Geomeetrilise progressiooni nimetaja väljendatakse metroloogia valemiga. Geomeetriline progressioon näidete abil

Geomeetriline progressioon matemaatikas mitte vähem oluline kui aritmeetikas. Geomeetriline progressioon on selline arvude jada b1, b2,..., b[n], mille iga järgmine liige saadakse eelneva korrutamisel konstantse arvuga. Seda arvu, mis iseloomustab ka progresseerumise kasvu või vähenemise kiirust, nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetaja ja tähistada

Geomeetrilise progressiooni täielikuks määramiseks on lisaks nimetajale vaja teada või määrata selle esimene liige. Nimetaja positiivse väärtuse korral on progressiooniks monotoonne jada ja kui see arvujada on monotoonselt kahanev ja monotoonselt kasvav millal. Juhtu, kui nimetaja on võrdne ühega, praktikas ei arvestata, kuna meil on identsete arvude jada ja nende liitmine ei paku praktilist huvi

Geomeetrilise progressiooni üldtermin arvutatakse valemi järgi

Geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa määratakse valemiga

Vaatleme klassikalise geomeetrilise progressiooni ülesannete lahendusi. Alustame kõige lihtsamini mõistetavast.

Näide 1. Geomeetrilise progressiooni esimene liige on 27 ja selle nimetaja on 1/3. Leidke geomeetrilise progressiooni kuus esimest liiget.

Lahendus: kirjutame vormile ülesande tingimuse

Arvutusteks kasutame geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit

Selle põhjal leiame progressiooni tundmatud liikmed

Nagu näete, pole geomeetrilise progressiooni tingimuste arvutamine keeruline. Edenemine ise näeb välja selline

Näide 2. Geomeetrilise progressiooni kolm esimest liiget on antud: 6; -12; 24. Leia nimetaja ja seitsmes liige.

Lahendus: Arvutame geomeetrilise progressiooni nimetaja selle definitsiooni alusel

Saime vahelduva geomeetrilise progressiooni, mille nimetaja on -2. Seitsmes liige arvutatakse valemiga

Selle ülesandega on lahendatud.

Näide 3. Geomeetriline progressioon on antud kahe selle liikme poolt . Leidke progressiooni kümnes liige.

Lahendus:

Kirjutame antud väärtused valemite kaudu

Reeglite järgi oleks vaja leida nimetaja ja seejärel otsida soovitud väärtus, kuid kümnendaks liikmeks on meil

Sama valemi saab saada lihtsate manipulatsioonide põhjal sisendandmetega. Jagame sarja kuuenda liikme teisega, tulemuseks saame

Kui saadud väärtus korrutada kuuenda liikmega, saame kümnenda

Seega saate sellistele probleemidele lihtsate teisenduste abil kiiresti leida õige lahenduse.

Näide 4. Geomeetriline progressioon on antud korduvate valemitega

Leidke geomeetrilise progressiooni nimetaja ja esimese kuue liikme summa.

Lahendus:

Kirjutame antud andmed võrrandisüsteemi kujul

Väljendage nimetaja, jagades teise võrrandi esimesega

Leidke esimesest võrrandist progresseerumise esimene liige

Geomeetrilise progressiooni summa leidmiseks arvutage järgmised viis liiget

Matemaatika on misinimesed kontrollivad loodust ja iseennast.

Nõukogude matemaatik, akadeemik A.N. Kolmogorov

Geomeetriline progressioon.

Lisaks aritmeetilise progressiooni ülesannetele on matemaatika sisseastumiskatsetel levinud ka geomeetrilise progressiooni mõistega seotud ülesanded. Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks peate teadma geomeetrilise progressiooni omadusi ja omama häid oskusi nende kasutamisel.

See artikkel on pühendatud geomeetrilise progressiooni põhiomaduste tutvustamisele. Samuti on toodud näiteid tüüpiliste probleemide lahendamisest, laenatud matemaatika sisseastumiskatsete ülesannetest.

Märgime esmalt geomeetrilise progressiooni põhiomadused ja tuletame meelde olulisemad valemid ja väited, seotud selle kontseptsiooniga.

Definitsioon. Arvjada nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks, kui iga selle arv, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Geomeetrilise progressiooni jaoksvalemid kehtivad

, (1)

kus . Valemit (1) nimetatakse geomeetrilise progressiooni üldliikme valemiks ja valem (2) on geomeetrilise progressiooni põhiomadus: progressiooni iga liige langeb kokku tema naaberliikmete geomeetrilise keskmise ja .

Märge, et just selle omaduse tõttu nimetatakse kõnealust progressiooni "geomeetriliseks".

Ülaltoodud valemid (1) ja (2) on kokku võetud järgmiselt:

, (3)

Summa arvutamiseks esiteks geomeetrilise progressiooni liikmedvalem kehtib

Kui me määrame

kus . Kuna , valem (6) on valemi (5) üldistus.

Juhul, kui ja geomeetriline progressioonväheneb lõpmatult. Summa arvutamisekslõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni kõigist liikmetest kasutatakse valemit

. (7)

Näiteks , kasutades valemit (7), saab näidata, mida

kus . Need võrdsused saadakse valemist (7) eeldusel, et , (esimene võrdsus) ja , (teine ​​võrdsus).

Teoreem. Kui siis

Tõestus. Kui siis ,

Teoreem on tõestatud.

Liigume edasi probleemide lahendamise näidete kaalumisele teemal "Geomeetriline progressioon".

Näide 1 Arvestades: , ja . Leia .

Lahendus. Kui rakendatakse valemit (5), siis

Vastus:.

Näide 2 Lase ja . Leia .

Lahendus. Kuna ja , kasutame valemeid (5), (6) ja saame võrrandisüsteemi

Kui süsteemi (9) teine ​​võrrand on jagatud esimesega, siis või . Sellest järeldub . Vaatleme kahte juhtumit.

1. Kui , siis süsteemi (9) esimesest võrrandist saame.

2. Kui , siis .

Näide 3 Laske , ja . Leia .

Lahendus. Valemist (2) tuleneb, et või . Alates , siis või .

Tingimuse järgi. Siiski . Sest ja , siis siin on võrrandisüsteem

Kui süsteemi teine ​​võrrand on jagatud esimesega, siis või .

Kuna võrrandil on üks sobiv juur . Sel juhul tähendab süsteemi esimene võrrand .

Võttes arvesse valemit (7), saame.

Vastus:.

Näide 4 Arvestades: ja . Leia .

Lahendus. Sellest ajast .

Sest siis või

Vastavalt valemile (2) on meil . Sellega seoses saame võrdsusest (10) või .

Kuid tingimusel, seega .

Näide 5 On teada, et. Leia .

Lahendus. Teoreemi järgi on meil kaks võrdsust

Alates , siis või . Sest siis.

Vastus:.

Näide 6 Arvestades: ja . Leia .

Lahendus. Võttes arvesse valemit (5), saame

Sellest ajast . Alates , ja , siis .

Näide 7 Lase ja . Leia .

Lahendus. Valemi (1) järgi saame kirjutada

Seetõttu on meil või . On teada, et ja , seega ja .

Vastus:.

Näide 8 Leia lõpmatu kahaneva geomeetrilise progressiooni nimetaja, kui

ja .

Lahendus. Valemist (7) järeldub ja . Siit ja ülesande tingimusest saame võrrandisüsteemi

Kui süsteemi esimene võrrand on ruudus, ja seejärel jagage saadud võrrand teise võrrandiga, siis saame

Või .

Vastus:.

Näide 9 Leidke kõik väärtused, mille jada , , on geomeetriline progressioon.

Lahendus. Laske , ja . Vastavalt valemile (2), mis määratleb geomeetrilise progressiooni põhiomaduse, võime kirjutada või .

Siit saame ruutvõrrandi, mille juured on ja .

Kontrollime: kui, seejärel , ja ; kui , siis ja .

Esimesel juhul on meil ja , ja teises - ja .

Vastus: ,.

Näide 10lahendage võrrand

, (11)

kus ja.

Lahendus. Võrrandi (11) vasak pool on lõpmatu kahaneva geomeetrilise progressiooni summa, milles ja , tingimusel, et: ja .

Valemist (7) järeldub, mida . Sellega seoses võtab võrrand (11) kuju või . sobiv juur ruutvõrrand on

Vastus:.

Näide 11. P positiivsete arvude jadamoodustab aritmeetilise progressiooni, a - geomeetriline progressioon, mis sellel pistmist on. Leia .

Lahendus. Sest aritmeetiline jada, siis (aritmeetilise progressiooni peamine omadus). Kuna, siis või . See tähendab, et geomeetriline progressioon on. Vastavalt valemile (2), siis kirjutame selle .

Alates ja , siis . Sel juhul väljend võtab kuju või . Tingimuse järgi, seega võrrandistsaame vaadeldava probleemi ainulaadse lahenduse, st. .

Vastus:.

Näide 12. Arvuta summa

. (12)

Lahendus. Korrutage mõlemad võrdsuse pooled (12) 5-ga ja saate

Kui lahutame saadud avaldisest (12)., siis

või .

Arvutamiseks asendame väärtused valemiga (7) ja saame . Sellest ajast .

Vastus:.

Siin toodud probleemide lahendamise näited on sisseastumiseksamiteks valmistumisel kasulikud. Probleemide lahendamise meetodite sügavamaks uurimiseks, seotud geomeetrilise progressiooniga, saate kasutada soovitatud kirjanduse loendis olevaid õpetusi.

1. Matemaatika ülesannete kogu tehnikaülikooli sisseastujatele / Toim. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 lk.

2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: kooli õppekava lisalõigud. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 lk.

3. Medynsky M.M. Algmatemaatika tervikkursus ülesannetes ja harjutustes. 2. raamat: Numbrite järjestused ja progressid. – M.: Editus, 2015. - 208 lk.

Kas teil on küsimusi?

Juhendaja abi saamiseks - registreeru.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Juba Vana-Egiptuses teadsid nad mitte ainult aritmeetikat, vaid ka geomeetrilist progressiooni. Siin on näiteks ülesanne Rhindi papüürusest: „Seitsmes näos on seitse kassi; iga kass sööb seitse hiirt, iga hiir sööb seitse viljakõrvast, iga kõrv võib kasvatada seitse mõõtu otra. Kui suured on selle seeria numbrid ja nende summa?

Riis. 1. Vana-Egiptuse geomeetrilise progressiooni probleem

Seda ülesannet korrati palju kordi erinevate variatsioonidega teiste rahvaste vahel ka muul ajal. Näiteks XIII sajandil kirjutatud. Pisa Leonardo (Fibonacci) "Abakuse raamatus" on probleem, mille puhul ilmuvad Rooma teel 7 vana naist (ilmselgelt palverändurid), kellest igaühel on 7 muula, millest igaühel on 7 kotti, millest igaühel on 7 pätsi, millest igaühel on 7 nuga, millest igaüks on 7 ümbrises. Probleem küsib, kui palju esemeid on.

Geomeetrilise progressiooni S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) esimese n liikme summa. Seda valemit saab tõestada näiteks järgmiselt: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Liidame S n-le arvu b 1 q n ja saame:

Seega S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ja saame vajaliku valemi.

Juba ühel Vana-Babüloni savitahvlil, mis pärineb VI sajandist. eKr e., sisaldab summat 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Tõsi, nagu paljudel muudel juhtudel, me ei tea, kust see asjaolu babüloonlastele teada oli .

Geomeetrilise progressiooni kiiret kasvu paljudes kultuurides, eriti Indias, kasutatakse korduvalt universumi tohutu sümbolina. Tuntud legendis malemängu ilmumise kohta annab valitseja nende leiutajale võimaluse ise tasu valida ja ta küsib nii palju nisuterasid, mis saadakse, kui need asetatakse maleva esimesse lahtrisse. malelaud, kaks teisel, neli kolmandal, kaheksa neljandal jne, iga kord, kui number kahekordistub. Vladyka arvas, et see oli kõige rohkem paar kotti, kuid ta tegi valearvestuse. On hästi näha, et kõigi 64 malelaua ruudu kohta oleks leiutaja pidanud saama (2 64 - 1) tera, mis on väljendatud 20-kohalise arvuna; isegi kui kogu Maa pind oleks külvatud, kuluks vajaliku hulga tera kogumiseks vähemalt 8 aastat. Seda legendi tõlgendatakse mõnikord viitena malemängus peituvatele peaaegu piiramatutele võimalustele.

Seda, et see number on tõesti 20-kohaline, on lihtne näha:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (täpsem arvutus annab 1,84 10 19). Aga huvitav, kas saate teada, mis numbriga see number lõpeb?

Geomeetriline progressioon suureneb, kui nimetaja absoluutväärtus on suurem kui 1, või väheneb, kui see on väiksem kui üks. Viimasel juhul võib arv q n muutuda suvaliselt väikeseks piisavalt suure n korral. Kui kasvav eksponentsiaal suureneb ootamatult kiiresti, siis kahanev eksponentsiaal väheneb sama kiiresti.

Mida suurem n, seda nõrgem on arv q n nullist erinev ja seda lähemal on geomeetrilise progressiooni S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) n liikme summa arvule S \u003d b 1 / (1 - q) . (Nii põhjendatud, näiteks F. Viet). Arvu S nimetatakse lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summaks. Siiski ei olnud matemaatikutele sajandeid piisavalt selge küsimus, mida tähendab KÕIK geomeetrilise progressiooni liitmine selle lõpmatu arvu terminitega.

Kahanev geomeetriline progressioon on näha näiteks Zenoni apooriates "Hammustus" ja "Achilleus ja kilpkonn". Esimesel juhul on selgelt näidatud, et kogu tee (oletame, et pikkus on 1) on lõpmatu arvu lõikude 1/2, 1/4, 1/8 jne summa. See on muidugi nii Lõpliku summa lõpmatu geomeetrilise progressiooni ideede vaatenurk. Ja veel – kuidas see saab olla?

Achilleuse apoorias on olukord veidi keerulisem, sest siin ei võrdu progressi nimetaja mitte 1/2, vaid mõne muu arvuga. Olgu näiteks Achilleus jooksmas kiirusega v, kilpkonn liigub kiirusega u ja nende vaheline algkaugus on l. Achilleus läbib selle distantsi ajas l / v, kilpkonn liigub selle aja jooksul vahemaa lu / v. Kui Achilleus läbib selle lõigu, muutub tema ja kilpkonna vaheline kaugus võrdseks l (u / v) 2 jne. Selgub, et kilpkonnale järele jõudmine tähendab lõpmatult väheneva geomeetrilise progressiooni summa leidmist esimesega. liige l ja nimetaja u / v. See summa – lõik, mille Achilleus lõpuks kilpkonnaga kohtumispunkti jookseb – võrdub l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Aga jällegi, kuidas seda tulemust tõlgendada ja miks sellel üldse mõtet on, polnud pikka aega väga selge.

Geomeetrilise progressiooni summat kasutas Archimedes parabooli segmendi pindala määramisel. Olgu parabooli antud lõik piiritletud kõõluga AB ja parabooli punktis D olev puutuja on paralleelne AB . Olgu C punkti AB keskpunkt, E punkti AC keskpunkt ja F punkti CB keskpunkt. Joonestada DC-ga paralleelsed sirged läbi punktide A , E , F , B ; olgu punktis D tõmmatud puutuja, need sirged lõikuvad punktides K , L , M , N . Joonistame ka lõigud AD ja DB. Olgu sirge EL lõikunud sirgega AD punktis G ja parabooliga punktis H; sirge FM lõikub sirgega DB punktis Q ja parabooliga punktis R. Koonuslõigete üldise teooria kohaselt on alalisvoolu parabooli (st selle teljega paralleelse segmendi) läbimõõt; see ja puutuja punktis D võivad toimida koordinaattelgedena x ja y, milles parabooli võrrand on kirjutatud kujul y 2 \u003d 2px (x on kaugus punktist D mis tahes antud läbimõõduga punktini, y on a pikkus). antud puutujaga paralleelne segment sellest läbimõõdupunktist kuni parabooli enda punktini).

Paraboolvõrrandi alusel on DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA ja kuna DK = 2DL , siis KA = 4LH . Kuna KA = 2LG, LH = HG. Parabooli segmendi ADB pindala on võrdne kolmnurga ΔADB pindalaga ja segmentide AHD ja DRB pindaladega kokku. Segmendi AHD pindala on omakorda võrdne kolmnurga AHD ja ülejäänud segmentide AH ja HD pindalaga, millest igaühega saab teha sama toimingu - jagada kolmnurgaks (Δ) ja kaks ülejäänud segmenti () jne:

Kolmnurga ΔAHD pindala on võrdne poolega kolmnurga ΔALD pindalast (neil on ühine alus AD ja kõrgused erinevad 2 korda), mis omakorda on võrdne poolega kolmnurga ΔALD pindalast. kolmnurga ΔAKD ja seega pool kolmnurga ΔACD pindalast. Seega on kolmnurga ΔAHD pindala võrdne veerandiga kolmnurga ΔACD pindalast. Samuti on kolmnurga ΔDRB pindala võrdne veerandiga kolmnurga ΔDFB pindalast. Seega on kolmnurkade ∆AHD ja ∆DRB pindalad kokkuvõetuna võrdsed veerandiga kolmnurga ∆ADB pindalast. Korrates seda toimingut vastavalt lõikudele AH , HD , DR ja RB, valitakse ka nendest kolmnurgad, mille pindala kokku on 4 korda väiksem kui kolmnurkade ΔAHD ja ΔDRB pindala. kokku ja seega 16 korda vähem kui kolmnurga ΔADB pindala. Ja nii edasi:

Seega tõestas Archimedes, et "iga sirgjoone ja parabooli vahele jääv lõik on neli kolmandikku kolmnurgast, millel on sellega sama alus ja võrdne kõrgus".

Esimene tase

Geomeetriline progressioon. Põhjalik näidetega juhend (2019)

Numbriline jada

Nii et istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, milline teine ​​ja nii edasi kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbriline jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Näiteks meie jada jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele järjekorranumbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu -th number) on alati sama.

Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.

Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Meie puhul:

Levinumad progressioonitüübid on aritmeetiline ja geomeetriline. Selles teemas räägime teisest liigist - geomeetriline progressioon.

Miks me vajame geomeetrilist progressiooni ja selle ajalugu.

Juba iidsetel aegadel tegeles kaubanduse praktiliste vajadustega Itaalia matemaatik, Pisa munk Leonardo (tuntud paremini kui Fibonacci). Munga ees seisis ülesanne kindlaks teha, milline on väikseim raskuste arv, millega saab kaupa kaaluda? Fibonacci tõestab oma kirjutistes, et selline kaalude süsteem on optimaalne: See on üks esimesi olukordi, kus inimesed pidid tegelema geomeetrilise progressiooniga, millest olete ilmselt kuulnud ja millest teil on vähemalt üldine ettekujutus. Kui olete teemast täielikult aru saanud, mõelge, miks selline süsteem on optimaalne?

Praegu avaldub elupraktikas panka vahendite paigutamisel geomeetriline progressioon, mil intressisumma arvestatakse kontole eelneva perioodi eest kogunenud summalt. Ehk kui panna raha hoiupanka tähtajalisele hoiusele, siis aastaga suureneb hoius esialgsest summast, s.t. uus summa võrdub sissemakse korrutisega. Järgmise aastaga suureneb see summa, i.е. sel ajal saadud summa korrutatakse uuesti ja nii edasi. Sarnast olukorda kirjeldatakse arvutamise probleemides nn liitintress- protsent võetakse iga kord arvel olevast summast, arvestades eelnevat intressi. Nendest ülesannetest räägime veidi hiljem.

Lihtsamaid juhtumeid, kus rakendatakse geomeetrilist progressiooni, on palju rohkem. Näiteks gripi levik: üks inimene nakatas inimese, nemad omakorda teise inimese ja seega ka teine ​​nakkuslaine - inimene ja nemad omakorda nakatas teise ... ja nii edasi. .

Muide, finantspüramiid, seesama MMM, on lihtne ja kuiv arvutus geomeetrilise progressiooni omaduste järgi. Huvitav? Selgitame välja.

Geomeetriline progressioon.

Oletame, et meil on numbrijada:

Vastate kohe, et see on lihtne ja sellise jada nimi on aritmeetiline progressioon selle liikmete erinevusega. Kuidas oleks millegi sellisega:

Kui lahutada eelmine arv järgmisest arvust, siis näed, et iga kord saad uue vahe (vms), aga jada on kindlasti olemas ja seda on lihtne märgata - iga järgmine arv on kordades suurem kui eelmine!

Seda tüüpi jada nimetatakse geomeetriline progressioon ja on märgitud.

Geomeetriline progressioon ( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Piirangud, et esimene liige ( ) ei ole võrdne ega ole juhuslik. Oletame, et neid pole ja esimene liige on ikkagi võrdne ja q on, hmm .. las, siis selgub:

Nõus, et see pole edasiminek.

Nagu te mõistate, saame samad tulemused, kui see on mis tahes muu arv kui null, kuid. Nendel juhtudel lihtsalt ei toimu progresseerumist, kuna kogu numbriseeria on kas kõik nullid või üks arv ja kõik ülejäänud nullid.

Räägime nüüd üksikasjalikumalt geomeetrilise progressiooni nimetajast, see tähendab umbes.

Kordame: - see on arv, mitu korda iga järgnev termin muutub geomeetriline progressioon.

Mis see teie arvates olla võiks? See on õige, positiivne ja negatiivne, kuid mitte null (me rääkisime sellest veidi kõrgemal).

Oletame, et meil on positiivne. Olgu meie puhul a. Mis on teine ​​termin ja? Sellele saate hõlpsalt vastata:

Hästi. Seega, kui, siis on kõigil järgmistel edenemise liikmetel sama märk - nemad positiivne.

Mis siis, kui see on negatiivne? Näiteks a. Mis on teine ​​termin ja?

See on hoopis teine ​​lugu

Proovige lugeda selle edenemise tähtaeg. Kui palju sa said? Mul on. Seega, kui, siis geomeetrilise progressiooni liikmete märgid vahelduvad. See tähendab, et kui näete selle liikmetes vahelduvate märkidega progressiooni, on selle nimetaja negatiivne. Need teadmised aitavad teil end proovile panna selleteemaliste probleemide lahendamisel.

Nüüd harjutame veidi: proovige kindlaks teha, millised arvulised jadad on geomeetriline ja millised aritmeetilised:

Sain aru? Võrrelge meie vastuseid:

• Geomeetriline progressioon – 3, 6.
• Aritmeetiline progressioon – 2, 4.
• See ei ole aritmeetiline ega geomeetriline progressioon - 1, 5, 7.

Pöördume tagasi oma viimase progressiooni juurde ja proovime leida selle liikme samamoodi nagu aritmeetikas. Nagu võite arvata, on selle leidmiseks kaks võimalust.

Korrutame iga liikme järjestikku arvuga.

Seega on kirjeldatud geomeetrilise progressiooni -s liige võrdne.

Nagu juba arvate, tuletate nüüd ise valemi, mis aitab teil leida geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme. Või oled selle juba enda jaoks välja toonud, kirjeldades, kuidas etapiviisiliselt th liiget leida? Kui jah, siis kontrollige oma arutluskäigu õigsust.

Illustreerime seda selle progressi -nda liikme leidmise näitega:

Teisisõnu:

Leia endale antud geomeetrilise progressiooni liikme väärtus.

Juhtus? Võrrelge meie vastuseid:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu kui eelmises meetodis, kui korrutasime järjestikku geomeetrilise progressiooni iga eelmise liikmega.
Proovime seda valemit "depersonaliseerida" - viime selle üldisesse vormi ja saame:

Tuletatud valem kehtib kõigi väärtuste kohta - nii positiivsete kui ka negatiivsete. Kontrollige seda ise, arvutades geomeetrilise progressiooni liikmed järgmistel tingimustel: , a.

Kas sa lugesid? Võrdleme tulemusi:

Nõus, et progressiooni liiget oleks võimalik leida samamoodi nagu liiget, kuid on võimalus valearvestuseks. Ja kui oleme juba leidnud geomeetrilise progressiooni th liikme a, siis mis saaks olla lihtsam kui kasutada valemi "kärbitud" osa.

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon.

Hiljuti rääkisime sellest, mis võib olla nullist suurem või väiksem, kuid on olemas spetsiaalsed väärtused, mille jaoks nimetatakse geomeetrilist progressiooni. lõpmatult väheneb.

Mis sa arvad, miks sellel selline nimi on?
Alustuseks paneme kirja mõne liikmetest koosneva geomeetrilise progressiooni.
Ütleme siis:

Näeme, et iga järgnev liige on kordades väiksem kui eelmine liige, aga kas arvu tuleb? Vastad kohe – "ei". Sellepärast lõpmatult kahanev - väheneb, väheneb, kuid ei muutu kunagi nulliks.

Et selgelt mõista, kuidas see visuaalselt välja näeb, proovime joonistada oma edenemise graafiku. Niisiis, meie puhul on valem järgmine:

Diagrammidel oleme harjunud sõltuvust tekitama, seetõttu:

Avaldise olemus ei ole muutunud: esimeses kirjes näitasime geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse sõltuvust selle järgarvust ja teises kirjes võtsime lihtsalt geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse ja järjekorranumbrit tähistati mitte kui, vaid kui. Jääb vaid joonistada graafik.
Vaatame, mis sul on. Siin on diagramm, mille sain:

Näete? Funktsioon väheneb, kaldub nulli, kuid ei ületa seda kunagi, seega on see lõpmatult vähenev. Märgime graafikule oma punktid ja samal ajal, mida koordinaat ja tähendab:

Proovige skemaatiliselt kujutada geomeetrilise progressiooni graafikut, kui selle esimene liige on samuti võrdne. Analüüsige, mis vahe on meie eelmisest diagrammist?

Kas said hakkama? Siin on diagramm, mille sain:

Nüüd, kui olete geomeetrilise progressiooni teema põhitõdesid täielikult mõistnud: teate, mis see on, teate, kuidas selle liiget leida ja teate ka, mis on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon, liigume edasi selle põhiomaduse juurde.

geomeetrilise progressiooni omadus.

Kas mäletate aritmeetilise progressiooni liikmete omadust? Jah, jah, kuidas leida progressiooni teatud arvu väärtust, kui selle progressiooni liikmetel on varasemad ja järgnevad väärtused. Mäletasid? See:

Nüüd seisame silmitsi täpselt sama küsimusega geomeetrilise progressiooni terminite kohta. Sellise valemi tuletamiseks alustame joonistamist ja arutlemist. Näete, see on väga lihtne ja kui unustate, saate selle ise välja tuua.

Võtame veel ühe lihtsa geomeetrilise progressiooni, milles teame ja. Kuidas leida? Aritmeetilise progressiooniga on see lihtne ja lihtne, aga kuidas siin on? Tegelikult pole ka geomeetrias midagi keerulist - peate lihtsalt iga meile antud väärtuse valemi järgi värvima.

Küsite ja mida me sellega nüüd peale hakkame? Jah, väga lihtne. Alustuseks kujutame neid valemeid joonisel ja proovime väärtuseni jõudmiseks nendega erinevaid manipuleerimisi teha.

Abstraheerime meile antud arvudest, keskendume ainult nende väljendamisele valemi kaudu. Peame leidma oranžiga esiletõstetud väärtuse, teades sellega külgnevaid termineid. Proovime nendega teha erinevaid toiminguid, mille tulemusena saame.

Lisand.
Proovime lisada kaks väljendit ja saame:

Sellest väljendist, nagu näete, ei saa me kuidagi väljendada, seetõttu proovime teist võimalust - lahutamist.

Lahutamine.

Nagu näete, ei saa me ka sellest väljendada, seetõttu proovime neid väljendeid üksteisega korrutada.

Korrutamine.

Vaadake nüüd hoolikalt, mis meil on, korrutades meile antud geomeetrilise progressiooni tingimused võrreldes sellega, mida on vaja leida:

Arva ära, millest ma räägin? Õigesti, selle leidmiseks peame võtma soovitud arvuga külgnevate geomeetriliste progressiooninumbrite ruutjuure ja korrutama üksteisega:

Palun. Te ise tuletasite geomeetrilise progressiooni omaduse. Proovige see valem kirjutada üldkujul. Juhtus?

Unustasid seisukorra millal? Mõelge, miks see oluline on, proovige näiteks ise arvutada, kl. Mis sel juhul juhtub? See on õige, täielik jama, kuna valem näeb välja selline:

Seetõttu ärge unustage seda piirangut.

Nüüd arvutame, mis on

Õige vastus -! Kui sa ei unustanud arvutamisel teist võimalikku väärtust, siis oled suurepärane sell ja võid kohe edasi trenni minna ja kui ununes, siis loe allpool analüüsitut ja pane tähele, miks tuleb vastuses kirjutada mõlemad juured .

Joonistame mõlemad oma geomeetrilised progressioonid – üks väärtusega ja teine ​​väärtusega ning kontrollime, kas mõlemal on õigus eksisteerida:

Selleks, et kontrollida, kas selline geomeetriline progressioon on olemas või mitte, tuleb vaadata, kas see on kõigi antud liikmete vahel sama? Arvutage q esimese ja teise juhtumi jaoks.

Vaadake, miks me peame kirjutama kaks vastust? Sest nõutava termini märk sõltub sellest, kas see on positiivne või negatiivne! Ja kuna me ei tea, mis see on, peame kirjutama mõlemad vastused pluss- ja miinusmärgiga.

Nüüd, kui olete omandanud põhipunktid ja tuletanud geomeetrilise progressiooni omaduse valemi, leidke, teades ja

Võrrelge oma vastuseid õigete vastustega:

Mis te arvate, mis siis, kui meile ei antaks soovitud arvuga külgnevate, vaid sellest võrdsel kaugusel olevate geomeetrilise progressiooni liikmete väärtused. Näiteks peame leidma, ja antud ja. Kas saame antud juhul kasutada tuletatud valemit? Proovige seda võimalust kinnitada või ümber lükata samal viisil, kirjeldades, millest iga väärtus koosneb, nagu tegite valemi algul tuletamisel.
Mis sa said?

Vaata nüüd uuesti hoolega.
ja vastavalt:

Sellest võime järeldada, et valem töötab mitte ainult naabritega geomeetrilise progressiooni soovitud liikmetega, aga ka koos võrdsel kaugusel sellest, mida liikmed otsivad.

Seega on meie algne valem järgmine:

See tähendab, et kui esimesel juhul me seda ütlesime, siis nüüd ütleme, et see võib olla võrdne mis tahes naturaalarvuga, mis on väiksem. Peaasi, et mõlema antud numbri puhul oleks sama.

Harjutage konkreetsete näidete kallal, olge lihtsalt äärmiselt ettevaatlik!

1. , . Otsi.
2. , . Otsi.
3. , . Otsi.

Ma otsustasin? Loodan, et olite äärmiselt tähelepanelik ja märkasite väikest saaki.

Võrdleme tulemusi.

Kahel esimesel juhul rakendame rahulikult ülaltoodud valemit ja saame järgmised väärtused:

Kolmandal juhul saame meile antud numbrite seerianumbrite hoolika kaalumisega aru, et need ei ole otsitavast numbrist võrdsel kaugusel: see on eelmine number, kuid see on positsioonilt eemaldatud, nii et see pole võimalik valemi rakendamiseks.

Kuidas seda lahendada? Tegelikult pole see nii raske, kui tundub! Kirjutame koos Sinuga üles, millest iga meile antud number ja soovitud number koosneb.

Nii et meil on ja. Vaatame, mida saame nendega teha. Soovitan jagada. Saame:

Asendame oma andmed valemiga:

Järgmise sammu leiame - selleks peame võtma saadud arvu kuupjuure.

Vaatame nüüd uuesti, mis meil on. Meil on, aga me peame leidma ja see omakorda võrdub:

Leidsime kõik arvutamiseks vajalikud andmed. Asendage valemis:

Meie vastus: .

Proovige teist sama probleemi ise lahendada:
Arvestades: ,
Leia:

Kui palju sa said? Mul on - .

Nagu näete, on tegelikult vaja mäleta ainult ühte valemit- . Kõik ülejäänud saate igal ajal ilma raskusteta ise tagasi võtta. Selleks kirjutage lihtsalt paberile lihtsaim geomeetriline progressioon ja kirjutage üles, millega vastavalt ülaltoodud valemile on iga selle arv võrdne.

Geomeetrilise progressiooni liikmete summa.

Mõelge nüüd valemitele, mis võimaldavad meil kiiresti arvutada antud intervalli geomeetrilise progressiooni liikmete summa:

Lõpliku geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemi tuletamiseks korrutame ülaltoodud võrrandi kõik osad arvuga. Saame:

Vaadake tähelepanelikult: mis on kahel viimasel valemil ühist? See on õige, näiteks tavaliikmed ja nii edasi, välja arvatud esimene ja viimane liige. Proovime 1. võrrandi 2. võrrandist lahutada. Mis sa said?

Nüüd väljendage geomeetrilise progressiooni liikme valemi kaudu ja asendage saadud avaldis meie viimases valemis:

Rühmitage väljend. Peaksite saama:

Jääb üle vaid väljendada:

Vastavalt sellele antud juhul.

Mis siis kui? Mis valem siis töötab? Kujutage ette geomeetrilist progressiooni punktis. Milline ta on? Õigesti identsete numbrite seeria näeb valem välja järgmine:

Nagu aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni puhul, on ka palju legende. Üks neist on legend Sethist, malemängu loojast.

Paljud teavad, et malemäng leiutati Indias. Kui Hindu kuningas teda kohtas, rõõmustas ta naise teravmeelsusest ja tema võimalike ametikohtade mitmekesisusest. Saanud teada, et selle leiutas üks tema alamatest, otsustas kuningas teda isiklikult premeerida. Ta kutsus leiutaja enda juurde ja käskis temalt küsida kõike, mida ta soovib, lubades täita isegi kõige osavama soovi.

Seta palus mõtlemisaega ja kui Seta järgmisel päeval kuninga ette ilmus, üllatas ta kuningat oma palve võrratu tagasihoidlikkusega. Ta küsis nisutera malelaua esimesele ruudule, nisu teisele, kolmandale, neljandale jne.

Kuningas oli vihane ja ajas Sethi minema, öeldes, et teenija palve ei vääri kuninglikku suuremeelsust, kuid lubas, et sulane saab oma terad kõigi juhatuse lahtrite eest.

Ja nüüd on küsimus: arvutage geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutades, mitu tera peaks Seth saama?

Hakkame arutama. Kuna Seth küsis tingimuse järgi nisutera malelaua esimesse lahtrisse, teise, kolmandasse, neljandasse jne, siis näeme, et probleem on geomeetrilises progressioonis. Mis on sel juhul võrdne?
Õigesti.

Malelaua lahtrid kokku. Vastavalt,. Meil on kõik andmed olemas, jääb vaid valemiga asendada ja arvutada.

Et kujutada antud arvu "skaalasid" vähemalt ligikaudselt, teisendame astme omaduste abil:

Muidugi, kui tahad, võid võtta kalkulaatori ja välja arvutada, millise arvuga sa lõpuks saad, ja kui ei, siis pead minu sõna vastu võtma: avaldise lõppväärtus saab olema.
See on:

kvintiljon kvadriljon triljon miljardit miljonit tuhat.

Fuh) Kui soovite ette kujutada selle arvu tohutut suurust, siis hinnake, kui suur oleks ait kogu viljakoguse mahutamiseks.
Aida kõrguse m ja laiusega m peaks selle pikkus ulatuma km-ni, s.o. kaks korda kaugemal kui Maast Päikeseni.

Kui kuningas oleks matemaatikas tugev, võiks ta pakkuda teadlasele ise, et ta loeks terad, sest miljoni tera kokkulugemiseks oleks tal vaja vähemalt päeva väsimatut loendamist ja arvestades, et on vaja lugeda kvintiljoneid, terad peaks terve elu lugema.

Ja nüüd lahendame lihtsa ülesande geomeetrilise progressiooni liikmete summal.
5. klassi õpilane Vasja haigestus grippi, kuid jätkab koolis käimist. Iga päev nakatab Vasya kahte inimest, kes omakorda nakatavad veel kahte inimest jne. Ainult üks inimene klassis. Mitme päeva pärast saab kogu klass grippi?

Niisiis, geomeetrilise progressiooni esimene liige on Vasja, see tähendab inimene. geomeetrilise progressiooni liige, need on kaks inimest, keda ta nakatas esimesel saabumise päeval. Järelejäänud liikmete kogusumma võrdub õpilaste arvuga 5A. Seega räägime progressist, milles:

Asendame oma andmed geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemis:

Terve klass jääb mõne päevaga haigeks. Ei usu valemitesse ja numbritesse? Proovige ise kujutada õpilaste "nakatumist". Juhtus? Vaata, kuidas see minu jaoks välja näeb:

Arvutage ise, mitu päeva jääksid õpilased grippi, kui kõik nakatavad inimese ja klassis oli inimene.

Mis väärtuse sa said? Selgus, et kõik hakkasid päevapealt haigeks jääma.

Nagu näete, sarnaneb selline ülesanne ja selle joonis püramiidiga, kuhu iga järgnev "toob" uusi inimesi. Ent varem või hiljem saabub hetk, mil viimane ei suuda kedagi meelitada. Meie puhul, kui kujutame ette, et klass on isoleeritud, sulgeb isik ahelast (). Seega, kui inimene oleks seotud finantspüramiidiga, millesse raha anti, kui tõid kaasa kaks osalejat, siis inimene (või üldiselt) ei tooks kedagi, vastavalt, kaotaks kõik, mis ta sellesse finantskelmusesse investeeris. .

Kõik ülal öeldu viitab kahanevale või suurenevale geomeetrilisele progressioonile, kuid nagu mäletate, on meil eriline liik - lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. Kuidas arvutada selle liikmete summa? Ja miks on seda tüüpi progresseerumisel teatud omadused? Arutame selle koos välja.

Alustuseks vaatame uuesti seda pilti lõpmatult vähenevast geomeetrilisest progressioonist meie näites:

Ja nüüd vaatame veidi varem tuletatud geomeetrilise progressiooni summa valemit:
või

Mille poole me püüdleme? See on õige, graafik näitab, et see kipub nulli. See tähendab, et kui see on peaaegu võrdne, saame avaldise arvutamisel peaaegu. Sellega seoses usume, et lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa arvutamisel võib selle sulg tähelepanuta jätta, kuna see on võrdne.

- valem on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa.

TÄHTIS! Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutame ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et peame leidma summa lõputu liikmete arv.

Kui on märgitud konkreetne arv n, siis kasutame n liikme summa valemit, isegi kui või.

Ja nüüd harjutame.

1. Leia geomeetrilise progressiooni esimeste liikmete summa koos ja.
2. Leia lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa koos ja.

Loodan, et olite väga ettevaatlik. Võrrelge meie vastuseid:

Nüüd teate kõike geomeetrilisest progressioonist ja on aeg liikuda teoorialt praktikale. Kõige levinumad eksamil leitud eksponentsiaalsed probleemid on liitintressiprobleemid. Nendest me räägimegi.

Ülesanded liitintressi arvutamisel.

Olete kindlasti kuulnud niinimetatud liitintressi valemist. Kas saate aru, mida ta mõtleb? Kui ei, siis mõtleme välja, sest olles protsessi ise mõistnud, saad kohe aru, mis seos on geomeetrilisel progressioonil.

Me kõik läheme panka ja teame, et hoiustele kehtivad erinevad tingimused: see on tähtaeg, lisahooldus ja intressid kahe erineva arvutamisviisiga - lihtne ja keeruline.

FROM lihtne huvi kõik on enam-vähem selge: intressi arvestatakse üks kord hoiutähtaja lõpus. See tähendab, et kui me räägime 100 rubla aastas alla panemisest, siis need krediteeritakse alles aasta lõpus. Vastavalt sellele saame sissemakse lõpuks rublad kätte.

Liitintress on variant, milles intressi kapitaliseerimine, st. nende lisamine tagatisraha summale ja hilisem tulu arvestamine mitte esialgselt, vaid kogunenud hoiuse summalt. Suurtähtede kasutamine ei toimu pidevalt, vaid teatud perioodilisusega. Reeglina on sellised perioodid võrdsed ja kõige sagedamini kasutavad pangad kuud, kvartalit või aastat.

Oletame, et paneme kõik samad rublad aastas, kuid sissemakse igakuise kapitalisatsiooniga. Mida me saame?

Kas sa saad siin kõigest aru? Kui ei, siis teeme seda samm-sammult.

Tõime rublad panka. Kuu lõpuks peaks meie kontol olema summa, mis koosneb meie rubladest ja intressidest, mis on:

Ma nõustun?

Saame selle klambrist välja võtta ja siis saame:

Nõus, see valem on juba sarnasem sellele, mida me alguses kirjutasime. Jääb üle tegeleda protsentidega

Probleemi olukorras räägitakse meile iga-aastasest. Nagu teate, me ei korruta - teisendame protsendid kümnendkohtadeks, see tähendab:

eks? Nüüd küsite, kust see number pärit on? Väga lihtne!
Kordan: probleemi seisund ütleb umbes AASTAARUANNE kogunenud intress IGAKUINE. Nagu teate, võtab pank meilt vastavalt kuude aasta jooksul osa aastaintressi kuus:

Sai aru? Proovige nüüd kirjutada, kuidas see valemi osa välja näeks, kui ma ütleksin, et intressi arvestatakse iga päev.
Kas said hakkama? Võrdleme tulemusi:

Hästi tehtud! Tuleme tagasi oma ülesande juurde: kirjutage üles, kui palju laekub meie kontole teiseks kuuks, arvestades, et kogunenud hoiuse summalt arvestatakse intressi.
Minuga juhtus järgmine:

Või teisisõnu:

Ma arvan, et olete juba märganud mustrit ja näinud selles kõiges geomeetrilist progressiooni. Kirjutage, millega selle liige võrdub ehk teisisõnu kui palju raha me kuu lõpus saame.
Kas? Kontrollimine!

Nagu näete, kui paned raha aastaks panka lihtintressiga, siis saad rublasid, liitkursiga pannes aga rublasid. Kasu on väike, kuid see juhtub ainult aasta jooksul, kuid pikema perioodi jooksul on kapitaliseerimine palju tulusam:

Mõelge teist tüüpi liitintressiprobleemidele. Pärast seda, mida sa välja mõtlesid, on see sinu jaoks elementaarne. Seega ülesanne on:

Zvezda alustas tööstusesse investeerimist 2000. aastal dollarilise kapitaliga. Alates 2001. aastast on see igal aastal teeninud kasumit, mis on võrdne eelmise aasta kapitaliga. Kui palju kasumit saab firma Zvezda 2003. aasta lõpus, kui kasumit ringlusest ei kõrvaldatud?

Zvezda ettevõtte kapital 2000. aastal.
- Zvezda ettevõtte kapital 2001. aastal.
- Zvezda ettevõtte kapital 2002. aastal.
- Zvezda ettevõtte kapital 2003. aastal.

Või kirjutame lühidalt:

Meie juhtumi jaoks:

2000, 2001, 2002 ja 2003.

Vastavalt:
rubla
Pange tähele, et selles ülesandes ei ole meil jagamist ei poolt ega poolt, kuna protsent antakse AASTA ja seda arvutatakse AASTA. See tähendab, et liitintressi probleemi lugemisel pöörake tähelepanu sellele, milline protsent antakse ja millisel perioodil seda võetakse, ning alles seejärel jätkake arvutustega.
Nüüd teate kõike geomeetrilisest progressioonist.

Treening.

1. Leidke geomeetrilise progressiooni liige, kui on teada, et ja
2. Leidke geomeetrilise progressiooni esimeste liikmete summa, kui see on teada, ja
3. MDM Capital alustas tööstusesse investeerimist 2003. aastal dollari kapitaliga. Alates 2004. aastast on ta igal aastal teeninud kasumit, mis on võrdne eelmise aasta kapitaliga. Ettevõte "MSK Cash Flows" hakkas tööstusesse investeerima 2005. aastal 10 000 dollari ulatuses, hakates 2006. aastal teenima kasumit summas. Kui mitme dollari võrra ületab ühe ettevõtte kapital 2007. aasta lõpus teise ettevõtte oma, kui kasumit ringlusest ei kõrvaldata?

Vastused:

1. Kuna ülesande tingimus ei ütle, et progressioon on lõpmatu ja selleks on vaja leida selle teatud arvu liikmete summa, tehakse arvutus valemi järgi:
2. 
   Ettevõte "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - suureneb 100%, see tähendab 2 korda.
   Vastavalt:
   rubla
   MSK rahavood:

   2005, 2006, 2007.
   - suureneb kordades.
   Vastavalt:
   rubla
   rubla

Teeme kokkuvõtte.

1) Geomeetriline progressioon ( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

2) Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand -.

3) võib võtta mis tahes väärtuse, välja arvatud ja.

• kui, siis kõigil järgnevatel progressiooni liikmetel on sama märk – nemad positiivne;
• kui, siis kõik järgnevad progressiooni liikmed alternatiivsed märgid;
• mil - progressiooni nimetatakse lõpmatult kahanevaks.

4) , at - geomeetrilise progressiooni omadus (naaberliikmed)

või
, juures (võrdse kaugusega terminid)

Kui leiate selle, ärge unustage seda peaks olema kaks vastust..

Näiteks,

5) Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga:
või

Kui progresseerumine väheneb lõpmatult, siis:
või

TÄHTIS! Me kasutame lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et peame leidma lõpmatu arvu liikmete summa.

6) Liitintressi ülesandeid arvutatakse ka geomeetrilise progressiooni liikme valemi järgi, eeldusel, et raha ei ole ringlusest välja võetud:

GEOMEETRILINE EDENEMINE. LÜHIDALT PEAMISEST

Geomeetriline progressioon( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda numbrit kutsutakse geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni nimetaja võib võtta mis tahes väärtuse, välja arvatud ja.

• Kui, siis kõigil järgmistel progresseerumise liikmetel on sama märk - need on positiivsed;
• kui, siis kõik järgnevad edenemise liikmed vahelduvad märkidega;
• mil - progressiooni nimetatakse lõpmatult kahanevaks.

Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand - .

Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga:
või

Tund ja ettekanne teemal: "Arvujadad. Geomeetriline progressioon"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 9. klassile
Jõud ja juured Funktsioonid ja graafikud

Poisid, täna tutvume teist tüüpi progresseerumisega.
Tänase tunni teemaks on geomeetriline progressioon.

Geomeetriline progressioon

Näide. 1,2,4,8,16… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega ja $q=2$.

Näide. 8,8,8,8… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on kaheksa,
ja $q=1$.

Näide. 3,-3,3,-3,3... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on kolm,
ja $q=-1$.

Geomeetrilisel progressioonil on monotoonsuse omadused.
Kui $b_(1)>0$, $q>1$,
siis järjestus suureneb.
Kui $b_(1)>0$, siis $0 Jada tähistatakse tavaliselt järgmiselt: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Nii nagu aritmeetilises progressioonis, kui geomeetrilise progressiooni elementide arv on lõplik, nimetatakse progressiooni lõplikuks geomeetriliseks progressiooniks.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Pange tähele, et kui jada on geomeetriline progressioon, siis ruudukujuliste liikmete jada on samuti geomeetriline progressioon. Teises jadas on esimene liige $b_(1)^2$ ja nimetaja $q^2$.

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem

Tuleme tagasi oma näidete juurde.

Näide. 1,2,4,8,16… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega,
ja $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Näide. 16,8,4,2,1,1/2… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on kuusteist ja $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Näide. 8,8,8,8… Geomeetriline progressioon, kus esimene liige on kaheksa ja $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Näide. 3,-3,3,-3,3… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on kolm ja $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Näide. Antud geomeetriline progressioon $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) On teada, et $b_(1)=6, q=3$. Leidke $b_(5)$.
b) On teada, et $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Leia n.
c) On teada, et $q=-2, b_(6)=96$. Leidke $b_(1)$.
d) On teada, et $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Leia q.

Lahendus.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ kuna $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Näide. Geomeetrilise progressiooni seitsmenda ja viienda liikme vahe on 192, progressiooni viienda ja kuuenda liikme summa on 192. Leidke selle progressiooni kümnes liige.

Lahendus.
Teame, et $b_(7)-b_(5)=192$ ja $b_(5)+b_(6)=192$.
Teame ka: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Seejärel:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Saime võrrandisüsteemi:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(juhtumid)$.
Võrdlemisel saavad meie võrrandid:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Saime kaks lahendit q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Asendage järjestikku teise võrrandiga:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ lahendusi pole.
Saime selle: $b_(1)=4, q=2$.
Leiame kümnenda liikme: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Lõpliku geomeetrilise progressiooni summa

Olgu antud lõplik geomeetriline progressioon: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Tutvustame selle liikmete summa tähistust: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Juhul, kui $q=1$. Kõik geomeetrilise progressiooni liikmed on võrdsed esimese liikmega, siis on ilmne, et $S_(n)=n*b_(1)$.
Vaatleme nüüd juhtumit $q≠1$.
Korrutage ülaltoodud summa q-ga.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Märge:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Oleme saanud lõpliku geomeetrilise progressiooni summa valemi.

Lahendus.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Näide.
Leia geomeetrilise progressiooni viies liige, mis on teada: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.

Lahendus.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 $(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus

Arvjada on geomeetriline progressioon ainult siis, kui selle iga liikme ruut on võrdne progressiooni kahe naaberliikme korrutisega. Ärge unustage, et piiratud progressiooni korral ei ole see tingimus esimesel ja viimasel ametiajal täidetud.

Geomeetrilise progressiooni mis tahes elemendi moodul on võrdne kahe sellega külgneva elemendi geomeetrilise keskmisega.

Lahendus.
Kasutame iseloomulikku omadust:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ja $x_(2)=-1$.
Asendage järjestikku algses avaldises, meie lahendused:
Kui $x=2$, saime jada: 4;6;9 on geomeetriline progressioon $q=1.5$.
Kui $x=-1$, saime jada: 1;0;0.
Vastus: $x=2.$

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks