समतल 2 पर लम्बवत रेखा कहलाती है। लम्बवत रेखा और तल, रेखा और तल के लम्बवत होने के संकेत और शर्तें

इस लेख में हम एक रेखा और एक तल की लंबवतता के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, एक समतल पर लंबवत रेखा की परिभाषा दी गई है, एक ग्राफिक चित्रण और उदाहरण दिया गया है, और एक समतल पर लंबवत रेखा का पदनाम दिखाया गया है। इसके बाद एक सीधी रेखा और एक तल के लंबवतता का चिह्न तैयार किया जाता है। इसके बाद, ऐसी स्थितियां प्राप्त होती हैं जो एक सीधी रेखा और एक विमान की लंबवतता को साबित करना संभव बनाती हैं, जब सीधी रेखा और विमान को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कुछ समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। निष्कर्ष में, विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत समाधान दिखाए गए हैं।

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लंबवत सीधी रेखा और तल - बुनियादी जानकारी।

हम अनुशंसा करते हैं कि आप पहले लंबवत रेखाओं की परिभाषा को दोहराएँ, क्योंकि किसी समतल पर लंबवत रेखा की परिभाषा रेखाओं की लंबवतता के माध्यम से दी जाती है।

परिभाषा।

वे कहते हैं कि रेखा समतल के लंबवत है, यदि यह इस तल में पड़ी किसी रेखा पर लंबवत है।

हम यह भी कह सकते हैं कि एक तल एक रेखा पर लंबवत है, या एक रेखा और एक तल लंबवत हैं।

लंबवतता को इंगित करने के लिए, "" जैसे आइकन का उपयोग करें। अर्थात्, यदि सीधी रेखा c समतल पर लंबवत है, तो हम संक्षेप में लिख सकते हैं।

किसी समतल पर लंबवत रेखा का एक उदाहरण वह रेखा है जिसके अनुदिश एक कमरे की दो आसन्न दीवारें प्रतिच्छेद करती हैं। यह रेखा समतल और छत के समतल के लंबवत है। जिम में रस्सी को फर्श के तल के लंबवत एक सीधी रेखा खंड के रूप में भी माना जा सकता है।

लेख के इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम ध्यान देते हैं कि यदि एक सीधी रेखा किसी समतल पर लंबवत है, तो सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण नब्बे डिग्री के बराबर माना जाता है।

एक सीधी रेखा और एक तल की लंबवतता - लंबवतता का संकेत और शर्तें।

व्यवहार में, यह प्रश्न अक्सर उठता है: "क्या दी गई सीधी रेखा और तल लंबवत हैं?" इसका उत्तर देने के लिए वहाँ है एक रेखा और एक तल की लंबवतता के लिए पर्याप्त स्थिति, यानी ऐसी स्थिति, जिसकी पूर्ति सीधी रेखा और तल की लंबवतता की गारंटी देती है। इस पर्याप्त स्थिति को एक रेखा और एक तल के लंबवतता का चिह्न कहा जाता है। आइए इसे एक प्रमेय के रूप में तैयार करें।

प्रमेय.

किसी दी गई रेखा और तल के लंबवत होने के लिए, यह पर्याप्त है कि वह रेखा इस तल में स्थित दो प्रतिच्छेदी रेखाओं पर लंबवत हो।

आप कक्षा 10-11 के लिए ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक में एक रेखा और एक तल की लंबवतता के संकेत का प्रमाण देख सकते हैं।

एक रेखा और एक तल की लंबवतता स्थापित करने की समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित प्रमेय का भी अक्सर उपयोग किया जाता है।

प्रमेय.

यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक समतल पर लंबवत है, तो दूसरी रेखा भी समतल पर लंबवत होती है।

स्कूल में, कई समस्याओं पर विचार किया जाता है, जिनके समाधान के लिए एक रेखा और एक विमान की लंबवतता के संकेत का उपयोग किया जाता है, साथ ही अंतिम प्रमेय का भी उपयोग किया जाता है। हम यहां उन पर ध्यान नहीं देंगे। लेख के इस भाग में हम एक रेखा और एक तल की लंबवतता के लिए निम्नलिखित आवश्यक और पर्याप्त शर्तों के अनुप्रयोग पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

इस शर्त को निम्नलिखित रूप में पुनः लिखा जा सकता है।

होने देना रेखा a, और का दिशा सदिश है विमान का सामान्य वेक्टर है. सीधी रेखा a और समतल के लंबवत होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है और : , जहाँ t कोई वास्तविक संख्या है।

एक रेखा और एक तल की लंबवतता के लिए इस आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का प्रमाण एक रेखा के दिशा सदिश और एक तल के सामान्य सदिश की परिभाषाओं पर आधारित है।

जाहिर है, यह स्थिति एक रेखा और एक विमान की लंबवतता को साबित करने के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है, जब रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक और एक निश्चित त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक आसानी से पाए जा सकते हैं . यह उन मामलों के लिए सच है जब उन बिंदुओं के निर्देशांक दिए जाते हैं जिनके माध्यम से विमान और रेखा गुजरती है, साथ ही उन मामलों के लिए जब रेखा अंतरिक्ष में एक रेखा के कुछ समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती है, और विमान को एक समीकरण द्वारा दिया जाता है किसी प्रकार का हवाई जहाज़।

आइए कई उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

रेखा की लंबता सिद्ध करें और विमान.

समाधान।

हम जानते हैं कि अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरणों के हर में मौजूद संख्याएँ इस रेखा के दिशा वेक्टर के संगत निर्देशांक हैं। इस प्रकार, - प्रत्यक्ष वेक्टर .

किसी समतल के सामान्य समीकरण में चर x, y और z के गुणांक इस समतल के सामान्य सदिश के निर्देशांक होते हैं, अर्थात विमान का सामान्य वेक्टर है.

आइए हम एक रेखा और एक तल की लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त की पूर्ति की जाँच करें।

क्योंकि , फिर सदिश और संबंध से संबंधित हैं , अर्थात् वे संरेख हैं। इसलिए, सीधे विमान के लंबवत.

उदाहरण।

क्या रेखाएँ लंबवत हैं? और विमान.

समाधान।

आइए हम किसी दी गई सीधी रेखा के दिशा वेक्टर और विमान के सामान्य वेक्टर का पता लगाएं ताकि यह जांचा जा सके कि रेखा और विमान की लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें पूरी होती हैं या नहीं।

निर्देशन सदिश सीधा है है

निर्माणइस तल के बाहर लिए गए एक बिंदु से दिए गए तल पर लंबवत एक सीधी रेखा।
होने देना ए- समतल, ए - वह बिंदु जहां से लंब को नीचे किया जाना चाहिए। आइए समतल में एक सीधी रेखा खींचें ए. बिंदु A और सीधी रेखा से होकर एआइए एक हवाई जहाज़ बनाएं बी(एक सीधी रेखा और एक बिंदु एक विमान को परिभाषित करते हैं, और केवल एक)। हवाई जहाज में बीबिंदु A से हम एक सीधी रेखा पर आते हैं एलंबवत एबी. बिंदु B से समतल तक एआइए हम लंब को पुनर्स्थापित करें और उस सीधी रेखा को नामित करें जिसके परे यह लंब स्थित है साथ. खंड AB और सीधी रेखा से होकर साथआइए एक हवाई जहाज़ बनाएं जी(दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक तल को परिभाषित करती हैं, और केवल एक)। हवाई जहाज में जीबिंदु A से हम एक सीधी रेखा पर आते हैं साथएसी के लंबवत. आइए हम साबित करें कि खंड एसी विमान के लंबवत है बी. सबूत। सीधा एसीधी रेखाओं के लंबवत साथऔर एबी (निर्माण द्वारा), जिसका अर्थ है कि यह विमान के लंबवत है जी, जिसमें ये दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ स्थित हैं (रेखा और तल की लंबवतता के आधार पर)। और चूँकि यह इस तल पर लंबवत है, तो यह इस तल में किसी भी सीधी रेखा पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह एक सीधी रेखा है एएसी के लंबवत. रेखा AC समतल α में स्थित दो रेखाओं के लंबवत है: साथ(निर्माण द्वारा) और ए(जो सिद्ध किया गया है उसके अनुसार), इसका मतलब है कि यह विमान α के लंबवत है (रेखा और विमान की लंबवतता के आधार पर)

प्रमेय 1 . यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ दो लंबवत रेखाओं के समानांतर हों, तो वे भी लंबवत होती हैं।
सबूत। होने देना एऔर बी- लम्बवत रेखायें, ए 1 और बी 1 - उनके समानांतर प्रतिच्छेदी रेखाएँ। आइए हम सिद्ध करें कि सीधी रेखाएँ ए 1 और बी 1 लंबवत हैं.
अगर सीधा है ए, बी, ए 1 और बी 1 एक ही तल में स्थित हैं, तो उनके पास प्रमेय में निर्दिष्ट संपत्ति है, जैसा कि प्लैनिमेट्री से ज्ञात होता है।
आइए अब मान लें कि हमारी रेखाएँ एक ही तल में नहीं हैं। फिर सीधा एऔर बीकिसी समतल α और सीधी रेखाओं में स्थित हों ए 1 और बी 1 - किसी समतल β में। समतलों की समानता के आधार पर, समतल α और β समानांतर हैं। मान लीजिए C रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है एऔर बी, और सी 1 - रेखाओं का प्रतिच्छेदन ए 1 और बी 1 . आइए हम समतल में समान्तर रेखाएँ बनाएँ एऔर ए एऔर ए 1 बिंदु A और A 1 पर। समांतर रेखाओं के तल में बीऔर बीसीधी रेखा सीसी 1 के समानांतर 1 रेखा। वह हद पार कर जायेगी बीऔर बी 1 बिंदु B और B 1 पर।
चतुर्भुज CAA 1 C 1 और SVV 1 C 1 समांतर चतुर्भुज हैं, क्योंकि उनकी सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं। चतुर्भुज ABC 1 A 1 भी एक समांतर चतुर्भुज है। इसकी भुजाएँ AA 1 और BB 1 समानांतर हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक रेखा CC 1 के समानांतर है। इस प्रकार, चतुर्भुज समानांतर रेखाओं AA 1 और BB 1 से गुजरने वाले तल में स्थित है। और यह समानांतर समतल α और β को समानांतर सीधी रेखाओं AB और A 1 B 1 के अनुदिश काटता है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, तो AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. समानता के तीसरे चिह्न के अनुसार, त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 बराबर हैं। तो, कोण A 1 C 1 B 1, कोण ACB के बराबर, सीधा है, अर्थात। सीधा ए 1 और बी 1 लंबवत हैं. वगैरह।

गुणएक सीधी रेखा और एक तल के लंबवत।
प्रमेय 2 . यदि एक समतल दो समानांतर रेखाओं में से एक पर लंबवत है, तो वह दूसरी रेखा पर भी लंबवत होता है।
सबूत। होने देना ए 1 और ए 2 - दो समानांतर रेखाएँ और α - रेखा पर लंबवत एक तल ए 1 . आइए हम सिद्ध करें कि यह तल सीधी रेखा पर लंबवत है ए 2 .
आइए बिंदु A से होकर जाने वाली एक रेखा के 2 प्रतिच्छेदन बनाएं ए 2 समतल α के साथ एक मनमाना सीधी रेखा साथα तल में 2. आइए हम समतल α में बिंदु A 1 से होकर जाने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बनाएं ए 1 समतल α के साथ सीधा साथ 1, रेखा के समानांतर साथ 2. चूंकि यह सीधा है ए 1 समतल α पर लंबवत है, फिर सीधी रेखाएँ ए 1 और साथ 1 लंबवत हैं. और प्रमेय 1 के अनुसार, प्रतिच्छेदी रेखाएँ उनके समानांतर होती हैं ए 2 और साथ 2 भी लंबवत हैं. इस प्रकार, सीधे ए 2 किसी भी रेखा पर लंबवत है साथα तल में 2. और इसका मतलब सीधा है ए 2 समतल α के लंबवत है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 3 . एक ही तल पर लंबवत दो सीधी रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।
हमारे पास एक समतल α और उस पर लंबवत दो रेखाएँ हैं एऔर बी. आइए इसे साबित करें ए || बी.
समतल की सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींचें साथ. हमें जो विशेषता मिलती है उसके आधार पर ए ^ सीऔर बी ^ सी. सीधी रेखाओं के माध्यम से एऔर बीआइए एक विमान बनाएं (दो समानांतर रेखाएं एक विमान को परिभाषित करती हैं, और केवल एक)। इस तल में हमारे पास दो समानांतर रेखाएँ हैं एऔर बीऔर सेकेंट साथ. यदि आंतरिक एकपक्षीय कोणों का योग 180° है, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं। हमारे पास ऐसा ही एक मामला है - दो समकोण। इसीलिए ए || बी.

लेख एक सीधी रेखा और एक विमान की लंबवतता की अवधारणा को प्रकट करता है, एक सीधी रेखा और एक विमान की परिभाषा देता है, रेखांकन करता है और एक लंबवत सीधी रेखा और एक विमान के पदनाम को दर्शाता है। आइए हम एक संकेत बनाएं कि एक रेखा एक समतल पर लंबवत है। आइए उन स्थितियों पर विचार करें जिनके तहत सीधी रेखा और विमान, विमान और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिए गए समीकरणों के लंबवत होंगे। सब कुछ उदाहरण के साथ दिखाया जाएगा.

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

एक सीधी रेखा एक समतल पर लंबवत होती हैजब यह इस तल में पड़ी किसी रेखा पर लंबवत हो।

यह सच है कि एक तल एक रेखा पर लंबवत होता है, जैसे एक रेखा एक तल पर लंबवत होती है।

लंबता को "⊥" द्वारा दर्शाया जाता है। यदि शर्त निर्दिष्ट करती है कि रेखा c समतल γ के लंबवत है, तो प्रविष्टि का रूप c ⊥ γ है।

उदाहरण के लिए, यदि एक सीधी रेखा किसी समतल पर लंबवत है, तो केवल एक सीधी रेखा खींचना संभव है, जिसके कारण कमरे की दो आसन्न दीवारें प्रतिच्छेद करेंगी। सीधी रेखा को छत के तल के लंबवत माना जाता है। जिम में स्थित रस्सी को एक सीधा खंड माना जाता है जो विमान के लंबवत होता है इस मामले मेंअर्द्ध.

यदि समतल पर लंब रेखा हो तो रेखा और समतल के बीच का कोण समकोण अर्थात 90 डिग्री के बराबर माना जाता है।

एक सीधी रेखा और एक तल की लंबवतता - लंबवतता का संकेत और शर्तें

लम्बवतता का पता लगाने के लिए, रेखा और तल की लम्बवतता की पर्याप्त स्थिति का उपयोग करना आवश्यक है। यह सीधी रेखा और तल की लंबवतता की गारंटी देता है। इस स्थिति को पर्याप्त माना जाता है और इसे एक रेखा और एक तल के लंबवतता का संकेत कहा जाता है।

प्रमेय 1

किसी दी गई रेखा और तल के लंबवत होने के लिए, यह पर्याप्त है कि रेखा इस तल में स्थित दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत हो।

कक्षा 10-11 के लिए ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में एक विस्तृत प्रमाण दिया गया है। प्रमेय का उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जहां एक रेखा और एक विमान की लंबवतता स्थापित करना आवश्यक होता है।

प्रमेय 2

बशर्ते कि कम से कम एक सीधी रेखा समतल के समानांतर हो, यह माना जाता है कि दूसरी सीधी रेखा भी इस तल पर लंबवत है।

एक रेखा और एक तल की लंबवतता का संकेत स्कूल के समय से ही माना जाता रहा है, जब ज्यामिति में समस्याओं को हल करना आवश्यक होता है। आइए अधिक विस्तार से एक और आवश्यक और पर्याप्त स्थिति पर विचार करें जिसके तहत सीधी रेखा और विमान लंबवत होंगे।

प्रमेय 3

सीधी रेखा a के समतल γ के लंबवत होने के लिए, एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त सीधी रेखा a के दिशा वेक्टर और समतल γ के सामान्य वेक्टर की संरेखता है।

सबूत

a → = (a x , a y , a z) के लिए एक रेखा a का सदिश होना, n → = (n x , n y , n z) के लिए समतल γ का एक सामान्य सदिश होना, लंबवतता को पूरा करने के लिए यह आवश्यक है कि रेखा a और समतल γ सदिश a → = (a x , a y , a z) और n → = (n x , n y , n z) की संरेखता की स्थिति से संबंधित है। यहां से हमें पता चलता है कि a → = t · n → ⇔ a x = t · n x a y = t · n y a z = t · n z, t एक वास्तविक संख्या है।

यह प्रमाण रेखा और तल की लंबवतता, रेखा के दिशा सदिश और तल के सामान्य सदिश की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति पर आधारित है।

यह शर्त एक रेखा और एक तल की लंबवतता को साबित करने के लिए लागू होती है, क्योंकि यह रेखा के दिशात्मक वेक्टर के निर्देशांक और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को खोजने और फिर गणना करने के लिए पर्याप्त है। इसका उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जब एक रेखा को अंतरिक्ष में एक रेखा के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, और एक विमान को किसी प्रकार के विमान के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है।

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि दी गई रेखा x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 समतल x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z पर लंबवत है।

समाधान

विहित समीकरणों के हर किसी दी गई रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। यहां से हमें पता चलता है कि a → = (2 - 1, 2, 2 - 7) रेखा x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 का दिशा वेक्टर है।

किसी समतल के सामान्य समीकरण में, चर x, y, z के सामने के गुणांक किसी दिए गए समतल के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। यह इस प्रकार है कि n → = (1, 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) समतल x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0 का सामान्य सदिश है

यह जांचना आवश्यक है कि क्या शर्तें पूरी होती हैं। हमें वह मिल गया

2 - 1 = t · 1 2 = t · 2 (2 + 1) 2 = t · (- (5 + 6 2)) ⇔ t = 2 - 1, तो सदिश a → और n → व्यंजक द्वारा संबंधित हैं ए → = (2 - 1) · एन → .

यह सदिशों की संरेखता है। इसका तात्पर्य यह है कि सीधी रेखा x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 समतल x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 = 0 पर लंबवत है।

उत्तर:एक सीधी रेखा और एक तल लंबवत हैं।

उदाहरण 2

निर्धारित करें कि क्या सीधी रेखा y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 और समतल x 1 2 + z - 1 2 = 1 लंबवत हैं।

समाधान

लंबवतता के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह आवश्यक है कि एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त पूरी हो, यानी सबसे पहले आपको दी गई सीधी रेखा का वेक्टर और विमान का सामान्य वेक्टर ढूंढना होगा।

सीधी रेखा y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 से यह स्पष्ट है कि दिशा सदिश a → समतल y - 1 = 0 और x + 4 z - 2 = 0 के सामान्य सदिशों का गुणनफल है। .

यहां से हमें पता चलता है कि a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 · i → - k → .

वेक्टर निर्देशांक a → = (4 , 0 , - 1) .

खंड x 1 2 + z - 1 2 = 1 में विमान का समीकरण विमान 2 x - 2 z - 1 = 0 के समीकरण के बराबर है, जिसका सामान्य वेक्टर n → = (2, 0,) है - 2).

सदिशों a → = (4, 0, - 1) और n → = (2, 0, - 2) की संरेखता की जाँच करना आवश्यक है।

ऐसा करने के लिए, आइए लिखें:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर समतल के सामान्य वेक्टर के संरेख नहीं है। इसका मतलब यह है कि y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 एक सीधी रेखा है, जो समतल x 1 2 + z - 1 2 के लंबवत नहीं है।

उत्तर:एक सीधी रेखा और एक तल लंबवत नहीं हैं।

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प्लैनिमेट्री में, लंब का निर्माण इस तथ्य पर आधारित होता है कि यह किसी दिए गए बिंदु और विचाराधीन रेखा के सापेक्ष उसके सममित बिंदु को जोड़ता है। यदि हम किसी समतल पर लंब की अवधारणा तैयार करना चाहते हैं, तो हम इस समतल के बाहर स्थित किसी भी बिंदु को ले सकते हैं, इस बिंदु को किसी दिए गए समतल में दर्पण की तरह प्रतिबिंबित कर सकते हैं, और इस बिंदु को इसके प्रतिबिंब के साथ जोड़ सकते हैं; तब हमें समतल पर एक लम्ब मिलता है। हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक सीधी रेखा के सापेक्ष प्रतिबिंब के मामले में, पूरा मामला एक दी गई सीधी रेखा के साथ विमान को मोड़ने के लिए नीचे आया, यानी, आंदोलन के लिए, भले ही अंतरिक्ष में उत्पन्न हुआ हो। समतल में परावर्तन अब गति तक सीमित नहीं रह गया है। इसलिए, प्लेनमेट्री में एक रेखा के लंबवत के प्रश्न की संबंधित प्रस्तुति की तुलना में एक विमान के लंबवत के प्रश्न की प्रस्तुति अधिक जटिल है; यह पाठक को ज्ञात निम्नलिखित पर आधारित है

परिभाषा। एक रेखा को किसी तल पर लंबवत कहा जाता है यदि वह इस तल में पड़ी किसी रेखा पर लंबवत हो।

चूँकि दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के बीच का कोण, परिभाषा के अनुसार, डेटा के समानांतर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं के बीच के कोण के बराबर होता है, तो सीधी रेखा a (चित्र 337), प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले समतल K की सभी सीधी रेखाओं के लंबवत होती है। समतल K के साथ सीधी रेखा a, समतल K पर भी लंबवत होगी, वास्तव में, यह समतल में किसी भी रेखा के साथ एक समकोण बनाती है क्योंकि यह इस समतल में b के समानांतर एक बिंदु के माध्यम से खींची गई रेखा b पर लंबवत है।

वास्तव में, एक रेखा और एक तल की लंबवतता के लिए एक बहुत ही सरल परीक्षण है। किसी समतल की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं पर लंबवत रेखा उस समतल पर लंबवत होती है।

सबूत। चलो चित्र में. 338 रेखा ए, एक्स तल में स्थित दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है। उपरोक्त टिप्पणी के आधार पर, हम, व्यापकता के नुकसान के बिना, यह मान सकते हैं कि रेखा ए, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि सीधी रेखा a लंबवत है और किसी भी सीधे तल पर, उसी टिप्पणी के कारण, हम मान सकते हैं कि सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। आइए हम निम्नलिखित सहायक निर्माण करें: सीधी रेखा ए पर हम एक मनमाना बिंदु एम लेते हैं और विमान एच के दूसरी तरफ निरंतरता पर एक बिंदु एम बिंदु से कुछ दूरी पर विमान एक्स में तीन सीधी रेखाएं हम किसी भी रेखा को काटते हैं सी जो चौराहे के बिंदुओं से नहीं गुजरती है हम क्रमशः पी, क्यू, आर को दर्शाते हैं आइए बिंदु एम और एम को बिंदु पी, क्यू, आर से जोड़ते हैं। त्रिकोण बराबर हैं, क्योंकि वे आयताकार हैं, पैर निर्माण में समान हैं, और पैर आम है; इसका मतलब यह है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं: (आप और भी आसानी से नोट कर सकते हैं कि एमआर - एमआर, समान प्रक्षेपण वाले तिरछे वाले की तरह)। खंड एमक्यू, एमक्यू भी बराबर हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज MPQ और MPQ बराबर (तीन तरफ) हैं। यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि त्रिभुज MQR सर्वांगसम हैं और उनकी समान भुजाओं MQ और MQ और उभयनिष्ठ भुजा QR के बीच समान कोण हैं: (समान त्रिभुजों में संगत कोण)। अब हम देख सकते हैं कि त्रिभुज तीन भुजाओं के बराबर होते हैं)। इस प्रकार, कोण एमएमयूआर बराबर हैं, और चूंकि वे आसन्न हैं, उनमें से प्रत्येक सही है। कथन सिद्ध हो चुका है।

एक लंब तल को किसी भी सीधी रेखा पर खींचा जा सकता है।

वास्तव में, आइए एक मनमाना सीधी रेखा लें और किसी भी बिंदु पर उस पर दो लंब बनाएं (इस सीधी रेखा के माध्यम से खींचे गए किन्हीं दो विमानों में स्थित)। एक विमान उनके बीच से गुजरता है, जैसे दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के माध्यम से। पिछले वाले के अनुसार, यह सीधी रेखा इस तल पर लंबवत के रूप में कार्य करती है।

उपरोक्त तर्क से, यह निष्कर्ष भी निकलता है: किसी दी गई रेखा के किसी एक बिंदु पर लंबवत सभी रेखाएं इस रेखा के लंबवत एक ही तल में स्थित होती हैं।

समतल के किसी भी बिंदु पर आप उस पर लंब भी पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, इस विमान में दिए गए बिंदु के माध्यम से इस विमान में पड़ी दो रेखाएँ खींचना पर्याप्त है, और फिर उसी बिंदु पर खींची गई रेखाओं के लंबवत दो विमानों का निर्माण करना है। एक सामान्य बिंदु होने पर, ये दोनों विमान एक सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करेंगे, जो एक साथ विमान में दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत होंगे और इसलिए, स्वयं विमान के लंबवत होंगे।

वीडियो ट्यूटोरियल 2: तीन लंबों का प्रमेय. लिखित

वीडियो ट्यूटोरियल 3: तीन लंबों का प्रमेय. काम

भाषण: एक सीधी रेखा और एक तल की लंबवतता, चिह्न और गुण; लंबवत और तिरछा; तीन लंबवत प्रमेय

आइए याद रखें कि वास्तव में रेखाओं की लंबवतता क्या है। 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ लंबवत होती हैं। इस स्थिति में, उनके बीच का कोण या तो किसी बिंदु पर प्रतिच्छेदन की स्थिति में या क्रॉसिंग की स्थिति में हो सकता है। यदि कुछ रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उन्हें लंबवत रेखाएँ भी कहा जा सकता है, यदि समानांतर अनुवाद के कारण रेखा दूसरी रेखा पर एक बिंदु पर स्थानांतरित हो जाती है।

परिभाषा:यदि कोई रेखा किसी समतल से संबंधित किसी रेखा पर लंबवत है, तो उसे इस समतल पर लंबवत माना जा सकता है।

संकेत:यदि एक निश्चित तल पर दो लंबवत रेखाएं हैं और कोई तीसरी रेखा उनमें से प्रत्येक पर लंबवत है, तो यह तीसरी रेखा विमान के लंबवत है।

गुण:

• यदि कुछ रेखाएँ एक तल पर लंबवत हैं, तो वे परस्पर एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

• यदि दो समानान्तर तल हैं, साथ ही कोई सीधी रेखा भी है जो एक तल पर लम्बवत् है, तो वह दूसरे तल पर भी लम्बवत है।
• विपरीत कथन देना भी संभव है: यदि एक निश्चित रेखा दो अलग-अलग विमानों के लंबवत है, तो ऐसे विमान आवश्यक रूप से समानांतर होते हैं।

इच्छुक

यदि कोई सीधी रेखा किसी ऐसे मनमाने बिंदु को, जो समतल पर स्थित नहीं है, समतल के किसी भी बिंदु से जोड़ती है, तो ऐसी सीधी रेखा कहलाएगी इच्छुक.

कृपया ध्यान दें कि यह तभी झुका हुआ है जब इसके और विमान के बीच का कोण 90 डिग्री न हो।

चित्र में, AB α तल की ओर झुका हुआ है। इस स्थिति में, बिंदु B को झुके हुए का आधार कहा जाता है।

यदि हम बिंदु A से समतल तक एक खंड खींचते हैं, जो समतल के साथ 90 डिग्री का कोण बनाएगा, तो यह खंड लंबवत कहा जाएगा। लम्बवत् को किसी समतल की सबसे छोटी दूरी भी कहा जाता है।

AC बिंदु A से समतल α पर खींचा गया एक लम्ब है। इस स्थिति में, बिंदु C को लम्ब का आधार कहा जाता है।

यदि इस चित्र में हम एक खंड बनाते हैं जो लंबवत (सी) के आधार को झुके हुए (बी) के आधार से जोड़ देगा, तो परिणामी खंड को कहा जाएगा अनुमान.

सरल निर्माणों के परिणामस्वरूप, हमें एक समकोण त्रिभुज प्राप्त हुआ। इस त्रिभुज में कोण ABC को तिरछा और प्रक्षेपण के बीच का कोण कहा जाता है।

तीन लंबवत प्रमेय