Brid tjeme lice prizma. Bočna površina prizme

Definicija. Prizma- ovo je poliedar, čiji se svi vrhovi nalaze u dvije paralelne ravnine, au iste dvije ravnine nalaze se dvije strane prizme, koje su jednaki poligoni s redom paralelnim stranicama, i svi bridovi koji ne leže u njima ravnine su paralelne.

Dva jednaka lica nazivaju se baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočna lica(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Sve bočne strane čine bočna površina prizme .

Sve bočne strane prizme su paralelogrami .

Bridovi koji ne leže na bazama nazivaju se bočnim bridovima prizme ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Dijagonala prizme naziva se segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na jednom od njezinih lica (AD 1).

Duljina isječka koji povezuje osnovice prizme i okomita na obje osnovice u isto vrijeme naziva se visina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u redoslijedu zaobilaženja, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svakog bočnog brida označeni su istim slovima, samo vrhovi koji leže u jedna baza označena je slovima bez indeksa, au drugoj - s indeksom)

Naziv prizme povezan je s brojem kutova u liku koji leži na njezinoj osnovi, na primjer, na slici 1 baza je peterokut, pa se prizma naziva peterokutna prizma. Ali budući da takva prizma ima 7 lica, onda ga heptaedar(2 lica su osnovice prizme, 5 lica su paralelogrami, njene su bočne strane)

Među ravnim prizmama ističe se posebna vrsta: pravilne prizme.

Ravna prizma naziva se točno, ako su mu osnovice pravilni mnogokuti.

Paralelopiped

kuboidan- pravi paralelopiped čija je osnovica pravokutnik.

Svojstva i teoremi:

,

gdje je d dijagonala kvadrata;
a - stranica kvadrata.

Ideju prizme daje:

• razne arhitektonske strukture;
• Dječje igračke;
• kutije za pakiranje;
• dizajnerski predmeti itd.

Ukupna i bočna površina prizme

S puni \u003d S strana + 2S glavni,

gdje S puna- ukupna površina, S strana- bočna površina, S glavni- osnovna površina

Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme..

S strana\u003d P glavni * h,

gdje S strana je površina bočne površine ravne prizme,

P main - opseg baze ravne prizme,

h je visina ravne prizme, jednaka bočnom rubu.

Volumen prizme

Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine.

Opće informacije o ravnoj prizmi

Bočna ploha prizme (točnije bočna ploha) naziva se iznos bočna područja lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.

Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljini bočnog ruba.

Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n duljine rebara baze, p je opseg baze prizme, a I je duljina bočnih rebara. Teorem je dokazan.

Praktičan zadatak

Zadatak (22) . U kosoj prizmi odjeljak, okomito na bočne rubove i sijekući sve bočne rubove. Odredite bočnu plohu prizme ako je opseg presjeka p, a bočni bridovi l.

Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 411). Podvrgnimo jedan od njih paralelnom prevođenju koji kombinira baze prizme. U ovom slučaju dobivamo ravnu prizmu, u kojoj presjek izvorne prizme služi kao baza, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina izvorne prizme jednaka je pl.

Generalizacija teme

A sada pokušajmo s vama sažeti temu prizme i prisjetiti se koja svojstva ima prizma.

Svojstva prizme

Prvo, za prizmu, sve su njezine baze jednaki poligoni;
Drugo, za prizmu, sve njene bočne strane su paralelogrami;
Treće, u takvoj višestranoj figuri kao što je prizma, svi bočni rubovi su jednaki;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni i nagnuti.

Što je ravna prizma?

Ako je bočni brid prizme okomit na ravninu njezine baze, tada se takva prizma naziva ravnom crtom.

Neće biti suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Što je kosa prizma?

Ali ako bočni rub prizme nije okomit na ravninu njezine baze, tada možemo sa sigurnošću reći da je ovo nagnuta prizma.

Što je ispravna prizma?

Ako pravilni mnogokut leži u podnožju ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Sada se prisjetimo koja svojstva ima pravilna prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao baze pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, one su uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako usporedimo veličine bočnih rebara, tada su u ispravnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, pravilna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako su u pravilnoj prizmi bočne strane u obliku kvadrata, tada se takva figura, u pravilu, naziva polupravilni poligon.

Presjek prizme

Sada pogledajmo presjek prizme:

Domaća zadaća

A sada pokušajmo učvrstiti naučenu temu rješavanjem zadataka.

Nacrtajmo kosu trokutastu prizmu, u kojoj će razmak između njezinih bridova biti: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna površina te prizme jednaka 60 cm2. Pomoću ovih parametara pronađite bočni rub zadane prizme.

Znate li da nas geometrijske figure neprestano okružuju ne samo u nastavi geometrije, već iu svakodnevnom životu postoje predmeti koji nalikuju jednoj ili drugoj geometrijskoj figuri.

Svaki dom, škola ili posao ima računalo čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.

Ako uzmete jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući glavnom ulicom grada vidimo da pod našim nogama leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

U školskom kurikulumu za predmet čvrste geometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove baze su 2 jednaka pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut, na čijem se dnu nalaze 2 kvadrata, a bočne strane su prikazane pravokutnicima. Drugi naziv za ovu geometrijsku figuru je ravni paralelopiped.

Dolje je prikazana slika koja prikazuje četverokutnu prizmu.

Vidite i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:

Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept presjeka. Definicija će zvučati ovako: odjeljak su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju ravnini rezanja. Presjek je okomit (presijeca rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutnu prizmu također se uzima u obzir dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se mogu sastaviti je 2), koji prolazi kroz 2 brida i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na takav način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je krnja prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih poznati su iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli područje baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za područje kvadrata).

Površina i volumen

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati područje njezine baze i visine:

V = Sprim h

Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a² h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake duljine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezino kretanje.

Iz crteža je vidljivo da bočnu plohu čine 4 jednaka pravokutnika. Njegova površina izračunava se kao umnožak opsega baze i visine figure:

S strana = položaj h

Budući da je opseg kvadrata P = 4a, formula ima oblik:

S strana = 4a h

Za kocku:

S strana = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:

Pun = Sstrana + 2Sosnova

Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:

Pun = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Pun = 6a²

Znajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često se javljaju zadaci u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne plohe, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:

• duljina osnovne stranice: a = Sstrana / 4h = √(V / h);
• visina ili duljina bočnog rebra: h = Sstrana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sprim = V / h;
• bočno lice: Strana gr = Sstrana / 4.

Da biste odredili koliko površine ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:

Sdiag = ah√2

Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:

dnagrada = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti gornje omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema s rješenjima

Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnoj maturi iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju koja ima oblik pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali s 2 puta dužom bazom?

Treba argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvoj i drugoj posudi nije se promijenila, tj. njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete definirati kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, volumen tvari će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Jer V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:

10a² = 4ha²

Nakon smanjenja obje strane jednadžbe za a², dobivamo:

Kao rezultat toga, nova razina pijeska bit će h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.

Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je baza kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne plohe ima istu vrijednost, stoga i bočna ploha ima oblik kvadrata jednak osnovici. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina nalazi se formulom za kocku:

Pun = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba se renovira. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koji je najniži trošak tapeta za sobu ako 1 m² košta 50 rubalja?

Budući da su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi okomiti na horizontalne plohe, možemo zaključiti da se radi o pravilnoj prizmi. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Trg će biti oblijepljen tapetama Sstrana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.

Dakle, za rješavanje problema za pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje ispita iz matematike od 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profila USE iz matematike. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Podloga za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.