X. arányos szakaszok derékszögű háromszögben és körben. hegyesszög trigonometrikus függvényei. További tulajdonságok

Tekintsük először az adott körön kívüli A pontból húzott AC szekánst (288. ábra). Ugyanabból a pontból rajzolja meg az AT érintőt. Az A pont és a körhöz legközelebb eső metszéspont közötti szakaszt a metszés külső részének nevezzük (AB szakasz a 288. ábrán), míg a két metszéspont közül a legtávolabbi AC szakaszt egyszerűen a metszéspontnak nevezzük. . Az A-tól az érintkezési pontig tartó érintőszakaszt röviden érintőnek is nevezik. Akkor

Tétel. Egy szekáns és külső részének szorzata egyenlő az érintő négyzetével.

Bizonyíték. Kössük össze a pontot. Az ACT és BT A háromszögek hasonlóak, mivel közös szögük van az A csúcsban, az ACT és szögek pedig egyenlőek, mivel mindkettőt ugyanannak a TB ívnek a fele méri. Ezért innen megkapjuk a kívánt eredményt:

Az érintő egyenlő az ugyanabból a pontból húzott szekáns és annak külső része közötti geometriai átlaggal.

Következmény. Egy adott A ponton áthúzott szekáns esetén a hosszának és a külső részének szorzata állandó:

Tekintsük most az akkordokat, amelyek egy belső pontban metszik egymást. Helyes állítás:

Ha két húr metszi egymást, akkor az egyik akkord szakaszainak szorzata megegyezik a másik húr szakaszainak szorzatával (azaz azokkal a szakaszokkal, amelyekre az akkordot a metszéspont felosztja).

Tehát az ábrán. 289 az AB és CD akkordok az M pontban metszik egymást, és van Más szóval,

Adott M pontra azon szakaszok szorzata, amelyekre bármely rajta áthaladó húrt felosztja, állandó.

Ennek bizonyítására megjegyezzük, hogy az MBC és MAD háromszögek hasonlóak: a CMB és DMA szögek függőlegesek, a MAD és MCB szögek ugyanazon az íven alapulnak. Innen találjuk

Q.E.D.

Ha egy adott M pont l távolságra van a középponttól, akkor átmérőt húzva rajta és az egyik húrnak tekintve azt kapjuk, hogy az átmérő szegmenseinek és így bármely más húrnak a szorzata egyenlő -hoz Ez egyenlő az M-en átmenő minimális félakkord négyzetével (a megadott átmérőre merőlegesen).

Az akkord szakaszainak szorzatának állandóságára vonatkozó tétel és a szekáns szorzatának külső része általi állandóságára vonatkozó tétel ugyanannak az állításnak két esete, a különbség csak az, hogy a szekánsokat külső, ill. a kör belső pontja. Most megadhat még egy jellemzőt, amely megkülönbözteti a beírt négyszögeket:

Bármely beírt négyszögben a vágási szorzatok, amelyekbe az átlókat metszéspontjukkal osztják, egyenlők.

A feltétel szükségessége nyilvánvaló, hiszen az átlók a körülírt kör akkordjai lesznek. Kimutatható, hogy ez a feltétel is elegendő.

Matematika. Algebra. Geometria. Trigonometria

GEOMETRIA: Planimetria

10. Tételek arányos egyenesekről

Tétel. A szög oldalait számos párhuzamos egyenes metszi, amelyeket arányos részekre vágnak.

Bizonyíték. Ezt bizonyítani kell

A BA-val párhuzamosan DM,EN,... segédegyeneseket rajzolva egymáshoz hasonló háromszögeket kapunk, mivel szögeik rendre egyenlőek (az egyenesek párhuzamossága miatt). Hasonlóságukból az következik:

Ha ebben az egyenlő aránysorozatban a DM szakaszt D"E"-re, az EN szakaszt E"F"-re (a paralelogramma ellentétes oldalaira) cserélve megkapjuk, amit bizonyítani akartunk.

Tétel. A háromszög bármely szögének felezője a szemközti oldalt a háromszög szomszédos oldalaival arányos részekre osztja

Inverz tétel. Ha a háromszög bármely oldalát két részre osztjuk, amelyek arányosak ennek a háromszögnek a két szomszédos oldalával, akkor az osztási pontot a szemközti szög csúcsával összekötő egyenes ennek a szögnek a felezője.

Tétel. Ha egy háromszög külső szögének felezője egy ponton metszi a szemközti oldal meghosszabbítását, akkor az ettől a ponttól a kiterjesztett oldal végei közötti távolságok arányosak a háromszög szomszédos oldalaival.

A háromszög elemei közötti numerikus függőségek.

Tétel. Egy derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából a befogóba esett merőleges az átfogó szegmensei közötti átlagos arányos, és az egyes lábak az alsó és a vele szomszédos szakasz közötti átlagos arányosak.

Bizonyíték. A következő három arány bizonyítása szükséges: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Az ABD és az ADC háromszögek hasonlóak, mert

P 1 = P 4 és P 2 = P 3 (mivel oldaluk merőleges), ezért BD:AD=AD:DC.

2) Az ABD és az ABC háromszögek hasonlóak, mivel derékszögűek, és közös B szögük van, tehát BC:AB=AB:DB.

3) Az ABC és az ADC háromszögek hasonlóak, mivel téglalap alakúak és közös C szögük van, ezért BC:AC=AC:DC.

Következmény. A kör valamely pontjáról az átmérőre leejtett merőleges az átmérő szakaszai közötti átlagos arányos, és az ezt a pontot az átmérő végével összekötő húr az átmérő és a húrral szomszédos szakasz közötti átlagos arányos.

Pitagorasz tétel. Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével

Következmény. A lábak négyzetei a hypotenus szomszédos szegmenseiként kapcsolódnak egymáshoz

Tétel. Bármely háromszögben a hegyesszöggel ellentétes oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével, kettős nélkül

ezen oldalak bármelyikének szorzata a hegyesszög csúcsától a magasságig tartó szegmensével.

Tétel. Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegével

. Arányos vonalak egy körben.
Tétel. Ha egy húrt és egy átmérőt húzunk a kör belsejében lévő ponton, akkor a húr szakaszainak szorzata egyenlő az átmérő szakaszainak szorzatával.

Következmény. Ha tetszőleges számú akkordot húzunk át a körön belüli ponton, akkor az egyes akkordok szakaszainak szorzata minden húrra állandó szám.

Tétel. Ha a körön kívül eső pontból húzunk rá valamilyen szekánst és érintőt, akkor a szekáns és a külső részének szorzata egyenlő az érintő négyzetével

A webhely anyagainak felhasználása aktív hivatkozás feltüntetésével lehetséges

11. § Arányos szakaszok a körben.

1. A hídrácsot egy körív határolja (38. ábra); rácsmagasság MK= h= 3 m; ívsugár AMB a fesztáv R = 8,5 m. Számítsa ki a hídfesztáv AB hosszát!

2. Félhengeres boltíves pincében két oszlopot kell elhelyezni, egyenként a legközelebbi faltól azonos távolságra. Határozza meg az állványok magasságát, ha az alagsor szélessége az alja mentén 4 m, és az állványok közötti távolság 2 m.

3. 1) A kör pontjából merőlegest húzunk az átmérőre. Határozza meg a hosszát a következő átmérőjű szegmensek hosszával: 1) 12 cm és 3 cm; 2) 16 cm és 9 cm, 3) 2 m és 5 dm.

2) Az átmérő pontjától a körrel való metszéspontig merőlegest húzunk. Határozzuk meg ennek a merőlegesnek a hosszát, ha az átmérője 40 cm, és a húzott merőleges 8 cm-re van az átmérő egyik végétől!

4. Az átmérőt szegmensekre osztjuk: AC \u003d 8 dm és CB \u003d 5 m, és a C pontból egy adott hosszúságú merőleges CD-t húzunk rá. Adja meg a D pont helyzetét a körhöz képest, ha CD egyenlő: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.

5. DIA-félkör; CD - merőleges az AB átmérőre. Kívánt:

1) határozza meg a DB-t, ha AD = 25 és CD = 10;

2) határozza meg az AB-t, ha AD: DB=4:9 és CD=30;

3) definiálja az AD-t, ha CD=3AD és a sugár az r;

4) határozza meg az AD-t, ha AB=50 és CD=15.

6. 1) A kör pontjából 34 cm-es sugárra süllyesztett merőleges 8:9 arányban osztja el (a középpontból kiindulva). Határozza meg a merőleges hosszát!

2) A BDC húr merőleges az ODA sugárra. Határozza meg a BC-t, ha OA = 25 cm és AD = 10 cm.

3) A két koncentrikus kör által alkotott gyűrű szélessége 8 dm; a kisebbet érintő nagyobb kör húrja 4 m. Határozzuk meg a körök sugarait!

7. Bizonyítsa be a szakaszok összehasonlításával, hogy két egyenlőtlen szám számtani közepe nagyobb, mint a mértani átlaguk!

8. Szerkesszünk egy szakaszt úgy, hogy az átlag arányos a szakaszok között 3 cm és 5 cm!

9. Szerkesszünk egy szegmenst, amely egyenlő: √15; √10; √6; √3.

10. ADB-átmérő; AC-akkord; A CD merőleges az átmérőre. Határozzuk meg az AC húrt: 1) ha AB = 2 m és AD = 0,5 m; 2) ha AD = 4 cm és DB = 5 cm; 3) ha AB=20m és DB=15m.

11. AB átmérő; AC-akkord; AD a vetülete az AB átmérőre. Kívánt:

1) határozza meg az AD-t, ha AB=18 cm és AC=12 cm;

2) határozza meg a sugarat, ha AC=12 m és AD=4 m;

3) határozza meg a DB-t, ha AC=24 cm és DB = 7/9 AD.

12. AB átmérő; AC-akkord; AD a vetülete az AB átmérőre. Kívánt:

1) határozza meg az AC-t, ha AB = 35 cm és AC = 5AD;

2) határozza meg az AC-t, ha a sugár egyenlő rés AC=DB.

13. Két akkord metszi egymást egy körön belül. Egy akkord szakaszai 24 cm és 14 cm; a másik akkord egyik szakasza 28 cm. Határozzuk meg a második szakaszát!

14. A hídrácsot egy körív határolja (38. ábra); hídhossz AB = 6 m, A magasság = 1,2 m. Határozza meg az ív sugarát (OM = R).

15. Két AB és CD szakasz metszi egymást az M pontban úgy, hogy MA \u003d 7 cm, MB \u003d 21 cm,
MC = 3 cm és MD = 16 cm Az A, B, C és D pontok ugyanazon a körön helyezkednek el?

16. Ingahossz MA = l= 1 m (39. ábra), emelési magassága, ha α szöggel eltér, CA = h\u003d 10 cm. Keresse meg a B pont BC távolságát MA-tól (BC \u003d x).

17. A vasúti pályaszélesség lefordítása b\u003d 1,524 m az AB helyen (40. ábra) lekerekítés történik; míg kiderült, ; hogy BC= a= 42,4 m. Határozza meg az OA = R görbületi sugarat.

18. Az AMB húrt az M pont közelében elforgatjuk úgy, hogy az MA szakasz 2 1/2-szeresére növekedjen. Hogyan változott az MB szegmens?

19. 1) A két egymást metsző akkord közül az egyiket 48 cm-es és 3 cm-es részekre, a másikat félre osztottuk. Határozza meg a második akkord hosszát!

2) A két egymást metsző akkord közül az egyiket 12 m-es és 18 m-es részekre, a másikat 3:8 arányban osztották fel. Határozza meg a második akkord hosszát!

20. A két egymást metsző akkord közül az első 32 cm, a másik akkord szakaszai
12 cm és 16 cm Határozza meg az első akkord szakaszait!

21. A szekáns ABC-t elforgatjuk az A külső pont közelében úgy, hogy az AB külső szakasza háromszorosára csökkent. Hogyan változott a szekáns hossza?

22. Legyen ADB és AEC két, a kört metsző egyenes: az első a D és B pontban, a második az E és C pontokban van. Kötelező:

1) határozza meg az AE-t, ha AD = 5 cm, DB = 15 cm és AC = 25 cm;

2) határozza meg a BD-t, ha AB = 24 m, AC = 16 m és EC = 10 m;

3) határozza meg az AB-t és az AC-t, ha AB+AC=50 m, a AD: AE = 3:7.

23. A kör sugara 7 cm A középponttól 9 cm-re lévő pontból egy szekánst húzunk úgy, hogy azt a kör kettéosztja. Határozza meg ennek a szekánsnak a hosszát.

24. MAB és MCD egy kör két szekánsa. Kívánt:

1) határozza meg a CD-t, ha MV = 1 m, MD = 15 dm és CD = MA;

2) határozza meg az MD-t, ha MA = 18 cm, AB = 12 cm és MC:CD = 5:7;

3) határozza meg az AB-t, ha AB=MC, MA=20 és CD=11.

25. Két akkordot kiterjesztünk a kölcsönös metszéspontig. Határozza meg a kapott kiterjesztések hosszát, ha az akkordok egyenlőek aés b, és a kiterjesztéseik úgy kapcsolódnak, mint t:p.

26. Egy pontból húzunk egy szekánst és egy érintőt a körre. Határozza meg az érintő hosszát, ha a szekáns külső és belső szakaszát a következő számok fejezik ki: 1) 4 és 5; 2) 2,25 és 1,75; 3) 1. és 2.

27. Az érintő 20 cm, az ugyanabból a pontból húzott legnagyobb szekáns 50 cm Határozza meg a kör sugarát!

28. A szekáns 2 1/4-szer nagyobb, mint a külső szegmense. Hányszor nagyobb, mint egy ugyanabból a pontból húzott érintő?

29. Két egymást metsző kör közös húrját folytatjuk, és a folytatáson vett pontból érintőket húzunk rájuk. Bizonyítsd be, hogy egyenlők.

30. Az A sarok egyik oldalán egymás után szegmenseket helyezünk el: AB \u003d 6 cm és BC \u003d 8 cm; a másik oldalon pedig AD = 10 cm-es szakaszt fektetünk le A B, C és D pontokon keresztül kört húzunk. Nézze meg, hogy az AD egyenes érinti-e ezt a kört, és ha nem, akkor a D pont lesz-e az első (A-tól számítva) vagy a második metszéspont.

31. Legyen ez: ugyanannak a körnek az AB-tangense és ACD-szekánsa. Kívánt:

1) határozza meg a CD-t, ha AB = 2 cm és AD = 4 cm;

2) határozza meg az AD-t, ha AC:CD = 4:5 és AB = 12 cm;

3) határozza meg az AB-t, ha AB = CD és AC = a.

32. 1) Milyen messzire látsz egy léggömbtől (41. ábra), amely 4 km-re emelkedett a talaj fölé (a föld sugara = 6370 km)?

2) Az Elbrus-hegy (a Kaukázusban) 5600 méteres tengerszint feletti magasságban emelkedik, milyen messze lehet látni a hegy tetejétől?

3) M - megfigyelőoszlop, amelynek magassága A méter a talaj felett (42. ábra); földsugár R, МТ= d a legnagyobb látható távolság. Bizonyítsd d= √2R h+ h 2

Megjegyzés. Mert h 2 a 2R-hez képest kicsinysége miatt h szinte nem befolyásolja az eredményt, akkor használhatja a hozzávetőleges képletet d≈ √2R h .

33. 1) Egy pontból kilépő érintő és szekáns 20 cm, illetve 40 cm; a szekáns 8 cm-re van a középponttól Határozzuk meg a kör sugarát.

2) Határozza meg a távolságot a középponttól attól a ponttól, ahonnan az érintő és a szekáns megy, ha ezek rendre 4 cm, illetve 8 cm, és a metszőt eltávolítjuk a középponttól
12 cm

34. 1) Egy közös pontból egy érintőt és egy szekánst húzunk a körre. Határozza meg az érintő hosszát, ha 5 cm-rel hosszabb, mint a metsző külső szakasza, és ugyanennyivel kisebb, mint a belső szakasz.

2) Egy pontból egy szekánst és egy érintőt húzunk a körre. A szekáns az a, és a belső szakasza az érintő hosszával hosszabb, mint a külső szegmens. Tangens definiálása.

36. Egy pontból egy körbe húzunk egy érintőt és egy szekánst. Az érintő 2 cm-rel, illetve 4 cm-rel nagyobb, mint a szekáns belső és külső szegmense Határozzuk meg a szekáns hosszát!

36. Egy pontból egy érintőt és egy szekánst húzunk a körre. Határozza meg a hosszukat, ha az érintő 20 cm-rel kisebb, mint a szekáns belső szegmense és 8 cm-rel nagyobb, mint a külső szegmens.

37. 1) Egy pontból húzunk egy szekánst és egy érintőt a körbe. Összegük 30 cm, a szekáns belső szegmense 2 cm-rel kisebb, mint az érintő. Szekáns és érintő meghatározása.

2) Egy pontból egy szekánst és egy érintőt húzunk a körre. Összegük 15 cm, a szekáns külső szegmense 2 cm-rel kisebb, mint az érintő. Szekáns és érintő meghatározása.

38. Az AB szakasz meghosszabbodik a BC távolsággal. Az AB-n és az AC-n, akárcsak az átmérőkön, köröket építenek. Az AC szakaszra a B pontban BD merőlegest húzunk, amíg az nem metszi egy nagyobb kört. A C pontból egy SC érintőt húzunk a kisebb körre. Bizonyítsuk be, hogy CD = CK.

39. Két párhuzamos érintőt és egy harmadik érintőt, amelyek metszik őket, egy adott körre húzzuk. A sugár a harmadik érintő szakaszai közötti átlagos arányos érték. Bizonyít.

40. Két párhuzamos egyenes van megadva egymástól 15 dm távolságra; közöttük az egyiktől 3 dm távolságra egy M pontot adunk. Az M ponton keresztül mindkét párhuzamost érintő kört húzunk. Határozza meg a távolságot a középpont és az M pont vetületei között ezen párhuzamosok egyikén!

41. Sugárkörben r Olyan egyenlő szárú háromszöget írunk, amelybe a magasság és az alap összege egyenlő a kör átmérőjével. Határozza meg a magasságot.

42. Határozza meg egy egyenlő szárú háromszögre körülírt kör sugarát: 1) ha az alapja 16 cm, a magassága pedig 4 cm; 2) ha az oldal 12 dm és a magasság 9 dm; 3) ha az oldal 15 m és az alap 18 m.

43. Egy egyenlő szárú háromszögben az alap 48 dm, az oldala 30 dm. Határozzuk meg a körülírt és beírt körök sugarát és a középpontjaik távolságát!

44. A sugár az r, ennek az ívnek a húrja egyenlő a. Határozzuk meg a megkettőzött ív húrját!

45. A kör sugara 8 dm; AB húr 12 dm. Az A ponton keresztül egy érintőt húzunk, a B pontból pedig az érintővel párhuzamos BC húrt. Határozzuk meg az érintő és a BC húr távolságát!

46. Az A pontot távolabbra távolítjuk el az MN egyenesből Val vel. adott sugár r Egy kört úgy írunk körül, hogy áthaladjon az A ponton és érintse az MN egyenest. Határozza meg a kapott érintkezési pont és az adott A pont távolságát!

1. tulajdonság . Ha a kör AB és CD húrjai az S pontban metszik egymást, akkor AS BS = CS DS, azaz DS/BS = AS/CS.

Bizonyíték. Először is bizonyítsuk be, hogy az ASD és a CSB háromszögek hasonlóak.

A beírt DCB és DAB szögek egyenlőek, mivel ugyanazon az íven alapulnak.

Az ASD és a BSC szögek függőlegesek.

A jelzett szögek egyenlőségéből az következik, hogy az ASD és a CSB háromszögek hasonlóak. A háromszögek hasonlóságából következik az arány

DS/BS = AS/CS, vagy AS BS = CS DS,

Q.E.D.

2. tulajdonság. Ha a P pontból két szekánst húzunk a körbe, amelyek a kört az A, B, illetve C, D pontokban metszik, akkor АР/СР = DP/BP.

Bizonyíték. Legyen A és C a szekánsok metszéspontja a P ponthoz legközelebb eső körrel. A PAD és az RSV háromszögek hasonlóak. Közös szögük van a P csúcsban, és a B és D szögek megegyeznek a beírt szögekkel, ugyanazon ív alapján. A háromszögek hasonlóságából adódik a АР/СР = DP/BP arány, amelyet igazolni kellett.

Egy háromszög szögének felező tulajdonsága

A háromszög szögfelezője a szemközti oldalt a másik két oldallal arányos szakaszokra osztja.

Bizonyíték. Legyen CD az ABC háromszög felezőpontja. Ha az ABC háromszög egyenlő szárú AB alappal, akkor a felező jelzett tulajdonsága nyilvánvaló, mivel ebben az esetben a felező egyben a medián. Tekintsük azt az általános esetet, amikor AC nem egyenlő BC-vel. Dobjuk az AF és BE merőlegeseket az A és B csúcsokból a CD egyenesbe. Az ACF és az ALL derékszögű háromszögek hasonlóak, mivel a C csúcsban egyenlő hegyesszögekkel rendelkeznek.

A háromszögek hasonlóságából az oldalak arányossága következik: AC / BC \u003d AF / BE. Az ADF és a BDE derékszögű háromszögek is hasonlóak. Szögeik a D csúcsban megegyeznek a függőlegessel. A hasonlóságból következik: AF/BE = AD/BD. Összehasonlítva ezt az egyenlőséget az előzővel, a következőket kapjuk: AC / BC \u003d AD / BD vagy AC / AD \u003d BC / BD, azaz AD és BD arányosak az AC és BC oldalakkal.