Kuubi vähendamise valem. Lühendatud korrutusvalemid. Järeldused tunnist

Arvude ja avaldiste astendamiseks ja korrutamiseks kasutatakse lühendatud korrutamisvalemeid (FMF). Sageli võimaldavad need valemid teha arvutusi kompaktsemalt ja kiiremini.

Selles artiklis loetleme lühendatud korrutamise põhivalemid, koondame need tabelisse, kaalume nende valemite kasutamise näiteid ja peatume ka lühendatud korrutamise valemite tõestamise põhimõtetel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Esmakordselt käsitletakse FSU teemat Algebra kursuse raames 7. klassile. Allpool on 7 põhivalemit.

Lühendatud korrutusvalemid

1. summa ruudu valem: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. ruudu erinevuse valem: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. summa kuubiku valem: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. erinevuse kuubi valem: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. ruutvahe valem: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. kuubikute summa valem: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. kuubikute erinevuse valem: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Tähed a, b, c nendes avaldistes võivad olla mis tahes numbrid, muutujad või avaldised. Kasutamise hõlbustamiseks on parem seitse põhivalemit pähe õppida. Paneme need tabelisse ja esitame allpool, ümbritsedes need raamiga.

Esimesed neli valemit võimaldavad teil arvutada vastavalt kahe avaldise summa või erinevuse ruudu või kuubi.

Viies valem arvutab avaldiste ruutude erinevuse, korrutades nende summa ja erinevuse.

Kuues ja seitsmes valem korrutavad vastavalt avaldiste summa ja erinevuse erinevuse mittetäieliku ruudu ja summa mittetäieliku ruuduga.

Lühendatud korrutamisvalemit nimetatakse mõnikord ka lühendatud korrutusidentiteetideks. See pole üllatav, sest iga võrdsus on identiteet.

Praktiliste näidete lahendamisel kasutatakse sageli lühendatud korrutusvalemeid, mille vasak ja parem pool on vahetatud. See on eriti mugav polünoomi arvestamisel.

Täiendavad lühendatud korrutusvalemid

Ärgem piirdugem 7. klassi algebra kursusega ja lisagem oma FSU tabelisse veel paar valemit.

Kõigepealt vaatame Newtoni binoomvalemit.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Siin on C n k binoomkoefitsiendid, mis esinevad Pascali kolmnurga real number n. Binoomkoefitsiendid arvutatakse järgmise valemi abil:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Nagu näeme, on erinevuse ja summa ruudu ja kuubi FSF Newtoni binoomvalemi erijuht, vastavalt n=2 ja n=3 korral.

Aga mis siis, kui summas, mis tuleb astmeni tõsta, on rohkem kui kaks liiget? Kasulik on kolme, nelja või enama liikme summa ruudu valem.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Teine valem, mis võib olla kasulik, on kahe liikme n-nda astme erinevuse valem.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

See valem jaguneb tavaliselt kaheks valemiks – vastavalt paaris ja paaritu astmete jaoks.

Isegi 2m indikaatorite jaoks:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

Paaritute eksponentide 2m+1 puhul:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m

Ruudude erinevus ja kuubikute valemite erinevus, nagu te arvasite, on selle valemi erijuhud vastavalt n = 2 ja n = 3 korral. Kuubikute erinevuse korral asendatakse b ka -b-ga.

Kuidas lugeda lühendatud korrutusvalemeid?

Anname iga valemi jaoks sobivad sõnastused, kuid kõigepealt mõistame valemite lugemise põhimõtet. Kõige mugavam on seda teha näite abil. Võtame kahe arvu summa ruudu kõige esimese valemi.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Nad ütlevad: kahe avaldise a ja b summa ruut on võrdne esimese avaldise ruudu summaga, kahekordne avaldiste ja teise avaldise ruudu korrutis.

Kõiki teisi valemeid loetakse sarnaselt. Vahe a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 ruudu jaoks kirjutame:

kahe avaldise a ja b vahe ruut on võrdne nende avaldiste ruutude summaga, millest on lahutatud esimese ja teise avaldise kahekordne korrutis.

Loeme valemit a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kahe avaldise a ja b summa kuup võrdub nende avaldiste kuubikute summaga, kolmekordistatakse esimese avaldise ruudu korrutis teisega ja kolmekordistatakse teise avaldise ruudu korrutis esimene väljend.

Liigume kuubikute a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 erinevuse valemi lugemise juurde. Kahe avaldise a ja b erinevuse kuup on võrdne esimese avaldise kuubiga, millest on lahutatud esimese avaldise ja teise avaldise ruudu kolmikkorrutis, pluss teise avaldise ja esimese avaldise ruudu kolmikkorrutis , miinus teise avaldise kuup.

Viies valem a 2 - b 2 = a - b a + b (ruutude erinevus) kõlab nii: kahe avaldise ruutude erinevus võrdub erinevuse ja kahe avaldise summa korrutisega.

Mugavuse huvides nimetatakse selliseid avaldisi nagu a 2 + a b + b 2 ja a 2 - a b + b 2 vastavalt summa mittetäielikuks ruuduks ja erinevuse mittetäielikuks ruuduks.

Seda arvesse võttes saab kuubikute summa ja erinevuse valemeid lugeda järgmiselt:

Kahe avaldise kuubikute summa võrdub nende avaldiste summa ja nende erinevuse osalise ruudu korrutisega.

Kahe avaldise kuubikute vahe on võrdne nende avaldiste erinevuse ja nende summa osalise ruudu korrutisega.

FSU tõend

FSU tõestamine on üsna lihtne. Korrutamise omaduste põhjal korrutame sulgudes olevad valemite osad.

Näiteks kaaluge erinevuse ruudu valemit.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Avaldise teise astmeni tõstmiseks peate selle avaldise endaga korrutama.

a - b 2 = a - b a - b .

Laiendame sulgusid:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Valem on tõestatud. Ülejäänud FSU-d on tõestatud sarnaselt.

FSU rakenduse näited

Lühendatud korrutusvalemite kasutamise eesmärk on kiiresti ja lühidalt korrutada ja tõsta avaldisi astmetesse. See ei ole aga kogu FSU kohaldamisala. Neid kasutatakse laialdaselt avaldiste vähendamiseks, murdude vähendamiseks ja polünoomide faktoriseerimiseks. Toome näiteid.

Näide 1. FSU

Lihtsustame avaldist 9 y - (1 + 3 y) 2.

Rakendame ruutude summa valemit ja saame:

9 a - (1 + 3 a) 2 = 9 a - (1 + 6 a + 9 a 2) = 9 a - 1 - 6 a - 9 a 2 = 3 a - 1 - 9 a 2

Näide 2. FSU

Vähendame murdosa 8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4.

Märgime, et lugeja avaldis on kuubikute erinevus ja nimetaja on ruutude erinevus.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Vähendame ja saame:

8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-d aitavad ka avaldiste väärtusi arvutada. Peaasi, et osata märgata, kuhu valemit rakendada. Näitame seda näitega.

Teeme arvu 79 ruutu. Tülikate arvutuste asemel kirjutagem:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Näib, et keeruline arvutus tehakse kiiresti lihtsalt lühendatud korrutusvalemite ja korrutustabeli abil.

Teine oluline punkt on kaheosalise ruudu valimine. Avaldise 4 x 2 + 4 x - 3 saab teisendada 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Selliseid teisendusi kasutatakse integratsioonis laialdaselt.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Algebraliste polünoomide lihtsustamiseks on olemas lühendatud korrutusvalemid. Neid pole nii palju ja neid on lihtne meeles pidada, kuid peate neid meeles pidama. Valemites kasutatav tähistus võib olla mis tahes kujul (arv või polünoom).

Esimest lühendatud korrutamisvalemit nimetatakse ruutude erinevus. See seisneb ühe arvu ruudu lahutamises teise numbri ruudust, mis on võrdne nende arvude vahega, ja nende korrutisega.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Vaatame seda selguse huvides:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

Teine valem on umbes ruutude summa. See kõlab nii, et kahe suuruse ruudu summa võrdub esimese koguse ruuduga, sellele lisatakse esimese koguse topeltkorrutis korrutatud teisega, neile lisatakse teise suuruse ruut.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Tänu sellele valemile on suure arvu ruudu arvutamine palju lihtsam ilma arvutitehnoloogiat kasutamata.

Nii näiteks: ruut 112 on võrdne
1) Esiteks jagame 112 numbriteks, mille ruudud on meile tuttavad
112 = 100 + 12
2) Sisestame tulemuse nurksulgudesse
112 2 = (100+12) 2
3) Valemit rakendades saame:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Kolmas valem on ruudus vahe. Mis ütleb, et kaks ruudus üksteisest lahutatud suurust on võrdsed, sest esimesest ruudus olevast suurusest lahutame esimese suuruse topeltkorrutise, mis on korrutatud teisega, lisades neile teise suuruse ruudu.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

kus (a - b) 2 võrdub (b - a) 2. Selle tõestamiseks (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Neljandat lühendatud korrutamise valemit nimetatakse summa kuup. Mis kõlab nii: kaks liidetavat kogust kuubis on võrdsed 1 koguse kuubiga, lisatakse 1 koguse kolmikkorrutis korrutatuna 2. kogusega, neile lisatakse 1 koguse kolmikkorrutis, mis on korrutatud 2 ruuduga. kogused, pluss teine ​​kogus kuubikutena.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Viiendat, nagu te juba aru saite, nimetatakse erinevuse kuubik. Mis leiab suuruste erinevused, kuna kuubiku esimesest tähistusest lahutame ruudu esimese tähise kolmikkorrutise korrutatud teisega, neile liidetakse esimese tähise kolmikkorrutis korrutatud teise ruuduga. tähistus, millest on lahutatud kuubis teine ​​tähis.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kuuendat nimetatakse - kuubikute summa. Kuubikute summa on võrdne kahe liitmise korrutisega, mis on korrutatud erinevuse osalise ruuduga, kuna keskel ei ole kahekordset väärtust.

a 3 + b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)

Teine viis kuubikute summa ütlemiseks on nimetada toode kahes sulgudes.

Seitsmendat ja viimast nimetatakse kuubikute erinevus(seda võib kergesti segi ajada erinevuse kuubi valemiga, kuid need on erinevad asjad). Kuubikute vahe on võrdne kahe suuruse erinevuse korrutisega summa osalise ruuduga, kuna keskel pole topeltväärtust.

a 3 - b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)

Ja seega on lühendatud korrutamiseks ainult 7 valemit, need on üksteisega sarnased ja kergesti meeldejäävad, oluline on ainult see, et märkides ei segaks. Need on mõeldud kasutamiseks ka vastupidises järjekorras ja õpikutes on selliseid ülesandeid üsna vähe. Olge ettevaatlik ja kõik läheb teie jaoks korda.

Kui teil on valemite kohta küsimusi, kirjutage need kindlasti kommentaaridesse. Vastame teile hea meelega!

Kui olete rasedus- ja sünnituspuhkusel, kuid soovite raha teenida. Lihtsalt järgige linki Interneti-äri Oriflame'iga. Seal on kõik väga detailselt kirjas ja näidatud. See saab olema huvitav!

Eelmises tunnis käsitlesime faktoriseerimist. Õppisime kahte meetodit: ühisteguri sulgudest välja panemine ja rühmitamine. Selles õppetükis - järgmine võimas meetod: lühendatud korrutusvalemid. Lühidalt - FSU.

Lühendatud korrutusvalemid (summa- ja vaheruut, summa- ja vahekuubik, ruutude vahe, kuubikute summa ja vahe) on äärmiselt vajalikud kõigis matemaatikaharudes. Neid kasutatakse avaldiste lihtsustamisel, võrrandite lahendamisel, polünoomide korrutamisel, murdude vähendamisel, integraalide lahendamisel jne. ja nii edasi. Ühesõnaga, nendega tegelemiseks on põhjust. Saate aru, kust need tulevad, miks neid vaja on, kuidas neid meeles pidada ja kuidas neid kasutada.

Kas me saame aru?)

Kust tulevad lühendatud korrutusvalemid?

Võrdused 6 ja 7 ei ole kirjutatud väga tuttaval viisil. See on justkui vastupidine. See on meelega.) Igasugune võrdsus toimib nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. See kirje teeb selgemaks, kust FSU-d pärinevad.

Need on võetud korrutamisest.) Näiteks:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

See on kõik, ei mingeid teaduslikke trikke. Lihtsalt korrutame sulud ja anname sarnased. Nii see selgub kõik lühendatud korrutusvalemid. Lühendatult korrutamine on sellepärast, et valemites endis sulgude korrutamist ja sarnaste vähendamist pole. Lühendatult.) Tulemus antakse kohe.

FSU-d tuleb peast tunda. Ilma esimese kolmeta ei saa unistada C-st; ilma ülejäänuteta ei saa unistada B-st ega A-st.)

Miks me vajame lühendatud korrutusvalemeid?

Nende valemite õppimiseks ja isegi meeldejätmiseks on kaks põhjust. Esimene on see, et valmis vastus vähendab automaatselt vigade arvu. Kuid see pole peamine põhjus. Aga teine...

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Üks esimesi algebrakursusel õpitavaid teemasid on lühendatud korrutusvalemid. 7. klassis kasutatakse neid kõige lihtsamates olukordades, kus avaldises on vaja ära tunda üks valemitest ja tegureerida polünoomi või vastupidi kiiresti summa või vahe ruut või kuup. Tulevikus kasutatakse FSU-d kiireks võrratuste ja võrrandite lahendamiseks ning isegi mõne arvulise avaldise arvutamiseks ilma kalkulaatorita.

Kuidas valemite loend välja näeb?

Seal on 7 põhivalemit, mis võimaldavad sulgudes olevaid polünoome kiiresti korrutada.

Mõnikord sisaldab see loend ka neljanda astme laiendust, mis tuleneb esitatud identiteetidest ja millel on vorm:

a⁴ — b⁴ = (a - b) (a + b) (a² + b²).

Kõigil võrdustel on paar (summa - vahe), välja arvatud ruutude erinevus. Ruudude summa valemit ei ole antud.

Ülejäänud võrdsusi on lihtne meeles pidada:

Tuleb meeles pidada, et FSU-d töötavad igal juhul ja mis tahes väärtuste jaoks a Ja b: need võivad olla suvalised arvud või täisarvulised avaldised.

Olukorras, kus te äkki ei mäleta, milline märk on valemis konkreetse termini ees, saate avada sulud ja saada sama tulemuse, mis pärast valemi kasutamist. Näiteks kui erinevuse kuubi FSU rakendamisel tekkis probleem, peate kirjutama üles algse avaldise ja sooritage korrutamine ükshaaval:

(a - b)³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Selle tulemusena saadi pärast kõigi sarnaste liikmete toomist sama polünoom, mis tabelis. Samu manipulatsioone saab teha kõigi teiste FSU-dega.

FSU rakendamine võrrandite lahendamiseks

Näiteks peate lahendama võrrandi, mis sisaldab 3. astme polünoom:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Kooli õppekavas ei käsitleta universaalseid võtteid kuupvõrrandite lahendamiseks ja selliseid ülesandeid lahendatakse enamasti lihtsamate meetoditega (näiteks faktoriseerimine). Kui märkame, et identiteedi vasak pool meenutab summa kuupi, siis saab võrrandi kirjutada lihtsamal kujul:

(x + 1)³ = 0.

Sellise võrrandi juur arvutatakse suuliselt: x = -1.

Ebavõrdsust lahendatakse sarnaselt. Näiteks saate ebavõrdsuse lahendada x³ – 6x² + 9x > 0.

Kõigepealt peate arvestama väljendiga. Esmalt tuleb sulguda x. Pärast seda pange tähele, et sulgudes oleva avaldise saab teisendada erinevuse ruuduks.

Seejärel peate leidma punktid, kus avaldis võtab nullväärtusi, ja märkima need arvureale. Konkreetsel juhul on need 0 ja 3. Seejärel määrake intervallmeetodi abil, millistes intervallides x vastab ebavõrdsuse tingimusele.

FSU-d võivad täitmisel kasulikud olla mõned arvutused ilma kalkulaatori abita:

703²–203² = (703 + 203) (703–203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Lisaks saate avaldiste faktoriseerimisega hõlpsalt murde vähendada ja erinevaid algebralisi avaldisi lihtsustada.

Ülesannete näited 7.-8. klassile

Kokkuvõtteks analüüsime ja lahendame kaks ülesannet lühendatud korrutusvalemite kasutamise kohta algebras.

Ülesanne 1. Lihtsusta väljendit:

(m + 3)² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

Lahendus. Ülesande tingimus eeldab avaldise lihtsustamist ehk sulgude avamist, korrutamise ja astendamise tehte sooritamist ning ka kõigi sarnaste terminite toomist. Jagame avaldise tinglikult kolmeks osaks (vastavalt terminite arvule) ja avame sulud ükshaaval, kasutades võimalusel FSU-d.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(summa ruut);
• (3m + 1) (3m - 1) = 9m² - 1(ruutude erinevus);
• Viimasel terminil peate korrutama: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Asendame saadud tulemused algse avaldisega:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Võttes arvesse märke, avame sulgud ja esitame sarnased terminid:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Ülesanne 2. Lahenda võrrand, mis sisaldab tundmatut k 5. astmeni:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Lahendus. Sel juhul on vaja kasutada FSU-d ja rühmitamismeetodit. Viimane ja eelviimane termin on vaja nihutada identiteedi paremale poole.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Ühine tegur tuletatakse paremalt ja vasakult küljelt (k² + 4k +4):

k³ (k² + 4 k + 4) = k (k² + 4 k + 4).

Kõik kantakse võrrandi vasakule poolele nii, et 0 jääb paremale:

k³ (k² + 4 k + 4) - k (k² + 4 k + 4) = 0.

Jällegi on vaja välja võtta ühine tegur:

(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.

Esimesest saadud tegurist saame tuletada k. Lühikese korrutamisvalemi kohaselt on teine ​​tegur identne (k+2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

Kasutades ruutude erinevuse valemit:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Kuna korrutis on 0, kui vähemalt üks selle teguritest on null, pole võrrandi kõigi juurte leidmine keeruline:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Illustreerivate näidete põhjal saate aru, kuidas meeles pidada valemeid, nende erinevusi ja lahendada ka mitmeid praktilisi probleeme FSU abil. Ülesanded on lihtsad ja nende täitmine ei tohiks tekitada raskusi.