Vrijednosti sljedećih izraza su identično jednake. Transformacije identiteta
Tema "Dokaz identiteta» 7. razred (KRO)
Udžbenik Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.
Ciljevi lekcije
edukativni:
upoznati i inicijalno učvrstiti pojmove „identično jednaki izrazi“, „identitet“, „identične transformacije“;
razmotriti načine dokazivanja identiteta, doprinijeti razvoju vještina za dokazivanje identiteta;
provjeriti usvajanje obrađenog gradiva kod učenika, formirati vještine primjene proučenog za percepciju novog.
u razvoju:
Razvijati kompetentan matematički govor učenika (obogatiti i usložnjavati vokabular korištenjem posebnih matematičkih pojmova),
razvijati razmišljanje,
Vaspitni: Negovati marljivost, tačnost, ispravnost beleženja rešenja vežbi.
Vrsta lekcije: učenje novog gradiva
Tokom nastave
1 . Organiziranje vremena.
Provjera domaćeg.
Pitanja o domaćem zadatku.
Debrifing na tabli.
Potrebna je matematika
Bez nje je nemoguće
Učimo, učimo, prijatelji,
Čega pamtimo ujutro?
2 . Hajde da odradimo trening.
Rezultat zbrajanja. (Suma)
Koliko brojeva znaš? (Deset)
Stoti dio broja. (posto)
rezultat divizije? (privatno)
Najmanji prirodni broj? (jedan)
Da li je moguće dobiti nulu dijeljenjem prirodnih brojeva? (ne)
Koji je najveći negativni cijeli broj. (-jedan)
Kojim se brojem ne može podijeliti? (0)
Rezultat množenja? (posao)
Rezultat oduzimanja. (Razlika)
Komutativno svojstvo sabiranja. (Zbroj se ne mijenja od preraspodjele mjesta pojmova)
Komutativno svojstvo množenja. (Proizvod se ne mijenja od permutacije mjesta faktora)
Proučavanje nove teme (definicija sa bilješkom u bilježnici)
Pronađite vrijednost izraza na x=5 i y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3x+3y=3*5+3*4=27
Dobili smo isti rezultat. Iz distributivnog svojstva slijedi da su, općenito, za bilo koje vrijednosti varijabli, vrijednosti izraza 3(x + y) i 3x + 3y jednake.
Razmotrimo sada izraze 2x + y i 2xy. Za x=1 i y=2 uzimaju jednake vrijednosti:
Međutim, možete odrediti x i y vrijednosti tako da vrijednosti ovih izraza nisu jednake. Na primjer, ako je x=3, y=4, onda
Definicija: Za dva izraza čije su vrijednosti jednake za bilo koju vrijednost varijabli se kaže da su identično jednaki.
Izrazi 3(x+y) i 3x+3y su identično jednaki, ali izrazi 2x+y i 2xy nisu identično jednaki.
Jednakost 3(x + y) i 3x + 3y vrijedi za sve vrijednosti x i y. Takve jednakosti se nazivaju identitetima.
definicija: Jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli naziva se identitet.
Prave numeričke jednakosti se također smatraju identitetima. Već smo se susreli sa identitetima. Identiteti su jednakosti koje izražavaju osnovna svojstva radnji na brojevima (Učenici komentarišu svako svojstvo izgovaranjem).
a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Navedite druge primjere identiteta
Definicija: Zamjena jednog izraza drugim, identično jednakim njemu, naziva se identična transformacija ili jednostavno transformacija izraza.
Identične transformacije izraza sa varijablama izvode se na osnovu svojstava operacija nad brojevima.
Transformacije identiteta izraza se široko koriste u izračunavanju vrijednosti izraza i rješavanju drugih problema. Već ste morali izvršiti neke identične transformacije, na primjer, smanjenje sličnih pojmova, proširenje zagrada.
5 . br. 691, br. 692 (sa izgovorom pravila za otvaranje zagrada, množenje negativnih i pozitivnih brojeva)
Identiteti za izbor racionalnog rješenja:(prednji rad)
6 . Sumiranje lekcije.
Nastavnik postavlja pitanja, a učenici odgovaraju na njih kako žele.
Koja se dva izraza nazivaju identično jednakima? Navedite primjere.
Koja se jednakost naziva identitetom? Navedite primjer.
Koje identične transformacije znate?
7. Zadaća. Naučite definicije, navedite primjere identičnih izraza (najmanje 5), zapišite ih u bilježnicu
Ovaj članak daje inicijale pojam identiteta. Ovdje ćemo definirati identitet, uvesti korištenu notaciju i, naravno, dati različite primjere identiteta.
Navigacija po stranici.
Šta je identitet?
Logično je započeti prezentaciju materijala definicije identiteta. U udžbeniku Yu. N. Makarycheva, algebra za 7 razreda, definicija identiteta je data na sljedeći način:
Definicija.
Identitet je jednakost istinita za sve vrijednosti varijabli; svaka istinska brojčana jednakost je također identitet.
Istovremeno, autor odmah navodi da će u budućnosti ova definicija biti razjašnjena. Ovo pojašnjenje se odvija u 8. razredu, nakon upoznavanja sa definicijom prihvatljivih vrijednosti varijabli i ODZ-a. Definicija postaje:
Definicija.
Identiteti su prave numeričke jednakosti, kao i jednakosti koje su istinite za sve dozvoljene vrijednosti varijabli uključenih u njih.
Pa zašto pri definiranju identiteta u 7. razredu govorimo o bilo kojim vrijednostima varijabli, a u 8. razredu počinjemo govoriti o vrijednostima varijabli iz njihovog DPV-a? Do 8. razreda rad se izvodi isključivo s cjelobrojnim izrazima (posebno s monomima i polinomima), a oni imaju smisla za sve vrijednosti varijabli koje su u njima. Stoga u 7. razredu kažemo da je identitet jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli. A u 8. razredu se pojavljuju izrazi koji već imaju smisla ne za sve vrijednosti varijabli, već samo za vrijednosti iz njihovog ODZ-a. Stoga, identitetima počinjemo nazivati jednakosti koje su istinite za sve dopuštene vrijednosti varijabli.
Dakle, identitet je poseban slučaj jednakosti. Odnosno, svaki identitet je jednakost. Ali nije svaka jednakost identitet, već samo jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli iz njihovog raspona prihvatljivih vrijednosti.
Znak identiteta
Poznato je da se u pisanju jednakosti koristi znak jednakosti u obliku “=”, lijevo i desno od kojih se nalaze neki brojevi ili izrazi. Ako ovom znaku dodamo još jednu horizontalnu liniju, dobićemo znak identiteta"≡", ili kako se još naziva znak jednakosti.
Znak identiteta se obično koristi samo kada je potrebno naglasiti da pred sobom imamo ne samo jednakost, već upravo identitet. U drugim slučajevima, reprezentacije identiteta se po formi ne razlikuju od jednakosti.
Primjeri identiteta
Vrijeme je da donesete primjere identiteta. Definicija identiteta data u prvom paragrafu pomoći će nam u tome.
Numeričke jednakosti 2=2 su primjeri identiteta, jer su te jednakosti tačne, a svaka istinita numerička jednakost je, po definiciji, identitet. Mogu se zapisati kao 2≡2 i .
Brojne jednakosti oblika 2+3=5 i 7−1=2·3 su takođe identiteti, jer su te jednakosti tačne. To jest, 2+3≡5 i 7−1≡2 3 .
Prijeđimo na primjere identiteta koji sadrže ne samo brojeve, već i varijable u svojoj notaciji.
Razmotrimo jednakost 3·(x+1)=3·x+3 . Za bilo koju vrijednost varijable x, zapisana jednakost je istinita zbog distributivnog svojstva množenja u odnosu na sabiranje, stoga je originalna jednakost primjer identiteta. Evo još jednog primjera identiteta: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, ovdje su raspon prihvatljivih vrijednosti za varijable x i y svi parovi (x, y) , gdje su x i y bilo koji brojevi osim nule.
Ali jednakosti x+1=x−1 i a+2 b=b+2 a nisu identiteti, jer postoje vrijednosti varijabli za koje će ove jednakosti biti netačne. Na primjer, za x=2, jednakost x+1=x−1 pretvara se u pogrešnu jednakost 2+1=2−1. Štaviše, jednakost x+1=x−1 se uopšte ne postiže ni za jednu vrednost varijable x. A jednakost a+2·b=b+2·a će se pretvoriti u netačnu jednakost ako uzmemo bilo koje različite vrijednosti varijabli a i b. Na primjer, sa a=0 i b=1, doći ćemo do pogrešne jednakosti 0+2 1=1+2 0 . Jednakost |x|=x , gdje je |x| - varijabla x, također nije identitet, jer nije istinita za negativne vrijednosti x.
Primjeri najpoznatijih identiteta su sin 2 α+cos 2 α=1 i a log a b =b .
Na kraju ovog članka želio bih napomenuti da se prilikom proučavanja matematike stalno susrećemo s identitetima. Zapisi svojstva radnje broja su identiteti, na primjer, a+b=b+a, 1 a=a, 0 a=0 i a+(−a)=0. Takođe, identiteti su
Osnovna svojstva sabiranja i množenja brojeva.
Komutativno svojstvo sabiranja: kada se članovi preurede, vrijednost sume se ne mijenja. Za bilo koje brojeve a i b, jednakost je tačna
Asocijativno svojstvo sabiranja: da biste zbroju dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg. Za sve brojeve a, b i c jednakost je tačna
Komutativno svojstvo množenja: permutacija faktora ne mijenja vrijednost proizvoda. Za bilo koje brojeve a, b i c, jednakost je tačna
Asocijativno svojstvo množenja: da biste pomnožili proizvod dva broja trećim brojem, možete prvi broj pomnožiti umnoškom drugog i trećeg.
Za bilo koje brojeve a, b i c, jednakost je tačna
Distributivno svojstvo: Da pomnožite broj sa zbrojem, možete pomnožiti taj broj sa svakim članom i dodati rezultate. Za sve brojeve a, b i c jednakost je tačna
Iz komutativnih i asocijativnih svojstava sabiranja slijedi da u bilo kojem zbroju možete preurediti članove kako želite i kombinirati ih u grupe na proizvoljan način.
Primjer 1. Izračunajmo zbir 1,23+13,5+4,27.
Da biste to učinili, zgodno je kombinirati prvi termin s trećim. Dobijamo:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
To slijedi iz komutativnih i asocijativnih svojstava množenja: u bilo kojem proizvodu možete preurediti faktore na bilo koji način i proizvoljno ih kombinirati u grupe.
Primjer 2 Nađimo vrijednost proizvoda 1,8 0,25 64 0,5.
Kombinujući prvi faktor sa četvrtim, a drugi sa trećim, imaćemo:
1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 = 14,4.
Svojstvo raspodjele vrijedi i kada se broj pomnoži sa zbirom tri ili više članova.
Na primjer, za bilo koje brojeve a, b, c i d, jednakost je tačna
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Znamo da se oduzimanje može zamijeniti sabiranjem dodavanjem minusa suprotan broj oduzetom:
Ovo omogućava da se numerički izraz oblika a-b smatra zbirom brojeva a i -b, a numerički izraz oblika a + b-c-d da se smatra zbirom brojeva a, b, -c, -d, itd. razmatrana svojstva radnji važe i za takve sume.
Primjer 3 Nađimo vrijednost izraza 3,27-6,5-2,5+1,73.
Ovaj izraz je zbir brojeva 3,27, -6,5, -2,5 i 1,73. Primjenom svojstava sabiranja dobijamo: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -četiri.
Primjer 4 Izračunajmo proizvod 36·().
Množitelj se može zamisliti kao zbir brojeva i -. Koristeći distributivno svojstvo množenja, dobijamo:
36()=36-36=9-10=-1.
Identiteti
Definicija. Za dva izraza čije su odgovarajuće vrijednosti jednake za bilo koju vrijednost varijabli se kaže da su identično jednaki.
Definicija. Jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli naziva se identitet.
Nađimo vrijednosti izraza 3(x+y) i 3x+3y za x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.
Dobili smo isti rezultat. Iz distributivnog svojstva slijedi da su, općenito, za bilo koje vrijednosti varijabli, odgovarajuće vrijednosti izraza 3(x+y) i 3x+3y jednake.
Razmotrimo sada izraze 2x+y i 2xy. Za x=1, y=2 uzimaju jednake vrijednosti:
Međutim, možete odrediti x i y vrijednosti tako da vrijednosti ovih izraza nisu jednake. Na primjer, ako je x=3, y=4, onda
Izrazi 3(x+y) i 3x+3y su identično jednaki, ali izrazi 2x+y i 2xy nisu identično jednaki.
Jednakost 3(x+y)=x+3y, istinita za bilo koje vrijednosti x i y, je identitet.
Prave numeričke jednakosti se također smatraju identitetima.
Dakle, identiteti su jednakosti koje izražavaju glavna svojstva radnji na brojeve:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Mogu se navesti i drugi primjeri identiteta:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Identitetske transformacije izraza
Zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim, naziva se identična transformacija ili jednostavno transformacija izraza.
Identične transformacije izraza sa varijablama izvode se na osnovu svojstava operacija nad brojevima.
Da biste pronašli vrijednost izraza xy-xz s obzirom na vrijednosti x, y, z, potrebno je izvršiti tri koraka. Na primjer, sa x=2,3, y=0,8, z=0,2 dobijamo:
xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.
Ovaj rezultat se može dobiti u samo dva koraka, koristeći izraz x(y-z), koji je identično jednak izrazu xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.
Pojednostavili smo proračune tako što smo izraz xy-xz zamijenili identično jednakim izrazom x(y-z).
Transformacije identiteta izraza se široko koriste u izračunavanju vrijednosti izraza i rješavanju drugih problema. Neke identične transformacije su već izvršene, na primjer, redukcija sličnih pojmova, otvaranje zagrada. Prisjetite se pravila za izvođenje ovih transformacija:
da biste dobili slične pojmove, potrebno je sabrati njihove koeficijente i rezultat pomnožiti zajedničkim slovnim dijelom;
ako se ispred zagrada nalazi znak plus, tada se zagrade mogu izostaviti, zadržavajući znak svakog pojma u zagradama;
ako se ispred zagrada nalazi znak minus, tada se zagrade mogu izostaviti promjenom predznaka svakog člana zatvorenog u zagrade.
Primjer 1. Dodajmo slične članove u zbir 5x+2x-3x.
Koristimo pravilo za smanjenje sličnih pojmova:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Ova transformacija je zasnovana na distributivnom svojstvu množenja.
Primjer 2 Proširimo zagrade u izrazu 2a+(b-3c).
Primjena pravila za otvaranje zagrada kojima prethodi znak plus:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Izvršena transformacija se zasniva na asocijativnom svojstvu sabiranja.
Primjer 3 Proširimo zagrade u izrazu a-(4b-c).
Koristimo pravilo za proširene zagrade kojima prethodi znak minus:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Izvršena transformacija se zasniva na distributivnom svojstvu množenja i asocijativnom svojstvu sabiranja. Hajde da to pokažemo. Predstavimo drugi član -(4b-c) u ovom izrazu kao proizvod (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Primjenom ovih svojstava akcija dobijamo:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Nakon što smo se pozabavili konceptom identiteta, možemo pristupiti proučavanju identično jednakih izraza. Svrha ovog članka je da objasni šta je to i da na primjerima pokaže koji će izrazi biti identično jednaki drugima.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Identični jednaki izrazi: definicija
Koncept identično jednakih izraza obično se proučava zajedno sa pojmom identiteta u okviru školskog kursa algebre. Evo osnovne definicije preuzete iz jednog udžbenika:
Definicija 1
identično jednake međusobno će postojati takvi izrazi, čije će vrijednosti biti iste za sve moguće vrijednosti varijabli uključenih u njihov sastav.
Takođe, takvi numerički izrazi se smatraju identično jednakim, što će odgovarati istim vrijednostima.
Ovo je prilično široka definicija, koja će vrijediti za sve izraze s cijelim brojevima, čije se značenje ne mijenja kada se promijene vrijednosti varijabli. Međutim, kasnije postaje potrebno razjasniti ovu definiciju, jer pored cijelih brojeva, postoje i druge vrste izraza koji neće imati smisla s određenim varijablama. To dovodi do koncepta prihvatljivosti i neprihvatljivosti određenih vrijednosti varijabli, kao i potrebe za određivanjem raspona dopuštenih vrijednosti. Hajde da formulišemo rafiniranu definiciju.
Definicija 2
Identični jednaki izrazi su oni izrazi čije su vrijednosti jednake jedna drugoj za bilo koje važeće vrijednosti varijabli uključenih u njihov sastav. Numerički izrazi će biti identično jednaki jedni drugima, pod uslovom da su vrijednosti iste.
Izraz "za sve dozvoljene vrijednosti varijabli" označava sve one vrijednosti varijabli za koje će oba izraza imati smisla. Ovu poziciju ćemo objasniti kasnije, kada dajemo primjere identično jednakih izraza.
Također možete odrediti sljedeću definiciju:
Definicija 3
Identični jednaki izrazi su izrazi koji se nalaze u istom identitetu na lijevoj i desnoj strani.
Primjeri izraza koji su međusobno identično jednaki
Koristeći gore navedene definicije, razmotrite nekoliko primjera takvih izraza.
Počnimo s numeričkim izrazima.
Primjer 1
Dakle, 2 + 4 i 4 + 2 će biti identično jednaki jedno drugom, jer će njihovi rezultati biti jednaki (6 i 6).
Primjer 2
Na isti način, izrazi 3 i 30 su identično jednaki: 10 , (2 2) 3 i 2 6 (da biste izračunali vrijednost posljednjeg izraza, morate znati svojstva stepena).
Primjer 3
Ali izrazi 4 - 2 i 9 - 1 neće biti jednaki, jer su njihove vrijednosti različite.
Pređimo na primjere doslovnih izraza. A + b i b + a bit će identično jednaki, a to ne ovisi o vrijednostima varijabli (jednakost izraza u ovom slučaju određena je komutativnim svojstvom sabiranja).
Primjer 4
Na primjer, ako je a 4, a b 5, rezultati će i dalje biti isti.
Drugi primjer identično jednakih izraza sa slovima je 0 · x · y · z i 0 . Bez obzira na vrijednosti varijabli u ovom slučaju, kada se pomnože sa 0, one će dati 0. Nejednaki izrazi su 6 x i 8 x jer neće biti jednaki ni za jedan x.
U slučaju da se rasponi dozvoljenih vrijednosti varijabli poklope, na primjer, u izrazima a + 6 i 6 + a ili a b 0 i 0, ili x 4 i x, i vrijednostima izraza sami će biti jednaki za sve varijable, tada se takvi izrazi smatraju identično jednakim. Dakle, a + 8 = 8 + a za bilo koju vrijednost a, i a · b · 0 = 0, jer množenje bilo kojeg broja sa 0 rezultira 0. Izrazi x 4 i x će biti identično jednaki za bilo koje x iz intervala [ 0 , + ∞) .
Ali opseg valjane vrijednosti u jednom izrazu može se razlikovati od opsega drugog.
Primjer 5
Na primjer, uzmimo dva izraza: x − 1 i x - 1 · x x . Za prvi od njih raspon prihvatljivih x vrijednosti bit će cijeli skup realnih brojeva, a za drugi skup svih realnih brojeva, osim nule, jer ćemo tada dobiti 0 u nazivniku, a takva podjela nije definisana. Ova dva izraza imaju zajednički raspon, formiran presjekom dva odvojena raspona. Može se zaključiti da će oba izraza x - 1 · x x i x − 1 imati smisla za sve realne vrijednosti varijabli, osim za 0 .
Osnovno svojstvo razlomka također nam omogućava da zaključimo da će x - 1 x x i x - 1 biti jednaki za bilo koje x koje nije 0 . To znači da će ti izrazi biti identično jednaki jedan drugom na općem rasponu dopuštenih vrijednosti, a za bilo koji realni x ne može se govoriti o identičnoj jednakosti.
Ako zamijenimo jedan izraz drugim koji mu je identično jednak, tada se ovaj proces naziva transformacija identiteta. Ovaj koncept je vrlo važan i o njemu ćemo detaljno govoriti u posebnom članku.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
