koristeći ono što je rečeno u točki a), nalazimo da jednadžba ima rješenje ako i samo ako
.

Rješavajući ovu jednadžbu, nalazimo
.

Imamo dvije grupe rješenja:

.

7) Riješite jednadžbu:
.

Koristeći uvjet dijela b) zaključujemo da
.

Rješavanjem ovih kvadratnih jednadžbi dobivamo:

.

8) Riješite jednadžbu
.

Iz ove jednadžbe zaključujemo da . Rješavajući ovu kvadratnu jednadžbu, nalazimo to

.

III. Faktorizacija.

Ovu metodu razmatramo s primjerima.

9) Riješite jednadžbu
.

Riješenje. Pomaknimo sve članove jednadžbe ulijevo: .

Transformiramo i faktoriziramo izraz na lijevoj strani jednadžbe:
.

.

.

1)
2)

Jer
i
nemojte uzeti vrijednost null

u isto vrijeme, zatim odvajamo oba dijela

jednadžbe za
,

Odgovor:

10) Riješite jednadžbu:

Riješenje.

ili

Odgovor:

11) Riješite jednadžbu

Riješenje:

1)
2)
3)

,

Odgovor:

IV. Svođenje na homogenu jednadžbu.

Za rješavanje homogene jednadžbe potrebno je:

Pomaknite sve njegove članove na lijevu stranu;

Izbacite sve zajedničke faktore iz zagrada;

Izjednačiti sve faktore i zagrade s nulom;

Zagrade izjednačene s nulom daju homogenu jednadžbu nižeg stupnja koju treba podijeliti s
(ili
) u višem stupnju;

Riješite dobivenu algebarsku jednadžbu za
.

Razmotrite primjere:

12) Riješite jednadžbu:

Riješenje.

Podijelite obje strane jednadžbe s
,

Uvođenje notnog zapisa
, Ime

korijeni ove jednadžbe su:

odavde 1)
2)

Odgovor:

13) Riješite jednadžbu:

Riješenje. Koristeći formule dvostrukog kuta i osnovni trigonometrijski identitet, ovu jednadžbu reduciramo na pola argumenta:

Nakon smanjenja sličnih uvjeta, imamo:

Dijeljenje homogene posljednje jednadžbe s
, dobivamo

odredit ću
, dobivamo kvadratnu jednadžbu
, čiji su korijeni brojevi

Na ovaj način

Izraz
nestaje na
, tj. na
,
.

Naše rješenje jednadžbe ne uključuje ove brojeve.

Odgovor:
, .

V. Uvođenje pomoćnog kuta.

Razmotrimo jednadžbu oblika

Gdje a, b, c- koeficijenti, x- nepoznato.

Podijelite obje strane ove jednadžbe s

Sada koeficijenti jednadžbe imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime: modul svakog od njih ne prelazi jedinicu, a zbroj njihovih kvadrata jednak je 1.

Tada ih možemo odgovarajuće označiti
(ovdje - pomoćni kut) i naša jednadžba ima oblik: .

Zatim

I njegova odluka

Imajte na umu da je uvedena oznaka zamjenjiva.

14) Riješite jednadžbu:

Riješenje. Ovdje
, pa obje strane jednadžbe dijelimo s

Odgovor:

15) Riješite jednadžbu

Riješenje. Jer
, onda je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi

Jer
, onda postoji kut takav da
,
(oni.
).

Imamo

Jer
, tada konačno dobivamo:

.

Primijetite da jednadžba oblika ima rješenje ako i samo ako

16) Riješite jednadžbu:

Da bismo riješili ovu jednadžbu, grupiramo trigonometrijske funkcije s istim argumentima

Podijelite obje strane jednadžbe s dva

Zbroj trigonometrijskih funkcija pretvaramo u produkt:

Odgovor:

VI. Pretvorite umnožak u zbroj.

Ovdje se koriste odgovarajuće formule.

17) Riješite jednadžbu:

Riješenje. Pretvorimo lijevu stranu u zbroj:

VII.Univerzalna zamjena.

,

te su formule istinite za sve

Zamjena
naziva univerzalnim.

18) Riješite jednadžbu:

Rješenje: Zamijenite i
na njihov izraz kroz
i označavaju
.

Dobivamo racionalnu jednadžbu
, koji se pretvara u kvadrat
.

Korijeni ove jednadžbe su brojevi
.

Stoga se problem sveo na rješavanje dviju jednadžbi
.

Nalazimo to
.

Pogledaj vrijednost
ne zadovoljava izvornu jednadžbu, što se provjerava provjerom - zamjenom zadane vrijednosti t izvornoj jednadžbi.

Odgovor:
.

Komentar. Jednadžba 18 mogla bi se riješiti na drugačiji način.

Podijelite obje strane ove jednadžbe s 5 (tj. s
):
.

Jer
, onda postoji broj
, što
i
. Tako jednadžba postaje:
ili
. Odavde to nalazimo
gdje
.

19) Riješite jednadžbu
.

Riješenje. Budući da funkcije
i
imaju najveću vrijednost jednaku 1, tada je njihov zbroj jednak 2 ako
i
, u isto vrijeme, tj
.

Odgovor:
.

Pri rješavanju ove jednadžbe korištena je ograničenost funkcija i .

Zaključak.

Radeći na temi "Rješenja trigonometrijskih jednadžbi", korisno je da se svaki nastavnik pridržava sljedećih preporuka:

Usustaviti metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Odaberite sami korake za izvođenje analize jednadžbe i znakove svrsishodnosti korištenja jedne ili druge metode rješenja.

Razmislite o načinima samokontrole aktivnosti na provedbi metode.

Naučite napraviti "svoje" jednadžbe za svaku od proučavanih metoda.

Primjena br. 1

Rješavanje homogenih ili reducibilnih jednadžbi.