Definirajte kompleksan broj. Što je kompleksan broj? Primjeri

§jedan. Kompleksni brojevi

1°. Definicija. Algebarski zapis.

Definicija 1. Kompleksni brojevi nazivamo uređenim parovima realnih brojeva i , ako je za njih definiran koncept jednakosti, operacije zbrajanja i množenja koje zadovoljavaju sljedeće aksiome:

1) Dva broja
i
jednako ako i samo ako
,
, tj.


,
.

2) Zbroj kompleksnih brojeva
i

i jednaki
, tj.

+
=
.

3) Umnožak kompleksnih brojeva
i
broj se zove
i jednaki, tj.

∙=.

Označava se skup kompleksnih brojeva C.

Formule (2),(3) za brojeve oblika
uzeti oblik

odakle slijedi da operacije zbrajanja i množenja za brojeve oblika
podudaraju se sa zbrajanjem i množenjem za realne brojeve složeni broj oblika
poistovjećuje se s realnim brojem .

Složeni broj
nazvao imaginarna jedinica i označeno , tj.
Zatim iz (3)

Iz (2),(3)  što znači

Izraz (4) naziva se algebarski zapis složeni broj.

U algebarskom obliku, operacije zbrajanja i množenja imaju oblik:

Kompleksni broj je označen
,- pravi dio, je imaginarni dio, je čisto imaginaran broj. Oznaka:
,
.

Definicija 2. Složeni broj
nazvao konjugirati s kompleksnim brojem
.

Svojstva složene konjugacije.

2)
.

3) Ako
, onda
.

4)
.

5)
je realan broj.

Dokaz se provodi izravnim proračunom.

Definicija 3. Broj
nazvao modul složeni broj
i označeno
.

Očito je da
, i

. Formule su također očite:
i
.

2°. Svojstva operacija zbrajanja i množenja.

1) Komutativnost:
,
.

2) Asocijativnost:,
.

3) Distributivnost: .

Dokaz 1) - 3) provodi se izravnim izračunima na temelju sličnih svojstava za realne brojeve.

4)
,
.

5) , C ! , zadovoljavajući jednadžbu
. Takav

6) ,C, 0, ! :
. Takav nalazi se množenjem jednadžbe s

.

Primjer. Zamislite složeni broj
u algebarskom obliku. Da biste to učinili, pomnožite brojnik i nazivnik razlomka s konjugatom nazivnika. Imamo:

3°. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik zapisa kompleksnog broja.

Neka je na ravnini zadan pravokutni koordinatni sustav. Zatim
C koordinatama se može pridružiti točka na ravnini
.(vidi sliku 1). Očito je da je takva korespondencija jedan na jedan. U tom slučaju realni brojevi leže na apscisnoj osi, a čisto imaginarni brojevi leže na ordinatnoj osi. Stoga se apscisna os naziva realna os, i y-os − imaginarna os. Ravnina na kojoj leže kompleksni brojevi naziva se složena ravnina.

Imajte na umu da i
su simetrični u odnosu na podrijetlo, i i su simetrične u odnosu na Ox.

Svakom kompleksnom broju (tj. svakoj točki na ravnini) može se pridružiti vektor s početkom u točki O, a krajem u točki
. Korespondencija između vektora i kompleksnih brojeva je jedan na jedan. Dakle, vektor koji odgovara kompleksnom broju , označen istim slovom

D vektorska linija
koji odgovara kompleksnom broju
, jednako je
, i
,
.

Koristeći vektorsku interpretaciju, može se vidjeti da vektor
− zbroj vektora i , a
− zbroj vektora i
.(vidi sliku 2). Stoga su istinite sljedeće nejednakosti:

Zajedno s dužinom vektor uvodimo kut između vektora i osi Ox, računajući od pozitivnog smjera osi Ox: ako je brojanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se predznak kuta smatra pozitivnim, ako je u smjeru kazaljke na satu, onda negativnim. Ovaj kutak se zove argument kompleksnog broja i označeno
. Kutak nije definiran jednoznačno, već precizno
…. Za
argument nije definiran.

Formule (6) definiraju tzv trigonometrijski zapis složeni broj.

Iz (5) slijedi da ako
i
zatim

,
.

Od (5)
što po i Složeni broj je jedinstveno definiran. Ne vrijedi obrnuto: naime, kompleksnim brojem njegov modul je jedinstven, a argument , zbog (7), − s točnošću
. Iz (7) također slijedi da argument može se naći kao rješenje jednadžbe

Međutim, nisu sva rješenja ove jednadžbe rješenja (7).

Među svim vrijednostima argumenta složenog broja odabire se jedna, koja se naziva glavna vrijednost argumenta i označava se
. Obično se glavna vrijednost argumenta bira ili u intervalu
, odnosno u intervalu

U trigonometrijskom obliku prikladno je izvoditi operacije množenja i dijeljenja.

Teorem 1. Modul umnoška kompleksnih brojeva i jednak je umnošku modula, a argument je jednak zbroju argumenata, tj.

, a .

Na sličan način

Dokaz. Neka,. Tada izravnim množenjem dobivamo:

Na sličan način

.■

Posljedica(De Moivreova formula). Za
Vrijedi Moivreova formula

P primjer. Neka Nađi geometrijsko mjesto točke
. Iz teorema 1 slijedi da je .

Stoga, da biste ga konstruirali, prvo morate konstruirati točku , što je obrnuto oko jedinične kružnice, a zatim pronađite točku koja joj je simetrična u odnosu na x-osu.

Neka
,oni.
Složeni broj
označeno
, tj. R vrijedi Eulerova formula

Jer
, onda
,
. Iz teorema 1
što je s funkcijom
moguće je raditi kao s običnom eksponencijalnom funkcijom, tj. jednakosti su istinite

,
,
.

Od (8)
eksponencijalni zapis složeni broj

, gdje
,

Primjer. .

4°. Korijenje potencija kompleksnog broja.

Razmotrimo jednadžbu

,
IZ ,
N .

Neka
, a rješenje jednadžbe (9) tražimo u obliku
. Tada (9) poprima oblik
, odakle to nalazimo
,
, tj.

,
,
.

Dakle, jednadžba (9) ima korijene

,
.

Pokažimo da među (10) ima točno raznih korijena. Stvarno,

su različite, jer njihovi argumenti su različiti i razlikuju se manje od
. Unaprijediti,
, jer
. Na sličan način
.

Dakle, jednadžba (9) za
ima točno korijenje
koji se nalazi na vrhovima pravilnog -gon upisan u krug radijusa sa središtem u T.O.

Dakle, dokazano je

Teorem 2. vađenje korijena potencija kompleksnog broja
uvijek moguće. Sve korijenske vrijednosti th stupanj koji se nalazi na vrhu ispravnog -kut upisan u krug sa središtem u nuli i radijusom
. pri čemu,

Posljedica. Korijenje -tog stupnja od 1 izražavaju se formulom

Umnožak dvaju korijena od 1 je korijen, 1 je korijen - stupanj od jedinstva, korijen
:
.

Pri proučavanju svojstava kvadratne jednadžbe postavljeno je ograničenje - za diskriminant manji od nule nema rješenja. Odmah je navedeno da je riječ o skupu realnih brojeva. Radoznali um matematičara zanimat će - koja je tajna sadržana u rezervi o stvarnim vrijednostima?

S vremenom su matematičari uveli koncept kompleksnih brojeva, gdje se kao jedinica uzima uvjetna vrijednost drugog korijena od minus jedan.

Referenca povijesti

Matematička teorija razvija se sekvencijalno, od jednostavnog prema složenom. Razmotrimo kako je nastao koncept nazvan "kompleksni broj" i zašto je potreban.

Od pamtivijeka je osnova matematike bio uobičajeni račun. Istraživači su poznavali samo prirodni skup vrijednosti. Zbrajanje i oduzimanje su bili jednostavni. Kako su ekonomski odnosi postajali sve složeniji, počelo se koristiti množenje umjesto zbrajanja istih vrijednosti. Postojala je inverzna operacija množenju - dijeljenje.

Pojam prirodnog broja ograničio je upotrebu aritmetičkih operacija. Nemoguće je riješiti sve probleme dijeljenja na skupu cjelobrojnih vrijednosti. dovela je najprije do koncepta racionalnih značenja, a zatim do iracionalnih značenja. Ako je za racionalno moguće naznačiti točan položaj točke na liniji, onda je za iracionalno nemoguće naznačiti takvu točku. Interval možete samo približno odrediti. Unija racionalnih i iracionalnih brojeva formirala je pravi skup, koji se može prikazati kao određena linija u zadanom mjerilu. Svaki korak duž linije je prirodan broj, a između njih su racionalne i iracionalne vrijednosti.

Počela je era teorijske matematike. Razvoj astronomije, mehanike, fizike zahtijevao je rješavanje sve složenijih jednadžbi. Općenito, pronađeni su korijeni kvadratne jednadžbe. Prilikom rješavanja složenijeg kubičnog polinoma znanstvenici su naišli na kontradikciju. Koncept kubnog korijena iz negativnog ima smisla, ali za kvadratni korijen dobiva se nesigurnost. Štoviše, kvadratna jednadžba samo je poseban slučaj kubne.

Godine 1545. Talijan J. Cardano predložio je uvođenje pojma imaginarnog broja.

Ovaj broj je bio drugi korijen iz minus jedan. Pojam kompleksnog broja konačno je oblikovan tek tri stotine godina kasnije, u djelima slavnog matematičara Gaussa. Predložio je formalno proširenje svih zakona algebre na imaginarni broj. Realna crta se proširila na ravninu. Svijet je postao veći.

Osnovni koncepti

Prisjetite se niza funkcija koje imaju ograničenja na stvarni skup:

y = arcsin(x), definiran u rasponu vrijednosti između negativne i pozitivne.
y = ln(x), ima smisla za pozitivne argumente.
kvadratni korijen y = √x, izračunat samo za x ≥ 0.

Označavajući i = √(-1), uvodimo takav koncept kao imaginarni broj, čime ćemo ukloniti sva ograničenja iz domene definiranja gornjih funkcija. Izrazi poput y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) imaju smisla u nekom prostoru kompleksnih brojeva.

Algebarski oblik može se napisati kao izraz z = x + i×y na skupu realnih x i y vrijednosti, i 2 = -1.

Novi koncept uklanja sva ograničenja u korištenju bilo koje algebarske funkcije i svojim izgledom podsjeća na graf ravne linije u koordinatama stvarnih i imaginarnih vrijednosti.

Složena ravnina

Geometrijski oblik kompleksnih brojeva vizualno nam omogućuje predočenje mnogih njihovih svojstava. Na osi Re(z) označavamo stvarne vrijednosti x, na Im(z) - imaginarne vrijednosti y, tada će točka z na ravnini prikazati traženu složenu vrijednost.

Definicije:

Re(z) - realna os.
Im(z) - označava imaginarnu os.
z je uvjetna točka kompleksnog broja.
Brojčana vrijednost duljine vektora od nul točke do z naziva se modul.
Realna i zamišljena os dijele ravninu na četvrtine. S pozitivnom vrijednošću koordinata - I četvrtina. Kada je argument realne osi manji od 0, a imaginarne osi veći od 0 - II četvrtina. Kada su koordinate negativne - III kvartal. Posljednji, četvrti kvartal sadrži mnogo pozitivnih realnih vrijednosti i negativnih imaginarnih vrijednosti.

Dakle, na ravnini s vrijednostima koordinata x i y uvijek se može vizualizirati točka kompleksnog broja. Simbol i je uveden kako bi se odvojio stvarni dio od imaginarnog.

Svojstva

Kada je vrijednost imaginarnog argumenta nula, dobivamo samo broj (z = x), koji se nalazi na realnoj osi i pripada realnom skupu.
U posebnom slučaju, kada vrijednost stvarnog argumenta postane nula, izraz z = i×y odgovara položaju točke na imaginarnoj osi.
Opći oblik z = x + i×y bit će za vrijednosti argumenata različite od nule. To znači mjesto točke koja karakterizira kompleksni broj u jednoj od četvrtina.

trigonometrijski zapis

Prisjetite se polarnog koordinatnog sustava i definicije sin i cos. Očito je da je uz pomoć ovih funkcija moguće opisati položaj bilo koje točke na ravnini. Da biste to učinili, dovoljno je znati duljinu polarne zrake i kut nagiba prema stvarnoj osi.

Definicija. Unos oblika ∣z ∣ pomnožen zbrojem trigonometrijskih funkcija cos(ϴ) i imaginarnog dijela i ×sin(ϴ) naziva se trigonometrijski kompleksni broj. Ovdje je oznaka kut nagiba prema stvarnoj osi

ϴ = arg(z), i r = ∣z∣, duljina grede.

Iz definicije i svojstava trigonometrijskih funkcija slijedi vrlo važna De Moivreova formula:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Pomoću ove formule prikladno je riješiti mnoge sustave jednadžbi koje sadrže trigonometrijske funkcije. Pogotovo kada se pojavi zadatak potenciranja.

Modul i faza

Kako bismo dovršili opis složenog skupa, predlažemo dvije važne definicije.

Poznavajući Pitagorin teorem, lako je izračunati duljinu grede u polarnom koordinatnom sustavu.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), takav zapis na kompleksnom prostoru naziva se "modul" i karakterizira udaljenost od 0 do točke na ravnini.

Kut nagiba kompleksne grede prema pravoj liniji ϴ obično se naziva faza.

Iz definicije je vidljivo da su realni i imaginarni dijelovi opisani pomoću cikličkih funkcija. Naime:

x = r × cos(ϴ);
y = r × sin(ϴ);

Nasuprot tome, faza je povezana s algebarskim vrijednostima kroz formulu:

ϴ = arctan(x / y) + µ, korekcija µ je uvedena kako bi se uzela u obzir periodičnost geometrijskih funkcija.

Eulerova formula

Matematičari često koriste eksponencijalni oblik. Brojevi kompleksne ravnine zapisani su kao izraz

z = r × e i × ϴ , što slijedi iz Eulerove formule.

Takav zapis postao je raširen za praktično izračunavanje fizičkih veličina. Oblik prikaza u obliku eksponencijalnih kompleksnih brojeva posebno je prikladan za inženjerske proračune, gdje postaje potrebno izračunati krugove sa sinusoidnim strujama i potrebno je znati vrijednost integrala funkcija sa zadanim periodom. Sami proračuni služe kao alat u projektiranju raznih strojeva i mehanizama.

Definiranje operacija

Kao što je već navedeno, svi algebarski zakoni rada s osnovnim matematičkim funkcijama vrijede za kompleksne brojeve.

operacija zbroja

Pri zbrajanju složenih vrijednosti zbrajaju se i njihovi realni i imaginarni dijelovi.

z = z 1 + z 2 , gdje su z 1 i z 2 opći kompleksni brojevi. Transformacijom izraza, nakon otvaranja zagrada i pojednostavljenja notacije, dobivamo stvarni argument x \u003d (x 1 + x 2), imaginarni argument y \u003d (y 1 + y 2).

Na grafu to izgleda kao zbrajanje dvaju vektora, prema dobro poznatom pravilu paralelograma.

operacija oduzimanja

Posebnim slučajem zbrajanja smatra se kada je jedan broj pozitivan, a drugi negativan, odnosno nalazi se u zrcalnoj četvrtini. Algebarski zapis izgleda kao razlika između stvarnog i imaginarnog dijela.

z \u003d z 1 - z 2, ili, uzimajući u obzir vrijednosti argumenata, slično operaciji zbrajanja, dobivamo za stvarne vrijednosti \u200b\u200bx \u003d (x 1 - x 2) i imaginarne y \u003d (y 1 - y 2).

Množenje u kompleksnoj ravnini

Koristeći pravila za rad s polinomima, izvodimo formulu za rješavanje kompleksnih brojeva.

Slijedeći opća algebarska pravila z=z 1 ×z 2 , opisujemo svaki argument i dajemo slične. Realni i imaginarni dio mogu se napisati na sljedeći način:

x \u003d x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Izgleda ljepše ako koristimo eksponencijalne kompleksne brojeve.

Izraz izgleda ovako: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Podjela

Kada operaciju dijeljenja promatramo kao obrnutu operaciju množenja, dobivamo jednostavan izraz u eksponencijalnom obliku. Dijeljenje vrijednosti z 1 sa z 2 je rezultat dijeljenja njihovih modula i fazne razlike. Formalno, kada se koristi eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, to izgleda ovako:

z \u003d z 1 / z 2 \u003d r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 \u003d r 1 / r 2 × e i (ϴ 1- ϴ 2) .

U obliku algebarske notacije, operacija dijeljenja brojeva kompleksne ravnine napisana je malo kompliciranije:

Pisanjem argumenata i izvođenjem polinomskih transformacija, lako je dobiti vrijednosti x \u003d x 1 × x 2 + y 1 × y 2, odnosno y \u003d x 2 × y 1 - x 1 × y 2, međutim, unutar opisanog prostora ovaj izraz ima smisla ako je z 2 ≠ 0.

Izvadimo korijen

Sve navedeno može se primijeniti u definiranju složenijih algebarskih funkcija - dizanje na bilo koju potenciju i inverz na nju - vađenje korijena.

Koristeći opći koncept dizanja na potenciju n, dobivamo definiciju:

z n = (r × e i ϴ) n.

Koristeći uobičajena svojstva, možemo ga prepisati u obliku:

z n = r n × e i ϴ n .

Dobili smo jednostavnu formulu za dizanje složenog broja na potenciju.

Iz definicije stupnja dobivamo vrlo važnu posljedicu. Parna potencija imaginarne jedinice uvijek je 1. Svaka neparna potencija imaginarne jedinice uvijek je -1.

Sada proučimo inverznu funkciju - izvlačenje korijena.

Radi jednostavnosti zapisa, uzimamo n = 2. Kvadratni korijen w kompleksne vrijednosti z na kompleksnoj ravnini C obično se smatra izrazom z = ±, koji vrijedi za bilo koji stvarni argument veći ili jednak nuli. Za w ≤ 0, nema rješenja.

Pogledajmo najjednostavniju kvadratnu jednadžbu z 2 = 1. Pomoću formula kompleksnih brojeva prepisujemo r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 . Iz zapisa se može vidjeti da je r 2 \u003d 1 i ϴ \u003d 0, dakle, imamo jedino rješenje jednako 1. Ali to je u suprotnosti s konceptom da z \u003d -1, također odgovara definiciji kvadrata korijen.

Shvatimo što ne uzimamo u obzir. Ako se prisjetimo trigonometrijske oznake, tada vraćamo izjavu - s periodičnom promjenom faze ϴ, kompleksni broj se ne mijenja. Neka p označava vrijednost perioda, tada imamo r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , odakle je 2ϴ = 0 + p, odnosno ϴ = p / 2. Dakle, imamo e i 0 = 1 i e i p / 2 = -1. Dobili smo drugo rješenje, koje odgovara općem shvaćanju kvadratnog korijena.

Dakle, da bismo pronašli proizvoljan korijen kompleksnog broja, slijedit ćemo postupak.

Zapisujemo eksponencijalni oblik w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k je proizvoljan cijeli broj.
Željeni broj se također može prikazati u Eulerovom obliku z = r × e i ϴ.
Upotrijebimo opću definiciju funkcije vađenja korijena r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
Iz općih svojstava jednakosti modula i argumenata pišemo r n = ∣w∣ i nϴ = arg (w) + p×k.
Konačni zapis korijena kompleksnog broja opisuje se formulom z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n .
Komentar. Vrijednost ∣w∣ je, po definiciji, pozitivan realan broj, tako da svaki korijen potencije ima smisla.

Polje i konjugacija

Zaključno, dajemo dvije važne definicije, koje su od malog značaja za rješavanje primijenjenih problema s kompleksnim brojevima, ali su bitne u daljnjem razvoju matematičke teorije.

Kaže se da izrazi za zbrajanje i množenje tvore polje ako zadovoljavaju aksiome za bilo koji element kompleksne ravnine z:

Od promjene mjesta složenih članova, složeni zbroj se ne mijenja.
Tvrdnja je točna - u složenom izrazu bilo koji zbroj dvaju brojeva može se zamijeniti njihovom vrijednošću.
Postoji neutralna vrijednost 0 za koju vrijedi z + 0 = 0 + z = z.
Za svaki z postoji suprotnost - z, čiji dodatak daje nulu.
Promjenom mjesta složenih faktora, složeni umnožak se ne mijenja.
Množenje bilo koja dva broja može se zamijeniti njihovom vrijednošću.
Postoji neutralna vrijednost 1, množenje s kojom ne mijenja kompleksni broj.
Za svaki z ≠ 0, postoji recipročna vrijednost z -1 koja, kada se pomnoži, daje 1.
Množenje zbroja dvaju brojeva s trećinom jednako je množenju svakoga od njih tim brojem i zbrajanju rezultata.
0 ≠ 1.

Brojevi z 1 = x + i×y i z 2 = x - i×y nazivaju se konjugirani.

Teorema. Za konjugaciju je istinita izjava:

Konjugacija zbroja jednaka je zbroju konjugiranih elemenata.
Konjugacija umnoška jednaka je umnošku konjugacija.
jednaka samom broju.

U općoj algebri takva se svojstva nazivaju automorfizmi polja.

Primjeri

Slijedeći gornja pravila i formule za kompleksne brojeve, možete lako raditi s njima.

Razmotrimo najjednostavnije primjere.

Zadatak 1. Pomoću jednadžbe 3y +5 x i= 15 - 7i odredite x i y.

Riješenje. Prisjetite se definicije složenih jednakosti, zatim 3y = 15, 5x = -7. Prema tome, x = -7 / 5, y = 5.

Zadatak 2. Izračunajte vrijednosti 2 + i 28 i 1 + i 135 .

Riješenje. Očito, 28 je paran broj, iz posljedice definicije kompleksnog broja u potenciji imamo i 28 = 1, što znači da je izraz 2 + i 28 = 3. Druga vrijednost, i 135 = -1 , tada je 1 + i 135 = 0.

Zadatak 3. Izračunajte umnožak vrijednosti 2 + 5i i 4 + 3i.

Riješenje. Iz općih svojstava množenja kompleksnih brojeva dobivamo (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Nova vrijednost će biti -7 + 26i.

Zadatak 4. Izračunajte korijene jednadžbe z 3 = -i.

Riješenje. Postoji nekoliko načina za pronalaženje kompleksnog broja. Razmotrimo jedan od mogućih. Prema definiciji, ∣ - i∣ = 1, faza za -i je -p / 4. Izvorna jednadžba može se prepisati kao r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , odakle je z = e - p / 12 + pk /3 , za bilo koji cijeli broj k.

Skup rješenja ima oblik (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3).

Zašto su potrebni kompleksni brojevi

Povijest poznaje mnogo primjera kada znanstvenici, radeći na teoriji, niti ne razmišljaju o praktičnoj primjeni svojih rezultata. Matematika je prije svega igra uma, striktno pridržavanje uzročno-posljedičnih veza. Gotovo sve matematičke konstrukcije svode se na rješavanje integralnih i diferencijalnih jednadžbi, a one se pak, uz neke aproksimacije, rješavaju pronalaženjem korijena polinoma. Ovdje se prvi put susrećemo s paradoksom imaginarnih brojeva.

Prirodni znanstvenici, rješavajući sasvim praktične probleme, pribjegavajući rješenjima raznih jednadžbi, otkrivaju matematičke paradokse. Tumačenje ovih paradoksa dovodi do apsolutno nevjerojatnih otkrića. Dvojna priroda elektromagnetskih valova je jedan takav primjer. Kompleksni brojevi igraju ključnu ulogu u razumijevanju njihovih svojstava.

To je pak našlo praktičnu primjenu u optici, radioelektronici, energetici i mnogim drugim tehnološkim područjima. Još jedan primjer, puno teže razumljivih fizičkih pojava. Antimaterija je predviđena na vrhu pera. I tek nakon mnogo godina počinju pokušaji da se fizički sintetizira.

Ne treba misliti da takve situacije postoje samo u fizici. Ništa manje zanimljiva otkrića nisu napravljena u divljini, u sintezi makromolekula, tijekom proučavanja umjetne inteligencije. A sve to zahvaljujući širenju naše svijesti, izbjegavanju jednostavnog zbrajanja i oduzimanja prirodnih vrijednosti.

Prisjetite se potrebnih informacija o kompleksnim brojevima.

Složeni broj je izraz forme a + dvo, gdje a, b su realni brojevi, i ja- tzv imaginarna jedinica, simbol čiji je kvadrat -1, tj. ja 2 = -1. Broj a nazvao pravi dio, i broj b - imaginarni dio složeni broj z = a + dvo. Ako a b= 0, tada umjesto a + 0ja pisati jednostavno a. Vidi se da su realni brojevi poseban slučaj kompleksnih brojeva.

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima iste su kao i nad realnim brojevima: mogu se međusobno zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i oduzimanje postupite prema pravilu ( a + dvo) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)ja, a množenje - prema pravilu ( a + dvo) · ( c + di) = (ak – bd) + (oglas + prije Krista)ja(ovdje se koristi samo to ja 2 = -1). Broj = a – dvo nazvao složeni konjugat do z = a + dvo. Jednakost z · = a 2 + b 2 vam omogućuje da razumijete kako podijeliti jedan kompleksni broj drugim (različitim od nule) kompleksnim brojem:

(Na primjer, .)

Složeni brojevi imaju zgodan i vizualni geometrijski prikaz: broj z = a + dvo može se prikazati kao vektor s koordinatama ( a; b) na Kartezijevoj ravnini (ili, što je gotovo isto, točka - kraj vektora s tim koordinatama). U ovom slučaju, zbroj dvaju kompleksnih brojeva prikazuje se kao zbroj odgovarajućih vektora (koji se mogu pronaći pravilom paralelograma). Prema Pitagorinom teoremu, duljina vektora s koordinatama ( a; b) jednako je . Ova se vrijednost naziva modul složeni broj z = a + dvo i označava se sa | z|. Kut koji ovaj vektor čini s pozitivnim smjerom x-osi (računajući u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) naziva se argument složeni broj z i označen s Arg z. Argument nije jedinstveno definiran, već samo do zbrajanja višekratnika 2 π radijani (ili 360°, ako računate u stupnjevima) - uostalom, jasno je da okretanje za takav kut oko ishodišta neće promijeniti vektor. Ali ako vektor duljine r tvori kut φ s pozitivnim smjerom x-osi, tada su njegove koordinate jednake ( r cos φ ; r grijeh φ ). Stoga ispada trigonometrijski zapis kompleksni broj: z = |z| (cos(Arg z) + ja grijeh (Arg z)). Često je zgodno pisati složene brojeve u ovom obliku, jer to uvelike pojednostavljuje izračune. Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku izgleda vrlo jednostavno: z jedan · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + ja grijeh (Arg z 1+arg z 2)) (pri množenju dva kompleksna broja, njihovi moduli se množe i argumenti se zbrajaju). Odavde slijedite De Moivreove formule: z n = |z|n(jer( n(Arg z)) + ja grijeh( n(Arg z))). Uz pomoć ovih formula lako je naučiti kako izvući korijene bilo kojeg stupnja iz kompleksnih brojeva. n-ti korijen od z je tako složen broj w, što w n = z. Jasno je da , I gdje k može uzeti bilo koju vrijednost iz skupa (0, 1, ..., n- jedan). To znači da uvijek postoji točno n korijenje n stupnja od kompleksnog broja (na ravnini se nalaze u vrhovima pravilnog n-gon).

TemaKompleksni brojevi i polinomi

Predavanje 22

§jedan. Kompleksni brojevi: osnovne definicije

Simbol unesite omjer
a naziva se imaginarna jedinica. Drugim riječima,
.

Definicija. Izražavanje oblika
, gdje
, naziva se kompleksan broj, a broj zove se realni dio kompleksnog broja i označavaju
, broj - imaginarni dio i označavaju
.

Iz ove definicije proizlazi da su realni brojevi oni kompleksni brojevi čiji je imaginarni dio jednak nuli.

Kompleksne brojeve zgodno je prikazati kao točke ravnine na kojoj je zadan Kartezijev pravokutni koordinatni sustav, i to: kompleksni broj
meč lopta
i obrnuto. na osovini
prikazuju se realni brojevi i naziva se realna os. Kompleksni brojevi oblika

nazivaju se čisto imaginarnim. Prikazane su kao točke na osi.
, koja se naziva imaginarna os. Ova ravnina, koja služi za prikaz kompleksnih brojeva, naziva se kompleksna ravnina. Kompleksan broj koji nije realan, tj. takav da
, koji se ponekad naziva imaginarnim.

Dva kompleksna broja nazivamo jednakima ako i samo ako imaju iste realne i imaginarne dijelove.

Zbrajanje, oduzimanje i množenje kompleksnih brojeva izvodi se prema uobičajenim pravilima algebre polinoma, uzimajući u obzir činjenicu da

. Operacija dijeljenja može se definirati kao inverzna operacija množenja i može se dokazati jedinstvenost rezultata (ako je djelitelj različit od nule). Međutim, u praksi se koristi drugačiji pristup.

Kompleksni brojevi
i
nazivaju se konjugirani, na kompleksnoj ravnini prikazani su točkama simetričnim u odnosu na realnu os. Očito je da:

1)

;

2)
;

3)
.

Sada razdvojite na može se učiniti na sljedeći način:

Nije to teško pokazati

gdje simbol označava bilo koju aritmetičku operaciju.

Neka
neki imaginarni broj, i je realna varijabla. Umnožak dvaju binoma

je kvadratni trinom s realnim koeficijentima.

Sada, s kompleksnim brojevima na raspolaganju, možemo riješiti bilo koju kvadratnu jednadžbu
.Ako tada

a jednadžba ima dva kompleksna konjugirana korijena

Ako a
, tada jednadžba ima dva različita realna korijena. Ako a
, tada jednadžba ima dva identična korijena.

§2. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Kao što je gore spomenuto, složeni broj
zgodno prikazati točkom
. Takav se broj također može identificirati s radijus vektorom ove točke
. Ovom interpretacijom zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva izvodi se prema pravilima zbrajanja i oduzimanja vektora. Za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva prikladniji je drugi oblik.

Uvodimo na kompleksnoj ravnini
polarni koordinatni sustav. Onda gdje
,
i kompleksni broj
može se napisati kao:

Ovaj oblik zapisa naziva se trigonometrijski (za razliku od algebarskog oblika).
). U ovom obliku, broj naziva se modul i - argument kompleksnog broja . Označeni su:
,

. Za modul imamo formulu

Argument broja definiran je dvosmisleno, ali do izraza
,
. Vrijednost argumenta koji zadovoljava nejednakosti
, nazivamo glavnim i označavamo
. Zatim,
. Za glavnu vrijednost argumenta možete dobiti sljedeće izraze:

argument broja
smatra se nedefiniranim.

Uvjet jednakosti dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku ima oblik: moduli brojeva su jednaki, a argumenti se razlikuju za višekratnik.
.

Pronađite umnožak dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku:

Dakle, kod množenja brojeva, njihovi moduli se množe, a argumenti se zbrajaju.

Slično se može utvrditi da se kod dijeljenja moduli brojeva dijele, a argumenti oduzimaju.

Shvaćajući potenciranje kao višestruko množenje, možemo dobiti formulu za dizanje kompleksnog broja na potenciju:

Izvodimo formulu za
- korijen potencija kompleksnog broja (ne smije se brkati s aritmetičkim korijenom realnog broja!). Operacija vađenja korijena je inverzna operaciji potenciranja. Zato
je kompleksan broj takav da
.

Neka
poznato, i
potrebno pronaći. Zatim

Iz jednakosti dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku slijedi da

,
,
.

Odavde
(to je aritmetički korijen!),

,
.

To je lako provjeriti može samo prihvatiti bitno različite vrijednosti, na primjer, kada
. Konačno imamo formulu:

,
.

Dakle, korijen stupanj od kompleksnog broja ima različite vrijednosti. Na kompleksnoj ravnini, ove vrijednosti se nalaze na vrhovima ispravno -gon upisan u krug radijusa
usredotočeno na ishodište. “Prvi” korijen ima argument
, argumenti dva "susjedna" korijena razlikuju se po
.

Primjer. Uzmimo kubni korijen imaginarne jedinice:
,
,
. Zatim: