Funktsiooni y lnx tuletis. Naturaallogaritmi tuletis ja logaritm alusele a

Naturaallogaritmi ja aluse a logaritmi tuletise valemite tõestamine ja tuletamine. Näited ln 2x, ln 3x ja ln nx tuletiste arvutamiseks. N-ndat järku logaritmi tuletise valemi tõestamine matemaatilise induktsiooni meetodil.

Naturaallogaritmi ja aluse a logaritmi tuletiste valemite tuletamine

X naturaallogaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud x-ga:
(1) (lnx)′ =.

Logaritmi tuletis baasist a võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga x, korrutatuna a naturaallogaritmiga:
(2) (log x)′ =.

Tõestus

Olgu mõni positiivne arv, mis ei võrdu ühega. Vaatleme funktsiooni, mis sõltub muutujast x , mis on baaslogaritm:
.
See funktsioon on määratletud . Leiame selle tuletise x suhtes. Definitsiooni järgi on tuletis järgmine piir:
(3) .

Teisendame selle avaldise, et taandada see teadaolevateks matemaatilisteks omadusteks ja reegliteks. Selleks peame teadma järgmisi fakte:
AGA) Logaritmi omadused. Vajame järgmisi valemeid:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Pideva funktsiooni logaritmi pidevus ja piirväärtuste omadus:
(7) .
Siin on mõned funktsioonid, millel on piir ja see piir on positiivne.
AT) Teise imelise piiri tähendus:
(8) .

Rakendame neid fakte oma piirini. Kõigepealt teisendame algebralise avaldise
.
Selleks rakendame atribuute (4) ja (5).

.

Kasutame omadust (7) ja teist märkimisväärset limiiti (8):
.

Ja lõpuks rakendage omadust (6):
.
baaslogaritm e helistas naturaallogaritm. See on märgitud järgmiselt:
.
Siis ;
.

Seega oleme saanud logaritmi tuletise valemi (2).

Naturaallogaritmi tuletis

Veelkord kirjutame välja logaritmi tuletise valemi baasis a:
.
Sellel valemil on naturaallogaritmi jaoks lihtsaim vorm, mille puhul , . Siis
(1) .

Selle lihtsuse tõttu kasutatakse naturaallogaritmi väga laialdaselt arvutuses ja teistes diferentsiaalarvutusega seotud matemaatika valdkondades. Logaritmilisi funktsioone teiste alustega saab väljendada naturaallogaritmi abil, kasutades omadust (6):
.

Logaritmi baastuletise võib leida valemist (1), kui konstant võetakse diferentseerimismärgist välja:
.

Muud võimalused logaritmi tuletise tõestamiseks

Siin eeldame, et teame eksponendi tuletise valemit:
(9) .
Siis saame tuletada naturaallogaritmi tuletise valemi, arvestades, et logaritm on eksponendi pöördväärtus.

Tõestame naturaallogaritmi tuletise valemit, pöördfunktsiooni tuletise valemi rakendamine:
.
Meie puhul. Naturaalse logaritmi pöördväärtus on eksponent:
.
Selle tuletis määratakse valemiga (9). Muutujaid saab tähistada mis tahes tähega. Valemis (9) asendame muutuja x y-ga:
.
Sest siis
.
Siis
.
Valem on tõestatud.

Nüüd tõestame naturaallogaritmi tuletise valemit kasutades reeglid keeruka funktsiooni eristamiseks. Kuna funktsioonid ja on üksteise suhtes pöördvõrdelised, siis
.
Eristage see võrrand muutuja x suhtes:
(10) .
X tuletis on võrdne ühega:
.
Rakendame keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglit:
.
siin . Asendage (10):
.
Siit
.

Näide

Leia tuletised 2x, 3x ja Ln nx.

Lahendus

Algsed funktsioonid on sarnase kujuga. Seetõttu leiame funktsiooni tuletise y = log nx. Seejärel asendame n = 2 ja n = 3 . Ja seega saame valemid tuletisteks 2x ja 3x .

Niisiis, me otsime funktsiooni tuletist
y = log nx .
Esitame seda funktsiooni kompleksfunktsioonina, mis koosneb kahest funktsioonist:
1) Muutujast sõltuvad funktsioonid: ;
2) Muutujast sõltuvad funktsioonid: .
Seejärel koosneb algne funktsioon funktsioonidest ja:
.

Leiame funktsiooni tuletise muutuja x suhtes:
.
Leiame funktsiooni tuletise muutuja suhtes:
.
Rakendame kompleksfunktsiooni tuletise valemit.
.
Siin oleme asendanud.

Niisiis leidsime:
(11) .
Näeme, et tuletis ei sõltu n-st. See tulemus on üsna loomulik, kui teisendame algse funktsiooni korrutise logaritmi valemi abil:
.
- on konstant. Selle tuletis on null. Seejärel on meil vastavalt summa diferentseerimise reeglile:
.

Vastus

; ; .

Logaritmi mooduli x tuletis

Leiame teise väga olulise funktsiooni tuletise - mooduli x naturaallogaritmi:
(12) .

Vaatleme juhtumit. Siis näeb funktsioon välja selline:
.
Selle tuletis määratakse valemiga (1):
.

Nüüd kaaluge juhtumit. Siis näeb funktsioon välja selline:
,
kus .
Kuid ülaltoodud näites leidsime ka selle funktsiooni tuletise. See ei sõltu n-st ja on võrdne
.
Siis
.

Ühendame need kaks juhtumit ühte valemisse:
.

Vastavalt sellele on meil aluse a logaritmi jaoks:
.

Naturaallogaritmi kõrgemat järku tuletised

Mõelge funktsioonile
.
Leidsime selle esimest järku tuletise:
(13) .

Leiame teist järku tuletise:
.
Leiame kolmanda järgu tuletise:
.
Leiame neljanda järgu tuletise:
.

On näha, et n-ndat järku tuletisel on vorm:
(14) .
Tõestame seda matemaatilise induktsiooniga.

Tõestus

Asendame valemiga (14) väärtuse n = 1:
.
Kuna , siis n = jaoks 1 , valem (14) kehtib.

Oletame, et valem (14) on täidetud juhul, kui n = k . Tõestame, et sellest järeldub, et valem kehtib n = k korral + 1 .

Tõepoolest, n = k korral on meil:
.
Eristage x suhtes:

.
Nii et saime:
.
See valem langeb kokku valemiga (14), kui n = k + 1 . Seega, eeldusest, et valem (14) kehtib n = k korral, järeldub, et valem (14) kehtib n = k + 1 .

Seetõttu kehtib n-ndat järku tuletise valem (14) iga n korral.

Logaritmi kõrgemat järku tuletised baasile a

Aluslogaritmi a n-nda tuletise leidmiseks peate selle väljendama naturaallogaritmi kaudu:
.
Rakendades valemit (14), leiame n-nda tuletise:
.

Definitsioon. Olgu funktsioon \(y = f(x) \) defineeritud mingis intervallis, mille sees on punkt \(x_0 \). Suurendame \(\Delta x \) argumendiks, et sellest intervallist mitte lahkuda. Leidke funktsiooni \(\Delta y \) vastav juurdekasv (punktist \(x_0 \) punktist \(x_0 + \Delta x \) liikumisel) ja koostage seos \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Kui \(\Delta x \rightarrow 0 \) on selle seose piirang, siis nimetatakse määratud limiiti tuletisfunktsioon\(y=f(x) \) punktis \(x_0 \) ja tähistab \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Tuletise tähistamiseks kasutatakse sageli sümbolit y. Pange tähele, et y" = f(x) on uus funktsioon, kuid loomulikult seotud funktsiooniga y = f(x), mis on defineeritud kõigis punktides x, kus ülaltoodud piir on olemas. Seda funktsiooni nimetatakse järgmiselt: funktsiooni y \u003d f (x) tuletis.

Tuletise geomeetriline tähendus koosneb järgmisest. Kui funktsiooni y \u003d f (x) graafikule saab tõmmata puutuja, mis ei ole y-teljega paralleelne punktis, mille abstsiss on x \u003d a, siis f (a) väljendab puutuja kalle:
\(k = f"(a)\)

Kuna \(k = tg(a) \), on võrdus \(f"(a) = tg(a) \) tõene.

Ja nüüd tõlgendame tuletise määratlust ligikaudsete võrdsuste kaudu. Olgu funktsioonil \(y = f(x) \) tuletis konkreetses punktis \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
See tähendab, et punkti x lähedal on ligikaudne võrdsus \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), st \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Saadud ligikaudse võrdsuse tähenduslik tähendus on järgmine: funktsiooni juurdekasv on “peaaegu proportsionaalne” argumendi juurdekasvuga ja proportsionaalsuskordaja on tuletise väärtus antud punktis x. Näiteks funktsiooni \(y = x^2 \) puhul on ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes 2x \cdot \Delta x \) tõene. Kui tuletise definitsiooni hoolikalt analüüsime, leiame, et see sisaldab selle leidmise algoritmi.

Sõnastame selle.

Kuidas leida funktsiooni y \u003d f (x) tuletist?

1. Parandage väärtus \(x \), leidke \(f(x) \)
2. Suurendage argumenti \(x \) \(\Delta x \), liikuge uude punkti \(x+ \Delta x \), leidke \(f(x+ \Delta x) \)
3. Leidke funktsiooni juurdekasv: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Koostage seos \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Arvutage $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
See piirväärtus on funktsiooni x tuletis.

Kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x, siis nimetatakse seda punktis x diferentseeruvaks. Kutsutakse välja protseduur funktsiooni y \u003d f (x) tuletise leidmiseks eristamist funktsioonid y = f(x).

Arutleme järgmise küsimuse üle: kuidas on seotud funktsiooni pidevus ja diferentseeritavus punktis?

Olgu funktsioon y = f(x) punktis x diferentseeruv. Seejärel saab funktsiooni graafikule punktis M (x; f (x)) tõmmata puutuja ja meenutage, puutuja kalle on võrdne f "(x). Selline graafik ei saa "katkeneda" punktis punkt M, st funktsioon peab olema pidev punktis x.

See oli arutluskäik "näppude peal". Esitagem rangem argument. Kui funktsioon y = f(x) on punktis x diferentseeruv, siis kehtib ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes f"(x) \cdot \Delta x \). null, siis \(\Delta y \ ) kipub samuti olema null ja see on funktsiooni järjepidevuse tingimus punktis.

Niisiis, kui funktsioon on punktis x diferentseeruv, siis on ta ka selles punktis pidev.

Vastupidine ei vasta tõele. Näiteks: funktsioon y = |x| on pidev kõikjal, eriti punktis x = 0, kuid funktsiooni graafiku puutujat "ühendpunktis" (0; 0) ei eksisteeri. Kui mingil hetkel ei ole võimalik funktsioonigraafikule puutujat joonistada, siis selles punktis tuletist ei ole.

Üks näide veel. Funktsioon \(y=\sqrt(x) \) on pidev kogu arvteljel, sealhulgas punktis x = 0. Ja funktsiooni graafiku puutuja eksisteerib igas punktis, sealhulgas punktis x = 0 Kuid selles punktis puutuja ühtib y-teljega, see tähendab, et see on risti abstsissteljega, selle võrrandi kuju on x \u003d 0. Sellisel sirgel pole kallet, mis tähendab, et \ ( f "(0) \) pole samuti olemas

Niisiis tutvusime funktsiooni uue omadusega - diferentseeritavusega. Kuidas teha kindlaks, kas funktsioon on funktsiooni graafikust eristatav?

Vastus on tegelikult antud eespool. Kui funktsiooni graafikule saab mingil hetkel tõmmata puutuja, mis ei ole risti x-teljega, siis selles punktis on funktsioon diferentseeritav. Kui mingil hetkel funktsiooni graafiku puutujat ei eksisteeri või see on risti x-teljega, siis selles punktis funktsioon ei ole diferentseeruv.

Eristamise reeglid

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse eristamist. Selle toimingu tegemisel peate sageli töötama jagatistega, summade, funktsioonide korrutistega, aga ka "funktsioonide funktsioonidega", see tähendab keerukate funktsioonidega. Tuletise definitsiooni põhjal saame tuletada seda tööd hõlbustavad diferentseerimisreeglid. Kui C on konstantne arv ja f=f(x), g=g(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis on tõesed järgmised diferentseerimisreeglid:

Mõnede funktsioonide tuletiste tabel

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse diferentseerimiseks.

Lihtsamate (ja mitte väga lihtsate) funktsioonide tuletiste leidmise probleemide lahendamise tulemusena, defineerides tuletise juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, ilmus tuletisi tabel ja täpselt määratletud diferentseerimisreeglid. . Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olid esimesed, kes töötasid tuletiste leidmise alal.

Seetõttu ei ole meie ajal vaja mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks arvutada ülalmainitud funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri, vaid tuleb kasutada ainult tabelit. tuletisinstrumentide ja diferentseerimisreeglite kohta. Tuletise leidmiseks sobib järgmine algoritm.

Tuletise leidmiseks, vajate löögimärgi alla väljendit lagundama lihtsaid funktsioone ja määrake, millised toimingud (produkt, summa, jagatis) need funktsioonid on omavahel seotud. Edasi leiame elementaarfunktsioonide tuletised tuletiste tabelist ning korrutise, summa ja jagatise tuletiste valemid - diferentseerimisreeglitest. Tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel on toodud pärast kahte esimest näidet.

Näide 1 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Diferentseerimisreeglitest saame teada, et funktsioonide summa tuletis on funktsioonide tuletiste summa, s.o.

Tuletiste tabelist saame teada, et "X" tuletis on võrdne ühega ja siinuse tuletis on koosinus. Asendame need väärtused tuletiste summas ja leiame tuletise, mida nõuab ülesande tingimus:

Näide 2 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Diferentseerige kui summa tuletis, milles teise liikme konstantse teguriga saab selle tuletise märgist välja võtta:

Kui on veel küsimusi, kust miski pärineb, selguvad need reeglina pärast tuletiste tabeli ja lihtsamate eristamisreeglite lugemist. Me läheme kohe nende juurde.

Lihtfunktsioonide tuletiste tabel

1. Konstandi (arvu) tuletis. Mis tahes arv (1, 2, 5, 200...), mis on funktsiooni avaldises. Alati null. Seda on väga oluline meeles pidada, kuna seda nõutakse väga sageli
2. Sõltumatu muutuja tuletis. Kõige sagedamini "x". Alati võrdne ühega. Seda on samuti oluline meeles pidada
3. Kraadi tuletis. Ülesannete lahendamisel tuleb mitteruutjuured teisendada astmeks.
4. Muutuja tuletis astmega -1
5. Ruutjuure tuletis
6. Siinustuletis
7. Koosinustuletis
8. Puutuja tuletis
9. Kootangensi tuletis
10. Arsiinuse tuletis
11. Kaarkoosinuse tuletis
12. Kaartangensi tuletis
13. Pöördtangensi tuletis
14. Naturaallogaritmi tuletis
15. Logaritmifunktsiooni tuletis
16. Eksponent tuletis
17. Eksponentfunktsiooni tuletis

Eristamise reeglid

1. Summa või vahe tuletis
2. Toote tuletis
2a. Avaldise tuletis, mis on korrutatud konstantse teguriga
3. Jagatise tuletis
4. Kompleksfunktsiooni tuletis

1. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel diferentseeruvad , siis samas punktis funktsioonid

ja

need. funktsioonide algebralise summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga.

Tagajärg. Kui kaks diferentseeruvat funktsiooni erinevad konstandi poolest, siis on nende tuletised, st.

2. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel eristatavad, siis on ka nende toode samas punktis eristatav

ja

need. kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni ja teise funktsiooni korrutiste summaga.

Tagajärg 1. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta:

Tagajärg 2. Mitme diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis on võrdne iga teguri ja kõigi teiste tuletise korrutiste summaga.

Näiteks kolme kordaja jaoks:

3. reegelKui funktsioonid

mingil hetkel eristuvad ja , siis siinkohal on ka nende jagatis diferentseeritav.u/v ja

need. kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugeja on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on eelmise lugeja ruut .

Kust teistelt lehtedelt vaadata

Korrutise tuletise ja jagatise leidmisel reaalsetes ülesannetes on alati vaja korraga rakendada mitut diferentseerimisreeglit, seega on artiklis rohkem näiteid nende tuletiste kohta."Korrutise ja jagatise tuletis".

Kommenteeri. Konstanti (st arvu) ei tohiks segi ajada summas oleva terminina ja konstantse tegurina! Termini puhul on selle tuletis võrdne nulliga ja konstantse teguri korral võetakse see tuletisi märgist välja. See on tüüpiline viga, mis esineb tuletiste uurimise algfaasis, kuid kuna keskmine õpilane lahendab mitu ühe-kahekomponendilist näidet, siis keskmine õpilane seda viga enam ei tee.

Ja kui teil on toote või jagatise eristamisel termin u"v, kus u- arv, näiteks 2 või 5, see tähendab konstant, siis on selle arvu tuletis võrdne nulliga ja seetõttu on kogu liige võrdne nulliga (sellist juhtumit analüüsitakse näites 10) .

Teine levinud viga on kompleksfunktsiooni tuletise mehaaniline lahendamine lihtfunktsiooni tuletis. Sellepärast kompleksfunktsiooni tuletis pühendatud eraldi artiklile. Kuid kõigepealt õpime leidma lihtsate funktsioonide tuletisi.

Teel ei saa te ilma väljendite teisendusteta. Selleks peate võib-olla avama uutes Windowsi juhendites Võimude ja juurtega teod ja Tegevused murdarvudega .

Kui otsite lahendusi võimsuste ja juurtega tuletistele, st millal funktsioon välja näeb , seejärel järgige õppetundi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis".

Kui teil on ülesanne nagu , siis olete õppetunnis "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised".

Samm-sammult näited – kuidas tuletist leida

Näide 3 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Määrame funktsiooni avaldise osad: kogu avaldis esindab korrutist ja selle tegurid on summad, millest teises üks terminitest sisaldab konstantset tegurit. Rakendame korrutise diferentseerimise reeglit: kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni korrutiste summaga ja teise funktsiooni tuletisega:

Järgmisena rakendame summa diferentseerimise reeglit: funktsioonide algebralise summa tuletis võrdub nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga. Meie puhul igas summas teine ​​liige miinusmärgiga. Igas summas näeme nii sõltumatut muutujat, mille tuletis on võrdne ühega, kui ka konstanti (arvu), mille tuletis on võrdne nulliga. Niisiis, "x" muutub üheks ja miinus 5 - nulliks. Teises avaldises korrutatakse "x" 2-ga, seega korrutame kaks sama ühikuga kui "x" tuletis. Saame järgmised tuletisinstrumentide väärtused:

Asendame leitud tuletised korrutiste summaga ja saame kogu ülesande tingimusega nõutava funktsiooni tuletise:

Näide 4 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Peame leidma jagatise tuletise. Kasutame jagatise eristamiseks valemit: kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugejaks on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on endise lugeja ruut. Saame:

Näites 2 leidsime juba lugejas olevate tegurite tuletise. Ärgem unustagem ka seda, et korrutis, mis käesolevas näites on lugejas teine ​​tegur, võetakse miinusmärgiga:

Kui otsite lahendusi sellistele probleemidele, mille puhul peate leidma funktsiooni tuletise, kus on pidev hunnik juuri ja astmeid, nagu näiteks, siis tere tulemast klassi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis" .

Kui teil on vaja rohkem teada saada siinuste, koosinuste, puutujate ja muude trigonomeetriliste funktsioonide tuletisi, st kui funktsioon näeb välja selline , siis on teil õppetund "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised" .

Näide 5 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Selles funktsioonis näeme korrutist, mille üheks teguriks on sõltumatu muutuja ruutjuur, mille tuletisega tutvusime tuletiste tabelis. Korrutise eristamise reegli ja ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Näide 6 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Selles funktsioonis näeme jagatist, mille dividendiks on sõltumatu muutuja ruutjuur. Vastavalt jagatise diferentseerimise reeglile, mida kordasime ja rakendasime näites 4, ning ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Lugejas olevast murdosast vabanemiseks korrutage lugeja ja nimetaja arvuga .