Harmonikus egyenlet. Ingadozások. Harmonikus rezgések. Oszcillációs jellemzők: amplitúdó, periódus, frekvencia, ciklikus frekvencia, fázis

A harmonikus rezgés valamely mennyiség periodikus változásának jelensége, amelyben az argumentumtól való függés szinusz- vagy koszinuszfüggvény jellegű. Például egy mennyiség, amely az alábbiak szerint változik, harmonikusan ingadozik:

ahol x a változó mennyiség értéke, t az idő, a fennmaradó paraméterek állandóak: A a rezgések amplitúdója, ω a rezgések ciklikus frekvenciája, a rezgések teljes fázisa, az oszcilláció kezdeti fázisa az oszcillációkat.

Általánosított harmonikus rezgés differenciális formában

(Ennek a differenciálegyenletnek bármely nem triviális megoldása ciklikus frekvenciájú harmonikus rezgés)

A rezgések fajtái

A szabad rezgések a rendszer belső erőinek hatására jönnek létre, miután a rendszer kikerült az egyensúlyi helyzetből. Ahhoz, hogy a szabad rezgések harmonikusak legyenek, szükséges, hogy az oszcillációs rendszer lineáris legyen (lineáris mozgásegyenletekkel írja le), és ne legyen benne energiadisszipáció (ez utóbbi csillapítást okozna).

A kényszerrezgések külső periodikus erő hatására jönnek létre. Ahhoz, hogy harmonikusak legyenek, elegendő, ha az oszcillációs rendszer lineáris (lineáris mozgásegyenletekkel írható le), és maga a külső erő is idővel harmonikus rezgésként változik (azaz ennek az erőnek az időfüggése szinuszos) .

Harmonikus rezgésegyenlet

megadja az S ingadozó érték t időtől való függését; ez a szabad harmonikus rezgések egyenlete explicit formában. Az oszcillációk egyenlete azonban általában ennek az egyenletnek egy másik, differenciális rekordját jelenti. A határozottság kedvéért az (1) egyenletet az alakba vesszük

Kétszer különböztesse meg az idő függvényében:

Látható, hogy a következő összefüggés áll fenn:

amelyet a szabad harmonikus rezgések egyenletének neveznek (differenciális formában). Az (1) egyenlet a (2) differenciálegyenlet megoldása. Mivel a (2) egyenlet egy másodrendű differenciálegyenlet, két kezdeti feltétel szükséges a teljes megoldáshoz (vagyis az (1) egyenletben szereplő A és   állandók meghatározásához; például egy oszcillációs rendszer helyzete és sebessége t = 0-nál.

A matematikai inga egy oszcillátor, amely egy olyan anyagi pontból álló mechanikai rendszer, amely egy súlytalan, nyújthatatlan szálon vagy egy súlytalan rúdon helyezkedik el egyenletes gravitációs erőtérben. Egy l hosszúságú, egyenletes gravitációs térben mozdulatlanul felfüggesztett matematikai inga kis saját rezgéseinek periódusa g szabadesési gyorsulással egyenlő

és nem függ az inga amplitúdójától és tömegétől.

A fizikai inga egy oszcillátor, amely egy merev test, amely bármely erő mezejében olyan pont körül rezeg, amely nem ennek a testnek a tömegközéppontja, vagy egy rögzített tengely körül, amely merőleges az erők irányára, és nem halad át a testen. ennek a testnek a tömegközéppontja.

A rezgések legegyszerűbb fajtái a harmonikus rezgések- ingadozások, amelyekben a lengéspont elmozdulása az egyensúlyi helyzetből idővel a szinusz vagy koszinusz törvény szerint változik.

Tehát, ha a golyó egyenletesen forog a kerület körül, a vetülete (árnyék párhuzamos fénysugarakban) harmonikus oszcillációs mozgást végez egy függőleges képernyőn (13.2. ábra).

A harmonikus rezgések során az egyensúlyi helyzetből való elmozdulást egy egyenlet írja le (ezt a harmonikus mozgás kinematikai törvényének nevezik), amelynek alakja:

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) vagy \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)

ahol x- keveredés - az oszcilláló pont pillanatnyi helyzetét jellemző érték t az egyensúlyi helyzethez viszonyítva, és az egyensúlyi helyzet és a pont egy adott időpontban elfoglalt helyzete távolságával mérve; DE- oszcillációs amplitúdó - a test maximális elmozdulása az egyensúlyi helyzetből; T- oszcillációs periódus - egy teljes rezgés ideje; azok. az a legkisebb időtartam, amely után az oszcillációt jellemző fizikai mennyiségek értékei megismétlődnek; \(\varphi_0\) - kezdeti fázis; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - az oszcilláció fázisa időben t. Az oszcillációs fázis egy periodikus függvény argumentuma, amely adott rezgési amplitúdó mellett bármikor meghatározza a test rezgésrendszerének állapotát (elmozdulás, sebesség, gyorsulás).

Ha a kezdeti időben t0 = 0 az oszcilláló pont maximálisan elmozdul az egyensúlyi helyzetből, ekkor \(\varphi_0 = 0\), és a pont elmozdulása az egyensúlyi helyzetből a törvény szerint változik

\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

Ha a t 0 = 0 oszcillációs pont stabil egyensúlyi helyzetben van, akkor a pont elmozdulása az egyensúlyi helyzetből a törvény szerint változik

\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)

az érték V, a periódus reciproka, amely egyenlő az 1 s alatt végrehajtott teljes rezgések számával, az ún. oszcillációs frekvencia:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(SI-ben a frekvencia egysége hertz, 1Hz = 1s -1).

Ha időben t a test vállalja N akkor javában

\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)

A \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) érték, amely megmutatja, hogy a test hány rezgést hajt végre 2 \(\pi\) Val vel, hívott ciklikus (körkörös) frekvencia.

A harmonikus mozgás kinematikai törvénye a következőképpen írható fel:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Grafikusan egy rezgőpont elmozdulásának az időtől való függését koszinusz (vagy szinusz) ábrázolja.

A 13.3. ábra a \(\varphi_0=0\ esetre) mutatja a rezgőpont egyensúlyi helyzetből való elmozdulásának időfüggését, azaz. \(~x=A\cos \omega t.\)

Nézzük meg, hogyan változik egy oszcilláló pont sebessége az idő múlásával. Ehhez megtaláljuk ennek a kifejezésnek az időbeli származékát:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

ahol \(~\omega A = |\upszilon_x|_m\) a sebesség tengelyre vetített amplitúdója x.

Ez a képlet azt mutatja, hogy a harmonikus rezgések során a test sebességének x tengelyre vetülete is a harmonikus törvény szerint változik azonos frekvenciával, eltérő amplitúdóval, és \(\frac(\pi)-vel megelőzi a keveredési fázist )(2)\) (13.3. ábra, b).

Megtudni a gyorsulás függőségét a x (t) keresse meg a sebességprojekció időbeli deriváltját:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

ahol \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) a gyorsulás tengelyre vetületének amplitúdója X.

Harmonikus rezgések esetén a vetítés gyorsulás a fáziseltolódást k-val megelőzve (13.3. ábra, c).

Hasonlóképpen ábrázolhatja a \(~x(t), \upszilon_x (t)\) és \(~a_x(t),\) függvényeket, ha \(~x = A \sin \omega t\) a \(\varphi_0 =0.\)

Figyelembe véve, hogy \(A \cos \omega t = x\), a gyorsulás képlete felírható

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

azok. harmonikus rezgések esetén a gyorsulási vetület egyenesen arányos az elmozdulással és ellentétes előjelű, azaz. a gyorsulás az elmozdulással ellentétes irányba irányul.

Tehát a gyorsulási vetület az elmozdulás második deriváltja és x \u003d x "", akkor a kapott arány a következőképpen írható fel:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) vagy \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Az utolsó egyenlőséget ún harmonikus rezgések egyenlete.

Olyan fizikai rendszert nevezünk, amelyben harmonikus rezgések létezhetnek harmonikus oszcillátor,és a harmonikus rezgések egyenlete - harmonikus oszcillátor egyenlet.

Irodalom

Aksenovich L. A. Fizika a középiskolában: elmélet. Feladatok. Tesztek: Proc. ellátást nyújtó intézmények részére általános. környezetek, oktatás / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Szerk. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 368-370.

Maximális sebesség és gyorsulás értékek

A v(t) és a(t) függőség egyenleteinek elemzése után sejthető, hogy a sebesség és a gyorsulás maximális értékeit akkor veszik fel, ha a trigonometrikus tényező 1 vagy -1. A képlet határozza meg

Hogyan kaphatunk függőséget v(t) és a(t)

7. Szabad rezgések. Az oszcilláló mozgás sebessége, gyorsulása és energiája. Rezgések hozzáadása

Szabad rezgések(vagy természetes rezgések) egy oszcillációs rendszer rezgései, amelyek csak az eredetileg jelentett energia (potenciális vagy kinetikai) hatására jönnek létre, külső hatások nélkül.

A potenciális vagy kinetikus energia kommunikálható például mechanikai rendszerekben egy kezdeti elmozdulással vagy egy kezdeti sebességgel.

A szabadon rezgő testek mindig kölcsönhatásba lépnek más testekkel, és velük együtt testrendszert alkotnak, ún oszcillációs rendszer.

Például egy rugó, egy golyó és egy függőleges oszlop, amelyhez a rugó felső vége csatlakozik (lásd az alábbi ábrát), egy oszcillációs rendszer része. Itt a labda szabadon csúszik a húr mentén (a súrlódási erők elhanyagolhatóak). Ha jobbra viszi a labdát és magára hagyja, akkor szabadon oszcillál az egyensúlyi helyzet körül (pont O) a rugó egyensúlyi helyzet felé irányuló rugalmas erejének hatása miatt.

A mechanikus oszcillációs rendszer másik klasszikus példája a matematikai inga (lásd az alábbi ábrát). NÁL NÉL ez az eset a golyó szabadon oszcillál két erő hatására: a nehézségi erő és a szál rugalmas ereje (a Föld is belép az oszcillációs rendszerbe). Eredményüket az egyensúlyi helyzetbe irányítják.

Az oszcillációs rendszer testei között ható erőket ún belső erők. Külső erők az abban nem szereplő testekből a rendszerre ható erőket nevezzük. Ebből a szempontból a szabad rezgések úgy definiálhatók, mint egy rendszerben belső erők hatására bekövetkező rezgések, miután a rendszer kikerül az egyensúlyi helyzetből.

A szabad oszcillációk előfordulásának feltételei a következők:

1) olyan erő megjelenése bennük, amely visszaállítja a rendszert stabil egyensúlyi helyzetbe, miután kikerült ebből az állapotból;

2) nincs súrlódás a rendszerben.

A szabad rezgések dinamikája.

A test rezgései rugalmas erők hatására. Egy test lengő mozgásának egyenlete rugalmas erő hatására F(lásd ábra) Newton második törvényének ( F = ma) és Hooke törvénye ( F vezérlés= -kx), ahol m a labda tömege, és a labda által a rugalmas erő hatására elért gyorsulás, k- rugómerevségi együttható, x- a test elmozdulása az egyensúlyi helyzetből (mindkét egyenlet vízszintes tengelyre vetítve van felírva Ó). Ezen egyenletek jobb oldalainak egyenlővé tétele, és figyelembe véve, hogy a gyorsulás a a koordináta második deriváltja x(eltolások), kapjuk:

.

Ez egy rugalmas erő hatására rezgő test mozgásának differenciálegyenlete: a koordináta időhöz viszonyított második deriváltja (a test gyorsulása) egyenesen arányos a koordinátájával, ellenkező előjellel.

Matematikai inga oszcillációi. A matematikai inga lengési egyenletének megszerzéséhez (ábra) ki kell terjeszteni a gravitációs erőt F T= mg normálra F n(a menet mentén irányítva) és érintőleges F τ(a labda röppályájának érintője – kör) komponensek. A gravitáció normál összetevője F nés a szál rugalmas ereje Fynpösszességében centrifugális gyorsulást adnak az ingának, ami nem befolyásolja a sebesség nagyságát, csak az irányt változtatja, és a tangenciális komponens F τ az az erő, amely visszaállítja a labdát egyensúlyi helyzetébe, és oszcillációt okoz. Az előző esethez hasonlóan a Newton-törvényt használva az érintőleges gyorsulásra ma τ = F τés tekintettel arra F τ= -mg sinα, kapunk:

a τ= -g sinα,

A mínusz jel az erő és az egyensúlyi helyzettől való eltérés szöge miatt jelent meg α ellentétes előjelei vannak. Kis elhajlási szögekhez sinα ≈ α. viszont α = s/l, ahol s- ív OA, én- menethossz. Tekintettel arra és τ= s", végre megkapjuk:

Az egyenlet alakja hasonló az egyenlethez . Csak itt a rendszer paraméterei a menet hossza és a szabadesés gyorsulása, nem pedig a rugó merevsége és a golyó tömege; a koordináta szerepét az ív hossza (vagyis a megtett út, mint az első esetben) játssza.

Így a szabad rezgéseket azonos típusú egyenletek írják le (azonos törvények hatálya alatt), függetlenül az ezeket az oszcillációkat okozó erők fizikai természetétől.

Egyenletek megoldása és a forma függvénye:

x = xmcos ω 0t(vagy x = xmsin ω 0t).

Vagyis a szabad rezgéseket végző test koordinátája idővel a koszinusz vagy szinusz törvény szerint változik, és ezért ezek a rezgések harmonikusak:

Az egyenletben x = xmcos ω 0t(vagy x = xmsin ω 0t), x m- oszcillációs amplitúdó, ω 0 - saját ciklikus (kör) oszcillációs frekvencia.

A ciklikus frekvenciát és a szabad harmonikus rezgések periódusát a rendszer tulajdonságai határozzák meg. Tehát egy rugóra erősített test rezgéseire a következő összefüggések igazak:

.

Minél nagyobb a sajátfrekvencia, minél nagyobb a rugó merevsége vagy annál kisebb a terhelés tömege, amit a tapasztalatok teljes mértékben alátámasztanak.

Egy matematikai ingára ​​a következő egyenlőségek érvényesek:

.

Ezt a képletet először Huygens holland tudós szerezte meg és tesztelte (Newton kortársa).

A lengés periódusa az inga hosszával nő, és nem függ a tömegétől.

Külön meg kell jegyezni, hogy a harmonikus rezgések szigorúan periodikusak (mivel engedelmeskednek a szinusz- vagy koszinusztörvénynek), és még egy matematikai inga esetében is, amely egy valós (fizikai) inga idealizálása, csak kis rezgési szögek mellett lehetséges. Ha az elhajlási szögek nagyok, akkor a terhelés elmozdulása nem lesz arányos az elhajlási szöggel (a szög szinuszával), és a gyorsulás sem lesz arányos az elmozdulással.

A szabad oszcillációt végrehajtó test sebessége és gyorsulása harmonikus rezgéseket is végrehajt. A ( x = xmcos ω 0t(vagy x = xmsin ω 0t)), megkapjuk a sebesség kifejezését:

v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

ahol v m= ω 0 x m- sebesség amplitúdója.

Hasonlóképpen a gyorsulás kifejezése a megkülönböztetéssel kapjuk ( v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

ahol a m= ω 2 0x m- gyorsulási amplitúdó. Így a harmonikus rezgések sebességének amplitúdója arányos a frekvenciával, a gyorsulási amplitúdó pedig a rezgési frekvencia négyzetével.

HARMONIKUS OSZILLÁCIÓK
Azok az ingadozások, amelyekben a fizikai mennyiségek változása a koszinusz vagy szinusz törvény (harmonikus törvény) szerint történik, ún. harmonikus rezgések. Például mechanikai harmonikus rezgések esetén: Ezekben a képletekben ω az oszcillációs frekvencia, x m az oszcillációs amplitúdó, φ 0 és φ 0 ’ a rezgés kezdeti fázisai. A fenti képletek a kezdeti fázis definíciójában különböznek és φ 0 ’ = φ 0 + π/2 esetén teljesen egybeesnek.
Ez a periodikus rezgések legegyszerűbb formája. A függvény konkrét formája (szinusz vagy koszinusz) attól függ, hogy a rendszert hogyan hozzuk ki az egyensúlyból. Ha a kivonás lökéssel történik (kinetikus energiát adunk), akkor t=0-nál az elmozdulás x=0, ezért célszerűbb a sin függvény használata, φ 0 '=0 beállítással; az egyensúlyi helyzettől való eltéréskor (potenciális energiát közölnek) t=0-nál az elmozdulás x=x m, ezért célszerűbb a cos és φ 0 =0 függvényt használni.
A cos vagy sin jel alatti kifejezés, ún. oszcillációs fázis:. Az oszcilláció fázisát radiánban mérjük, és meghatározza az elmozdulás értékét (fluktuáló értéket) egy adott időpontban.
Az oszcillációs amplitúdó csak a kezdeti eltéréstől (az oszcillációs rendszer kezdeti energiájától) függ.
Sebesség és gyorsulás harmonikus rezgésekben.
A sebesség definíciója szerint a sebesség a koordináta deriváltja az idő függvényében
Így azt látjuk, hogy a harmonikus rezgőmozgás során a sebesség is a harmonikus törvény szerint változik, de a sebességingadozások π/2-vel megelőzik a fázisbeli elmozdulási ingadozásokat.
Az érték az oszcilláló mozgás maximális sebessége (sebesség-ingadozások amplitúdója).
Ezért a harmonikus oszcilláció alatti sebességre: , és nulla kezdeti fázis esetén (lásd a grafikont).
A gyorsulás definíciója szerint a gyorsulás a sebesség deriváltja az idő függvényében: a koordináta második deriváltja az idő függvényében. Akkor: . A harmonikus rezgőmozgás során a gyorsulás is a harmonikus törvény szerint változik, de a gyorsulási rezgések π/2-vel megelőzik a sebességrezgéseket és π-vel az elmozdulásos rezgéseket (ezek szerint oszcillációk lépnek fel fázison kívül).
Érték - maximális gyorsulás (a gyorsulás ingadozásának amplitúdója). Ezért a gyorsításhoz a következőket kínáljuk: és nulla kezdeti fázis esetén: (lásd a grafikont).
Az oszcilláló mozgás folyamatának, a grafikonok és a megfelelő matematikai kifejezések elemzéséből látható, hogy amikor a rezgő test átmegy az egyensúlyi helyzeten (az elmozdulás nulla), a gyorsulás nulla, a test sebessége pedig maximális (a test tehetetlenséggel halad át az egyensúlyi helyzeten), és az elmozdulás amplitúdóértékének elérésekor a sebesség nulla, a gyorsulás abszolút értékben maximális (a test megváltoztatja mozgásának irányát).
Hasonlítsuk össze a harmonikus rezgések elmozdulásának és gyorsulásának kifejezéseit: és .
Tudsz írni: - azaz az elmozdulás második deriváltja egyenesen arányos (ellentétes előjellel) az elmozdulással. Az ilyen egyenletet ún harmonikus rezgési egyenlet. Ez a függőség minden harmonikus rezgésre teljesül, függetlenül annak természetétől. Mivel konkrét oszcillációs rendszer paramétereit sehol nem használtuk, csak a ciklikus frekvencia függhet tőlük.
Gyakran célszerű az oszcillációk egyenleteit a következő formában írni: , ahol T az oszcillációs periódus. Ezután, ha az időt egy periódus töredékében fejezzük ki, a számítások egyszerűsödnek. Például, ha meg kell találni az eltolást a periódus 1/8-a után, akkor a következőt kapjuk: . Hasonlóan a sebességhez és a gyorsuláshoz.

Nem ritka, hogy egy rendszer egyidejűleg két vagy több független rezgésben vesz részt. Ezekben az esetekben komplex rezgőmozgás jön létre, amely rezgések egymásra helyezésével (összeadásával) jön létre. Nyilvánvalóan az oszcillációk összegzésének esetei nagyon sokfélék lehetnek. Nem csak a hozzáadott rezgések számától függenek, hanem az oszcillációs paraméterektől, azok frekvenciáitól, fázisaitól, amplitúdóitól, irányaitól. Nem lehet áttekinteni az oszcillációk összegzésének minden lehetséges változatát, ezért csak egyedi példákra szorítkozunk.
1. Rezgések hozzáadása egy irányba. Adjunk hozzá két azonos frekvenciájú, de eltérő fázisú és amplitúdójú rezgést.

(4.40)
Amikor az oszcillációk egymásra helyezkednek


Új A és j paramétereket vezetünk be az egyenletek szerint:

(4.42)
A (4.42) egyenletrendszer könnyen megoldható.

(4.43)

(4.44)
Így x-re végül megkapjuk az egyenletet

(4.45)
Tehát azonos frekvenciájú egyirányú rezgések összeadása eredményeként harmonikus (szinuszos) oszcillációt kapunk, melynek amplitúdóját és fázisát a (4.43) és (4.44) képlet határozza meg.
Tekintsünk olyan speciális eseteket, amikor két összegzett rezgés fázisainak aránya eltérő:


(4.46)
Adjuk most hozzá az azonos amplitúdójú, azonos fázisú, de eltérő frekvenciájú egyirányú rezgéseket.


(4.47)
Tekintsük azt az esetet, amikor a frekvenciák közel vannak egymáshoz, azaz w1~w2=w
Ekkor hozzávetőlegesen feltételezzük, hogy (w1+w2)/2= w, és (w2-w1)/2 kicsi. Az eredményül kapott oszcillációs egyenlet így fog kinézni:

(4.48)
Ennek grafikonja az ábrán látható. 4.5 Ezt az oszcillációt ütemnek nevezzük. W frekvenciával hajtják végre, de amplitúdója nagy periódussal ingadozik.

2. Két egymásra merőleges oszcilláció összeadása. Tegyük fel, hogy az egyik rezgést az x tengely mentén, a másikat az y tengely mentén hajtjuk végre. Az így létrejövő mozgás nyilvánvalóan az xy síkban helyezkedik el.
1. Tegyük fel, hogy a rezgési frekvenciák és fázisok azonosak, de az amplitúdók eltérőek.

(4.49)
Az eredményül kapott mozgás pályájának megtalálásához ki kell zárni az időt a (4.49) egyenletekből. Ehhez elég tagonként elosztani az egyik egyenletet a másikkal, aminek eredményeként azt kapjuk,

(4.50)
A (4.50) egyenlet azt mutatja, hogy ebben az esetben az oszcillációk összeadása egyenes vonal mentén oszcillációhoz vezet, amelynek lejtőszögének érintőjét az amplitúdók aránya határozza meg.
2. Legyen a hozzáadott rezgések fázisai /2-vel különböznek egymástól, és az egyenletek a következő alakúak:

(4.51)
Az eredményül kapott mozgás idő nélküli pályájának meghatározásához a (4.51) egyenleteket négyzetre kell emelni, először el kell osztani A1-el, illetve A2-vel, majd össze kell adni őket. A pályaegyenlet a következő formában lesz:

(4.52)
Ez az ellipszis egyenlete. Bizonyítható, hogy két azonos frekvenciájú, egymásra merőleges rezgés bármely kezdeti fázisa és tetszőleges amplitúdója esetén az eredő rezgés egy ellipszis mentén történik. Az iránya a hozzáadott rezgések fázisaitól és amplitúdóitól függ.
Ha a hozzáadott rezgések eltérő frekvenciájúak, akkor a létrejövő mozgások pályái nagyon változatosak. Csak akkor kapunk zárt trajektóriákat, ha az x és y rezgési frekvenciái egymás többszörösei. Az ilyen mozgások az időszakosok számának tudhatók be. Ebben az esetben a mozgások pályáit Lissajous-figuráknak nevezzük. Tekintsük az egyik Lissajous-figurát, amelyet 1:2 frekvenciaarányú, azonos amplitúdójú és fázisú rezgések összeadásával kapunk a mozgás elején.

(4.53)
Az y tengely mentén a rezgések kétszer olyan gyakran fordulnak elő, mint az x tengely mentén. Az ilyen oszcillációk összeadása nyolcas alakzatú mozgáspályát eredményez (4.7. ábra).

8. Csillapított rezgések és paramétereik: csökkenés és rezgési együttható, relaxációs idő

)A csillapított oszcillációk periódusa:

T = (58)

Nál nél δ << ω o a rezgések nem különböznek a harmonikusoktól: T = 2π/ o.

2) A csillapított rezgések amplitúdója a (119) képlet fejezi ki.

3) csillapítás csökkentés, egyenlő két egymást követő rezgésamplitúdó arányával DE(t) és DE(t+T), jellemzi az amplitúdócsökkenés mértékét az adott periódusban:

= e d T (59)

4) Logaritmikus csillapítás csökkenése- két egymást követő oszcilláció amplitúdóinak arányának természetes logaritmusa, amelyek egy periódusban eltérő időpontoknak felelnek meg

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

A logaritmikus csillapítás csökkenése egy adott rezgőrendszer állandó értéke.

5) Pihenő idő időszaknak nevezzük ( t), amely során a csillapított rezgések amplitúdója e-szeresére csökken:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

A (60) és (61) kifejezések összehasonlításából a következőket kapjuk:

q= = , (62)

ahol N e - a relaxációs idő alatt végzett oszcillációk száma.

Ha az idő alatt t készít a rendszer Ν akkor az ingadozások t = Ν . Τ és a csillapított rezgések egyenlete a következőképpen ábrázolható:

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Az oszcillációs rendszer minőségi tényezője(K) a rendszerben a rezgési periódus alatti energiaveszteséget jellemző mennyiséget szokás nevezni:

Q= 2p , (63)

ahol W a rendszer teljes energiája, ∆W az időszak alatt disszipált energia. Minél kevesebb a disszipált energia, annál nagyobb a rendszer minőségi tényezője. A számítások azt mutatják

Q = = pNe = = . (64)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, a minőségi tényező fordítottan arányos a logaritmikus csillapítás csökkenésével. A (64) képletből az következik, hogy a minőségi tényező arányos a rezgések számával N e a relaxációs idő alatt a rendszer végzi.

7) Helyzeti energia rendszer a t időpontban potenciális energiával fejezhető ki W 0 a legnagyobb eltérésnél:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Általában feltételesen úgy tekintik, hogy a rezgések gyakorlatilag megszűntek, ha energiájuk 100-szorosára csökkent (az amplitúdó 10-szeresére csökkent). Innen egy kifejezést kaphat a rendszer által keltett oszcillációk számának kiszámításához:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Kényszerrezgések. Rezonancia. időszakos ingadozások. Önrezgések.

Ahhoz, hogy a rendszer csillapítatlan lengéseket tudjon végrehajtani, szükséges a kívülről érkező súrlódásból adódó rezgések energiaveszteségének pótlása. Annak biztosítására, hogy a rendszer rezgésének energiája ne csökkenjen, általában egy olyan erőt vezetnek be, amely periodikusan hat a rendszerre (ezt nevezzük kényszerítőés kényszerrezgések).

MEGHATÁROZÁS: kényszerű Olyan rezgéseknek nevezzük, amelyek egy oszcillációs rendszerben külső, periodikusan változó erő hatására lépnek fel.

Ez az erő általában kettős szerepet tölt be:

először is megrázza a rendszert, és bizonyos mennyiségű energiát ad neki;

másodszor, időszakonként pótolja az energiaveszteséget (energiafogyasztást), hogy leküzdje az ellenállási és súrlódási erőket.

Hagyja, hogy a hajtóerő idővel változzon a törvény szerint:

.

Állítsunk össze egy mozgásegyenletet egy ilyen erő hatására rezgő rendszerre. Feltételezzük, hogy a rendszerre hat a kvázi rugalmas erő és a közeg húzóereje is (ami kis rezgések feltételezése esetén érvényes). Ekkor a rendszer mozgásegyenlete így fog kinézni:

Vagy .

A rendszer oszcillációinak sajátfrekvenciájának , , – helyettesítésével egy nem homogén lineáris differenciálegyenletet kapunk 2 th rendelés:

A differenciálegyenletek elméletéből ismert, hogy egy inhomogén egyenlet általános megoldása egyenlő egy homogén egyenlet általános megoldásának és egy inhomogén egyenlet egyedi megoldásának összegével.

A homogén egyenlet általános megoldása ismert:

,

ahol ; a 0 és a– önkényes konst.

.

Egy vektordiagram segítségével megbizonyosodhat arról, hogy ez a feltételezés igaz, és meghatározhatja a " a"és" j”.

Az oszcilláció amplitúdóját a következő kifejezés határozza meg:

.

jelentése " j”, amely a kényszerrezgés fáziskésleltetésének nagysága az azt okozó hajtóerőtől, szintén a vektordiagramból van meghatározva, és ez:

.

Végül az inhomogén egyenlet egy adott megoldása a következő formában lesz:

(8.18)

Ez a funkció a

(8.19)

általános megoldást ad egy inhomogén differenciálegyenletre, amely leírja a rendszer viselkedését kényszerrezgések hatására. A (8.19) kifejezés a folyamat kezdeti szakaszában, az ún. rezgések felállítása során játszik jelentős szerepet (8.10. ábra). Az idő múlásával az exponenciális tényező hatására a második tag (8.19) szerepe egyre inkább csökken, és kellő idő elteltével elhanyagolható, csak a (8.18) tagot tartva a megoldásban.

Így a (8.18) függvény az állandó, kényszerített rezgéseket írja le. Ezek olyan harmonikus rezgések, amelyek frekvenciája megegyezik a hajtóerő frekvenciájával. A kényszerrezgések amplitúdója arányos a hajtóerő amplitúdójával. Egy adott oszcillációs rendszernél (w 0 és b) az amplitúdó a hajtóerő frekvenciájától függ. Az erőltetett rezgések fázisban elmaradnak a hajtóerőtől, és a "j" késés mértéke a hajtóerő frekvenciájától is függ.

A kényszerrezgések amplitúdójának a hajtóerő frekvenciájától való függése oda vezet, hogy egy adott rendszerre meghatározott frekvencián az oszcillációs amplitúdó eléri a maximális értéket. Az oszcillációs rendszer ezen a frekvencián különösen érzékeny a hajtóerő hatására. Ezt a jelenséget az ún rezonancia, és a megfelelő frekvencia az rezonanciafrekvencia.

DEFINÍCIÓ: azt a jelenséget, amelyben az erőltetett rezgések amplitúdója meredeken emelkedik, ún. rezonancia.

A rezonanciafrekvencia a kényszerrezgések amplitúdójának maximális feltételéből kerül meghatározásra:

. (8.20)

Ezután ezt az értéket behelyettesítve az amplitúdó kifejezésébe, a következőt kapjuk:

. (8.21)

Közepes ellenállás hiányában a rezgések amplitúdója a rezonanciánál a végtelenbe fordulna; a rezonanciafrekvencia azonos feltételek mellett (b=0) egybeesik a természetes rezgési frekvenciával.

A kényszerrezgések amplitúdójának a hajtóerő frekvenciájától (vagy ami ugyanaz, a rezgés frekvenciájától) való függése grafikusan ábrázolható (8.11. ábra). Külön görbék felelnek meg a „b” különböző értékeinek. Minél kisebb a „b”, annál magasabban és jobbra van ennek a görbének a maximuma (lásd a w res. kifejezést). Nagyon nagy csillapítás esetén rezonancia nem figyelhető meg - a frekvencia növekedésével a kényszerrezgések amplitúdója monoton csökken (alsó görbe a 8.11. ábrán).

A b különböző értékeinek megfelelő bemutatott grafikonok halmazát nevezzük rezonancia görbék.

Megjegyzések a rezonancia görbékről:

a w®0 tendenciájának megfelelően minden görbe ugyanarra a nullától eltérő értékre jön, amely egyenlő . Ez az érték azt az elmozdulást jelenti az egyensúlyi helyzetből, amelyet a rendszer állandó erő hatására kap F 0 .

mivel w®¥ minden görbe aszimptotikusan nullára hajlik, mivel nagy frekvencián az erő olyan gyorsan változtatja irányát, hogy a rendszernek nincs ideje észrevehetően elmozdulni az egyensúlyi helyzetből.

minél kisebb b, annál erősebben változik a rezonancia közelében lévő amplitúdó a frekvenciával, annál "élesebb" a maximum.

A rezonancia jelensége gyakran hasznos, különösen az akusztikában és a rádiótechnikában.

Önrezgések- csillapítatlan rezgések egy disszipatív dinamikus rendszerben, nemlineáris visszacsatolással, amelyet az állandó energiája támogat, azaz nem időszakos külső hatás.

Az önrezgések különböznek a kényszerű rezgések mert az utóbbiak okozzák időszakos külső hatás és ennek a hatásnak a gyakoriságával fordulnak elő, míg az önrezgések előfordulását és gyakoriságát magának az önoszcilláló rendszernek a belső tulajdonságai határozzák meg.

Term önrezgések 1928-ban A. A. Andronov vezette be az orosz terminológiába.

Példák[

Példák az önrezgésekre:

· az óra inga csillapítatlan lengései az óraszerkezet súlyának állandó gravitációja miatt;

hegedűhúr rezgései az egyenletesen mozgó íj hatására

váltakozó áram előfordulása a multivibrátor áramkörökben és más elektronikus generátorokban állandó tápfeszültség mellett;

a légoszlop fluktuációja az orgona csövében, egyenletes levegőellátással. (lásd még állóhullám)

mágnesre felfüggesztett és csavart acéltengelyű sárgaréz óra fogaskerék forgási oszcillációi (Gamazkov kísérlete) (a kerék mozgási energiája, mint egy unipoláris generátornál, az elektromos tér potenciális energiájává alakul át, a az elektromos mező, mint egy unipoláris motornál, átalakul a kerék mozgási energiájává stb.)

Maklakov kalapács

Olyan kalapács, amely a váltakozó áram energiája miatt üt be, amelynek frekvenciája sokszor kisebb, mint az elektromos áramkörben folyó áram frekvenciája.

Az oszcillációs kör L tekercsét az asztal (vagy más ütni kell) fölé kell helyezni. Alulról egy vascső kerül bele, melynek alsó vége a kalapács ütköző része. A csőnek van egy függőleges nyílása a Foucault-áramok csökkentése érdekében. Az oszcillációs áramkör paraméterei olyanok, hogy rezgésének természetes frekvenciája egybeesik az áramkörben lévő áram frekvenciájával (például váltakozó városi áram, 50 hertz).

Az áram bekapcsolása és az oszcillációk létrejötte után az áramkör és a külső áramkör áramainak rezonanciája figyelhető meg, és a vascsövet behúzzák a tekercsbe. A tekercs induktivitása növekszik, az oszcillációs áramkör kimegy a rezonanciából, és a tekercsben az áramingadozások amplitúdója csökken. Ezért a cső a gravitáció hatására visszatér eredeti helyzetébe - a tekercsen kívül. Ezután az áramkörön belüli áramingadozások növekedni kezdenek, és újra beindul a rezonancia: a csövet ismét behúzzák a tekercsbe.

cső vállalja önrezgések, vagyis periodikus fel-le mozdulatokat, és egyben hangosan kopogtat az asztalon, akár egy kalapács. Ezeknek a mechanikai önrezgéseknek a periódusa tízszer nagyobb, mint az őket támogató váltóáram periódusa.

A kalapács M. I. Maklakovról, a Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézet előadóasszisztenséről kapta a nevét, aki egy ilyen kísérletet javasolt és végzett az önrezgések demonstrálására.

Az önrezgések mechanizmusa

1. ábra. Az önrezgések mechanizmusa

Az önrezgések eltérő természetűek lehetnek: mechanikai, termikus, elektromágneses, kémiai. Az önrezgések előfordulásának és fenntartásának mechanizmusa a különböző rendszerekben a fizika vagy a kémia különböző törvényein alapulhat. A különböző rendszerek önrezgésének pontos kvantitatív leírásához különböző matematikai apparátusra lehet szükség. Ennek ellenére elképzelhető egy olyan séma, amely minden önoszcilláló rendszerben közös, és minőségileg leírja ezt a mechanizmust (1. ábra).

A diagramon: S- állandó (nem időszakos) hatás forrása; R- egy nemlineáris vezérlő, amely az állandó hatást változóvá alakítja (például időben szaggatottá), amely „leng” oszcillátor V- a rendszer oszcilláló eleme (elemei), és az oszcillátor rezgései visszacsatoláson keresztül B szabályozza a szabályozó működését R, beállítás fázisés frekvencia tetteit. A disszipációt (energia disszipációt) egy önoszcilláló rendszerben az állandó hatásforrásból bejutó energia kompenzálja, melynek köszönhetően az önrezgések nem csillapodnak.

Rizs. 2 Az ingaóra racsnis mechanizmusának vázlata

Ha a rendszer egy oszcilláló eleme képes a saját csillapított oszcillációk(úgynevezett. harmonikus disszipatív oszcillátor), az önrezgések (az időszak alatt egyenlő disszipációval és a rendszerbe történő energiabevitellel) közeli frekvencián jönnek létre. rezonáns ennél az oszcillátornál az alakjuk közel harmonikussá válik, és az amplitúdó egy bizonyos értéktartományban minél nagyobb, annál nagyobb az állandó külső hatás.

Egy ilyen rendszerre példa egy ingaóra racsnis mechanizmusa, melynek diagramja az 1. ábrán látható. 2. A racsnis kerék tengelyén A(amely ebben a rendszerben egy nemlineáris vezérlő funkcióját látja el) állandó erőnyomaték van M a fogaskereken keresztül a főrugótól vagy a súlytól továbbítódik. Amikor a kerék forog A fogai rövid távú erőimpulzusokat adnak az ingának P(oszcillátor), melynek köszönhetően rezgései nem fakulnak el. A mechanizmus kinematikája a visszacsatolás szerepét tölti be a rendszerben, szinkronizálva a kerék forgását az inga lengéseivel oly módon, hogy a lengés teljes időtartama alatt a kerék egy fognak megfelelő szögben elfordul.

A harmonikus oszcillátort nem tartalmazó önoszcilláló rendszereket nevezzük pihenés. A bennük lévő rezgések nagyon eltérhetnek a harmonikusoktól, és téglalap, háromszög vagy trapéz alakúak. A relaxációs önrezgések amplitúdóját és periódusát az állandó hatás nagyságának és a rendszer tehetetlenségének és disszipációjának az aránya határozza meg.

Rizs. 3 Elektromos csengő

A relaxációs önrezgések legegyszerűbb példája egy elektromos csengő működése, amely az ábrán látható. 3. Az állandó (nem periodikus) expozíció forrása itt egy elektromos akkumulátor U; a nemlineáris vezérlő szerepét egy chopper látja el T, az elektromos áramkör zárása és kinyitása, aminek következtében szakaszos áram keletkezik benne; Az oszcilláló elemek az elektromágnes magjában periodikusan indukált mágneses tér E, és horgony A váltakozó mágneses tér hatására mozog. Az armatúra oszcillációi működtetik a szaggatót, amely a visszacsatolást képezi.

Ennek a rendszernek a tehetetlenségét két különböző fizikai mennyiség határozza meg: az armatúra tehetetlenségi nyomatéka DEés az elektromágnes tekercs induktivitása E. Ezen paraméterek bármelyikének növekedése az önrezgések időtartamának növekedéséhez vezet.

Ha több olyan elem is van a rendszerben, amelyek egymástól függetlenül oszcillálnak, és egyidejűleg hatnak egy nemlineáris vezérlőre vagy vezérlőkre (amiből több is lehet), akkor az önoszcillációk összetettebb jelleget ölthetnek, pl. időszakos, vagy dinamikus káosz.

A természetben és a technikában

Az önrezgések számos természeti jelenség hátterében állnak:

a növényi levelek ingadozása egyenletes légáramlás hatására;

· turbulens áramlások kialakulása folyók zúgóin és zúgóin;

A szabályos gejzírek akciója stb.

Számos különféle műszaki eszköz és eszköz működési elve az önrezgéseken alapul, beleértve:

mindenféle óra megmunkálása, mind mechanikus, mind elektromos;

· minden fúvós és vonós hangszer megszólaltatása;

©2015-2019 oldal
Minden jog a szerzőket illeti. Ez az oldal nem igényel szerzői jogot, de ingyenesen használható.
Az oldal létrehozásának dátuma: 2017-04-04

ingadozások olyan mozgásoknak vagy folyamatoknak nevezzük, amelyekre egy bizonyos időismétlés jellemző. A természetben és a technológiában elterjedtek az oszcillációs folyamatok, például az óra inga kilengése, váltakozó elektromos áram stb. Az inga oszcillációja során megváltozik a tömegközéppontjának koordinátája, váltóáram esetén a feszültség és az áramerősség az áramkörben ingadoznak. A rezgések fizikai természete eltérő lehet, ezért megkülönböztetünk mechanikus, elektromágneses stb. oszcillációkat, azonban a különböző rezgési folyamatokat ugyanazokkal a jellemzőkkel és azonos egyenletekkel írják le. Ebből adódik a megvalósíthatóság egységes megközelítés a rezgések tanulmányozására eltérő fizikai természet.

A fluktuációkat ún ingyenes, ha csak a rendszer elemei között ható belső erők hatására készülnek, miután a rendszert külső erők kivonják az egyensúlyból és magukra hagyják. Mindig szabad rezgések csillapított rezgések mert a valós rendszerekben elkerülhetetlenek az energiaveszteségek. Az energiaveszteség nélküli rendszer idealizált esetében a szabad rezgések (ameddig csak kívánatos) ún. saját.

A szabad csillapítatlan rezgések legegyszerűbb típusai a harmonikus rezgések - ingadozások, amelyekben az ingadozó érték idővel változik a szinusz (koszinusz) törvény szerint. A természetben és a technológiában előforduló rezgések gyakran a harmonikushoz közeli jellegűek.

A harmonikus rezgéseket a harmonikus rezgések egyenletének nevezett egyenlet írja le:

ahol DE- ingadozások amplitúdója, az ingadozó érték maximális értéke x; - a természetes oszcillációk körkörös (ciklikus) frekvenciája; - az oszcilláció kezdeti fázisa egy adott pillanatban t= 0; - az oszcilláció pillanatnyi fázisa t. A rezgés fázisa határozza meg az oszcilláló mennyiség értékét egy adott időpontban. Mivel a koszinusz +1 és -1 között változik, akkor xértékeket vehet fel +-ból A előtt - DE.

Idő T, amelyre a rendszer egy teljes oszcillációt hajt végre, hívjuk oszcilláció periódusa. Alatt T az oszcillációs fázist 2-vel növeljük π , azaz

Ahol . (14.2)

Az oszcillációs periódus reciproka

azaz az egységnyi idő alatti teljes rezgések számát rezgési frekvenciának nevezzük. Összehasonlítva (14.2) és (14.3) kapjuk

A frekvencia mértékegysége a hertz (Hz): 1 Hz az a frekvencia, amelyen 1 másodperc alatt egy teljes rezgés megy végbe.

Azokat a rendszereket, amelyekben szabad rezgések léphetnek fel, ún oszcillátorok . Milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie egy rendszernek, hogy szabad oszcilláció történjen benne? A mechanikus rendszernek rendelkeznie kell stabil egyensúlyi helyzet, amely kilépéskor megjelenik az erő visszaállítása az egyensúly felé. Ez a pozíció, mint ismeretes, megfelel a rendszer potenciális energiájának minimumának. Tekintsünk több olyan oszcillációs rendszert, amelyek kielégítik a felsorolt ​​tulajdonságokat.

Külső, periodikusan változó erők hatására fellépő rezgések (időszakos energiaellátás kívülről az oszcillációs rendszerbe)

Energia átalakulás

Rugós inga

A ciklikus frekvencia és az oszcillációs periódus rendre:

Tökéletesen rugalmas rugóra erősített anyagpont

Ø rugóinga potenciális és mozgási energiájának ábrázolása az x koordinátán.

Ø a kinetikus és potenciális energia időfüggésének kvalitatív grafikonjai.

Ø Kényszerű

Ø A kényszerrezgések gyakorisága megegyezik a külső erő változásainak gyakoriságával

Ø Ha az Fbc a szinusz vagy koszinusz törvény szerint változik, akkor az erőltetett rezgések harmonikusak lesznek

Ø Önrezgések esetén az oszcillációs rendszeren belül saját forrásból periodikus energiaellátás szükséges

A harmonikus rezgések olyan rezgések, amelyekben az oszcilláció értéke idővel változik a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint

a harmonikus rezgések (a pontok mozgásának törvényei) egyenletek alakja

Harmonikus rezgések olyan oszcillációkat nevezünk, amelyekben az oszcillációs érték a törvény szerint idővel változiksinus vagykoszinusz .
Harmonikus rezgésegyenlet úgy néz ki, mint a:

,
hol egy - oszcillációs amplitúdó (a rendszer egyensúlyi helyzettől való legnagyobb eltérésének értéke); -körkörös (ciklikus) frekvencia. Időnként változó koszinusz argumentum - ún oszcillációs fázis . Az oszcillációs fázis határozza meg a rezgő mennyiség elmozdulását az egyensúlyi helyzetből egy adott t időpontban. A φ konstans a fázis értéke t = 0 időpontban, és ún az oszcilláció kezdeti fázisa . A kezdeti fázis értékét a referenciapont megválasztása határozza meg. Az x érték -A és +A közötti értékeket vehet fel.
A T időintervallum, amely után az oszcillációs rendszer bizonyos állapotai ismétlődnek, az oszcilláció periódusának nevezzük . A koszinusz 2π periódusú periodikus függvény, ezért egy T időtartamon keresztül, amely után a rezgési fázis 2π-vel egyenlő növekményt kap, a harmonikus rezgéseket végző rendszer állapota megismétlődik. Ezt a T időtartamot harmonikus rezgések periódusának nevezzük.
A harmonikus rezgések periódusa az : T = 2π/.
Az egységnyi idő alatti rezgések számát ún oszcillációs frekvencia ν.
A harmonikus rezgések frekvenciája egyenlő: ν = 1/T. Frekvencia egység hertz(Hz) - egy oszcilláció másodpercenként.
A körfrekvencia = 2π/T = 2πν megadja a rezgések számát 2π másodpercben.

Általánosított harmonikus rezgés differenciális formában

Grafikusan a harmonikus rezgések ábrázolhatók x t-től való függéseként (1.1.A ábra), és forgó amplitúdó módszer (vektordiagram módszer)(1.1.B ábra) .

A forgó amplitúdós módszer lehetővé teszi a harmonikus rezgések egyenletében szereplő összes paraméter megjelenítését. Valóban, ha az amplitúdóvektor DE az x tengellyel φ szöget zár be (lásd 1.1. B ábra), akkor a vetülete az x tengelyre egyenlő lesz: x = Acos(φ). A φ szög a kezdeti fázis. Ha a vektor DE a rezgések körfrekvenciájával megegyező szögsebességgel forog, akkor a vektor végének vetülete az x tengely mentén elmozdul és -A-tól +A-ig terjedő értékeket vesz fel, és ennek a vetületnek a koordinátáját törvény szerint idővel változni fog:
.
Így a vektor hossza megegyezik a harmonikus rezgés amplitúdójával, a vektor iránya a kezdeti pillanatban az x tengellyel szöget zár be, amely megegyezik a φ rezgés kezdeti fázisával, és az irányváltozás Az idővel bezárt szög egyenlő a harmonikus rezgések fázisával. Az az idő, ameddig az amplitúdóvektor egy teljes fordulatot tesz, megegyezik a harmonikus rezgések T periódusával. A vektor másodpercenkénti fordulatszáma megegyezik a ν rezgési frekvenciával.