X. proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu i krugu. trigonometrijske funkcije oštrog ugla. Dodatne nekretnine

Razmotrimo prvo sekans AC, povučen iz tačke A van date kružnice (Sl. 288). Nacrtajte tangentu AT iz iste tačke. Segment između tačke A i tačke preseka koja joj je najbliža sa kružnicom nazivaćemo spoljnim delom sekante (segment AB na slici 288), dok je segment AC do najudaljenije od dve tačke preseka jednostavno sekansa . Segment tangente od A do tačke kontakta se takođe kratko naziva tangenta. Onda

Teorema. Proizvod sekansa i njegovog vanjskog dijela jednak je kvadratu tangente.

Dokaz. Hajde da povežemo tačku. Trouglovi ACT i BT A su slični, jer imaju zajednički ugao u vrhu A, a uglovi ACT i jednaki su, pošto se oba mere polovinom istog luka TB. Dakle, odavde dobijamo traženi rezultat:

Tangenta je jednaka geometrijskoj sredini između sekante povučene iz iste tačke i njenog vanjskog dijela.

Posljedica. Za bilo koju sekantu povučenu kroz datu tačku A, proizvod njene dužine i vanjskog dijela je konstantan:

Razmislite sada o akordima koji se ukrštaju u unutrašnjoj tački. Tačna izjava:

Ako se dvije tetive seku, onda je proizvod segmenata jedne tetive jednak proizvodu segmenata druge (što znači segmente na koje je tetiva podijeljena točkom presjeka).

Dakle, na sl. 289 tetive AB i CD seku u tački M, i imamo Drugim riječima,

Za datu tačku M, proizvod segmenata na koje dijeli bilo koju tetivu koja prolazi kroz nju je konstantan.

Da bismo to dokazali, napominjemo da su trouglovi MBC i MAD slični: uglovi CMB i DMA su vertikalni, uglovi MAD i MCB zasnovani su na istom luku. Odavde nalazimo

Q.E.D.

Ako data tačka M leži na udaljenosti l od centra, onda, povlačeći kroz nju prečnik i smatrajući je jednom od tetiva, nalazimo da je proizvod segmenata prečnika, a time i bilo koje druge tetive, jednak do Također je jednako kvadratu minimalne polutetive (okomito na određeni prečnik) koja prolazi kroz M.

Teorema o postojanosti umnoška odsječaka tetiva i teorema o postojanosti umnoška sekante po vanjskom dijelu su dva slučaja iste tvrdnje, razlika je samo da li se sekante povlače kroz vanjski ili unutrašnja tačka kruga. Sada možete odrediti još jednu osobinu koja razlikuje upisane četverouglove:

U bilo kojem upisanom četverokutu, odsječeni proizvodi na koje su dijagonale podijeljene svojom presječnom točkom su jednaki.

Neophodnost uslova je očigledna, jer će dijagonale biti tetive opisane kružnice. Može se pokazati da je i ovaj uslov dovoljan.

Matematika. Algebra. Geometrija. Trigonometrija

GEOMETRIJA: Planimetrija

10. Teoreme o proporcionalnim pravima

Teorema. Stranice ugla presječene su nizom paralelnih linija koje su rezane njima na proporcionalne dijelove.

Dokaz. To je potrebno dokazati

Crtajući pomoćne prave DM,EN,... paralelno sa BA, dobijamo trouglove koji su međusobno slični, jer su im uglovi respektivno jednaki (zbog paralelizma pravih). Iz njihove sličnosti proizilazi:

Zamenivši segment DM sa D"E" u ovom nizu jednakih odnosa, segment EN sa E"F" (suprotne strane paralelograma), dobijamo ono što smo želeli da dokažemo.

Teorema. Simetrala bilo kojeg ugla trokuta dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranama trokuta

Inverzna teorema. Ako je bilo koja strana trokuta podijeljena na dva dijela proporcionalna dvije susjedne strane ovog trokuta, tada je prava koja povezuje tačku podjele s vrhom suprotnog ugla simetrala ovog ugla

Teorema. Ako simetrala vanjskog ugla trokuta siječe produžetak suprotne stranice u nekoj tački, tada su udaljenosti od ove točke do krajeva proširene stranice proporcionalne susjednim stranicama trokuta

Numeričke zavisnosti između elemenata trougla.

Teorema. U pravokutnom trokutu, okomica ispuštena iz vrha pravog ugla na hipotenuzu je prosječna proporcionalna između segmenata hipotenuze, a svaki krak je prosječna proporcionalna između hipotenuze i segmenta koji je susjedni ovoj kraci.

Dokaz. Potrebno je dokazati sljedeće tri proporcije: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Trokuti ABD i ADC su slični jer

P 1=P 4 i P 2=P 3 (pošto su njihove stranice okomite), dakle BD:AD=AD:DC.

2) Trouglovi ABD i ABC su slični, jer su pravougli i imaju zajednički ugao B, dakle BC:AB=AB:DB.

3) Trouglovi ABC i ADC su slični, jer su pravougaoni i imaju zajednički ugao C, dakle BC:AC=AC:DC.

Posljedica. Okomica spuštena iz neke tačke na kružnici na prečnik je prosečna proporcionalna između segmenata prečnika, a tetiva koja povezuje ovu tačku sa krajem prečnika je prosečna proporcionalna između prečnika i segmenta koji se nalazi pored tetive.

Pitagorina teorema. U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta

Posljedica. Kvadrati kateta su međusobno povezani kao susjedni segmenti hipotenuze

Teorema. U bilo kojem trokutu kvadrat stranice nasuprot oštrom kutu jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice bez dvostrukog

proizvod bilo koje od ovih strana po segmentu od vrha oštrog ugla do visine.

Teorema. Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica

. Proporcionalne linije u krugu.
Teorema. Ako se tetiva i prečnik povuku kroz tačku uzetu unutar kruga, tada je proizvod segmenata tetive jednak proizvodu segmenata prečnika.

Posljedica. Ako se kroz tačku uzetu unutar kruga povuče bilo koji broj tetiva, tada je proizvod segmenata svake tetive konstantan broj za sve tetive.

Teorema. Ako se u njega povuče neka sekansa i tangenta iz točke izvan kruga, tada je proizvod sekanse i njenog vanjskog dijela jednak kvadratu tangente

Korištenje materijala stranice je moguće pod uvjetom da je naveden aktivni link

§ 11. Proporcionalni segmenti u krugu.

1. Nosač mosta je omeđen lukom kružnice (Sl. 38); visina rešetke MK= h= 3 m; polumjer luka AMB raspona R = 8,5 m. Izračunati dužinu AB raspona mosta.

2. U polucilindričnom nadsvođenom podrumu treba postaviti dva stupa, svaki na istoj udaljenosti od najbližeg zida. Odredite visinu regala ako je širina podruma duž dna 4 m, a razmak između regala 2 m.

3. 1) Iz tačke kružnice povučena je okomita na prečnik. Odredi njegovu dužinu sa sljedećom dužinom odsječaka prečnika: 1) 12 cm i 3 cm; 2) 16 cm i 9 cm, 3) 2 m i 5 dm.

2) Od tačke prečnika do preseka sa kružnicom povučena je okomica. Odredite dužinu ove okomice ako je prečnik 40 cm, a povučena okomica 8 cm od jednog od krajeva prečnika.

4. Promjer je podijeljen na segmente: AC = 8 dm i CB = 5 m, a iz točke C na njega se povlači okomita CD određene dužine. Navedite položaj tačke D u odnosu na kružnicu kada je CD jednak: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.

5. DIA-polukrug; CD - okomito na prečnik AB. Obavezno:

1) odrediti DB ako je AD = 25 i CD = 10;

2) odrediti AB ako je AD: DB= 4: 9 i CD=30;

3) definirati AD ako je CD=3AD i radijus je r;

4) odrediti AD ako je AB=50 i CD=15.

6. 1) Okomita, spuštena od tačke kružnice na poluprečnik od 34 cm, deli je u omjeru 8:9 (počevši od centra). Odredite dužinu okomice.

2) Tetiva BDC je okomita na poluprečnik ODA. Odrediti BC ako je OA = 25 cm i AD = 10 cm.

3) Širina prstena koji čine dva koncentrična kruga je 8 dm; tetiva većeg kruga, tangenta na manji, je 4 m. Odrediti poluprečnike kružnica.

7. Poređenjem segmenata dokazati da je aritmetička sredina dva nejednaka broja veća od njihove geometrijske sredine.

8. Konstruirajte segment, prosječno proporcionalan između segmenata 3 cm i 5 cm.

9. Konstruisati segment jednak: √15; √10; √6; √3.

10. ADB-prečnik; AC-akord; CD je okomit na prečnik. Odrediti AC tetivu: 1) ako je AB = 2 m i AD = 0,5 m; 2) ako je AD = 4 cm i DB = 5 cm; 3) ako je AB=20m i DB=15m.

11. AB prečnik; AC-akord; AD je njegova projekcija na prečnik AB. Obavezno:

1) odrediti AD ako je AB=18 cm i AC=12 cm;

2) odrediti poluprečnik ako je AC=12 m i AD=4 m;

3) odrediti DB ako je AC=24 cm i DB = 7/9 AD.

12. AB prečnik; AC-akord; AD je njegova projekcija na prečnik AB. Obavezno:

1) odrediti AC ako je AB = 35 cm i AC=5AD;

2) odrediti AC ako je poluprečnik jednak r i AC=DB.

13. Dvije tetive se seku unutar kruga. Segmenti jedne tetive su 24 cm i 14 cm; jedan od isječaka druge tetive je 28 cm Odredi njen drugi segment.

14. Nosač mosta je ograničen lukom kružnice (Sl. 38); dužina mosta AB = 6 m, visina A = 1,2 m. Odrediti polumjer luka (OM = R).

15. Dva segmenta AB i CD sijeku se u tački M tako da je MA = 7 cm, MB = 21 cm,
MC = 3 cm i MD = 16 cm Leže li tačke A, B, C i D na istoj kružnici?

16. Dužina klatna MA = l= 1 m (Sl. 39), njegova visina dizanja, kada se odstupi za ugao α, CA = h\u003d 10 cm. Pronađite udaljenost BC tačke B od MA (BC \u003d X).

17. Prevesti širinu željezničke pruge b\u003d 1,524 m na mjestu AB (slika 40) napravljeno je zaokruživanje; dok se ispostavilo, ; da je BC= a= 42,4 m. Odrediti polumjer zakrivljenosti OA = R.

18. Tetiva AMB se rotira u blizini tačke M tako da se segment MA povećao 2 1/2 puta. Kako se promijenio segment MB?

19. 1) Od dva tetiva koja se ukrštaju, jedan je podijeljen na dijelove od 48 cm i 3 cm, a drugi na pola. Odredite dužinu drugog tetiva.

2) Od dva tetiva koja se ukrštaju, jedan je podijeljen na dijelove od 12 m i 18 m, a drugi u omjeru 3:8. Odredite dužinu drugog tetiva.

20. Od dvije tetive koja se sijeku, prva je 32 cm, a segmenti druge tetive su
12 cm i 16 cm Odredi segmente prve tetive.

21. Sekansa ABC je rotirana u blizini vanjske tačke A tako da se njen vanjski segment AB smanjio tri puta. Kako se promijenila dužina sekansa?

22. Neka su ADB i AEC dvije prave koje seku kružnicu: prva je u tačkama D i B, druga u tačkama E i C. Potrebno:

1) odrediti AE ako je AD = 5 cm, DB = 15 cm i AC = 25 cm;

2) odrediti BD ako je AB = 24 m, AC = 16 m i EC = 10 m;

3) odrediti AB i AC ako je AB+AC=50 m, a AD: AE = 3:7.

23. Poluprečnik kružnice je 7 cm Iz tačke udaljene 9 cm od centra povuče se sekansa tako da je kružnica podijeljena na pola. Odredite dužinu ove sekante.

24. MAB i MCD su dvije sekante jednog kruga. Obavezno:

1) odrediti CD ako je MV = 1 m, MD = 15 dm i CD = MA;

2) odrediti MD ako je MA =18 cm, AB=12 cm i MC:CD = 5:7;

3) odrediti AB ako je AB=MC, MA=20 i CD=11.

25. Dvije tetive su proširene do međusobnog sjecišta. Odredite dužinu rezultirajućih produžetaka ako su tetivi jednaki a i b, a njihova proširenja su povezana kao t:p.

26. Iz jedne tačke, sekansa i tangenta su povučene u kružnicu. Odrediti dužinu tangente ako su spoljašnji i unutrašnji segmenti sekansa izraženi sledećim brojevima: 1) 4 i 5; 2) 2,25 i 1,75; 3) 1 i 2.

27. Tangenta je 20 cm, a najveća sekansa povučena iz iste tačke je 50 cm. Odrediti poluprečnik kružnice.

28. Sekansa je 2 1/4 puta veća od njenog vanjskog segmenta. Koliko je puta veća od tangente povučene iz iste tačke?

29. Nastavlja se zajednička tetiva dvaju kružnica koje se seku, a na njih se povlače tangente iz tačke uzete na nastavku. Dokažite da su jednaki.

30. Na jednoj strani ugla A, segmenti su položeni jedan za drugim: AB = 6 cm i BC = 8 cm; a na drugoj strani je položen odsječak AD = 10 cm. Kroz tačke B, C i D povučena je kružnica. Saznajte da li prava AD dodiruje ovu kružnicu, a ako ne, onda da li će tačka D biti prva (računajući od A) ili druga tačka preseka.

31. Neka bude: AB-tangenta i ACD-sekans iste kružnice. Obavezno:

1) odrediti CD ako je AB = 2 cm i AD = 4 cm;

2) odrediti AD ako je AC:CD = 4:5 i AB=12 cm;

3) odrediti AB ako je AB = CD i AC = a.

32. 1) Koliko daleko možete vidjeti od balona (sl. 41), koji se popeo na visinu od 4 km iznad tla (poluprečnik Zemlje je = 6370 km)?

2) Planina Elbrus (na Kavkazu) se uzdiže na 5.600 metara nadmorske visine Koliko daleko možete vidjeti od vrha ove planine?

3) M - osmatračnica visine A metara iznad zemlje (sl. 42); poluprečnik zemlje R, MT= d je najveća vidljiva udaljenost. Dokaži to d= √2R h+ h 2

Komentar. Jer h 2 zbog svoje male veličine u odnosu na 2R h gotovo ne utječe na rezultat, tada možete koristiti približnu formulu d≈ √2R h .

33. 1) Tangenta i sekansa, koje izlaze iz jedne tačke, jednake su 20 cm, odnosno 40 cm; sekansa je udaljena 8 cm od centra Odrediti polumjer kružnice.

2) Odrediti udaljenost od centra do tačke iz koje idu tangenta i sekansa, ako su 4 cm odnosno 8 cm, a sekansa je uklonjena iz centra za
12 cm

34. 1) Iz zajedničke tačke u kružnicu se povlače tangenta i sekansa. Odredite dužinu tangente ako je 5 cm duža od vanjskog segmenta sekansa i za isti iznos manja od unutrašnjeg segmenta.

2) Iz jedne tačke u kružnicu se povlače sekansa i tangenta. Sekansa je a, a njegov unutrašnji segment je duži od vanjskog za dužinu tangente. Definirajte tangentu.

36. Iz jedne tačke, tangenta i sekansa su povučene u jednu kružnicu. Tangenta je veća od unutrašnjeg i spoljašnjeg segmenta sekansa za 2 cm i 4 cm, respektivno.Odredite dužinu sekansa.

36. Iz jedne tačke, tangenta i sekansa su povučene u kružnicu. Odredi njihovu dužinu ako je tangenta 20 cm manja od unutrašnjeg segmenta sekansa i 8 cm veća od vanjskog segmenta.

37. 1) Sekansa i tangenta su povučene iz jedne tačke u kružnicu. Njihov zbir je 30 cm, a unutrašnji segment sekansa je 2 cm manji od tangente. Definirajte sekansu i tangentu.

2) Iz jedne tačke u kružnicu se povlače sekansa i tangenta. Njihov zbir je 15 cm, a spoljni segment sekansa je 2 cm manji od tangente. Definirajte sekansu i tangentu.

38. Odsječak AB je produžen za rastojanje BC. Na AB i AC, kao i na prečnicima, grade se krugovi. Okomita BD povučena je na segment AC u tački B sve dok se ne ukrsti s većom kružnicom. Iz tačke C povučena je tangenta SC na manji krug. Dokazati da je CD = CK.

39. Dvije paralelne tangente i treća tangenta koja ih sijeku povučene su u datu kružnicu. Radijus je prosječna proporcionalna vrijednost između segmenata treće tangente. Dokazati.

40. Date su dvije paralelne prave na udaljenosti od 15 dm jedna od druge; tačka M je data između njih na udaljenosti od 3 dm od jedne od njih. Kroz tačku M povučena je kružnica koja tangenta na obje paralele. Odrediti udaljenost između projekcija centra i tačke M na jednoj od ovih paralela.

41. U krugu poluprečnika r Upisan je jednakokraki trougao u koji je zbir visine i osnove jednak prečniku kružnice. Odredite visinu.

42. Odrediti poluprečnik kružnice opisane oko jednakokrakog trougla: 1) ako je osnova 16 cm, a visina 4 cm; 2) ako je stranica 12 dm, a visina 9 dm; 3) ako je stranica 15 m, a osnova 18 m.

43. U jednakokrakom trouglu osnova je 48 dm, a stranica 30 dm. Odrediti polumjere kružnica, opisanih i upisanih, i udaljenost između njihovih centara.

44. Radijus je r, tetiva ovog luka je jednaka a. Odredite tetivu udvojenog luka.

45. Poluprečnik kružnice je 8 dm; tetiva AB je 12 dm. Kroz tačku A je povučena tangenta, a iz tačke B je tetiva BC paralelna tangenti. Odrediti udaljenost između tangente i tetive BC.

46. Tačka A je udaljena od prave MN na udaljenosti With. dati radijus r Krug je opisan tako da prolazi kroz tačku A i dodiruje pravu MN. Odrediti udaljenost između primljene dodirne tačke i date tačke A.

Nekretnina 1 . Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u tački S, tada je AS BS = CS DS, tj. DS/BS = AS/CS.

Dokaz. Dokažimo prvo da su trouglovi ASD i CSB slični.

Upisani uglovi DCB i DAB su jednaki jer su zasnovani na istom luku.

Uglovi ASD i BSC jednaki su vertikalnim.

Iz jednakosti navedenih uglova proizilazi da su trouglovi ASD i CSB slični. Iz sličnosti trokuta slijedi proporcija

DS/BS = AS/CS, ili AS BS = CS DS,

Q.E.D.

Svojstvo 2. Ako su dvije sekute povučene iz tačke P u kružnicu, koje sijeku kružnicu u tačkama A, B i C, D, redom, tada je AR/SR = DP/BP.

Dokaz. Neka su A i C tačke preseka preseka sa kružnicom koja je najbliža tački P. Trokuti PAD i RSV su slični. Imaju zajednički ugao u vrhu P, a uglovi B i D su jednaki kao upisani, na osnovu istog luka. Iz sličnosti trouglova proizilazi proporcija AR/SR = DP/BP, koju je trebalo dokazati.

Svojstvo simetrale ugla trougla

Simetrala ugla trougla dijeli suprotnu stranu na segmente proporcionalne drugim dvjema stranicama.

Dokaz. Neka je CD simetrala trougla ABC. Ako je trougao ABC jednakokračan sa osnovom AB, tada je naznačeno svojstvo simetrale očigledno, jer je u ovom slučaju simetrala ujedno i medijana. Razmotrimo opći slučaj gdje AC nije jednako BC. Ispustimo okomite AF i BE iz vrhova A i B na pravu CD. Pravokutni trouglovi ACF i ALL su slični, jer imaju jednake oštre uglove u vrhu C.

Iz sličnosti trokuta slijedi proporcionalnost stranica: AC / BC \u003d AF / BE. Pravokutni trouglovi ADF i BDE su također slični. Njihovi uglovi na vrhu D jednaki su vertikalnim. To proizilazi iz sličnosti: AF/BE = AD/BD. Uspoređujući ovu jednakost s prethodnom, dobivamo: AC / BC = AD / BD ili AC / AD = BC / BD, odnosno AD i BD su proporcionalni stranicama AC i BC.