Slika sfere i njenih presjeka. Velika enciklopedija nafte i gasa

Uvod

Granica sfere naziva se sferna površina ili sfera. Dakle, tačke sfere su sve tačke lopte koje se nalaze na udaljenosti od centra jednakom poluprečniku. Bilo koji segment koji povezuje centar lopte sa tačkom na površini lopte, koja se naziva i radijus.

Segment koji povezuje dvije tačke sferne površine koji prolazi kroz centar lopte naziva se prečnik. Krajevi bilo kojeg promjera nazivaju se dijametralno suprotne točke lopte.

Lopta, kao i cilindar i konus, je tijelo okretanja. Dobiva se rotacijom polukruga oko njegovog prečnika kao ose.

Presjek sfere ravninom

Svaki dio sfere ravninom je krug. Središte ove kružnice je osnova okomice ispuštene iz centra lopte na ravninu sečenja.

Dokaz: Neka je rezna ravan i O - centar lopte (slika 1) Ispustimo okomicu iz centra lopte na ravan i označimo osnovu ove okomice sa O".

Neka je X proizvoljna tačka lopte koja pripada ravni. Prema Pitagorinoj teoremi, OX2 \u003d OO "2 + O" X2. Kako OX nije veći od poluprečnika R lopte, onda O "X?, tj. bilo koja tačka presjeka lopte ravninom nalazi se od tačke O" na udaljenosti koja nije veća, dakle pripada krug sa centrom O "i poluprečnikom. Obrnuto: bilo koja tačka X ovog kruga pripada lopti, što znači da je presjek lopte ravninom kružnica sa središtem u tački O". Teorema je dokazana.

Površina koja prolazi kroz centar sfere naziva se dijametralna ravan. Presjek lopte po dijametralnoj ravni naziva se veliki krug, a poprečni presjek sfere veliki krug.

Lopta do ravnine jednaka je polumjeru ravnine, tada ravnina dodiruje loptu samo u jednoj tački, a površina poprečnog presjeka će biti nula, odnosno ako je b = R, onda je S = 0. Ako je b \u003d 0, tada ravnina rezanja prolazi kroz središte lopte. U ovom slučaju, presjek će biti kružnica, čiji se radijus poklapa s polumjerom lopte. Površina ovog kruga će, prema formuli, biti jednaka S = πR^2.

Ova dva ekstremna slučaja daju granice između kojih će željeno područje uvijek ležati: 0< S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.

Budući da je rastojanje od tačke do ravni definisano kao dužina segmenta koji je okomit na ravan i počinje u tački, drugi kraj ovog segmenta će se poklopiti sa kružnom presjekom. Takav zaključak proizilazi iz definicije lopte: očito je da sve tačke obima presjeka pripadaju sferi i stoga leže na jednakoj udaljenosti od centra lopte. To znači da se kružnice presjeka mogu smatrati vrhom pravokutnog trokuta, čija je hipotenuza polumjer lopte, od kojih je jedan okomit segment koji povezuje centar lopte sa ravninom, a drugi krak je poluprečnik kružnice preseka.

Od tri strane ovog trougla date su dvije - poluprečnik lopte R i rastojanje b, odnosno hipotenuza. Prema Pitagorinoj teoremi, dužina drugog kraka mora biti jednaka √(R^2 - b^2). Ovo je polumjer kružnice presjeka. Zamjenom pronađene vrijednosti u formulu za površinu kruga, lako je zaključiti da je površina poprečnog presjeka lopte ravninom: S = π (R ^ 2 - b ^ 2 pronađeni rezultati.

Povezani video zapisi

Izvori:

presek sfere ravninom

Sve planete u Sunčevom sistemu su oblikovane lopta. Osim toga, mnogi predmeti koje je stvorio čovjek, uključujući detalje tehničkih uređaja, imaju sferni ili blizak oblik. Lopta, kao i svako tijelo okretanja, ima os koja se poklapa s prečnikom. Međutim, ovo nije jedina važna imovina. lopta. Ispod su glavna svojstva ove geometrijske figure i metoda za pronalaženje njene površine.

Uputstvo

Ako uzmete bilo koji krug i zarotirate ga oko svoje ose, dobićete telo koje se zove lopta. Drugim riječima, sfera je tijelo ograničeno sferom. Sfera je školjka lopta, i njegov obim. Od lopta razlikuje se po tome što je šuplja. Axis like lopta, a sfera se poklapa sa prečnikom i prolazi kroz centar. Radijus lopta naziva se segment od njegovog centra do bilo koje vanjske tačke. Za razliku od sfere, sekcije lopta su krugovi. Oblik blizak sfernom ima većinu nebeskih tijela. U različitim tačkama lopta postoje identičnog oblika, ali nejednake veličine, takozvani sekcije - krugovi različitih područja.

Lopta i sfera su izmjenjiva tijela, za razliku od konusa, iako su također tijelo okretanja. Sferne površine uvijek formiraju krug u svom presjeku, bez obzira na to kako je - horizontalno ili okomito. Konusna površina se dobija samo rotacijom trokuta duž njegove ose okomito na osnovu. Dakle, konus, za razliku od lopta, i ne smatra se zamjenjivim tijelom revolucije.

Rezanjem se dobija najveći mogući krug lopta prolazeći kroz centar O. Sve kružnice koje prolaze kroz centar O sijeku se međusobno u istom prečniku. Radijus je uvijek polovina prečnika. Kroz dvije tačke A i B koje se nalaze bilo gdje na površini lopta, može proći kroz beskonačan broj krugova ili krugova. Upravo iz tog razloga kroz

Presjek površine lopte

Bilo koji presjek površine lopte ravninom je krug, koji se projektuje bez izobličenja samo ako je rezna ravan paralelna s ravninom projekcija. U opštem slučaju dobićemo elipsu. U slučaju da je rezna ravan okomita na ravan projekcija, na ovu ravan projekcija kružnice je segment koji je jednak prečniku ove kružnice.

Na slici 109 prikazan je presek površine lopte sa horizontalnom ravninom projekcije R. Presjek će biti projektovan na horizontalnu ravan kao segment projekcije R avion R, koja je zatvorena između konture kugle i jednaka je promjeru kruga presjeka. Na frontalnoj ravni dobijamo elipsu. O 1 je centar kruga koji se dobija u presjeku lopte. Nalazi se na istoj visini kao i centar lopte O. Horizontalna projekcija o 1 centar O 1 krug se nalazi u sredini segmenta ab. Okomita koja je spuštena iz tačke o na pravu liniju ab, pogađa stvar o 1, što je horizontalna projekcija središta kruga presjeka. frontalna projekcija o 1 centra kruga je centar elipse koja nas zanima.

Ako elipsu smatramo projekcijom nekog kruga, tada će njena velika os uvijek biti projekcija prečnika kružnice, koja je paralelna s ravninom projekcija, a mala os elipse će biti projekcija kružnice. prečnika okomitog na njega. Kao rezultat toga, glavna os elipse projekcije uvijek je jednaka promjeru projektovane kružnice. Ovdje je prečnik kruga CD okomito na ravan H i projektuje se bez izobličenja na frontalnu ravan. Da biste pronašli krajeve glavne ose elipse, potrebno je položiti prema gore i prema gore od centra o 1 elipsa (okomita na pravu liniju oo 1) segmenti o 1 With i o 1 d, koji su jednaki polovini prečnika obima presjeka o 1 With = o 1 d = 1/2(ab). Istovremeno, prečnik AB kružnica je paralelna s horizontalnom ravninom, a njena frontalna projekcija ab′ je mala os razmatrane elipse.

Tačke koje razdvajaju vidljivi dio elipse od nevidljivog. Počnimo crtanjem frontalne ravni Q, koji prepolovi loptu. Avion Q presecaće površinu lopte duž kružnice projektovane na frontalnu ravan u obliku konture. Tada će dio linije presjeka koji se nalazi na prednjoj strani lopte biti vidljiv ako lopticu pogledate sprijeda, a ostatak neće biti vidljiv. Avion Qće preći avion R frontalni F jedan . Presijecajući se s konturom, njegova frontalna projekcija Fće odrediti bodove 1 , koji odvajaju vidljivi dio krivulje od nevidljivog dijela. Međutačke 2′ elipse mogu se naći pomoću pomoćne frontalne ravni R koja siječe površinu lopte duž kružnice polumjera r 2 i avion R- duž prednjeg F 2.

Lopta je tijelo koje se sastoji od svih tačaka u prostoru koje se nalaze na udaljenosti ne većoj od date udaljenosti od date tačke. Ova tačka se naziva središte lopte, a ovo rastojanje se naziva poluprečnik lopte. Granica sfere naziva se sferna površina ili sfera. Tačke sfere su sve tačke lopte koje se nalaze na udaljenosti jednakoj poluprečniku od centra. Svaki segment koji povezuje centar lopte sa tačkom na sfernoj površini naziva se i radijus. Segment koji prolazi kroz centar lopte, a spaja dvije točke sferne površine, naziva se prečnik. Krajevi bilo kojeg promjera nazivaju se dijametralno suprotne točke lopte.

Lopta je tijelo okretanja, baš kao stožac i cilindar. Lopta se dobija rotacijom polukruga oko svog prečnika kao ose.

Površina sfere može se pronaći pomoću formula:

gdje je r poluprečnik lopte, d je prečnik lopte.

Zapremina kugle se nalazi po formuli:

V = 4 / 3 pr 3 ,

gdje je r poluprečnik lopte.

Teorema. Svaki dio sfere ravninom je krug. Središte ove kružnice je osnova okomice ispuštene iz centra lopte na ravninu sečenja.

Na osnovu ove teoreme, ako je lopta sa središtem O i poluprečnikom R presečena ravninom α, onda se u preseku dobija kružnica poluprečnika r sa središtem K. Može se naći poluprečnik preseka lopte ravninom po formuli

Iz formule se vidi da ravni jednako udaljene od centra sijeku loptu u jednakim krugovima. Poluprečnik presjeka je veći, što je sekantna ravan bliža centru lopte, odnosno udaljenost OK je manja. Najveći polumjer ima presjek sa ravninom koja prolazi kroz centar lopte. Poluprečnik ove kružnice jednak je poluprečniku lopte.

Ravan koja prolazi kroz centar lopte naziva se dijametralna ravan. Presjek lopte dijametralnom ravninom naziva se veliki krug, a presjek sfere veliki krug, a presjek sfere veliki krug.

Teorema. Svaka dijametralna ravan lopte je njena ravan simetrije. Centar lopte je njen centar simetrije.

Ravan koja prolazi kroz tačku A sferne površine i okomita je na poluprečnik povučen u tačku A naziva se tangentna ravan. Tačka A se naziva dodirna tačka.

Teorema. Tangentna ravan ima samo jednu zajedničku tačku sa loptom - tačku dodira.

Prava linija koja prolazi kroz tačku A sferne površine okomito na polumjer povučen u ovu tačku naziva se tangenta.

Teorema. Kroz bilo koju tačku sferne površine postoji beskonačno mnogo tangenti, i sve one leže u tangentnoj ravni lopte.

Sferni segment je dio sfere odsječen od njega ravninom. Krug ABC je osnova sfernog segmenta. Odsječak MN okomice povučen iz središta N kružnice ABC do presjeka sa sfernom površinom je visina sfernog segmenta. Tačka M je vrh sfernog segmenta.

Površina sfernog segmenta može se izračunati pomoću formule:

Volumen sfernog segmenta može se naći po formuli:

V \u003d πh 2 (R - 1/3h),

gdje je R radijus velikog kruga, h je visina sfernog segmenta.

Sferni sektor se dobija iz sfernog segmenta i konusa, kako slijedi. Ako je sferni segment manji od hemisfere, tada se sferni segment nadopunjuje konusom čiji je vrh u središtu lopte i čija je osnova osnova segmenta. Ako je segment veći od hemisfere, tada se označeni konus uklanja iz njega.

Sferni sektor je dio sfere omeđen zakrivljenom površinom sfernog segmenta (AMCB na našoj slici) i konusnom površinom (OABC na slici), čija je osnova osnova segmenta (ABC), i vrh je centar lopte O.

Volumen sfernog sektora se nalazi po formuli:

V = 2/3 πR 2 H.

Sferni sloj je dio sfere zatvoren između dvije paralelne ravni (ravnine ABC i DEF na slici) koje seku sfernu površinu. Zakrivljena površina sfernog sloja naziva se sferni pojas (zona). Krugovi ABC i DEF su osnove sfernog pojasa. Udaljenost NK između osnova sfernog pojasa je njegova visina.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.