Negatiivsed arvud. Negatiivne arv

§ 77. Ühiku murdude kohta.

Uurisime täisarvude omadusi ja nendega seotud toiminguid. Lisaks täisarvudele on ka murdarvud, millega me nüüd tutvume. Kui õpilane ütleb, et tal kulub kodust kooli jalutamiseks pool tundi, väljendab ta aega mitte tervete tundide, vaid tunni osade kaupa. Kui arst soovitab patsiendil lahustada pulber veerand klaasis kuumas vees, siis vett mõõdetakse mitte tervete klaaside, vaid klaasi osade kaupa. Kui üks arbuus jagada kolme poisi vahel võrdselt, siis saab igaüks neist arbuusist vaid kolmandiku ehk kolmandiku.

Kõigil juhtudel ei rääkinud me tervetest ühikutest, vaid ühiku osadest või murdosadest. Aktsiad võivad olla väga erinevad, näiteks gramm on tuhandik kilogrammist, millimeeter on miljondik kilomeetrist. Kõigepealt räägime kõige lihtsamatest aktsiatest (pool, kolmas, kvartal jne).

Suurema selguse huvides kujutame neid aktsiaid sirgjooneliste segmentidena.

Kui võtta lõigu AB ühikuna (joonis 9), siis jagades selle kaheks võrdseks osaks, saame öelda, et saadud segmendid AC ja CB on lõigu AB pooled.

Lisaks, kui võtta lõigu DE (joonis 10) ühikuna ja jagada see 3 võrdseks osaks, on kõik saadud lõigud DF, FH, HE võrdne ühe kolmandikuga lõigust DE ja lõigu DH. on võrdne kahe kolmandikuga segmendist DE. Samamoodi on segment FE võrdne kahe kolmandikuga segmendist DE.

Võtame teise lõigu MN (joonis 11), võtame selle ühikuna ja jagame neljaks võrdseks osaks; siis on iga segment MP, PQ, QR, RN võrdne veerandiga segmendist MN; iga segment MQ, PR, QN on võrdne kahe neljandikuga ja iga segment MR ja PN on võrdne kolme neljandikuga MN.

Vaadeldavates näidetes tutvusime poole, kolmandiku, veerandi, kahe kolmandiku, kahe neljandiku, kolmveerandiga ehk siis kas ühe osakuga või kahe või kolme võrdse osakuga. .

Nimetatakse arvu, mis koosneb ühest või mitmest võrdsest osast tulistas.

Oleme juba öelnud, et sõna "jagama" asemel võib öelda sõna "osa"; seetõttu võib murdosa nimetada arvuks, mis väljendab ühiku üht või mitut identset osa.

Seega on selles lõigus mainitud numbrid: pool ehk üks sekund, üks kolmandik, üks veerand, kaks kolmandikku ja teised murdarvud.

Sageli on vaja arvestada mitte ainult objektide osadega, vaid koos nendega terveid objekte. Näiteks otsustavad kaks poissi jagada oma viis õuna võrdselt. Ilmselgelt võtab igaüks neist kõigepealt kaks õuna ja ülejäänud viimase õuna lõikab kaheks võrdseks osaks. Siis on mõlemal kaks ja pool õuna. Siin väljendatakse iga poisi õunte arvu täisarvuna (kaks) mõne murdosaga (pool).

Kutsutakse arve, mis sisaldavad täisarvu ja murdosa seganumbrid.

§ 78. Murdude kujutis.

Mõelge eelmise lõigu viimasele joonisele (joonis 11). Me ütlesime, et segment MR on kolm neljandikku segmendist MN. Nüüd tekib küsimus, kuidas saab seda murdu ehk kolmveerandit arvude abil kirjutada. Tuletage meelde, kuidas tekkis murdosa kolmveerand. Võtsime lõigu MN ühikuna, jagasime selle 4 võrdseks osaks ja võtsime nendest osadest 3. Just see murdosa tekkimise protsess peaks kajastuma selle kirjes, st sellest kirjest peaks olema näha, et ühik jagatakse 4 võrdseks osaks ja saadud osadeks võetakse 3. Seetõttu kujutatakse murdosa kahe horisontaaljoonega eraldatud numbriga. Rea alla kirjutatakse arv, mis näitab, kui mitmeks võrdseks osaks on ühik jagatud, millest murd võetakse, ja rea ​​kohale kirjutatakse teine ​​​​arv, mis näitab, kui palju aktsiaid sisaldab

selles murdosas. Kolmveerandi murdosa kirjutatakse järgmiselt: 3/4.

Rea kohal olevat numbrit kutsutakse lugeja fraktsioonid; see arv näitab antud murdos sisalduvate osade arvu.

Helistatakse rea all olevale numbrile nimetaja fraktsioonid; see näitab, mitu võrdset osa ühik on jagatud.

3 - lugeja,
_
4 on nimetaja.

Mõttekriipsu, mis eraldab lugeja nimetajast, nimetatakse murdarvuks. Lugejat ja nimetajat nimetatakse ühiselt murdosaliikmeteks. Kirjutame näitena murdosa:

kaks kolmandikku - 2/3; viis kaheteistkümnendikku - 5/12.

Segaarvud kirjutatakse järgmiselt: kõigepealt kirjutatakse täisarv ja selle kõrvale omistatakse paremale murd. Näiteks kahe ja nelja viiendiku segaarv tuleks kirjutada järgmiselt: 2 4 / 5.

§ 79. Murdude tekkimine.

Mõelge küsimusele, kuidas ja kus murrud tekivad, miks ja millistel asjaoludel need ilmuvad.

Võtame näiteks selle fakti. Tahvli pikkust tuleb mõõta meetriga. Võtame meetri pikkuse puidust joonlaua ja kanname selle mööda plaadi alumist serva, liikudes vasakult paremale. Las see mahub kaks korda sisse, aga tahvlil on ikka mingi osa kuhu joonlaud kolmandal korral ei mahu, sest ülejäänud osa pikkus on väiksem kui joonlaua pikkus.

Kui ülejäänud laud sisaldab näiteks pool meetrit, siis tahvli pikkus on kaks ja pool (2 1/2) meetrit.

Nüüd mõõdame sama joonlauaga plaadi laiust. Ütleme nii, et ta tegi seda korra, aga pärast seda ainsat viivitust jäi tahvlist alles väike osa, alla meetri pikk. Ütleme, et tahvli sellele osale meetrit rakendades võis leida, et see võrdub ühe veerandiga (1/4) meetrist.

Seega on plaadi kogu laius 1 1/4 m.

Nii saime tahvli pikkuse ja laiuse mõõtmisel arvud 2 1/2 m ja 1 1/4 m (st murdarvud).

Mitte ainult objektide pikkust ja laiust, vaid ka paljusid muid suurusi väljendatakse sageli murdarvudes.

Me mõõdame aega mitte ainult tundides, minutites ja sekundites, vaid sageli ka tunni osades, minuti osades ja isegi sekundi osades.

Väga sageli väljendavad murdarvud kaalu, näiteks öeldakse: 1/2 kg, l 1/2 kg, 1/2 g, 3/4 g, 1/2 t jne.

Siiani oleme rääkinud murdude päritolust mõõtmisel, kuid on veel üks murdude allikas - see on jagamise toiming. Lõpetame seal. Olgu nõutud 3 õuna jagamist 4 poisi vahel; ilmselgelt ei saa sel juhul iga poiss tervet õuna, sest õunu on vähem kui lapsi. Kõigepealt võta 2 õuna ja lõika mõlemad pooleks. Sellest saab 4 poolikut ja kuna poisse on neli, võib igaühele anda pool õuna. Ülejäänud kolmanda õuna lõikame neljaks osaks ja lisame iga poisi olemasolevale veel ühe veerandi. Seejärel jagatakse kõik õunad laiali ning iga poiss saab poole ja veerandi õuna. Aga kuna iga pool sisaldab 2 veerandit, siis võib lõpuks öelda, et igal poisil on kaks veerandit ja pluss üks veerand kumbki ehk kokku kolmveerand (3/4) õunast.

§ 80. Murdude suuruse võrdlus.

Kui võrrelda omavahel mingeid suurusi, näiteks kahte segmenti, siis võib selguda, et üks neist on teisega täpselt võrdne või on teisest suurem või teisest väiksem.

Joonisel fig 12 on segment AB võrdne segmendiga CD; segment EF on suurem kui segmendi QH; segment KL on väiksem kui segment MN.

Murdude võrdlemisel kohtame sama kolme juhtumit. Proovime mõnda murdosa omavahel võrrelda.

1. Kaks murdosa loetakse võrdseks, kui nendele murdudele vastavad suurused on üksteisega võrdsed (sama mõõtühikuga). Võtame lõigu SC ja võtame selle ühikuna.

Jagame segmendi SK pooleks punktiga D (joonis 13). Seejärel tähistame selle segmendi CD osa murdosaga 1/2. Kui jagame sama lõigu SK 4 võrdseks osaks, siis segment CD väljendatakse murdosana 2/4; kui jagame lõigu SK 8 võrdseks osaks, vastab segment CD murdarvule 4/8. Kuna võtsime sama lõigu kolm korda, on murrud 1/2, 2/4 ja 4/8 üksteisega võrdsed.

2. Võtame kaks võrdsete lugejatega murdosa: 1/4 ja 1/8 ning vaatame, millised väärtused neile vastavad. Esimesel juhul jagatakse mingi väärtus 4 võrdseks osaks ja teisel juhul samuti 8 võrdseks osaks.

Joonis 14 näitab, et 1/4 on suurem kui 1/8. Seetõttu on kahe sama lugejaga murru puhul suurem murdosa väiksema nimetajaga murd.

3. Võtke kaks võrdsete nimetajatega murru: 5/8 ja 3/8. Kui märgime kõik need murded eelmisel joonisel, siis näeme, et esimesele murrule vastav segment on suurem kui teisele vastav segment. Seega on kahe sama nimetajaga murru puhul suurem murdosa see, millel on suurem lugeja.

4. Kui on antud kaks murdu erinevate lugejate ja nimetajatega, siis saab nende väärtust hinnata, kui võrrelda neid iga ühega. Näiteks 2/3 on väiksem kui 4/5, sest esimene murru erineb ühtsusest 1/3 ja teine ​​1/5 võrra, st teisel murrul on ühtsust vähem kui esimesel.

Selliseid murde on aga kõige lihtsam võrrelda, taandades need ühisele nimetajale, millest tuleb juttu allpool.

§ 81. Murrud on korrapärased ja ebaõiged. Seganumbrid.

Võtame lõigu AB, mis võrdub kahe lineaarühikuga (joonis 15). Jagame iga üksuse 10 võrdseks osaks, siis on iga osa võrdne 1/10, s.o.

AD = DE = EF = FH = ... = 1/10 AC.

Mõelge teistele segmentidele ja mõelge, millistes murdudes need on väljendatud. Näiteks AF - 3/10, AK - 5/10, AM - 7/10; AO - 9 / 10 , AS - 10 / 10 , AR - 11 / 10 , AR - 13 / 10 . Esitasime kõik lõigud, mis on võetud murdarvudena, nimetajaga 10. Esimesel neljal murdul (3/10, 5/10, 7/10; 9/10) on lugejad nimetajatest väiksemad, igaüks neist on väiksem kui 1.

Viienda murru (10/10) lugeja on võrdne nimetajaga ja murdosa ise on võrdne 1-ga, see vastab segmendile AC, võttes ühikut.

Kahe viimase murdosa (11/10, 13/10) lugejad on nimetajatest suuremad ja iga murd on suurem kui 1.

Murru, mille lugeja on nimetajast väiksem, nimetatakse õigeks murruks. Nagu eespool öeldud, on õige murd väiksem kui üks. See tähendab, et esimesed neli murdu on õiged ja seetõttu võime kirjutada: 3/10<1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Murru, mille lugeja on nimetajaga võrdne või sellest suurem, nimetatakse valeks murdeks. Seega on vale murd kas võrdne ühega või sellest suurem. Nii et kolm viimast murdu on valed ja võite kirjutada:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Keskendume kahele viimasele (vale)murule. Murd 11/10 koosneb ühest täisühikust ja õigest murdosast 1/10, mis tähendab, et selle saab kirjutada nii: 1 1/10. Tulemuseks oli arv, mis on täisarvu ja õige murru kombinatsioon, st segaarv. Sama võib korrata vale murdosa 13/10 puhul. Võime seda esitada kui 1 3/10. See on ka seganumber.

Peate õppima, kuidas asendada vale murd segaarvuga. Asendasime kaks eelmist ebaõiget murdu kergesti segaarvudega. Aga kui me kohtusime murdosaga, näiteks 545/32, siis on sellest täisarvu väljavõtmine keerulisem ja ilma täisarvu väljavõtmata on selle arvu väärtust raske hinnata.

Teisest küljest on erinevate arvutuste tegemisel mõnikord mugavam kasutada mitte segaarve, vaid valesid murde. See tähendab, et vajaduse korral peate suutma teha pöördteisendust, st asendama segaarvu vale murruga.

§ 82. Valemurru teisendamine segaarvuks ja pöördteisendus.

Võtame valemurru 9/4 ja proovime selle asendada segaarvuga. Vaidleme järgmiselt: kui ühes ühikus sisaldub 4 veerandit, siis 9 veerandis sisaldub sama palju täisarvu ühikuid kui mitu korda sisaldab 9 veerandit 4 kvartalit. Sellele küsimusele vastamiseks piisab, kui jagada 9 4-ga. Saadud jagatis näitab täisarvude arvu ja jääk annab veerandite arvu, mis ei moodusta tervet ühikut. 4 sisaldub 9-s kaks korda jäägiga 1. Seega 9 / 4 = 2 1 / 4, kuna 9: 4 = 2 ja 1 ülejäänud osas.

Muudame ülalmainitud vale murru 545/32 segaarvuks.

545; 32 \u003d 17 ja 1 ülejäänud osas, seega 545 / 32 \u003d 17 1 / 32.

Vale murru teisendamiseks segaarvuks peate jagama murdosa lugeja nimetajaga ja leidma jäägi; jagatis näitab tervete ühikute arvu ja jääk näitab ühiku murdosade arvu.

Kuna vale murdu segaarvuks teisendades valime iga kord täisarvu osa, nimetatakse seda teisendust tavaliselt täisarvu eemaldamiseks valest murdest.

Mõelge juhtumile, kui vale murd on võrdne täisarvuga. Olgu nõutav täisarvu väljajätmine ebaõigest

murrud 36/12 Reegli järgi saame 36: 12 = 3 ja jäägis 0, st lugeja jagatakse nimetajaga ilma jäägita, mis tähendab 36/12 = 3.

Pöördume nüüd pöördteisendusse, s.o segaarvu teisendamiseks valeks murruks.

Võtame segaarvu 3 3/4 ja muudame selle valeks murruks. Põhjendagem nii: iga terve ühik sisaldab 4 neljandikku ja 3 ühikut 3 korda rohkem neljandikku, st 4 x 3 = 12 neljandikku. See tähendab, et 3 tervet ühikut sisaldavad 12 veerandit ja isegi segaarvu murdosas on 3 veerandit ja kokku on 15 veerandit ehk 15/4. Seetõttu 3 3/4 = 15/4.

Näide. Teisendage segaarv 8 4/9 valeks murruks:

Segaarvu valeks murdeks muutmiseks peate korrutama nimetaja täisarvuga, lisama saadud korrutisele lugeja ja muutma selle summa vajaliku murru lugejaks ning jätma nimetaja samaks.

§ 83. Täisarvu teisendamine valemurruks.

Mis tahes täisarvu saab väljendada ühe suvalise arvu murdudena. See on mõnikord arvutustes kasulik. Olgu näiteks arv 5 väljendatud ühiku kuuendikutes.

Vaidleme järgmiselt: kuna ühes ühikus on kuus kuuendikku, siis on nende aktsiate 5 ühikus mitte kuus, vaid 5 korda rohkem, s.o. 6 x 5 = 30 kuuendikku. Toiming on korraldatud järgmiselt:

Samamoodi saame muuta mis tahes täisarvu mis tahes nimetajaga ebaõigeks murruks. Võtame arvu 10 ja esitame selle erinevate nimetajatega valemurruna:

nimetaja 2, siis

nimetaja 3, siis

nimetaja 5, siis

Seega selleks, et väljendada täisarvu antud nimetajaga vale murduna, peate selle nimetaja korrutama antud arvuga, muutma saadud korrutise lugejaks ja allkirjastama selle nimetaja.

Väikseim võimalik nimetaja on üks (1). Seetõttu, kui nad soovivad täisarvu esitada murruna, võtavad nad nimetajaks sageli ühe (l2 = 12/1). Seda mõtet väljendatakse mõnikord järgmiselt: mis tahes täisarvu võib pidada murdarvuks, mille nimetaja on võrdne ühega (2 = 2 / 1; 3 = 3 / 1; 4 = 4 / 1; 5 = 5 / 1 jne). )

§ 84. Murru väärtuse muutumine selle tingimuste muutumisega.

Selles jaotises vaatleme, kuidas muutub murdosa väärtus selle liikmete muutumisel.

1. küsimus. Mis juhtub murdosa väärtusega kui selle lugeja suureneb mitu korda? Võtame murdarvu 1/12 ja suurendame selle lugejat järk-järgult kaks, kolm, neli jne korda. Seejärel saate järgmised murrud:

Kui hakkame neid murde omavahel võrdlema, näeme, et need järk-järgult suurenevad: teine ​​murd on kaks korda suurem kui esimene, kuna sellel on kaks korda rohkem osi, kolmas murd on kolm korda suurem kui esimene, jne.

Sellest võime järeldada: Kui murru lugejat suurendada mitu korda, suureneb murdosa sama palju.

2. küsimus. Mis juhtub murdosa väärtusega, kui vähendades selle lugejat mitu korda? Võtame murdarvu 24/25 ja vähendame selle lugejat järk-järgult kaks korda, kolm korda, neli korda jne. Siis saame järgmised murrud:

Vaadake neid murde ükshaaval vasakult paremale ja näete, et teine ​​murd (12/25) on pool esimesest 24/25, kuna sellel on pooled osad, st pool lugejast; neljas murdosa 6/25 on neli korda väiksem kui esimene ja pool teist.

Tähendab, Kui murdosa lugejat mitu korda vähendada, väheneb murdosa sama palju.

3. küsimus. Mis juhtub murdosa väärtusega, kui suurendades selle nimetajat mitu korda? Sellele küsimusele saame vastata, võttes mõne murdosa, näiteks 1/2, ja suurendades selle nimetajat ilma lugejat muutmata. Kahekordistame nimetaja, kolmekordistame jne ja vaatame, mis murruga juhtub:

Tasapisi nimetajat suurendades viisime selle lõpuks 100-ni. Nimetaja sai päris suureks, aga aktsia väärtus langes kõvasti, see võrdus ühe sajandikuga. Sellest on selge, et murdosa nimetaja suurendamine toob paratamatult kaasa murdosa enda vähenemise.

Tähendab, Kui murdosa nimetajat mitu korda suurendada, väheneb murdosa sama palju.

4. küsimus. Mis juhtub murdosa väärtusega, kui selle nimetaja korrutada? Võtame need murrud, mis on hiljuti kirjutatud, ja kirjutame need lõpust ümber; siis on meie esimene murd väikseim ja viimane suurim, kuid esimesel on suurim nimetaja ja viimasel murrul on kõige väiksem nimetaja:

Sellest on lihtne järeldada: Kui murdosa nimetajat vähendada 1 korda, suureneb murdosa sama teguri võrra.

5. küsimus. Mis juhtub murdosaga, kui nii lugeja kui ka nimetaja suurenevad või vähenevad sama palju?

Võtame murdosa 1/2 ja suurendame järjestikku ja samaaegselt selle lugejat ja nimetajat. Mõnikord pannakse murru kõrvale koefitsient, millega korrutatakse esimese murru liikmed:

Kirjutasime kuus murdosa, nad on välimuselt erinevad, kuid on lihtne aru saada, et need on kõik võrdse suurusega. Tegelikult võrdleme vähemalt esimest murdosa teisega. Esimene murd on 1/2; kui kahekordistame selle lugeja, siis murru kahekordistub, aga kui nimetaja kohe kahekordistada, siis see väheneb poole võrra ehk teisisõnu jääb muutumatuks. Seega 1/2 = 2/4. Sama mõttekäiku võib korrata ka teiste murdude puhul.

Järeldus: kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada sama arvuga(suurendage sama arvu kordi), murdosa väärtus ei muutu.

Kirjutame selle omaduse üldisel kujul. Tähistame murdosa tähega a / b , arv, millega lugeja ja nimetaja korrutatakse – tähega t ; siis on määratud omadus võrdsuse kujul:

Jääb üle kaaluda lugeja ja nimetaja samaaegse vähendamise sama arvu kordi. Kirjutame mitu murru järjest, kus esikohal on murd 36/48 ja viimases 3/4:

Kõik need on üksteisega võrdsed, mille saab leida kahe kõrvuti asetseva murru võrdlemisel, näiteks esimese murru lugeja (36) poole võrra vähendades vähendame murdu 2 korda, kuid selle nimetaja (48) poole võrra. , suurendame murdosa 2 korda, st selle tulemusena jätame selle muutmata.

Järeldus: kui murdosa lugeja ja nimetaja jagatakse sama arvuga (vähendatakse sama arv kordi), siis murru väärtus ei muutu:

Kahe viimase järelduse olemus seisneb selles, et lugeja ja nimetaja samaaegsel suurendamisel või vähendamisel sama arv kordi murru väärtus ei muutu.

See murdosa tähelepanuväärne omadus on edaspidi väga oluline, nii et me nimetame seda murdosa põhiomadus.

§ 85. Murdude vähendamine.

Võtame lõigu AB (joonis 16) ja jagame selle 20 võrdseks osaks, siis kõik need osad on 1/20; Segmenti AC, mis sisaldab 15 sellist osa, tähistatakse murdosaga 15/20.

Proovime nüüd aktsiaid suurendada, näiteks jagame segmendi mitte 20 osaks, vaid 4 võrdseks osaks. Uued aktsiad osutusid varasematest suuremaks, kuna iga uus aktsia sisaldab 5 endist aktsiat, mis on joonisel selgelt näha. Nüüd mõelgem, millega võrdub segment AC uuel purustamisel, mis esimesel purustamisel oli 15/20 lõigust AB. Jooniselt on näha, et kui lõik AB on jagatud 4 osaks, siis on lõik AC võrdne 3/4 lõigust AB.

Niisiis, segmenti AC, sõltuvalt sellest, kui mitmeks osaks segment AB on jagatud, saab esitada nii murdosaga 15/20 kui ka murdosaga 3/4. Suuruse järgi on see sama murdosa, sest see mõõdab sama segmenti samades mõõtühikutes. Seega saame murdosa 15/20 asemel kasutada murdosa 3/4 ja vastupidi.

Tekib küsimus, millist murdosa on mugavam kasutada? Teist murdu on mugavam kasutada, kuna selle lugeja ja nimetaja on väljendatud väiksemate arvudena kui esimest ning selles mõttes on see lihtsam.

Arutlemise käigus selgus, et üks väärtus (segment AC) väljendati kahes murrus, mis on välimuselt erinevad, kuid väärtuselt samad (15/20, 3/4). Ilmselgelt ei saa selliseid murde olla kahte, aga loendamatu komplekt. Murru põhiomaduse põhjal saame tuua esimese neist murdudest sellisele kujule, et lugeja ja nimetaja on väikseimad. Tegelikult, kui murdosa 15/20 lugeja ja nimetaja jagatakse 5-ga, võrdub see 3/4, st 15/20 = 3/4.

Seda teisendust (lugeja ja nimetaja samaaegne vähendamine sama arvu kordi), mis võimaldab saada suure lugeja ja nimetajaga murrust välimuselt teise, kuid suuruselt võrdse, väiksemate liikmetega murdosa. fraktsioonide vähendamine.

Seetõttu on murdosa taandamine selle asendamine teise väiksemate liikmetega murdosaga, jagades lugeja ja nimetaja sama arvuga.

Vähendasime murdu 15/20 ja jõudsime murduni 3/4, mida ei saa enam taandada, kuna selle liikmetel 3 ja 4 pole ühist jagajat (välja arvatud üks). Sellist murdosa nimetatakse taandamatu. Murdude vähendamisel on kaks võimalust. Esimene võimalus on see, et murdosa vähendatakse järk-järgult, mitte kohe, s.t pärast esimest redutseerimist saadakse uuesti taandatav murd, mida seejärel uuesti taandatakse ning see protsess võib olla pikk, kui lugeja ja nimetaja on väljendatud suurtes numbrites. ja neil on palju ühiseid jagajaid.

Võtame murdosa 60/120 ja vähendame seda järjestikku, kõigepealt 2 võrra, saame 60/120 = 30/60 Uut murdu (30/60) saab ka vähendada 2 võrra, saame 30/60 = 15/30. Uue murru 15/30 liikmetel on ühised jagajad, nii et saate seda murdosa 3 võrra vähendada, saate 15/30 = 5/10. Lõpuks saab viimast murdosa vähendada 5 võrra, st 5/10 = 1/2. See on murdude järjestikune vähendamine.

Lihtne on aru saada, et seda murdosa (60 / 120) saaks kohe 60 võrra vähendada ja saame sama tulemuse. Mis on 60 numbrite 60 ja 120 puhul? Suurim ühine jagaja. See tähendab, et murdosa vähendamine selle liikmete suurima ühisjagaja võrra võimaldab selle viivitamatult muuta taandamatuks murruks, jättes vahepealsetest jaotustest mööda. See on teine ​​viis murdude vähendamiseks.

§ 86. Murdude taandamine väikseima ühisnimetajani.

Võtame mõned murrud:

Kui hakkame esimest murdosa võrdlema teisega (1/2 ja 1/3), tunneme mõningaid raskusi. Muidugi mõistame, et pool on rohkem kui üks kolmandik, kuna esimesel juhul jagatakse väärtus kaheks võrdseks osaks ja teisel juhul kolmeks võrdseks osaks; aga mis neil vahet on, sellele on veel raske vastata. Teine asi on teine ​​murd ja kolmas (1/3 ja 2/3), neid on lihtne võrrelda, sest kohe on selge, et teine ​​murd on kolmandiku võrra väiksem kui kolmas. On lihtne mõista, et nendel juhtudel, kui võrdleme samade nimetajatega murde, ei teki raskusi, samadel juhtudel, kui võrreldavate murdude nimetajad on erinevad, tekib ebamugavusi. Kontrollige seda, võrreldes ülejäänud murdosa andmeid.

Seetõttu tekib küsimus: kas kahe murru võrdlemisel on võimalik tagada, et nimetajad on samad? Seda saab teha murru põhiomadusest lähtudes ehk kui nimetajat mitu korda suurendada, siis selleks, et murdu väärtus ei muutuks, tuleb selle lugejat sama palju suurendada.

Nii saame erinevate nimetajatega murde taandada ühiseks nimetajaks.

Kui soovite taandada mõned murded ühiseks nimetajaks, peate esmalt leidma arvu, mis jaguks kõigi nende murdude nimetajaga. Seetõttu on murdude ühise nimetajani taandamise esimene samm vähima ühiskordse leidmine antud nimetajate jaoks. Pärast vähima ühiskordse leidmist on vaja seda iga nimetajaga jagades saada iga murdosa kohta nn. täiendav kordaja. Need on numbrid, mis näitavad, mitu korda tuleb iga murdosa lugejat ja nimetajat suurendada, et nende nimetajad oleksid võrdsed. Kaaluge näiteid.

1. Vähendame murrud 7/30 ja 8/15 ühiseks nimetajaks. Leidke nimetajate 30 ja 15 vähim ühiskordne. Sel juhul on see esimese murru nimetaja, st 30. See on murdude 7/30 ja 8/15 väikseim ühisnimetaja. Nüüd leiame lisategurid: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Seega on esimese murru lisategur 1 ja teise puhul 2. Esimene murdosa jääb muutumatuks. Korrutades teise murdosa liikmed lisateguriga, viime selle nimetajani 30:

2. Toome kolm murru ühisele nimetajale: 7/30, 11/60 ja 3/70.

Leiame nimetajate 30, 60 ja 70 jaoks vähima ühiskordse:

Väikseim ühiskordaja on 2 2 3 5 7 = 420.

See on nende murdude väikseim ühisnimetaja.

Nüüd leiame täiendavad tegurid: 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. Seega on esimese murru lisategur 14, teise 7 ja kolmanda puhul 6. Korrutades murdude liikmed vastavate lisateguritega, saame võrdsete nimetajatega murrud:

3. Vähendame murdosa ühiseks nimetajaks: 8/25 ja 5/12. Nende murdude (25 ja 12) nimetajad on kaasalgarvud. Seetõttu saadakse nende korrutamisest väikseim ühiskordaja: 25 x 12 \u003d 300. Esimese murru lisategur on 12 ja teise puhul 25. Need murrud on järgmisel kujul:

Murdude taandamiseks vähima ühisnimetajani tuleb esmalt leida kõigi nimetajate väikseim ühiskordne ja määrata igale nimetajale lisategur ning seejärel korrutada iga murdosa mõlemad liikmed vastava lisateguriga.

Pärast seda, kui oleme õppinud, kuidas murde ühiseks nimetajaks taandada, ei valmista murdude suuruse võrdlemine enam raskusi. Nüüd saame võrrelda mis tahes kahe murru väärtust, viies need kõigepealt ühise nimetajani.

Selles artiklis määratleme täisarvude komplekti, kaalume, milliseid täisarve nimetatakse positiivseteks ja milliseid negatiivseteks. Samuti näitame, kuidas täisarve kasutatakse mõne suuruse muutuse kirjeldamiseks. Alustame täisarvude definitsiooni ja näidetega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Täisarvud. Definitsioon, näited

Kõigepealt tuletame meelde naturaalarvud ℕ. Nimi ise viitab sellele, et tegemist on arvudega, mida on loomupäraselt kasutatud juba ammusest ajast. Täisarvude mõiste katmiseks peame naturaalarvude definitsiooni laiendama.

Definitsioon 1. Täisarvud

Täisarvud on naturaalarvud, nende vastandid ja arv null.

Täisarvude hulk on tähistatud tähega ℤ .

Naturaalarvude hulk ℕ on täisarvude ℤ alamhulk. Iga naturaalarv on täisarv, kuid mitte iga täisarv pole naturaalarv.

Definitsioonist järeldub, et iga arv 1 , 2 , 3 on täisarv. . , arv 0, samuti numbrid -1, -2, -3,. .

Vastavalt sellele toome näiteid. Arvud 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 on täisarvud.

Koordinaatjoon tõmmatakse horisontaalselt ja suunatakse paremale. Vaatame seda, et visualiseerida täisarvude asukohta sirgel.

Koordinaadijoone võrdluspunkt vastab arvule 0 ja nulli mõlemal küljel asuvad punktid vastavad positiivsetele ja negatiivsetele täisarvudele. Iga punkt vastab ühele täisarvule.

Iga punkti sirgjoonel, mille koordinaat on täisarv, saab jõuda, jättes lähtepunktist kõrvale teatud arvu ühikulisi segmente.

Positiivsed ja negatiivsed täisarvud

Kõigist täisarvudest on loogiline eristada positiivseid ja negatiivseid täisarvusid. Anname nende määratlused.

Definitsioon 2. Positiivsed täisarvud

Positiivsed täisarvud on plussmärgiga täisarvud.

Näiteks number 7 on plussmärgiga täisarv, st positiivne täisarv. Koordinaatjoonel asub see number võrdluspunktist paremal, mille arv on 0. Teised positiivsete täisarvude näited: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definitsioon 3. Negatiivsed täisarvud

Negatiivsed täisarvud on miinusmärgiga täisarvud.

Negatiivsete täisarvude näited: - 528 , - 2568 , - 1 .

Arv 0 eraldab positiivsed ja negatiivsed täisarvud ega ole ise positiivne ega negatiivne.

Iga arv, mis on positiivse täisarvu vastand, on definitsiooni järgi negatiivne täisarv. Tõsi on ka vastupidine. Iga negatiivse täisarvu pöördarvuks on positiivne täisarv.

Negatiivsete ja positiivsete täisarvude definitsioonide kohta on võimalik anda teisi formulatsioone, kasutades nende võrdlust nulliga.

Definitsioon 4. Positiivsed täisarvud

Positiivsed täisarvud on täisarvud, mis on suuremad kui null.

Definitsioon 5. Negatiivsed täisarvud

Negatiivsed täisarvud on täisarvud, mis on väiksemad kui null.

Sellest tulenevalt asuvad positiivsed arvud koordinaatjoone algpunktist paremal ja negatiivsed täisarvud nullist vasakul.

Varem ütlesime, et naturaalarvud on täisarvude alamhulk. Teeme selle punkti selgeks. Naturaalarvude hulk on positiivsed täisarvud. Negatiivsete täisarvude hulk on omakorda loomulikele vastandlike arvude hulk.

Tähtis!

Täisarvuks võib nimetada mis tahes naturaalarvu, kuid naturaalarvuks ei saa nimetada ühtegi täisarvu. Vastates küsimusele, kas negatiivsed arvud on loomulikud, tuleb julgelt öelda – ei, ei ole.

Mittepositiivsed ja mittenegatiivsed täisarvud

Anname definitsioonid.

Definitsioon 6. Mittenegatiivsed täisarvud

Mittenegatiivsed täisarvud on positiivsed täisarvud ja arv null.

Definitsioon 7. Mittepositiivsed täisarvud

Mittepositiivsed täisarvud on negatiivsed täisarvud ja arv null.

Nagu näete, pole number null positiivne ega negatiivne.

Mittenegatiivsete täisarvude näited: 52 , 128 , 0 .

Mittepositiivsete täisarvude näited: - 52 , - 128 , 0 .

Mittenegatiivne arv on nullist suurem või sellega võrdne arv. Sellest lähtuvalt on mittepositiivne täisarv arv, mis on väiksem või võrdne nulliga.

Mõisteid "mittepositiivne arv" ja "mitte-negatiivne arv" kasutatakse lühiduse huvides. Näiteks selle asemel, et öelda, et arv a on nullist suurem või sellega võrdne täisarv, võite öelda: a on mittenegatiivne täisarv.

Täisarvude kasutamine väärtuste muutuste kirjeldamisel

Milleks kasutatakse täisarve? Esiteks on nende abiga mugav kirjeldada ja määrata mis tahes objektide arvu muutust. Võtame näite.

Ladusse lasta teatud arv väntvõlle. Kui lattu tuuakse veel 500 väntvõlli, siis nende arv suureneb. Arv 500 lihtsalt väljendab osade arvu muutust (kasvu). Kui siis laost ära viia 200 detaili, siis see number hakkab iseloomustama ka väntvõllide arvu muutust. Seekord siis vähendamise suunas.

Kui laost midagi ei võeta ja midagi ei tuua, siis number 0 näitab osade arvu muutumatust.

Täisarvude kasutamise ilmselge mugavus, erinevalt naturaalarvudest, seisneb selles, et nende märk näitab selgelt suurusjärgu muutumise (suuruse suurenemise või vähenemise) suunda.

Temperatuuri langust 30 kraadi võrra saab iseloomustada negatiivse arvuga – 30 ja tõusu 2 kraadi võrra – positiivse täisarvuga 2.

Siin on veel üks näide täisarvude kasutamisest. Seekord kujutame ette, et peame kellelegi 5 münti kinkima. Siis võime öelda, et meil on - 5 münti. Number 5 kirjeldab võla suurust ja miinusmärk näitab, et peame mündid tagasi andma.

Kui võlgneme ühele inimesele 2 ja teisele 3 münti, saab koguvõla (5 münti) arvutada negatiivsete arvude liitmise reegliga:

2 + (- 3) = - 5

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Täisarvud

Naturaalarvude määratlus on positiivsed täisarvud. Naturaalarve kasutatakse objektide loendamiseks ja paljudel muudel eesmärkidel. Siin on numbrid:

See on loomulik arvude jada.
Null on naturaalarv? Ei, null ei ole naturaalarv.
Mitu naturaalarvu on? Naturaalarvusid on lõpmatu hulk.
Mis on väikseim naturaalarv? Üks on väikseim naturaalarv.
Mis on suurim naturaalarv? Seda ei saa täpsustada, sest naturaalarvusid on lõpmatu hulk.

Naturaalarvude summa on naturaalarv. Niisiis, naturaalarvude a ja b liitmine:

Naturaalarvude korrutis on naturaalarv. Niisiis, naturaalarvude a ja b korrutis:

c on alati naturaalarv.

Naturaalarvude erinevus Naturaalarvu pole alati olemas. Kui minuend on suurem kui alamosa, siis on naturaalarvude erinevus naturaalarv, vastasel juhul mitte.

Naturaalarvude jagatis Naturaalarvu pole alati olemas. Kui naturaalarvude a ja b korral

kus c on naturaalarv, tähendab see, et a jagub võrdselt b-ga. Selles näites on a dividend, b jagaja, c jagatis.

Naturaalarvu jagaja on naturaalarv, millega esimene arv on võrdselt jagatav.

Iga naturaalarv jagub 1-ga ja iseendaga.

Lihtsad naturaalarvud jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Siin peame silmas täielikult jagatud. Näide, numbrid 2; 3; 5; 7 jagub ainult 1-ga ja iseendaga. Need on lihtsad naturaalarvud.

Ühte ei peeta algarvuks.

Arve, mis on suuremad kui üks ja mis ei ole algarvud, nimetatakse liitarvudeks. Liitarvude näited:

Ühte ei peeta liitarvuks.

Naturaalarvude hulk koosneb ühest, algarvudest ja liitarvudest.

Naturaalarvude komplekti tähistatakse ladina tähega N.

Naturaalarvude liitmise ja korrutamise omadused:

liitmise kommutatiivne omadus

liitmise assotsiatiivne omadus

(a + b) + c = a + (b + c);

korrutamise kommutatiivne omadus

korrutamise assotsiatiivne omadus

(ab)c = a(bc);

korrutamise jaotusomadus

A (b + c) = ab + ac;

Täisarvud

Täisarvud on naturaalarvud, nullid ja naturaalarvude vastandid.

Naturaalarvudele vastupidised arvud on negatiivsed täisarvud, näiteks:

1; -2; -3; -4;...

Täisarvude komplekti tähistatakse ladina tähega Z.

Ratsionaalarvud

Ratsionaalarvud on täis- ja murdarvud.

Iga ratsionaalarvu saab esitada perioodilise murruna. Näited:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Näidetest on näha, et iga täisarv on perioodiline murd, mille periood on null.

Iga ratsionaalarvu saab esitada murdarvuna m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Esitame sellise murdena eelmise näite arvu 3,(6).

To täisarvud sisaldab naturaalarve, nulli ja naturaalarvudele vastandlikke numbreid.

Täisarvud on positiivsed täisarvud.

Näiteks: 1, 3, 7, 19, 23 jne. Loendamisel kasutame selliseid numbreid (laual on 5 õuna, autol 4 ratast jne)

Ladina täht \mathbb(N) – tähistatud naturaalarvude kogum.

Naturaalarvud ei saa sisaldada negatiivseid (toolil ei saa olla negatiivset jalgade arvu) ja murdarvu (Ivan ei suutnud müüa 3,5 jalgratast).

Naturaalarvudele vastupidised arvud on negatiivsed täisarvud: -8, -148, -981, ....

Aritmeetilised tehted täisarvudega

Mida saab täisarvudega teha? Neid saab üksteisest korrutada, liita ja lahutada. Analüüsime iga toimingut konkreetse näite põhjal.

Täisarvude liitmine

Kaks sama märgiga täisarvu liidetakse järgmiselt: nende arvude moodulid liidetakse ja saadud summale eelneb lõppmärk:

(+11) + (+9) = +20

Täisarvude lahutamine

Kaks erineva märgiga täisarvu liidetakse järgmiselt: suurema arvu moodulist lahutatakse väiksema arvu moodul ja vastuse ette pannakse suurema mooduliarvu märk:

(-7) + (+8) = +1

Täisarvu korrutamine

Ühe täisarvu korrutamiseks teisega peate korrutama nende arvude moodulid ja panema saadud vastuse ette märgi “+”, kui algsed numbrid olid samade märkidega, ja märgi “-”, kui algsed numbrid olid. erinevate märkidega:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Peaksite meeles pidama järgmist täisarvu korrutamise reegel:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Mitme täisarvu korrutamiseks on reegel. Meenutagem seda:

Korrutise märk on “+”, kui negatiivse märgiga tegurite arv on paaris ja “-”, kui negatiivse märgiga tegurite arv on paaritu.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Täisarvude jagamine

Kahe täisarvu jagamine toimub järgmiselt: ühe arvu moodul jagatakse teise arvu mooduliga ja kui numbrite märgid on samad, siis asetatakse saadud jagatise ette "+" märk. , ja kui algsete numbrite märgid on erinevad, siis pannakse märk “−”.

(-25) : (+5) = -5

Täisarvude liitmise ja korrutamise omadused

Analüüsime liitmise ja korrutamise põhiomadusi mis tahes täisarvude a , b ja c korral:

1. a + b = b + a - liitmise kommutatiivne omadus;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - liitmise assotsiatiivne omadus;
3. a \cdot b = b \cdot a - korrutamise kommutatiivne omadus;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- korrutamise assotsiatiivsed omadused;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c on korrutamise jaotusomadus.

Mida tähendab täisarv

Niisiis, mõelge, milliseid numbreid nimetatakse täisarvudeks.

Seega tähistavad täisarvud selliseid numbreid: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ jne.

Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga alamhulk, s.o. iga loomulik on täisarv, kuid mitte ükski täisarv pole naturaalarv.

Positiivsed ja negatiivsed täisarvud

2. definitsioon

pluss.

Arvud $3, 78, 569, 10450 $ on positiivsed täisarvud.

3. määratlus

on märgiga täisarvud miinus.

Arvud $−3, −78, −569, -10450$ on negatiivsed täisarvud.

Märkus 1

Arv null ei viita positiivsetele ega negatiivsetele täisarvudele.

Terved positiivsed numbrid on nullist suuremad täisarvud.

Terved negatiivsed arvud on nullist väiksemad täisarvud.

Naturaalsete täisarvude hulk on kõigi positiivsete täisarvude hulk ja naturaalarvude vastandite hulk on kõigi negatiivsete täisarvude hulk.

Mittepositiivsed täisarvud ja mittenegatiivsed täisarvud

Nimetatakse kõik positiivsed täisarvud ja arv null täisarv mittenegatiivsed arvud.

Mittepositiivsed täisarvud on kõik negatiivsed täisarvud ja arv $0$.

Märkus 2

Sellel viisil, terve mittenegatiivne arv on täisarvud, mis on suuremad kui null või võrdsed nulliga, ja mittepositiivne täisarv on täisarvud, mis on väiksemad kui null või võrdsed nulliga.

Näiteks mittepositiivsed täisarvud: $−32, −123, 0, −5$ ja mittenegatiivsed täisarvud: $54, 123, 0,856 342.$

Väärtuste muutmise kirjeldus täisarvude abil

Täisarve kasutatakse mis tahes üksuste arvu muutuste kirjeldamiseks.

Kaaluge näiteid.

Näide 1

Oletame, et pood müüb teatud arvu kaupu. Kui poodi saab 520$ kaupa, siis kaupade arv poes suureneb ja 520$ number näitab arvu positiivset muutust. Kui pood müüb 50-dollarise kaupa, väheneb kaupade arv poes ja number 50$ väljendab arvu negatiivset muutust. Kui pood kaupa ei too ega müü, siis jääb kaupade arv muutumatuks (ehk võib rääkida arvu nullmuutusest).

Ülaltoodud näites kirjeldatakse kaupade arvu muutust vastavalt täisarvudega $520$, $−50$ ja $0$. Täisarvu $520 $ positiivne väärtus näitab arvu positiivset muutust. Täisarvu $−50$ negatiivne väärtus näitab arvu negatiivset muutust. Täisarv $0$ näitab arvu muutumatust.

Täisarve on mugav kasutada, sest arvukuse suurenemise või vähenemise selgesõnalist viidet pole vaja - täisarvu märk näitab muutuse suunda ja väärtus näitab kvantitatiivset muutust.

Täisarvude abil saate väljendada mitte ainult koguse muutust, vaid ka mis tahes väärtuse muutust.

Vaatleme näidet toote maksumuse muutumisest.

Näide 2

Kulude suurenemist näiteks 20 dollari dollari rubla võrra väljendatakse positiivse täisarvuga 20 dollarit. Kulude vähendamist näiteks $5$ rubla võrra kirjeldatakse negatiivse täisarvuga $−5$. Kui kulumuutusi pole, määratakse selline muutus täisarvuga $0$.

Eraldi arvestage võla suurusena negatiivsete täisarvude väärtust.

Näide 3

Näiteks on inimesel 5000 rubla rubla. Seejärel saate positiivse täisarvuga $5000 $ näidata tema rublade arvu. Inimene peab maksma üüri summas $7000 rubla, kuid tal pole sellist raha, sel juhul kirjeldab sellist olukorda negatiivne täisarv $–7000 $. Sel juhul on inimesel -7000 dollarit rubla, kus "-" tähistab võlga ja number 7000 $ näitab võla suurust.