A merőleges egyenesek tulajdonságai, a merőleges egyenesek bizonyítása. Ferde tulajdonságok

GEOMETRIA

II. SZTEREOMETRIA

§nyolc. MÉRGŐS ÉS RÉSZLETES. DÖNTÉS KIVETÉSE SÍKRA.

2. A merőleges és a ferde tulajdonságai.

Tekintsük a merőleges és a ferde tulajdonságait.

1) Egy adott pontból egy síkra ejtett merőleges kisebb, mint bármely, ugyanabból a pontból a síkra húzott ferde.

411. ábra: AN AK.

2) Ha egy adott pontból egy síkra húzott két ferde egyenes egyenlő, akkor vetületük egyenlő.

K1 és merőleges AN és AK \u003d AK 1. Ekkor tulajdonság szerint: NK = NK 1 .

3) Ha egy adott pontból egy adott síkra húzott két ferde egyenesnek egyenlő vetülete van, akkor egyenlők egymással.

A 412. ábrán az A pontból az a síkba két ferde AK és A van megrajzolva K1 és merőleges AH, ráadásul KH = K 1 N. Ekkor tulajdonság szerint: AK = AK 1 .

4) Ha egy adott pontból két ferde síkot húzunk egy síkra, akkor egy nagy ferde síkot nagy a vetülete.

L és merőleges AN, A K > AL . Akkor ingatlan szerint: H K > HL .

5) Ha egy adott pontból két ferde egyenest húzunk egy síkra, akkor ezek közül a legnagyobb az, amelyiknek nagy a vetülete erre a síkra.

A 413. ábrán az A pontból az a síkba két ferde AK és A van megrajzolva L és merőleges AN, NK> H L . Akkor ingatlan szerint: AK> A L.

Példa 1. Egy pontból két ferde egyenest húzunk egy síkra, amelyek hossza 41 cm és 50 cm. Határozza meg a ferde vonalak vetületeit, ha 3:10 arányban állnak egymással, és a ponttól a távolságot a repülő.

Megoldások. 1) A L = 41 cm; AK = 50 cm (413. ábra). Tulajdon szerint rendelkezünk H L NK. Jelölje: H L = 3 x cm, HK = 10 x cm, AH = h lásd AN - távolság az A ponttól a síkhozα .

4) Kiegyenlítve 41 2 - 9x 2 = 50 2 - 100 x 2; x 2 = 9; x = 3 (adott x> 0). Tehát Н L = 3 ∙ 3 = 9 (cm), NK = 10 ∙ 3 = 30 (cm).

Példa 2. Egy adott ponttól a két-két ferde síkot rajzolunkcm-ben A ferdék közötti szög 60°, a vetületeik közötti szög pedig egyenes. Keresse meg egy pont és egy sík távolságát.

1. Egy ponton keresztül DE(3. ábra) csak egy merőleges vonal húzható AB egyenesre CD; a ponton áthaladó többi egyenes DEés átkelés CD, hívják ferde egyenes vonalak (3. ábra, egyenes AEés AF).

2. Egy pontból A merőlegest ejthet egy egyenesre CD; a merőleges hossza (a szakasz hossza AB) pontból húzva DE közvetlenül CD, a legrövidebb távolság A előtt CD(3. ábra).

3. Egy egyenes pontjain keresztül egyenesre húzott több merőleges soha nem metszi egymást (4. ábra).

Jelek: Egy tábla van a síkon - 4 derékszög (90).
3 dimenziós térben: 2 egyenes merőleges, ha ill. párhuzamosak 2, ugyanabban a síkban fekvő és egymásra merőleges egyenessel.
Általában az egyenes és a sík perp-sti jeleiről beszélnek ...

Sík merőlegessége

Definíció Két egymást metsző síkot nevezünk merőleges ha a harmadik sík e síkok metszésvonalára merőleges merőleges egyenesek mentén metszi őket.
5. tétel Ha egy sík egy másik síkra merőleges egyenesen megy át, akkor ezek a síkok merőlegesek. Bizonyíték.
5. tétel A SÍK MÉRŐSÉGÉNEK JELE. Ha egy sík egy másik síkra merőleges egyenesen megy át, akkor ezek a síkok merőlegesek.
Bizonyítás: Legyen egy sík, b - egy rá merőleges egyenes, - egy b vonalon áthaladó sík, és c - egy egyenes, amely mentén a síkok és metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a és síkok merőlegesek. Rajzoljuk be a b egyenes és a sík metszéspontján átmenő síkon az a egyenest, amely merőleges a c egyenesre. Rajzoljunk egy síkot az a és b egyenesen keresztül. Ez merőleges a c egyenesre, mivel az a és b egyenesek merőlegesek, a síkok és merőlegesek. A tétel bizonyítást nyert.

Egyenes és sík merőlegessége

Definíció A síkot metsző egyenest nevezzük merőleges ez a sík, ha merőleges minden olyan egyenesre, amely az adott síkban fekszik és átmegy a metszésponton. Lásd még az 1. számú hivatkozási problémát.
1. tétel EGY VONAL ÉS EGY SÍK MÉRŐSÉGÉNEK JELE. Ha egy síkot metsző egyenes merőleges az adott egyenes és a sík metszéspontján átmenő két egyenesre, akkor merőleges a síkra. Bizonyíték.
2. tétel MÉRŐVONALOK ÉS SÍKOK 1. TULAJDONSÁGA. Ha egy sík merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is. Bizonyíték.
3. tétel 2. MÉRŐ VONALOK ÉS SÍK TULAJDONSÁGA. Két, ugyanarra a síkra merőleges egyenes párhuzamos. Bizonyíték.

1. Párhuzamos egyenesek a térben

A térben lévő két egyenest párhuzamosnak nevezzük, ha egy síkban fekszenek és nem metszik egymást.

Az a és b egyenesek párhuzamosságát a következőképpen jelöljük: a∥b vagy b∥a.

1. Tétel. Két párhuzamos egyenesen át lehet síkot rajzolni, és csak egyet.

2. Tétel. Egy adott egyenesen kívüli tér bármely pontján keresztül húzhatunk egy adott egyenessel párhuzamos egyenest, és csak egyet.

3. Tétel. Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik metszi egy adott síkot, akkor a másik egyenes is ezt a síkot metszi.

4. Tétel. A harmadik egyenessel párhuzamos két egyenes párhuzamos.

Tétel 3.2.

A harmadikkal párhuzamos két egyenes párhuzamos.

Ezt a tulajdonságot ún tranzitivitást párhuzamos vonalak.

Bizonyíték

A párhuzamos egyenesek tulajdonságát a következő tétel adja meg: fordított a 3.1. tételhez.

3.4. Tétel.

Ha két párhuzamos egyenest egy harmadik egyenes metszi, akkor a metsző belső szögek egyenlőek.

Bizonyíték

E tétel alapján a következő tulajdonságok könnyen alátámaszthatók.

• Ha két párhuzamos egyenest egy harmadik egyenes metszi, akkor a megfelelő szögek egyenlőek.
• Ha két párhuzamos egyenest egy harmadik egyenes metszi, akkor a belső egyoldali szögek összege 180°.

Következmény 3.2.

Ha egy egyenes merőleges az egyik párhuzamos egyenesre, akkor merőleges a másikra is.

A párhuzamosság fogalma lehetővé teszi a következő új fogalom bevezetését, amelyre később a 11. fejezetben lesz szükség.

A két gerenda ún egyformán irányított , ha van olyan egyenes, hogy egyrészt merőlegesek erre az egyenesre, másrészt a sugarak ehhez az egyeneshez képest egy félsíkban fekszenek.

A két gerenda ún ellentétes irányokba , ha mindegyik egyformán irányul a másikat kiegészítő sugárral.

azonos irányú gerendák ABés CD jelölni fogjuk: és ellentétes irányú sugarakat ABés CD –

Síkpárhuzam

©2015-2019 oldal
Minden jog a szerzőket illeti. Ez az oldal nem igényel szerzői jogot, de ingyenesen használható.
Az oldal létrehozásának dátuma: 2017-08-26

a) Egy ponton keresztül DE csak egy merőleges vonal húzható DEH egyenesre BT; a ponton áthaladó többi egyenes DEés átkelés BT, hívják ferde(közvetlen DEb,ACés DET).

b) A merőleges hossza ( szegmens hossza DE H ) pontból húzva DE közvetlenül BT, a legrövidebb távolság A előtt BT.

Távolság ponttól vonalig hívott merőleges hossza ebből a pontból egyenes vonalba húzva.

c) Több, különböző pontokon keresztül egy egyenesre húzott merőleges soha nem metszi egymást.

15. Háromszög- Ez egy geometriai ábra, amely három pontból áll, amelyek nem fekszenek ugyanazon az egyenesen, és három szakaszból, amelyek összekötik ezeket a pontokat. A pontokat ún csúcsokés a szegmensek háromszög oldalai.

Csúcsok: A, B, C

Felek: AC, AB, BC, illetve b, c, a.

Kerület A háromszöget, mint minden más alakzatot, minden oldal hosszának összegének nevezzük. Kerület- a görög peri szó – „körül”, „körülbelül” és metreo – „mérek”.

16. Ha két háromszög egyenlő, akkor az egyik háromszög elemei (azaz három oldala és három szöge) rendre megegyeznek a másik háromszög elemeivel.

Az egyenlő háromszögeknek minden megfelelő eleme egyenlő (oldalak, szögek, magasságok, mediánok, felezők, középvonalak stb.)

Az egyenlő háromszögeknek egyenlő szögei vannak egyenlő oldalakkal, és egyenlő oldalai egyenlő szögekkel szemben.

17. Tétel- olyan állítás, amelynek érvényességét érvelés állapítja meg. Magát az érvelést ún tétel bizonyítása. A tétel két állításból áll: állítás-feltétel, állítás-következtetés. A tétel mindig felírható így:

Ha "állítás-feltétel", akkor "állítás-következtetés".

A jel olyan tulajdonság, amely alapján egy tárgyat ismerünk vagy felismerünk, egy objektum olyan tulajdonsága, amely meghatározza annak különbségét vagy közösségét más tárgyakkal.

Az előjel a matematikában egy tétel, amely kimondja, hogy bizonyos feltételek biztosítják, hogy az ábra (alakzatok) egy meghatározott halmazhoz tartozzon, amelyet korábban definiáltak (például háromszögek halmazához).

18. Tétel. A háromszögek egyenlőségének első jele. Ha az egyik háromszög két oldala és a köztük lévő szög egyenlő egy másik háromszög két oldalával és a köztük lévő szöggel, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

Ha egy

akkor

19. háromszög magassága a háromszög csúcsából a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőlegesnek nevezzük.

A háromszög magasságai egy pontban metszik egymást, ezt ún ortocentrum háromszög.

h a az A csúcstól az a oldalig húzott magasság,

h b - a B csúcstól a b oldalig húzott magasság,

h c - a C csúcsból a c oldalra húzott magasság.

20. középső(lat. mediana- átlagos) háromszög A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt nevezzük. A háromszög három mediánja egy pontban metszi egymást.

21. Háromszög felező hívott háromszög szögfelezője a háromszög csúcsát a szemközti oldalon lévő ponttal összekötve.

l a az A szög felezője, l b a B szög felezője,

Meghatározás.1. Párhuzamos egyenes
Meghatározás.2. Merőleges vonalak
Tétel.1. A párhuzamos egyenesek I tulajdonsága
Tétel.2. A párhuzamos egyenesek II tulajdonsága
Tétel.3. A párhuzamos egyenesek III tulajdonsága
Tétel.4. A párhuzamos egyenesek IV tulajdonsága
Tétel.5. Párhuzamos egyenesek V tulajdonsága
Tétel.6. Párhuzamos vonalakat írok elő
Tétel.7. Párhuzamos egyenesek II jele
Tétel.8. Párhuzamos egyenesek III jele
Tétel.9. Párhuzamos egyenesek IV jele
10. tétel. Párhuzamos egyenesek V kritériuma
11. Tétel. Két harmaddal párhuzamos egyenes
11.1. Tétel Következmény
12. Tétel. Az egyik párhuzamos egyenest metsző egyenes
13. tétel Párhuzamos egyenesek szakaszai
14. tétel. Thalész tétel
14.1. Tétel. Egy szög oldalait metsző párhuzamos egyenesek
15. Tétel. Az egyik párhuzamos egyenesre merőleges egyenes
16. Tétel. Két (vagy több) egy harmadik egyenesre merőleges egyenes

1. definíció. Párhuzamosak azok az egyenesek, amelyek nem metszik egymást, bármennyire is folytatjuk őket.
A képen aés b. 2. definíció. A merőlegesek azok az egyenesek, amelyek derékszögben metszik egymást.
A képen cés d.
Amikor egy vonalpár (ebben az esetben párhuzamos) metszik egy bizonyos egyenest (az ilyen egyenest ún. metsző egyenes) a következő szögek jönnek létre (a témában átadott szomszédos és függőleges szögeken kívül):
Belső keresztben fekvő sarkok - 2 és 8; 3. és 5
Külső keresztben fekvő sarkok - 1 és 7; 4. és 6
Belső egyoldalú sarkok - 2 és 5; 3. és 8
Külső egyoldalú sarkok - 1 és 6; 4 és 7
A megfelelő szögek 1 és 5; 2. és 6.; 3. és 7.; 4 és 8
E szögek között mintákra lehet következtetni. A párhuzamos vonalak tulajdonságai:
1. tétel. A metsző belső szögek egyenlőek

Bizonyíték: Legyen a és b két párhuzamos egyenes, c egy metszéspont, A és B pedig a metszéspontja ezekkel az egyenesekkel. Legyen hamis a tétel állítása. Ezután húzzunk egy d egyenest az A ponton úgy, hogy a b és d egyenesek belső keresztirányú szögei és a c szekáns egyenlőek legyenek. Ekkor az egyenesek párhuzamosságának első jele alapján a b és d egyenesek párhuzamosak. De a b és a egyenesek párhuzamosak. Ezért két egyenes halad át az A - a és d ponton, párhuzamosan a b egyenessel. Ez ellentmond a IX. axiómának. Ezért a tétel állítása igaz. A tétel bizonyítást nyert.
2. tétel. A külső átlós szögek egyenlőek

Bizonyíték:
3. tétel. A belső egyoldali szögek összege 180 fok

Bizonyíték: A párhuzamos egyenesek első tulajdonságából nyilvánvaló.
4. tétel. A külső egyoldali szögek összege 180 fok

Bizonyíték: A párhuzamos egyenesek első tulajdonságából nyilvánvaló.
5. tétel. A megfelelő szögek

Bizonyíték: A párhuzamos egyenesek első tulajdonságából nyilvánvaló.

Párhuzamos vonalak jelei :

Bizonyíték:
8. tétel. Ha két egyenes metszéspontjában aés b harmadik közvetlen Val vel a belső egyoldali szögek összege egyenlő 180 fokkal (egy pár), akkor az ilyen egyenesek aés b párhuzamosak

Bizonyíték: Nyilvánvalóan a párhuzamos egyenesek első jeléből.
9. tétel. Ha két egyenes metszéspontjában aés b harmadik közvetlen Val vel a külső egyoldali szögek összege 180 fokkal (egy pár), akkor az ilyen egyenesek aés b párhuzamosak

Bizonyíték: Nyilvánvalóan a párhuzamos egyenesek első jeléből.
10. tétel. Ha két egyenes metszéspontjában aés b harmadik közvetlen Val vel megfelelő szögek egyenlőek (egy pár), akkor az ilyen vonalak aés b párhuzamosak

Bizonyíték: Nyilvánvalóan a párhuzamos egyenesek első jeléből.
11. tétel . A harmadokkal párhuzamos két egyenes párhuzamos.

Bizonyíték: Legyenek az a és b egyenesek párhuzamosak a c egyenessel. Tegyük fel, hogy az a és b egyenesek nem párhuzamosak. Ekkor vagy az a és b egyenesek egybeesnek, ami ellentmond a feltételnek, vagy metszik egymást egy S pontban. Ekkor két egyenes megy át az S ponton - a és b, párhuzamosan a c egyenessel, ami ellentmond a IX axiómának. Tehát az eredeti feltevés téves. A tétel bizonyítást nyert.
11.1. Tétel . Ha egy harmadik egyenest párhuzamosan húzunk két párhuzamos egyenes egyikével, akkor a második vonal párhuzamos a harmadikkal, vagy egybeesik vele.

Bizonyíték: Az egyenesek párhuzamosságának 11. tételéből nyilvánvaló.
12. tétel . Ha egy egyenes metszi az egyik párhuzamos egyenest, akkor metszi a másikat is.
13. tétel . Egy bizonyos (más) párhuzamos egyenespár közé zárt párhuzamos egyenesek szakaszai egyenlőek.
14. tétel . (Thales-tétel) Ha egy szög oldalait metsző párhuzamos egyenesek az egyik oldalán egyenlő szakaszokat vágnak le, akkor a másik oldalán egyenlő szakaszokat vágnak le.

Bizonyíték: Legyenek A 1 , A 2 , A 3 párhuzamos egyenesek metszéspontjai a szög egyik oldalán, és az A 2 pont az A 1 és A 3 pontok között található. Legyenek B 1 , B 2 , B 3 ezeknek az egyeneseknek a megfelelő metszéspontjai a szög másik oldalával. Bizonyítsuk be, hogy ha A 1 A 2 = A 2 A 3, akkor B 1 B 2 = B 2 B 3. Rajzoljunk egy EF egyenest a B 2 ponton keresztül párhuzamosan az A 1 A 3 egyenessel. Az EB 2 B 1 és FB 2 B 3 háromszögek egyenlőek a második háromszög egyenlőség kritériuma szerint. Oldalaik EB 2 és FA 2 feltétel szerint egyenlőek, a B 1 B 2 E és B 3 B 2 F szögek függőlegesek, a B 1 EB 2 és B 2 FB 3 szögek pedig egyenlőek, mint a belső keresztek, amelyek a szekant EF. Tehát B 1 B 2 = B 2 B 3 . Q.E.D.
14.1. Tétel. . A szög oldalait keresztező párhuzamos egyenesek arányos szegmenseket vágnak le.

15. tétel . Két (vagy több) egy harmadik egyenesre merőleges egyenes párhuzamos.

Bizonyíték: Valójában a belső keresztirányú szögek 90°-osak. Ezért a párhuzamos egyenesek első jele szerint ezek az egyenesek párhuzamosak.
16. tétel . Ha egy egyenes merőleges az egyik párhuzamos egyenesre, akkor merőleges a másikra is.

Bizonyíték: A 15. tételből nyilvánvaló.