Teljesítményfüggvény grafikája az összes különböző teljesítményről. Függvények és grafikonok
Idézzük fel a negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvények tulajdonságait és grafikonjait.
Páros n esetén:
Funkció példa:
Az ilyen függvények összes grafikonja két fix ponton megy keresztül: (1;1), (-1;1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a paritásuk, a grafikonok szimmetrikusak az op-y tengelyhez képest.
Rizs. 1. Egy függvény grafikonja
Páratlan n esetén:
Funkció példa:
Az ilyen függvények grafikonjai két fix ponton haladnak át: (1;1), (-1;-1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a páratlanságuk, a gráfok szimmetrikusak az origóhoz képest.
Rizs. 2. Függvénygrafikon
Emlékezzünk a fő definícióra.
A racionális pozitív kitevővel rendelkező nem negatív a szám fokszámát számnak nevezzük.
A racionális negatív kitevővel rendelkező pozitív a szám fokszámát számnak nevezzük.
A következő egyenlőségre:
Például: ; - a kifejezés nem létezik negatív racionális kitevővel rendelkező fok definíciója alapján; létezik, mivel a kitevő egész szám,
Térjünk rá a racionális negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvények figyelembevételére.
Például:
A függvény ábrázolásához készíthet egy táblázatot. Másként tesszük: először megépítjük és tanulmányozzuk a nevező grafikonját - ismerjük (3. ábra).
Rizs. 3. Egy függvény grafikonja
A nevezőfüggvény grafikonja egy fix ponton (1;1) halad át. Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor ez a pont megmarad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (4. ábra).
Rizs. 4. Függvénygrafikon
Tekintsünk még egy függvényt a vizsgált függvénycsaládból.
Fontos, hogy definíció szerint
Tekintsük a függvény grafikonját a nevezőben: , ismerjük ennek a függvénynek a grafikonját, definíciós tartományában növekszik és átmegy az (1; 1) ponton (5. ábra).
Rizs. 5. Függvénygrafikon
Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor az (1; 1) pont marad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (6. ábra).
Rizs. 6. Függvénygrafikon
A vizsgált példák segítenek megérteni, hogyan megy a grafikon, és milyen tulajdonságai vannak a vizsgált függvénynek - egy negatív racionális kitevővel rendelkező függvénynek.
Ennek a családnak a függvénygráfjai az (1;1) ponton haladnak át, a függvény a teljes definíciós tartományon csökken.
Funkció hatóköre:
A függvény nem felülről, hanem alulról korlátos. A függvénynek nincs sem maximuma, sem minimális értéke.
A függvény folyamatos, minden pozitív értéket vesz nullától plusz végtelenig.
Konvex lefelé függvény (15.7. ábra)
Az A és B pontokat felvesszük a görbére, rajtuk egy szakaszt húzunk, a teljes görbe a szakasz alatt van, ez a feltétel a görbe tetszőleges két pontjára teljesül, ezért a függvény lefelé konvex. Rizs. 7.
Rizs. 7. Függvény konvexitása
Fontos megérteni, hogy ennek a családnak a funkcióit alulról nulla határolja, de nem a legkisebb értékkel bírnak.
1. példa - keresse meg egy függvény maximumát és minimumát a \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] intervallumon
Grafikon (2. ábra).
2. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n)$ függvény grafikonja
Természetes páratlan kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai
A definíció tartománya minden valós szám.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ egy páratlan függvény.
$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományon.
A tartomány minden valós szám.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ esetén.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
A függvény konkáv $x\in (-\infty ,0)$ esetén, és konvex $x\in (0,+\infty)$ esetén.
Grafikon (3. ábra).
3. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ függvény grafikonja
Hatványfüggvény egész kitevővel
Először bemutatjuk az egész kitevővel rendelkező fok fogalmát.
3. definíció
A $n$ egész kitevővel rendelkező $a$ valós szám mértékét a következő képlet határozza meg:
4. ábra
Tekintsünk most egy hatványfüggvényt egész kitevővel, annak tulajdonságait és grafikonját.
4. definíció
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ egész kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük.
Ha a fokszám nagyobb nullánál, akkor egy természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvény esetéhez jutunk. Fentebb már foglalkoztunk vele. $n=0$ esetén egy $y=1$ lineáris függvényt kapunk. Megfontolását az olvasóra bízzuk. Továbbra is figyelembe kell venni egy negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságait
Negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai
A hatókör: $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ha a kitevő páros, akkor a függvény páros, ha páratlan, akkor a függvény páratlan.
$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományon.
Értéktartomány:
Ha a kitevő páros, akkor $(0,+\infty)$, ha páratlan, akkor $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ha a kitevő páratlan, a függvény a következőképpen csökken: $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Páros kitevő esetén a függvény $x\in (0,+\infty)$ értékkel csökken. és a következővel nő: $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ a teljes tartományban
A hatványfüggvények tulajdonságait és grafikonjait a kitevő különböző értékeire mutatjuk be. Alapképletek, tartományok és értékkészletek, paritás, monotonitás, növekedés és csökkenés, szélsőségek, konvexitás, inflexiók, metszéspontok koordinátatengelyekkel, határértékek, adott értékek.
Hatványfüggvény képletek
Az y = x p hatványfüggvény tartományában a következő képletek érvényesek:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Hatványfüggvények tulajdonságai és grafikonjaik
Hatványfüggvény nullával egyenlő kitevővel, p = 0
Ha az y = x p hatványfüggvény kitevője nulla, p = 0, akkor a hatványfüggvény minden x ≠ 0-ra definiálva, és állandó, egyenlő eggyel:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Hatványfüggvény természetes páratlan kitevővel, p = n = 1, 3, 5, ...
Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek természetes páratlan kitevője n = 1, 3, 5, ... . Egy ilyen mutatót a következőképpen is felírhatunk: n = 2k + 1, ahol k = 0, 1, 2, 3, ... nemnegatív egész szám. Az alábbiakban az ilyen függvények tulajdonságait és grafikonjait mutatjuk be.
Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja természetes páratlan kitevővel az n = 1, 3, 5, ... kitevő különböző értékeire.
Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: -∞ < y < ∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
-∞-nél< x < 0
выпукла вверх
0-nál< x < ∞
выпукла вниз
Töréspontok: x=0, y=0
x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1-nél,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
ha x = 0, y(0) = 0 n = 0
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
n = 1 esetén a függvény önmagával inverz: x = y
n ≠ 1 esetén az inverz függvény az n fokú gyöke:
Hatványfüggvény természetes páros kitevővel, p = n = 2, 4, 6, ...
Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek természetes páros kitevője n = 2, 4, 6, ... . Egy ilyen mutatót felírhatunk így is: n = 2k, ahol k = 1, 2, 3, ... természetes szám. Az alábbiakban az ilyen függvények tulajdonságait és grafikonjait mutatjuk be.
Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja természetes páros kitevővel az n = 2, 4, 6, ... kitevő különböző értékeire.
Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: 0 ≤ év< ∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 esetén monoton csökken
x ≥ 0 esetén monoton növekszik
Extrémek: minimum, x=0, y=0
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
ha x = 0, y(0) = 0 n = 0
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
n = 2 esetén négyzetgyök:
n ≠ 2 esetén az n fok gyöke:
Hatványfüggvény egész negatív kitevővel, p = n = -1, -2, -3, ...
Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek negatív egész kitevője n = -1, -2, -3, ... . Ha n = -k-t teszünk, ahol k = 1, 2, 3, ... egy természetes szám, akkor a következőképpen ábrázolható:
Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja negatív egész kitevővel az n = -1, -2, -3, ... kitevő különböző értékeire.
Páratlan kitevő, n = -1, -3, -5, ...
Az alábbiakban az y = x n függvény tulajdonságait mutatjuk be, páratlan negatív kitevőjű n = -1, -3, -5, ... .
Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y ≠ 0
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0
:
выпукла вверх
x > 0 esetén: konvex lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
ha n = -1,
az n< -2
,
Páros kitevő, n = -2, -4, -6, ...
Az alábbiakban az y = x n függvény tulajdonságait mutatjuk be páros negatív kitevőjű n = -2, -4, -6, ... .
Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y > 0
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0
:
монотонно возрастает
x > 0 esetén: monoton csökkenő
Extrémek: Nem
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel: y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
ha n = -2,
az n< -2
,
Hatványfüggvény racionális (tört) kitevővel
Tekintsünk egy y = x p hatványfüggvényt racionális (tört) kitevővel, ahol n egész szám, m > 1 természetes szám. Ráadásul n-nek, m-nek nincs közös osztója.
A törtmutató nevezője páratlan
Legyen a törtkitevő nevezője páratlan: m = 3, 5, 7, ... . Ebben az esetben az x p hatványfüggvény pozitív és negatív x értékekre is definiálva van. Tekintsük az ilyen hatványfüggvények tulajdonságait, ha a p kitevő bizonyos határokon belül van.
p negatív, p< 0
Legyen a racionális kitevő (m = 3, 5, 7, ... páratlan nevezővel) kisebb nullánál: .
Exponenciális függvények grafikonjai racionális negatív kitevővel a kitevő különböző értékeire, ahol m = 3, 5, 7, ... páratlan.
Páratlan számláló, n = -1, -3, -5, ...
Itt vannak az y = x p hatványfüggvény tulajdonságai racionális negatív kitevővel, ahol n = -1, -3, -5, ... páratlan negatív egész szám, m = 3, 5, 7 ... egy páratlan természetes szám.
Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y ≠ 0
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0
:
выпукла вверх
x > 0 esetén: konvex lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = (-1) n = -1
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
Páros számláló, n = -2, -4, -6, ...
Egy racionális negatív kitevővel rendelkező y = x p hatványfüggvény tulajdonságai, ahol n = -2, -4, -6, ... páros negatív egész szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes szám .
Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y > 0
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0
:
монотонно возрастает
x > 0 esetén: monoton csökkenő
Extrémek: Nem
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel: y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
A p-érték pozitív, kisebb, mint egy, 0< p < 1
Hatványfüggvény grafikonja racionális kitevővel (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Páratlan számláló, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Tartomány: -∞ < x < +∞
Több érték: -∞ < y < +∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0
:
выпукла вниз
x > 0 esetén: konvex felfelé
Töréspontok: x=0, y=0
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = -1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:
Páros számláló, n = 2, 4, 6, ...
Bemutatjuk az y = x p hatványfüggvény tulajdonságait racionális kitevővel, amely 0-n belül van.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Tartomány: -∞ < x < +∞
Több érték: 0 ≤ év< +∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0
:
монотонно убывает
x > 0 esetén: monoton növekvő
Extrémek: minimum x = 0, y = 0
Konvex: felfelé konvex x ≠ 0
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Jel: x ≠ 0 esetén y > 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
ha x = -1, y(-1) = 1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:
A p kitevő nagyobb egynél, p > 1
Egy hatványfüggvény grafikonja racionális kitevővel (p > 1 ) a kitevő különböző értékeire, ahol m = 3, 5, 7, ... páratlan.
Páratlan számláló, n = 5, 7, 9, ...
Egynél nagyobb racionális kitevőjű y = x p hatványfüggvény tulajdonságai: . Ahol n = 5, 7, 9, ... páratlan természetes szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes szám.
Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: -∞ < y < ∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
-∞-nél< x < 0
выпукла вверх
0-nál< x < ∞
выпукла вниз
Töréspontok: x=0, y=0
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = -1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:
Páros számláló, n = 4, 6, 8, ...
Egynél nagyobb racionális kitevőjű y = x p hatványfüggvény tulajdonságai: . Ahol n = 4, 6, 8, ... páros természetes szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes szám.
Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: 0 ≤ év< ∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0
монотонно убывает
x > 0 esetén monoton növekszik
Extrémek: minimum x = 0, y = 0
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
ha x = -1, y(-1) = 1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:
A törtmutató nevezője páros
Legyen a törtkitevő nevezője páros: m = 2, 4, 6, ... . Ebben az esetben az x p hatványfüggvény nincs megadva az argumentum negatív értékeihez. Tulajdonságai egybeesnek egy irracionális kitevővel rendelkező hatványfüggvényével (lásd a következő részt).
Hatványfüggvény irracionális kitevővel
Tekintsünk egy y = x p hatványfüggvényt p irracionális kitevőjével. Az ilyen függvények tulajdonságai abban különböznek a fent leírtaktól, hogy nincsenek meghatározva az x argumentum negatív értékeihez. Az argumentum pozitív értékei esetén a tulajdonságok csak a p kitevő értékétől függenek, és nem függenek attól, hogy p egész szám, racionális vagy irracionális.
y = x p a p kitevő különböző értékeihez.
Teljesítmény funkció negatív p< 0
Tartomány: x > 0
Több érték: y > 0
Monoton: monoton csökken
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Korlátok: ;
magánérték: Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1
Hatványfüggvény pozitív kitevővel p > 0
A mutató kisebb, mint egy 0< p < 1
Tartomány: x ≥ 0
Több érték: y ≥ 0
Monoton: monoton növekszik
Konvex: domború felfelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
Privát értékek: Ha x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1
A mutató nagyobb, mint egy p > 1
Tartomány: x ≥ 0
Több érték: y ≥ 0
Monoton: monoton növekszik
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
Privát értékek: Ha x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.
Hatványfüggvény, tulajdonságai és grafikonja Bemutató anyag Óra-előadás Függvényfogalom. Funkció tulajdonságai. Hatványfüggvény, tulajdonságai és grafikonja. 10. évfolyam Minden jog fenntartva. Copyright with Copyright with
Az óra előrehaladása: Ismétlés. Funkció. Funkció tulajdonságai. Új anyagok tanulása. 1. Hatványfüggvény definíciója Hatványfüggvény definíciója. 2. Hatványfüggvények tulajdonságai és grafikonjai Hatványfüggvények tulajdonságai és grafikonjai. A tanult anyag konszolidációja. Verbális számolás. Verbális számolás. A lecke összefoglalása. Házi feladat.
A függvény tartománya és tartománya A független változó összes értéke az x y=f(x) f függvény tartományát alkotja A függvény tartománya A függvény tartománya Minden olyan érték, amelyet a függő változó felvesz a függvény tartományából Funkció. Funkció tulajdonságai
Egy függvény grafikonja Adjunk meg egy függvényt, ahol xY y x,75 3 0,6 4 0,5 Egy függvény grafikonja a koordinátasík azon pontjainak halmaza, amelyeknek az abszcisszái megegyeznek az argumentum értékeivel, és az ordináták megegyeznek a függvény megfelelő értékeivel. Funkció. Funkció tulajdonságai
Y x A függvény definíciós tartománya és tartománya 4 y=f(x) A függvény tartománya: A függvény tartománya: Függvény. Funkció tulajdonságai
Páros y x y=f(x) függvény Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyhez Az y=f(x) függvény akkor is meghívásra kerül, ha f(-x) = f(x) a tartomány bármely x-ére a Funkció függvényből. Funkció tulajdonságai
Páratlan függvény y x y \u003d f (x) A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az O (0; 0) origóra. Az y \u003d f (x) függvényt páratlannak nevezzük, ha f (-x) \u003d -f (x) ) bármely x-hez a régiófüggvény definíciókból Funkció. Funkció tulajdonságai
Hatványfüggvény definíciója Hatványfüggvénynek nevezzük azt a függvényt, ahol p egy adott valós szám. p y \u003d x p P \u003d x y 0 Óra előrehaladása
Hatványfüggvény x y 1. Az olyan alak definíciós tartománya és értéktartománya, ahol n egy természetes szám, mind valós számok. 2. Ezek a függvények páratlanok. A gráfjuk szimmetrikus az origóhoz képest. A teljesítményfüggvény tulajdonságai és ábrázolásai
Racionális pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvények A definíció tartománya minden pozitív szám és a 0 szám. Az ilyen kitevővel rendelkező függvények tartománya szintén minden pozitív szám, és a szám 0. Ezek a függvények nem párosak és nem páratlanok. y x A teljesítményfüggvény tulajdonságai és grafikonjai
Hatványfüggvény racionális negatív kitevővel. Az ilyen függvények definíciós tartománya és tartománya mind pozitív számok. A függvények se nem párosak, se nem páratlanok. Az ilyen függvények a teljes definíciós tartományban csökkennek. y x A hatványfüggvény tulajdonságai és grafikonjai Az óra folyamata
1. Hatványfüggvény, tulajdonságai és grafikonja;
2. Átalakítások:
Párhuzamos átvitel;
Szimmetria a koordinátatengelyekről;
Szimmetria az eredetről;
Az y = x egyenes szimmetriája;
Nyújtás és zsugorítás a koordinátatengelyek mentén.
3. Egy exponenciális függvény, tulajdonságai és gráfja, hasonló transzformációk;
4. Logaritmikus függvény, tulajdonságai és grafikonja;
5. Trigonometrikus függvény, tulajdonságai és grafikonja, hasonló transzformációk (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Függvény: y = x\n - tulajdonságai és grafikonja.
Hatványfüggvény, tulajdonságai és grafikonja
y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1/x stb. Mindezek a függvények a hatványfüggvény speciális esetei, azaz a függvény y = xp, ahol p egy adott valós szám.
A hatványfüggvény tulajdonságai és grafikonja alapvetően függ egy valós kitevővel rendelkező hatvány tulajdonságaitól, és különösen attól, hogy milyen értékekre xés p van értelme xp. Folytassuk a különböző esetek hasonló megfontolását, attól függően
kitevő p.
- Index p = 2n páros természetes szám.
y=x2n, ahol n természetes szám, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- a definíciós tartomány minden valós szám, azaz az R halmaz;
- értékkészlet - nem negatív számok, azaz y nagyobb vagy egyenlő, mint 0;
- funkció y=x2n sőt, mert x 2n = (-x) 2n
- a függvény az intervallumon csökken x< 0 és növeli az intervallumot x > 0.
Függvénygrafikon y=x2n ugyanolyan alakú, mint például egy függvény grafikonja y=x4.
2. Mutató p = 2n - 1- páratlan természetes szám
Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x2n-1, ahol egy természetes szám, a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- definíciós tartomány - R halmaz;
- értékkészlet - R készlet;
- funkció y=x2n-1 furcsa, mert (- x) 2n-1= x 2n-1;
- a függvény a teljes valós tengelyen növekszik.
Függvénygrafikon y=x2n-1 y=x3.
3. Mutató p=-2n, ahol n- természetes szám.
Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x-2n=1/x2n a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- értékkészlet - pozitív számok y>0;
- függvény y = 1/x2n sőt, mert 1/(-x) 2n= 1/x2n;
- a függvény növekszik az x0 intervallumon.
Az y függvény grafikonja = 1/x2n ugyanolyan alakú, mint például az y függvény grafikonja = 1/x2.
4. Mutató p = -(2n-1), ahol n- természetes szám.
Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x-(2n-1) a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- a definíciós tartomány az R halmaz, kivéve x = 0;
- értékkészlet - R készlet, kivéve, ha y = 0;
- funkció y=x-(2n-1) furcsa, mert (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
- a függvény az intervallumokon csökken x< 0 és x > 0.
Függvénygrafikon y=x-(2n-1) ugyanolyan alakú, mint például a függvény grafikonja y = 1/x3.