A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletképletek speciális esetek. Hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket

A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.

Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.

Óra és előadás a témában: "A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Kézikönyvek és szimulátorok az "Integral" online áruházban az 1C 10. osztályhoz
Geometriai feladatokat oldunk meg. Interaktív feladatok térépítéshez
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mit fogunk tanulni:
1. Mik azok a trigonometrikus egyenletek?

3. Két fő módszer a trigonometrikus egyenletek megoldására.
4. Homogén trigonometrikus egyenletek.
5. Példák.

Mik azok a trigonometrikus egyenletek?

Srácok, már tanulmányoztuk az arcszinust, arkoszinust, arctangenst és arckotangenst. Most nézzük meg általában a trigonometrikus egyenleteket.

Trigonometrikus egyenletek - olyan egyenletek, amelyekben a változó a trigonometrikus függvény jele alatt található.

Megismételjük a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásának formáját:

1) Ha |а|≤ 1, akkor a cos(x) = a egyenletnek van megoldása:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ha |а|≤ 1, akkor a sin(x) = a egyenletnek van megoldása:

3) Ha |a| > 1, akkor a sin(x) = a és cos(x) = a egyenletnek nincs megoldása 4) A tg(x)=a egyenletnek van megoldása: x=arctg(a)+ πk

5) A ctg(x)=a egyenletnek van megoldása: x=arcctg(a)+ πk

Minden képletnél k egy egész szám

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek alakja: Т(kx+m)=a, T- tetszőleges trigonometrikus függvény.

Oldja meg az egyenleteket: a) sin(3x)= √3/2

Megoldás:

A) Jelöljük 3x=t, majd átírjuk az egyenletünket a következő alakba:

Ennek az egyenletnek a megoldása a következő lesz: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Az értéktáblázatból a következőt kapjuk: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Térjünk vissza a változónkhoz: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Ekkor x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Válasz: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ahol n egész szám. (-1)^n - mínusz egy n hatványához.

További példák trigonometrikus egyenletekre.

Megoldás:

A) Ezúttal rögtön az egyenlet gyökereinek kiszámításához térünk át:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Ekkor x/5= πk => x=5πk

Válasz: x=5πk, ahol k egész szám.

B) A következő alakban írjuk: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Tudjuk, hogy: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Válasz: x=2π/9 + πk/3, ahol k egész szám.

Oldja meg az egyenleteket: cos(4x)= √2/2. És keresse meg a szegmens összes gyökerét.

Megoldás:

Oldjuk meg az egyenletünket általános formában: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Most pedig lássuk, milyen gyökerek nyúlnak bele a szegmensünkbe. k esetén Ha k=0, x= π/16, az adott szegmensben vagyunk.
A k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 mellett ismét ütnek.
K=2 esetén x= π/16+ π=17π/16, de itt nem találtunk, ami azt jelenti, hogy nagy k-ra sem fogunk ütni.

Válasz: x= π/16, x= 9π/16

Két fő megoldási mód.

Oldjuk meg az egyenletet:

Megoldás:
Egyenletünk megoldásához egy új változó bevezetésének módszerét használjuk, jelölése: t=tg(x).

A csere eredményeként a következőt kapjuk: t 2 + 2t -1 = 0

Határozzuk meg a másodfokú egyenlet gyökereit: t=-1 és t=1/3!

Ekkor tg(x)=-1 és tg(x)=1/3, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet kaptuk, keressük meg a gyökereit.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Válasz: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Példa egyenlet megoldására

Oldja meg az egyenleteket: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Megoldás:

Használjuk az azonosságot: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Az egyenletünk a következő: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Vezessük be a t=cos(x) helyettesítést: 2t 2 -3t - 2 = 0

A másodfokú egyenletünk megoldása a gyökök: t=2 és t=-1/2

Ekkor cos(x)=2 és cos(x)=-1/2.

Mert A koszinusz nem vehet fel egynél nagyobb értékeket, akkor a cos(x)=2-nek nincs gyökere.

cos(x)=-1/2 esetén: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Válasz: x= ±2π/3 + 2πk

Homogén trigonometrikus egyenletek.

Az alak egyenletei

másodfokú homogén trigonometrikus egyenletek.

Egy elsőfokú homogén trigonometrikus egyenlet megoldásához elosztjuk cos(x)-szel: Lehetetlen koszinuszos osztani, ha az egyenlő nullával, ügyeljünk arra, hogy ez ne így legyen:
Legyen cos(x)=0, akkor asin(x)+0=0 => sin(x)=0, de a szinusz és a koszinusz nem egyenlő nullával egyszerre, ellentmondást kaptunk, így nyugodtan oszthatjuk nullával.

Oldja meg az egyenletet:
Példa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Megoldás:

Vegyük ki a közös tényezőt: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Ezután két egyenletet kell megoldanunk:

cos(x)=0 és cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk esetén;

Tekintsük a cos(x)+sin(x)=0 egyenletet. Osszuk el az egyenletünket cos(x)-szel:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Válasz: x= π/2 + πk és x= -π/4+πk

Hogyan lehet másodfokú homogén trigonometrikus egyenleteket megoldani?
Srácok, mindig tartsátok be ezeket a szabályokat!

1. Nézze meg, mennyivel egyenlő az a együttható, ha a \u003d 0, akkor az egyenletünk a cos (x) (bsin (x) + ccos (x) alakot ölti majd, amelynek megoldására az előző példán található csúszik

2. Ha a≠0, akkor az egyenlet mindkét részét el kell osztani a koszinusz négyzetével, így kapjuk:

Elvégezzük a t=tg(x) változó változtatását, és a következő egyenletet kapjuk:

Példa megoldása #:3

Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát koszinusz négyzettel:

Megváltoztatjuk a t=tg(x) változót: t 2 + 2 t - 3 = 0

Határozzuk meg a másodfokú egyenlet gyökereit: t=-3 és t=1!

Ekkor: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Válasz: x=-arctg(3) + πk és x= π/4+ πk

Példa megoldása #:4

Megoldás:
Alakítsuk át a kifejezésünket:

Ilyen egyenleteket tudunk megoldani: x= - π/4 + 2πk és x=5π/4 + 2πk

Válasz: x= - π/4 + 2πk és x=5π/4 + 2πk

Példa megoldása #:5

Megoldás:
Alakítsuk át a kifejezésünket:

Bevezetjük a tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 helyettesítést

A másodfokú egyenletünk megoldása a gyökök: t=-2 és t=1/2

Ekkor a következőt kapjuk: tg(2x)=-2 és tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Válasz: x=-arctg(2)/2 + πk/2 és x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Önálló megoldási feladatok.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Oldja meg az egyenleteket: sin(3x)= √3/2. És keresse meg az összes gyökeret a [π/2; π].

3) Oldja meg az egyenletet: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Oldja meg az egyenletet: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Oldja meg az egyenletet: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Oldja meg az egyenletet: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges – a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján – adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A trigonometrikus egyenletek nem a legkönnyebb téma. Fájdalmasan sokfélék.) Például ezek:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Stb...

De ezeknek (és az összes többi) trigonometrikus szörnynek van két közös és kötelező jellemzője. Először is - el sem hiszed - trigonometrikus függvények vannak az egyenletekben.) Másodszor: minden x-et tartalmazó kifejezés ugyanezen funkciókon belül.És csak ott! Ha x megjelenik valahol kívül, például, sin2x + 3x = 3, ez egy vegyes típusú egyenlet lesz. Az ilyen egyenletek egyéni megközelítést igényelnek. Itt nem vesszük figyelembe őket.

Ebben a leckében sem fogunk gonosz egyenleteket megoldani.) Itt azzal fogunk foglalkozni a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Miért? Igen, mert a döntés Bármi A trigonometrikus egyenletek két szakaszból állnak. Az első szakaszban a gonosz egyenletet különféle transzformációk segítségével egyszerűvé redukálják. A másodiknál ​​ez a legegyszerűbb egyenlet megoldódik. Nincs más mód.

Tehát, ha problémái vannak a második szakaszban, az első szakasznak nincs sok értelme.)

Hogyan néznek ki az elemi trigonometrikus egyenletek?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Itt a bármely számot jelöl. Bármi.

Egyébként a függvényen belül nem tiszta x lehet, hanem valamilyen kifejezés, mint pl.

cos(3x+π /3) = 1/2

stb. Ez bonyolítja az életet, de nem befolyásolja a trigonometrikus egyenlet megoldásának módszerét.

Hogyan lehet trigonometrikus egyenleteket megoldani?

A trigonometrikus egyenletek kétféleképpen oldhatók meg. Az első módszer: logika és trigonometrikus kör használata. Ezt az utat fogjuk itt felfedezni. A második módszert - memória és képletek használatával - a következő leckében tárgyaljuk.

Az első mód világos, megbízható és nehezen felejthető.) Jó trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek és mindenféle trükkös, nem szabványos példa megoldására. A logika erősebb, mint a memória!

Egyenleteket oldunk meg trigonometrikus kör segítségével.

Beleértjük az elemi logikát és a trigonometrikus kör használatának képességét. Nem tudsz!? Azonban... Nehéz lesz neked a trigonometriában...) De mindegy. Vessen egy pillantást a "Trigonometrikus kör ...... Mi ez?" és "Szögek számolása trigonometrikus körön". Ott minden egyszerű. A tankönyvekkel ellentétben...)

Ah, tudod!? És még elsajátította a "Gyakorlati munkát trigonometrikus körrel"!? Fogadja a gratulációkat. Ez a téma közel áll és érthető lesz számodra.) Ami különösen kellemes, hogy a trigonometrikus körnek nem mindegy, hogy melyik egyenletet oldod meg. Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens – nála minden ugyanaz. A megoldás elve ugyanaz.

Tehát bármilyen elemi trigonometrikus egyenletet felveszünk. Legalább ezt:

cosx = 0,5

Meg kell találnom X-et. Emberi nyelven szólva kell keressük meg azt a szöget (x), amelynek koszinusza 0,5.

Hogyan használtuk korábban a kört? Rajzoltunk rá egy sarkot. Fokban vagy radiánban. És azonnal látott ennek a szögnek a trigonometrikus függvényei. Most tegyük az ellenkezőjét. Rajzolj a körre egy 0,5-tel egyenlő koszinust és azonnal meglátjuk sarok. Már csak a választ le kell írni.) Igen, igen!

Rajzolunk egy kört, és jelöljük meg a koszinusz 0,5-tel. Természetesen a koszinusz tengelyen. Mint ez:

Most rajzoljuk meg azt a szöget, amelyet ez a koszinusz ad nekünk. Vigye az egeret a kép fölé (vagy érintse meg a képet táblagépen), és lát ugyanez a sarok X.

Melyik szög koszinusza 0,5?

x \u003d π / 3

kötözősaláta 60°= cos( π /3) = 0,5

Vannak, akik szkeptikusan morognak, igen... Azt mondják, megérte bekeríteni a kört, amikor úgyis minden világos... Lehet persze morogni...) De tény, hogy ez hibás válasz. Vagy inkább elégtelen. A kör ismerői megértik, hogy még mindig van egy csomó szög, amely szintén 0,5-ös koszinuszot ad.

Ha elfordítja a mozgatható oldalt OA egy teljes fordulatra, az A pont visszatér eredeti helyzetébe. Ugyanaz a koszinusz 0,5. Azok. a szög megváltozik 360° vagy 2π radián, és koszinusz nem. Az új 60° + 360° = 420° szög egyenletünk megoldása is lesz, mert

Végtelen sok ilyen teljes elforgatás van... És mindezek az új szögek a trigonometrikus egyenletünk megoldásai lesznek. És mindegyiket le kell írni valahogy. Összes. Ellenkező esetben a döntést nem veszik figyelembe, igen...)

A matematika ezt egyszerűen és elegánsan meg tudja csinálni. Egy rövid válaszban írja le végtelen halmaz megoldásokat. Így néz ki az egyenletünkhöz:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

megfejtem. Még írj értelmesen szebb, mint hülyén rejtélyes betűket rajzolni, igaz?)

π /3 ugyanaz a szög, mint mi látta a körön és eltökélt a koszinusztáblázat szerint.

2π egy teljes fordulat radiánban.

n - ennyi a teljes, i.e. egész forradalmak. Egyértelmű, hogy n lehet 0, ±1, ±2, ±3.... és így tovább. Amint azt a rövid bejegyzés is jelzi:

n ∈ Z

n tartozik ( ∈ ) egész számok halmazához ( Z ). Egyébként a levél helyett n betűk használhatók k, m, t stb.

Ez a jelölés azt jelenti, hogy bármilyen egész számot vehet n . Legalább -3, legalább 0, legalább +55. Mit akarsz. Ha beilleszti ezt a számot a válaszába, akkor egy meghatározott szöget kap, ami biztosan megoldása lesz a kemény egyenletünkre.)

Vagy más szóval, x \u003d π / 3 a végtelen halmaz egyetlen gyöke. Az összes többi gyökér megszerzéséhez elegendő tetszőleges számú teljes fordulatot hozzáadni π / 3-hoz ( n ) radiánban. Azok. 2πn radián.

Minden? Nem. Kifejezetten nyújtom az örömöt. Hogy jobban emlékezzünk.) Az egyenletünkre adott válaszoknak csak egy részét kaptuk meg. A megoldás első részét a következőképpen írom le:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nem egy gyökér, ez egy egész sor gyökér, rövid formában írva.

De vannak más szögek is, amelyek 0,5-tel egyenlő koszinuszot adnak!

Térjünk vissza képünkhöz, mely szerint felírtuk a választ. Ott van:

Vigye az egeret a kép fölé, és lát egy másik sarok az 0,5 koszinuszát is ad. Szerinted mivel egyenlő? A háromszögek ugyanazok... Igen! Ez egyenlő a szöggel x , csak negatív irányba ábrázolva. Ez itt a sarok -X. De már kiszámoltuk x-et. π /3 vagy 60°. Ezért nyugodtan írhatjuk:

x 2 \u003d - π / 3

És természetesen hozzáadjuk a teljes fordulatokkal elért összes szöget:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Most ennyi.) Egy trigonometrikus körben mi látta(aki érti, persze)) összes szögek, amelyek 0,5-tel egyenlő koszinuszot adnak. És felírták ezeket a szögeket egy rövid matematikai formában. A válasz a gyökér két végtelen sorozata:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ez a helyes válasz.

Remény, trigonometrikus egyenletek megoldásának általános elve kör segítségével érthető. Jelöljük a körön a megadott egyenletből a koszinust (szinusz, érintő, kotangens), megrajzoljuk a megfelelő szögeket és felírjuk a választ. Persze ki kell találni, hogy milyen sarkok vagyunk látta a körön. Néha ez nem olyan nyilvánvaló. Nos, ahogy mondtam, itt logika kell.)

Például elemezzünk egy másik trigonometrikus egyenletet:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy nem a 0,5 az egyetlen lehetséges szám az egyenletekben!) Egyszerűen kényelmesebb ezt leírnom, mint a gyököket és a törteket.

Az általános elv szerint dolgozunk. Rajzolunk egy kört, jelöljük meg (természetesen a szinuszos tengelyen!) 0,5. Egyszerre berajzoljuk az ennek a szinusznak megfelelő összes szöget. Ezt a képet kapjuk:

Először foglalkozzunk a szöggel. x az első negyedévben. Felidézzük a szinusztáblázatot, és meghatározzuk ennek a szögnek az értékét. A dolog egyszerű:

x \u003d π / 6

Felidézzük a teljes fordulatot, és tiszta lelkiismerettel írjuk le a válaszok első sorozatát:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

A munka fele kész. Most meg kell határoznunk második sarok... Ez trükkösebb, mint a koszinuszokban, igen... De a logika megment minket! Hogyan határozzuk meg a második szöget x-en keresztül? Igen Könnyű! A képen látható háromszögek ugyanazok, és a piros sarok x egyenlő a szöggel x . Csak azt számoljuk a π szögből negatív irányba. Ezért piros.) A válaszhoz pedig a pozitív féltengely OX-tól helyesen mért szögre van szükség, azaz. 0 fokos szögből.

Vigye a kurzort a kép fölé, és mindent láthat. Az első sarkot eltávolítottam, hogy ne bonyolítsam a képet. A számunkra érdekes szög (zöld színnel rajzolva) egyenlő lesz:

π - x

x tudjuk π /6 . Tehát a második szög a következő lesz:

π - π /6 = 5π /6

Ismét felidézzük a teljes fordulatok hozzáadását, és leírjuk a válaszok második sorozatát:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ez minden. A teljes válasz két gyökérsorozatból áll:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Az érintővel és kotangenssel rendelkező egyenletek könnyen megoldhatók a trigonometrikus egyenletek megoldásának ugyanazon általános elvével. Kivéve persze, ha tudja, hogyan kell megrajzolni az érintőt és a kotangenst egy trigonometrikus körön.

A fenti példákban a szinusz és a koszinusz táblázatos értékét használtam: 0,5. Azok. azon jelentések egyike, amelyeket a tanuló ismer kell. Most bővítsük ki képességeinket minden más érték. Dönts, hát dönts!)

Tehát tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő trigonometrikus egyenletet:

A koszinusznak nincs ilyen értéke a rövid táblázatokban. Hűvösen figyelmen kívül hagyjuk ezt a szörnyű tényt. Rajzolunk egy kört, a koszinusz tengelyen 2/3-ot jelölünk, és berajzoljuk a megfelelő szögeket. Ezt a képet kapjuk.

Kezdetnek megértjük az első negyed szögével. Hogy megtudják, mi x egyenlő, azonnal felírnák a választ! Nem tudjuk... Kudarc!? Nyugodt! A matematika nem hagyja bajban a magáét! Erre az esetre ő találta ki az ív koszinuszokat. Nem tudom? Hiába. Sokkal könnyebb, mint gondolnád. A link szerint egyetlen trükkös varázslat sincs az "inverz trigonometrikus függvényekről"... Ebben a témában ez felesleges.

Ha tisztában vagy vele, csak mondd magadnak: "X olyan szög, amelynek koszinusza 2/3." És azonnal, pusztán az arccosine definíciója alapján írhatjuk:

Emlékezzünk a további fordulatokra, és nyugodtan írjuk le trigonometrikus egyenletünk gyökeinek első sorozatát:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A gyökök második sorozata is szinte automatikusan íródik, a második szöghez. Minden ugyanaz, csak x (arccos 2/3) lesz mínuszos:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

És minden! Ez a helyes válasz. Még egyszerűbb, mint táblázatos értékekkel. Nem kell semmire sem emlékezni.) Egyébként a legfigyelmesebbek észreveszik, hogy ez a kép a megoldással az ív koszinuszon keresztül lényegében nem különbözik a cosx = 0,5 egyenlet képétől.

Pontosan! Az általános elv erre és az általános! Konkrétan két majdnem egyforma képet rajzoltam. A kör a szöget mutatja x koszinuszával. Ez egy táblázatos koszinusz, vagy nem - a kör nem tudja. Hogy ez milyen szög, π / 3, vagy milyen ív koszinusz, azt mi döntjük el.

Egy szinuszos ugyanaz a dal. Például:

Ismét rajzolunk egy kört, jelöljük meg a szinust 1/3-dal, rajzoljuk meg a sarkokat. Kiderült ez a kép:

És megint csaknem ugyanaz a kép, mint az egyenletnél sinx = 0,5. Ismét a sarokból indulunk az első negyedben. Mi az x, ha a szinusza 1/3? Nincs mit!

Tehát az első csomag gyökér készen áll:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Vessünk egy pillantást a második szögre. A 0,5-ös táblázatértékkel rendelkező példában ez egyenlő volt:

π - x

Tehát itt is pontosan ugyanaz lesz! Csak x különbözik, arcsin 1/3. És akkor mi van!? Nyugodtan megírhatja a második gyökércsomagot:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ez egy teljesen helyes válasz. Bár nem tűnik túl ismerősnek. De remélem érthető.)

Így oldják meg a trigonometrikus egyenleteket kör segítségével. Ez az út világos és érthető. Ő ment a trigonometrikus egyenletekben a gyökök kiválasztásával egy adott intervallumban, a trigonometrikus egyenlőtlenségekben - általában szinte mindig körben oldják meg. Röviden, minden olyan feladatban, amely egy kicsit bonyolultabb a szokásosnál.

A tudás gyakorlatba ültetése?

Oldja meg a trigonometrikus egyenleteket:

Eleinte egyszerűbb, közvetlenül ezen a leckén.

Most már nehezebb.

Tipp: itt a körre kell gondolni. Személyesen.)

És most külsőleg szerény ... Különleges eseteknek is nevezik őket.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tipp: itt ki kell derítened egy körben, hogy hol van két válaszsorozat, és hol egy... És hogyan írj fel egyet a két válaszsorozat helyett. Igen, hogy végtelen számból egyetlen gyök se vesszen el!)

Hát, nagyon egyszerű):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tipp: itt tudnod kell, mi az arcszinusz, arkoszinusz? Mi az arctangens, arctangens? A legegyszerűbb meghatározások. De nem kell emlékeznie táblázatos értékekre!)

A válaszok Természetesen zűrzavarosak:

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nem minden sikerül? Megtörténik. Olvasd el újra a leckét. Csak elgondolkodva(van ilyen elavult szó...) És kövesd a linkeket. A fő linkek a körről szólnak. Enélkül a trigonometriában - hogyan kell átkelni az úton bekötött szemmel. Néha működik.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei

Bevezetés 2

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei 5

Algebrai 5

Egyenletek megoldása azonos nevű trigonometrikus függvények egyenlőségének feltételével 7

Faktoring 8

Redukálás homogén egyenletre 10

Segédszög bevezetése 11

Konvertálja a terméket összegre 14

Univerzális helyettesítés 14

17. következtetés

Bevezetés

A tizedik osztályig a célhoz vezető számos gyakorlat cselekvési sorrendje általában egyértelműen meghatározott. Például lineáris és másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek, törtegyenletek és másodfokúra redukálható egyenletek stb. Anélkül, hogy részletesen elemeznénk az egyes említett példák megoldásának elvét, megjegyezzük azt az általános dolgot, amely a sikeres megoldáshoz szükséges.

A legtöbb esetben meg kell határoznia, hogy milyen típusú feladatról van szó, emlékeznie kell a célhoz vezető műveletek sorozatára, és végre kell hajtania ezeket a műveleteket. Nyilvánvaló, hogy a tanuló sikere vagy kudarca az egyenletek megoldási módszereinek elsajátításában elsősorban attól függ, hogy mennyire lesz képes helyesen meghatározni az egyenlet típusát és emlékezni a megoldás minden szakaszának sorrendjére. Természetesen ez feltételezi, hogy a hallgató rendelkezik azonos transzformációk és számítások elvégzéséhez szükséges készségekkel.

Egészen más helyzet áll elő, amikor a tanuló trigonometrikus egyenletekkel találkozik. Ugyanakkor nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel, amikor olyan cselekvési módot találunk, amely pozitív eredményhez vezet. És itt a diák két problémával szembesül. Az egyenlet megjelenése alapján nehéz meghatározni a típust. A típus ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a kívánt receptúrát a több tucat rendelkezésre álló közül.

Annak érdekében, hogy a tanulók eligazodjanak a trigonometrikus egyenletek összetett labirintusában, először megismerkednek az egyenletekkel, amelyeket egy új változó bevezetése után négyzetesre redukálnak. Ezután oldja meg a homogén egyenleteket, és redukálja le őket. Minden általában egyenletekkel végződik, amelyek megoldásához a bal oldalt faktorizálni kell, majd minden tényezőt nullával egyenlővé kell tenni.

Felismerve, hogy a leckéken elemzett másfél tucat egyenlet nyilvánvalóan nem elég ahhoz, hogy a tanuló önállóan vitorlázzon a trigonometrikus „tengeren”, a tanár hozzátesz még néhány ajánlást magától.

A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnunk:

Állítsa be az egyenletben szereplő összes függvényt "ugyanolyan szögbe";

Hozd az egyenletet "ugyanazok a függvények";

Tényezősítse az egyenlet bal oldalát stb.

A trigonometrikus egyenletek fő típusainak ismerete és a megoldás megtalálásának számos alapelve ellenére azonban sok diák még mindig zsákutcában találja magát az egyes egyenletek előtt, amely kissé eltér a korábban megoldottaktól. Továbbra is homályos, hogy mire kell törekedni egy vagy másik egyenlet birtokában, miért szükséges az egyik esetben a kettős szög képleteket alkalmazni, a másikban a félszöget, a harmadikban pedig az összeadási képleteket stb.

1. definíció. A trigonometrikus egyenlet olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen a trigonometrikus függvények jele alatt található.

2. definíció. Egy trigonometrikus egyenletről azt mondjuk, hogy azonos szögekkel rendelkezik, ha minden benne szereplő trigonometrikus függvénynek azonos argumentuma van. Egy trigonometrikus egyenletről azt mondjuk, hogy ugyanazokkal a függvényekkel rendelkezik, ha csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz.

3. definíció. A trigonometrikus függvényeket tartalmazó monom foka a benne szereplő trigonometrikus függvények hatványainak összege.

4. definíció. Egy egyenletet homogénnek nevezünk, ha az összes benne lévő monom ugyanolyan fokos. Ezt a fokot az egyenlet rendjének nevezzük.

5. definíció. Csak függvényeket tartalmazó trigonometrikus egyenlet bűnés kötözősaláta, akkor homogénnek nevezzük, ha a trigonometrikus függvényekhez viszonyítva minden monom ugyanolyan fokos, és maguk a trigonometrikus függvények is egyenlő szögűek, és a monomiumok száma 1-gyel nagyobb, mint az egyenlet sorrendje.

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.

A trigonometrikus egyenletek megoldása két szakaszból áll: az egyenlet transzformációjából a legegyszerűbb formára, és a kapott legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet megoldásából. Hét alapvető módszer létezik a trigonometrikus egyenletek megoldására.

én. algebrai módszer. Ez a módszer jól ismert az algebrából. (A változók helyettesítésének és helyettesítésének módja).

Egyenletek megoldása.

1)

Bemutatjuk a jelölést x=2 bűn3 t, kapunk

Ezt az egyenletet megoldva a következőt kapjuk:
vagy

azok. lehet írni

A jelek jelenléte miatt kapott megoldás írásakor fokozat
nincs értelme írni.

Válasz:

Jelöli

Másodfokú egyenletet kapunk
. Gyökerei a számok
és
. Ezért ez az egyenlet a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre redukálódik
és
. Ezeket megoldva azt találjuk
vagy
.

Válasz:
;
.

Jelöli

nem felel meg a feltételnek

Eszközök

Válasz:

Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát:

Így ez a kezdeti egyenlet így írható fel:

, azaz

Jelölve
, kapunk
Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldása a következő:

nem felel meg a feltételnek

Felírjuk az eredeti egyenlet megoldását:

Válasz:

Helyettesítés
ezt az egyenletet másodfokú egyenletté redukálja
. Gyökerei a számok
és
. Mert
, akkor az adott egyenletnek nincs gyöke.

Válasz: nincs gyökere.

II. Egyenletek megoldása az azonos nevű trigonometrikus függvények egyenlőségi feltételével.

a)
, ha

b)
, ha

ban ben)
, ha

Ezeket a feltételeket felhasználva fontolja meg a következő egyenletek megoldását:

6)

Az a) pontban elmondottakat felhasználva azt találjuk, hogy az egyenletnek akkor és csak akkor van megoldása
.

Ezt az egyenletet megoldva azt találjuk
.

Két megoldáscsoportunk van:

.

7) Oldja meg az egyenletet:
.

A b) rész feltételét felhasználva arra következtetünk
.

Ezeket a másodfokú egyenleteket megoldva a következőt kapjuk:

.

8) Oldja meg az egyenletet!
.

Ebből az egyenletből arra következtetünk. Ezt a másodfokú egyenletet megoldva azt találjuk

.

III. Faktorizáció.

Ezt a módszert példákkal szemléltetjük.

9) Oldja meg az egyenletet!
.

Megoldás. Mozgassuk az egyenlet összes tagját balra: .

Az egyenlet bal oldalán lévő kifejezést transzformáljuk és faktorizáljuk:
.

.

.

1)
2)

Mert
és
ne vegye a null értéket

egyszerre, majd mindkét részt szétválasztjuk

egyenletek
,

Válasz:

10) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás.

vagy

Válasz:

11) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

1)
2)
3)

,

Válasz:

IV. Redukálás homogén egyenletre.

A homogén egyenlet megoldásához a következőkre lesz szüksége:

Mozgassa az összes tagját a bal oldalra;

Tegye ki az összes gyakori tényezőt a zárójelekből;

Minden tényezőt és zárójelet nullával egyenlővé kell tenni;

A nullával egyenlő zárójelek kisebb fokú homogén egyenletet adnak, amelyet el kell osztani
(vagy
) felsőfokon;

Oldja meg a kapott algebrai egyenletet
.

Vegye figyelembe a példákat:

12) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás.

Oszd el az egyenlet mindkét oldalát
,

A jelölés bemutatása
, név

ennek az egyenletnek a gyökerei:

innen 1)
2)

Válasz:

13) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás. A kettős szögképletek és az alapvető trigonometrikus azonosság segítségével ezt az egyenletet fél argumentumra redukáljuk:

A hasonló kifejezések csökkentése után a következőket kapjuk:

A homogén utolsó egyenletet elosztva ezzel
, kapunk

kijelölöm
, megkapjuk a másodfokú egyenletet
, melynek gyökerei számok

Ily módon

Kifejezés
-nél eltűnik
, azaz nál nél
,
.

Az egyenletre adott megoldásunk nem tartalmazza ezeket a számokat.

Válasz:
, .

V. Segédszög bevezetése.

Tekintsük az alak egyenletét

Ahol a, b, c- együtthatók, x- ismeretlen.

Osszuk el ennek az egyenletnek mindkét oldalát

Most az egyenlet együtthatói a szinusz és a koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, nevezetesen: mindegyik modulusa nem haladja meg az egyet, és négyzeteinek összege egyenlő 1-gyel.

Ezután ennek megfelelően címkézhetjük őket
(itt - segédszög) és az egyenletünk a következő alakot ölti: .

Akkor

És a döntése

Vegye figyelembe, hogy a bevezetett jelölések felcserélhetők.

14) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás. Itt
, ezért az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk

Válasz:

15) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. Mert
, akkor ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel

Mert
, akkor van olyan szög, hogy
,
(azok.
).

Nekünk van

Mert
, akkor végül megkapjuk:

.

Vegyük észre, hogy a forma egyenletének akkor és csak akkor van megoldása

16) Oldja meg az egyenletet:

Ennek az egyenletnek a megoldásához a trigonometrikus függvényeket ugyanazokkal az argumentumokkal csoportosítjuk

Oszd el az egyenlet mindkét oldalát kettővel

A trigonometrikus függvények összegét szorzattá alakítjuk:

Válasz:

VI. Konvertálja a terméket összegre.

Itt a megfelelő képleteket használjuk.

17) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás. Váltsuk át a bal oldalt összeggé:

VII.Univerzális helyettesítés.

,

ezek a képletek mindenkire igazak

Helyettesítés
univerzálisnak nevezik.

18) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: Cserélje ki és
kifejezésükre keresztül
és jelöljük
.

Racionális egyenletet kapunk
, amelyet négyzetté alakítunk
.

Ennek az egyenletnek a gyökerei a számok
.

Ezért a feladat két egyenlet megoldására redukálódott
.

Azt találjuk
.

Érték megtekintése
nem felel meg az eredeti egyenletnek, amit ellenőrzéssel - az adott érték helyettesítésével igazolunk t az eredeti egyenlethez.

Válasz:
.

Megjegyzés. A 18. egyenletet más módon is meg lehetne oldani.

Osszuk el ennek az egyenletnek mindkét oldalát 5-tel (azaz
):
.

Mert
, akkor van egy szám
, mit
és
. Tehát az egyenlet így alakul:
vagy
. Innentől azt találjuk
ahol
.

19) Oldja meg az egyenletet!
.

Megoldás. Mivel a funkciók
és
a legnagyobb értékük 1, akkor összegük 2, ha
és
, ugyanakkor, vagyis
.

Válasz:
.

Ennek az egyenletnek a megoldása során a és a függvények korlátait használtuk.

Következtetés.

A „Trigonometrikus egyenletek megoldásai” témakörön dolgozva minden tanár számára hasznos a következő ajánlások betartása:

A trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek rendszerezése.

Válassza ki saját maga az egyenlet elemzésének lépéseit és az egyik vagy másik megoldási mód alkalmazásának célszerűségének jeleit.

Gondolja át a tevékenység önellenőrzésének módjait a módszer végrehajtása során.

Tanuljon meg "saját" egyenleteket készíteni az egyes vizsgált módszerekhez.

1. számú pályázat

Homogén vagy redukálható egyenletek megoldása.