Harmonijska jednadžba. Fluktuacije. Harmonične vibracije. Oscilacijske karakteristike: amplituda, period, frekvencija, ciklična frekvencija, faza

Harmonična oscilacija je pojava periodične promjene neke veličine, u kojoj ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije. Na primjer, količina koja varira u vremenu na sljedeći način harmonično fluktuira:

gdje je x vrijednost promjenljive veličine, t je vrijeme, preostali parametri su konstantni: A je amplituda oscilacija, ω je ciklična frekvencija oscilacija, je puna faza oscilacija, je početna faza oscilacija oscilacije.

Generalizirana harmonijska oscilacija u diferencijalnom obliku

(Svako netrivijalno rješenje ove diferencijalne jednadžbe je harmonijska oscilacija s cikličkom frekvencijom)

Vrste vibracija

Slobodne oscilacije se vrše pod dejstvom unutrašnjih sila sistema nakon što je sistem iznet iz ravnoteže. Da bi slobodne oscilacije bile harmonijske, neophodno je da oscilatorni sistem bude linearan (opisan linearnim jednačinama kretanja), i da u njemu ne bi trebalo da postoji disipacija energije (ovo bi izazvalo prigušenje).

Prisilne oscilacije se vrše pod uticajem vanjske periodične sile. Da bi bili harmonični, dovoljno je da oscilatorni sistem bude linearan (opisan linearnim jednačinama kretanja), a sama vanjska sila se mijenja tokom vremena kao harmonijska oscilacija (tj. da je vremenska ovisnost ove sile sinusoidna) .

Jednačina harmonične vibracije

daje zavisnost fluktuirajuće vrijednosti S o vremenu t; ovo je jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija u eksplicitnom obliku. Međutim, jednačina oscilacija se obično shvata kao drugačiji zapis ove jednačine, u diferencijalnom obliku. Radi određenosti, uzimamo jednačinu (1) u obliku

Razlikujte ga dvaput s obzirom na vrijeme:

Može se vidjeti da vrijedi sljedeća relacija:

koja se zove jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija (u diferencijalnom obliku). Jednačina (1) je rješenje diferencijalne jednadžbe (2). Kako je jednačina (2) diferencijalna jednačina drugog reda, potrebna su dva početna uslova da bi se dobilo potpuno rješenje (tj. da bi se odredile konstante A i   uključene u jednačinu (1); na primjer, položaj i brzina oscilatornog sistema pri t = 0.

Matematičko klatno je oscilator, koji je mehanički sistem koji se sastoji od materijalne tačke koja se nalazi na bestežinskoj nerastezljivoj niti ili na bestežinskom štapu u jednoličnom polju gravitacionih sila. Period malih sopstvenih oscilacija matematičkog klatna dužine l, nepomično visi u jednoličnom gravitacionom polju sa ubrzanjem slobodnog pada g, jednak je

i ne zavisi od amplitude i mase klatna.

Fizičko klatno je oscilator, koji je kruto tijelo koje oscilira u polju bilo koje sile oko tačke koja nije centar mase ovog tijela, ili fiksirane osi koja je okomita na smjer sila i ne prolazi kroz centar mase ovog tela.

Najjednostavniji tip vibracija su harmonijske vibracije- fluktuacije u kojima se pomak oscilirajuće tačke iz ravnotežnog položaja mijenja tokom vremena prema sinusnom ili kosinusnom zakonu.

Dakle, ravnomernom rotacijom lopte oko obima, njena projekcija (senka u paralelnim zracima svetlosti) čini harmonično oscilatorno kretanje na vertikalnom ekranu (slika 13.2).

Pomak iz ravnotežnog položaja tokom harmonijskih vibracija opisuje se jednadžbom (naziva se kinematičkim zakonom harmonijskog kretanja) oblika:

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) ili \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)

gdje X- miješanje - vrijednost koja karakteriše položaj oscilirajuće tačke u trenutku t u odnosu na ravnotežni položaj i mjereno rastojanjem od ravnotežnog položaja do položaja tačke u datom trenutku; ALI- amplituda oscilacije - maksimalni pomak tijela iz ravnotežnog položaja; T- period oscilacije - vrijeme jedne potpune oscilacije; one. najmanji vremenski period nakon kojeg se ponavljaju vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju oscilaciju; \(\varphi_0\) - početna faza; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - faza oscilacije u vremenu t. Faza oscilovanja je argument periodične funkcije, koja za datu amplitudu oscilovanja određuje stanje oscilatornog sistema (pomeraj, brzinu, ubrzanje) tela u bilo kom trenutku.

Ako u početnom trenutku t0 = 0 oscilirajuća tačka je maksimalno pomjerena iz ravnotežnog položaja, tada je \(\varphi_0 = 0\), a pomak tačke iz ravnotežnog položaja mijenja se prema zakonu

\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

Ako je oscilirajuća tačka pri t 0 = 0 u položaju stabilne ravnoteže, tada se pomak tačke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)

vrijednost V, recipročna vrijednost perioda i jednaka broju kompletnih oscilacija izvedenih u 1 s, naziva se frekvencija oscilovanja:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(u SI jedinica frekvencije je herc, 1Hz = 1s -1).

Ako na vreme t telo obavezuje N onda punim zamahom

\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)

Vrijednost \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) , koja pokazuje koliko oscilacija tijelo napravi u 2 \(\pi\) With, zvao ciklička (kružna) frekvencija.

Kinematički zakon harmonijskog kretanja može se zapisati kao:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Grafički, zavisnost pomaka oscilirajuće tačke o vremenu je predstavljena kosinusom (ili sinusoidom).

Slika 13.3, a prikazuje vremensku zavisnost pomaka oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja za slučaj \(\varphi_0=0\), tj. \(~x=A\cos \omega t.\)

Hajde da saznamo kako se brzina oscilirajuće tačke mijenja s vremenom. Da bismo to učinili, nalazimo vremenski izvod ovog izraza:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

gdje je \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) amplituda projekcije brzine na osu X.

Ova formula pokazuje da se tokom harmonijskih oscilacija projekcija brzine tijela na os x također mijenja prema   harmonijskom zakonu sa istom frekvencijom, sa različitom amplitudom, te je ispred faze miješanja za \(\frac(\pi )(2)\) (Sl. 13.3, b).

Da saznamo zavisnost ubrzanja a x (t) naći vremenski izvod projekcije brzine:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

gdje je \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) amplituda projekcije ubrzanja na osovinu X.

Za harmonijske vibracije, projekcija ubrzanje ispred faznog pomaka za k (slika 13.3, c).

Slično, možete nacrtati \(~x(t), \upsilon_x (t)\) i \(~a_x(t),\) ako je \(~x = A \sin \omega t\) sa \(\varphi_0 =0.\)

Uzimajući u obzir da je \(A \cos \omega t = x\), formula za ubrzanje se može napisati

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

one. za harmonijske oscilacije, projekcija ubrzanja je direktno proporcionalna pomaku i suprotnog predznaka, tj. ubrzanje je usmjereno u smjeru suprotnom od pomaka.

Dakle, projekcija ubrzanja je drugi izvod pomaka i x \u003d x "", tada se rezultujući omjer može zapisati kao:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) ili \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Posljednja jednakost se zove jednadžba harmonijskih oscilacija.

Fizički sistem u kojem mogu postojati harmonijske oscilacije naziva se harmonijski oscilator, i jednadžba harmonijskih oscilacija - jednadžba harmonijskog oscilatora.

Književnost

Aksenovich L. A. Fizika u srednjoj školi: teorija. Zadaci. Testovi: Proc. dodatak za institucije koje pružaju op. okruženja, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 368-370.

Maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja

Nakon analize jednadžbi zavisnosti v(t) i a(t), može se pretpostaviti da se maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja uzimaju kada je trigonometrijski faktor jednak 1 ili -1. Određeno formulom

Kako dobiti zavisnosti v(t) i a(t)

7. Slobodne vibracije. Brzina, ubrzanje i energija oscilatornog kretanja. Dodatak vibracija

Besplatne vibracije(ili prirodne vibracije) su vibracije oscilatornog sistema, koje se izvode samo zbog inicijalno prijavljene energije (potencijalne ili kinetičke) u odsustvu vanjskih utjecaja.

Potencijalna ili kinetička energija može se prenijeti, na primjer, u mehaničkim sistemima kroz početni pomak ili početnu brzinu.

Slobodno oscilirajuća tijela uvijek stupaju u interakciju s drugim tijelima i zajedno sa njima formiraju sistem tijela tzv oscilatorni sistem.

Na primjer, opruga, kugla i vertikalni stup na koji je pričvršćen gornji kraj opruge (vidi sliku ispod) su uključeni u oscilatorni sistem. Ovdje lopta slobodno klizi duž tetive (sile trenja su zanemarljive). Ako uzmete loptu udesno i ostavite je samoj sebi, ona će slobodno oscilirati oko ravnotežnog položaja (tačka O) zbog djelovanja elastične sile opruge usmjerene prema ravnotežnom položaju.

Još jedan klasičan primjer mehaničkog oscilatornog sistema je matematičko klatno (vidi sliku ispod). AT ovaj slučaj lopta slobodno oscilira pod dejstvom dveju sila: sile gravitacije i elastične sile niti (Zemlja takođe ulazi u oscilatorni sistem). Njihova rezultanta je usmjerena na ravnotežni položaj.

Sile koje djeluju između tijela oscilatornog sistema nazivaju se unutrašnje sile. Spoljne sile nazivaju se sile koje na sistem djeluju iz tijela koja u njega nisu uključena. Sa ove tačke gledišta, slobodne oscilacije se mogu definisati kao oscilacije u sistemu pod dejstvom unutrašnjih sila nakon što se sistem izvuče iz ravnoteže.

Uslovi za nastanak slobodnih vibracija su:

1) pojava sile u njima koja vraća sistem u položaj stabilne ravnoteže nakon što je izveden iz ovog stanja;

2) nema trenja u sistemu.

Dinamika slobodnih oscilacija.

Vibracije tijela pod djelovanjem elastičnih sila. Jednačina oscilatornog kretanja tijela pod djelovanjem elastične sile F(vidi sliku) može se dobiti uzimajući u obzir drugi Newtonov zakon ( F = ma) i Hookeov zakon ( F kontrola= -kx), gdje m je masa lopte i ubrzanje koje lopta postiže djelovanjem elastične sile, k- koeficijent krutosti opruge, X- pomicanje tijela iz ravnotežnog položaja (obje jednadžbe su ispisane u projekciji na horizontalnu osu Oh). Izjednačavajući desne strane ovih jednačina i uzimajući u obzir da je ubrzanje a je drugi izvod koordinate X(offsets), dobijamo:

.

Ovo je diferencijalna jednadžba kretanja tijela koje oscilira pod djelovanjem elastične sile: drugi izvod koordinate s obzirom na vrijeme (ubrzanje tijela) je direktno proporcionalan njegovoj koordinati, uzetoj sa suprotnim predznakom.

Oscilacije matematičkog klatna. Da bi se dobila jednadžba za oscilaciju matematičkog klatna (slika), potrebno je proširiti silu gravitacije F T= mg do normalnog F n(usmjereno duž navoja) i tangencijalno F τ(tangenta na putanju lopte - krug) komponente. Normalna komponenta gravitacije F n i elastična sila niti Fynp ukupno daju klatno centripetalno ubrzanje, koje ne utječe na veličinu brzine, već samo mijenja njegov smjer, a tangencijalnu komponentu F τ je sila koja vraća loptu u njen ravnotežni položaj i uzrokuje njeno osciliranje. Koristeći, kao iu prethodnom slučaju, Newtonov zakon za tangencijalno ubrzanje ma τ = F τ i s obzirom na to F τ= -mg sinα, dobijamo:

a τ= -g sinα,

Znak minus se pojavio zbog sile i ugla odstupanja od ravnotežnog položaja α imaju suprotne predznake. Za male uglove otklona sinα ≈ α. sa svoje strane, α = s/l, gdje s- arc OA, I- dužina navoja. S obzirom na to i τ= s", konačno dobijamo:

Oblik jednačine je sličan jednačini . Samo ovdje su parametri sistema dužina niti i ubrzanje slobodnog pada, a ne krutost opruge i masa kuglice; ulogu koordinate igra dužina luka (tj. pređena putanja, kao u prvom slučaju).

Dakle, slobodne oscilacije su opisane jednadžbama istog tipa (podložne istim zakonima) bez obzira na fizičku prirodu sila koje izazivaju ove oscilacije.

Rješavanje jednačina i funkcija je oblika:

x = xmcos ω 0t(ili x = xmsin ω 0t).

Odnosno, koordinata tijela koje vrši slobodne oscilacije mijenja se tokom vremena prema kosinusnom ili sinusnom zakonu, pa su, prema tome, ove oscilacije harmonijske:

U jednadžbi x = xmcos ω 0t(ili x = xmsin ω 0t), x m- amplituda oscilacija, ω 0 - vlastita ciklička (kružna) frekvencija oscilacija.

Ciklična frekvencija i period slobodnih harmonijskih oscilacija određuju se osobinama sistema. Dakle, za vibracije tela pričvršćenog za oprugu, tačne su sledeće relacije:

.

Prirodna frekvencija je veća, što je veća krutost opruge ili je manja masa tereta, što je u potpunosti potvrđeno iskustvom.

Za matematičko klatno vrijede sljedeće jednakosti:

.

Ovu formulu je prvi dobio i testirao holandski naučnik Huygens (Njutnov savremenik).

Period oscilovanja raste sa dužinom klatna i ne zavisi od njegove mase.

Posebno treba napomenuti da su harmonijske oscilacije striktno periodične (jer poštuju sinusni ili kosinusni zakon), a čak i za matematičko klatno, koje je idealizacija realnog (fizičkog) klatna, moguće su samo pri malim uglovima oscilacije. Ako su uglovi otklona veliki, pomak opterećenja neće biti proporcionalan kutu otklona (sinus kuta) i ubrzanje neće biti proporcionalno pomaku.

Brzina i ubrzanje tijela koje vrši slobodne oscilacije također će vršiti harmonijske oscilacije. Uzimajući vremenski izvod funkcije ( x = xmcos ω 0t(ili x = xmsin ω 0t)), dobijamo izraz za brzinu:

v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

gdje v m= ω 0 x m- amplituda brzine.

Slično, izraz za ubrzanje a dobijamo razlikovanjem ( v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

gdje a m= ω 2 0x m- amplituda ubrzanja. Dakle, amplituda brzine harmonijskih oscilacija je proporcionalna frekvenciji, a amplituda ubrzanja proporcionalna kvadratu frekvencije oscilovanja.

HARMONIČKE OSCILACIJE
Fluktuacije u kojima se promjene fizičkih veličina dešavaju prema kosinusnom ili sinusnom zakonu (harmonični zakon), tzv. harmonijske vibracije. Na primjer, u slučaju mehaničkih harmonijskih vibracija: U ovim formulama, ω je frekvencija oscilacije, x m je amplituda oscilacije, φ 0 i φ 0 ' su početne faze oscilacije. Gore navedene formule se razlikuju u definiciji početne faze i kod φ 0 ’ = φ 0 + π/2 potpuno se poklapaju.
Ovo je najjednostavniji oblik periodičnih oscilacija. Specifičan oblik funkcije (sinus ili kosinus) zavisi od načina na koji je sistem izveden iz ravnoteže. Ako se povlačenje dogodi pritiskom (prijavljuje se kinetička energija), tada je pri t=0 pomak x=0, stoga je pogodnije koristiti sin funkciju, postavljajući φ 0 '=0; pri odstupanju od ravnotežnog položaja (prikazuje se potencijalna energija) pri t=0, pomaku x=x m, stoga je pogodnije koristiti funkciju cos i φ 0 =0.
Izraz pod znakom cos ili sin, tzv. faza oscilovanja:. Faza oscilacije se mjeri u radijanima i određuje vrijednost pomaka (fluktuirajuće vrijednosti) u datom trenutku.
Amplituda oscilovanja zavisi samo od početnog odstupanja (početne energije prenešene oscilirajućem sistemu).
Brzina i ubrzanje u harmonijskim oscilacijama.
Prema definiciji brzine, brzina je derivacija koordinate u odnosu na vrijeme
Dakle, vidimo da se i brzina pri harmonijskom oscilatornom kretanju mijenja po harmonijskom zakonu, ali su fluktuacije brzine ispred fluktuacija pomaka u fazi za π/2.
Vrijednost je maksimalna brzina oscilatornog kretanja (amplituda fluktuacije brzine).
Dakle, za brzinu tokom harmonijske oscilacije imamo: , i za slučaj nulte početne faze (vidi grafikon).
Prema definiciji ubrzanja, ubrzanje je derivacija brzine u odnosu na vrijeme: je drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme. Zatim: . Ubrzanje pri harmonijskom oscilatornom kretanju se također mijenja prema harmonijskom zakonu, ali oscilacije ubrzanja su ispred oscilacija brzine za π/2 i oscilacija pomaka za π (kažu da se oscilacije javljaju van faze).
Vrijednost - maksimalno ubrzanje (amplituda kolebanja ubrzanja). Dakle, za ubrzanje imamo: , a za slučaj nulte početne faze: (vidi grafikon).
Iz analize procesa oscilatornog kretanja, grafikona i odgovarajućih matematičkih izraza, može se vidjeti da kada oscilirajuće tijelo prođe ravnotežni položaj (pomak je nula), ubrzanje je nula, a brzina tijela maksimalna ( tijelo prelazi ravnotežni položaj po inerciji), a kada se dostigne amplitudna vrijednost pomaka, brzina je jednaka nuli, a ubrzanje je maksimalno po apsolutnoj vrijednosti (telo mijenja smjer svog kretanja).
Uporedimo izraze za pomak i ubrzanje za harmonijske oscilacije: i .
Možete napisati: - tj. drugi izvod pomaka je direktno proporcionalan (sa suprotnim predznakom) pomaku. Takva jednačina se zove jednačina harmonijske oscilacije. Ova zavisnost je zadovoljena za bilo koju harmonijsku oscilaciju, bez obzira na njenu prirodu. Pošto nigde nismo koristili parametre određenog oscilatornog sistema, o njima može zavisiti samo ciklična frekvencija.
Često je zgodno zapisati jednačine za oscilacije u obliku: , gdje je T period oscilovanja. Zatim, ako je vrijeme izraženo u dijelovima perioda, proračuni će biti pojednostavljeni. Na primjer, ako trebate pronaći pomak nakon 1/8 perioda, dobijamo: . Slično za brzinu i ubrzanje.

Nije neuobičajeno da sistem istovremeno učestvuje u dve ili više nezavisnih oscilacija. U tim slučajevima nastaje složeno oscilatorno kretanje koje nastaje superponiranjem (dodavanjem) vibracija jedna drugoj. Očigledno, slučajevi sabiranja oscilacija mogu biti vrlo raznoliki. One ne zavise samo od broja dodatih oscilacija, već i od parametara oscilacija, od njihovih frekvencija, faza, amplituda, pravca. Nije moguće sagledati svu moguću raznolikost slučajeva sabiranja oscilacija, stoga ćemo se ograničiti na razmatranje samo pojedinačnih primjera.
1. Sabiranje vibracija u jednom smjeru. Dodajmo dvije oscilacije iste frekvencije, ali različite faze i amplitude.

(4.40)
Kada su oscilacije jedna na drugu


Uvodimo nove parametre A i j prema jednadžbi:

(4.42)
Sistem jednačina (4.42) se lako rješava.

(4.43)

(4.44)
Dakle, za x konačno dobijamo jednačinu

(4.45)
Dakle, kao rezultat zbrajanja jednosmjernih oscilacija iste frekvencije, dobijamo harmonijsku (sinusoidnu) oscilaciju, čija je amplituda i faza određena formulama (4.43) i (4.44).
Razmotrimo posebne slučajeve u kojima su omjeri između faza dvije zbrojene oscilacije različiti:


(4.46)
Dodajmo sada jednosmjerne oscilacije iste amplitude, istih faza, ali različitih frekvencija.


(4.47)
Razmotrimo slučaj kada su frekvencije blizu jedna drugoj, tj. w1~w2=w
Tada ćemo približno pretpostaviti da je (w1+w2)/2= w, a (w2-w1)/2 je mala. Rezultirajuća oscilirajuća jednačina će izgledati ovako:

(4.48)
Njegov grafikon je prikazan na sl. 4.5 Ova oscilacija se naziva otkucaj. Izvodi se frekvencijom w, ali njena amplituda oscilira sa velikim periodom.

2. Sabiranje dvije međusobno okomite oscilacije. Pretpostavimo da se jedna oscilacija vrši duž x-ose, a druga - duž y-ose. Rezultirajuće kretanje se očigledno nalazi u xy ravni.
1. Pretpostavimo da su frekvencije i faze oscilacija iste, ali da su amplitude različite.

(4.49)
Da bi se pronašla putanja rezultirajućeg kretanja, potrebno je isključiti vrijeme iz jednačina (4.49). Da biste to učinili, dovoljno je podijeliti član po član jednu jednačinu drugom, kao rezultat toga dobivamo

(4.50)
Jednačina (4.50) pokazuje da u ovom slučaju sabiranje oscilacija dovodi do oscilovanja duž prave linije čiji je tangent ugla nagiba određen omjerom amplituda.
2. Neka se faze dodatnih oscilacija razlikuju jedna od druge za /2 i jednačine imaju oblik:

(4.51)
Da bi se pronašla putanja rezultujućeg kretanja, isključujući vrijeme, potrebno je jednadžbe (4.51) kvadrirati, prvo ih podijeliti sa A1 i A2, a zatim ih sabrati. Jednačina putanje će imati oblik:

(4.52)
Ovo je jednadžba elipse. Može se dokazati da će se za bilo koje početne faze i bilo koje amplitude dvije dodane međusobno okomite oscilacije iste frekvencije, rezultirajuća oscilacija vršiti duž elipse. Njegova orijentacija će zavisiti od faza i amplituda dodatnih oscilacija.
Ako dodane oscilacije imaju različite frekvencije, onda su putanje rezultirajućih kretanja vrlo raznolike. Samo ako su frekvencije oscilacija u x i y višestruke jedna drugoj, dobijaju se zatvorene putanje. Takva kretanja mogu se pripisati broju periodičnih. U ovom slučaju, putanje kretanja se nazivaju Lissajousove figure. Razmotrimo jednu od Lissajousovih figura, koja se dobija zbrajanjem oscilacija sa omjerom frekvencija 1:2, sa istim amplitudama i fazama na početku kretanja.

(4.53)
Duž y ose, oscilacije se javljaju dva puta češće nego duž x ose. Dodavanje takvih oscilacija će dovesti do putanje kretanja u obliku osmice (slika 4.7).

8. Prigušene oscilacije i njihovi parametri: dekrement i koeficijent oscilacije, vrijeme relaksacije

)Period prigušenih oscilacija:

T = (58)

At δ << ω o vibracije se ne razlikuju od harmonijskih: T = 2π/ o.

2) Amplituda prigušenih oscilacija izražava se formulom (119).

3) dekrement prigušenja, jednak omjeru dvije uzastopne amplitude oscilacija ALI(t) i ALI(t+T), karakterizira brzinu smanjenja amplitude tokom perioda:

= e d T (59)

4) Dekrement logaritamskog prigušenja- prirodni logaritam omjera amplituda dvije uzastopne oscilacije koje odgovaraju vremenskim tačkama koje se razlikuju za period

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

Logaritamski dekrement prigušenja je konstantna vrijednost za dati oscilatorni sistem.

5) Vrijeme za opuštanje zove se vremenski period ( t) tokom kojeg se amplituda prigušenih oscilacija smanjuje za faktor e:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

Iz poređenja izraza (60) i (61) dobijamo:

q= = , (62)

gdje N e - broj oscilacija napravljenih tokom vremena relaksacije.

Ako tokom vremena t sistem pravi Ν fluktuacije, dakle t = Ν . Τ a jednadžba prigušenih oscilacija može se predstaviti kao:

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Faktor kvaliteta oscilatornog sistema(Q) uobičajeno je da se veličina koja karakteriše gubitak energije u sistemu tokom perioda oscilovanja naziva:

Q= 2str , (63)

gdje W je ukupna energija sistema, ∆W je energija rasipana tokom perioda. Što se manje energije troši, veći je faktor kvaliteta sistema. Proračuni to pokazuju

Q = = pNe = = . (64)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, faktor kvalitete je obrnuto proporcionalan logaritamskom dekrementu prigušenja. Iz formule (64) proizlazi da je faktor kvaliteta proporcionalan broju oscilacija N e koje sistem izvodi tokom vremena opuštanja.

7) Potencijalna energija sistem u trenutku t može se izraziti u terminima potencijalne energije W 0 pri najvećem odstupanju:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Obično se uslovno smatra da su oscilacije praktički prestale ako se njihova energija smanjila za faktor 100 (amplituda se smanjila za faktor 10). Odavde možete dobiti izraz za izračunavanje broja oscilacija koje napravi sistem:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Prisilne vibracije. Rezonancija. aperiodične fluktuacije. Samooscilacije.

Da bi sistem mogao vršiti neprigušene oscilacije, potrebno je nadoknaditi gubitke energije oscilacija usled trenja izvana. Kako bi se osiguralo da se energija oscilacija sistema ne smanji, obično se uvodi sila koja periodično djeluje na sistem (takvu silu ćemo nazvati uvjerljiv i prisilne oscilacije).

DEFINICIJA: prisiljen nazivaju se takve vibracije koje se javljaju u oscilatornom sistemu pod dejstvom spoljne periodično promenljive sile.

Ova sila, po pravilu, ima dvostruku ulogu:

prvo, potresa sistem i daje mu određenu količinu energije;

drugo, periodično nadopunjuje gubitke energije (potrošnja energije) kako bi se savladale sile otpora i trenja.

Neka se pokretačka snaga mijenja s vremenom u skladu sa zakonom:

.

Sastavimo jednačinu kretanja za sistem koji oscilira pod uticajem takve sile. Pretpostavljamo da na sistem takođe utiču kvazielastična sila i sila otpora sredine (što važi pod pretpostavkom malih oscilacija). Tada će jednačina kretanja sistema izgledati ovako:

Or .

Zamjenom , , – prirodnom frekvencijom oscilacija sistema, dobijamo nehomogenu linearnu diferencijalnu jednačinu 2 th red:

Iz teorije diferencijalnih jednadžbi je poznato da je opšte rešenje nehomogene jednačine jednako zbiru opšteg rešenja homogene jednačine i posebnog rešenja nehomogene jednačine.

Opće rješenje homogene jednačine je poznato:

,

gdje ; a 0 i a– proizvoljna konst.

.

Koristeći vektorski dijagram, možete se uvjeriti da je takva pretpostavka istinita, a također odrediti vrijednosti " a" i " j”.

Amplituda oscilacije određena je sljedećim izrazom:

.

značenje " j“, što je veličina faznog kašnjenja prinudne oscilacije od pokretačke sile koja ga je uzrokovala, također se određuje iz vektorskog dijagrama i iznosi:

.

Konačno, određeno rješenje nehomogene jednadžbe će poprimiti oblik:

(8.18)

Ova funkcija, zajedno sa

(8.19)

daje opšte rješenje nehomogene diferencijalne jednačine koja opisuje ponašanje sistema pod prisilnim vibracijama. Pojam (8.19) igra značajnu ulogu u početnoj fazi procesa, tokom takozvanog uspostavljanja oscilacija (slika 8.10). S vremenom, zbog eksponencijalnog faktora, uloga drugog člana (8.19) sve više opada, a nakon dovoljno vremena može se zanemariti, zadržavajući samo član (8.18) u rješenju.

Dakle, funkcija (8.18) opisuje stabilne prisilne oscilacije. To su harmonijske oscilacije sa frekvencijom jednakom frekvenciji pokretačke sile. Amplituda prisilnih oscilacija proporcionalna je amplitudi pogonske sile. Za dati oscilatorni sistem (definisano w 0 i b) amplituda zavisi od frekvencije pokretačke sile. Prisilne oscilacije zaostaju za pokretačkom silom u fazi, a količina zaostajanja "j" zavisi i od frekvencije pokretačke sile.

Ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pokretačke sile dovodi do činjenice da na određenoj frekvenciji određenoj za dati sistem amplituda oscilovanja dostiže svoju maksimalnu vrijednost. Oscilatorni sistem posebno reagira na djelovanje pokretačke sile na ovoj frekvenciji. Ovaj fenomen se zove rezonancija, a odgovarajuća frekvencija je rezonantna frekvencija.

DEFINICIJA: pojava u kojoj se uočava naglo povećanje amplitude prisilnih oscilacija naziva se rezonancija.

Rezonantna frekvencija se određuje iz maksimalnog uslova za amplitudu prisilnih oscilacija:

. (8.20)

Zatim, zamjenom ove vrijednosti u izraz za amplitudu, dobijamo:

. (8.21)

U nedostatku srednjeg otpora, amplituda oscilacija u rezonanciji bi se pretvorila u beskonačnost; rezonantna frekvencija pod istim uslovima (b=0) poklapa se sa frekvencijom prirodnog oscilovanja.

Zavisnost amplitude prisilnih oscilacija od frekvencije pokretačke sile (ili, što je isto, od frekvencije oscilacija) može se prikazati grafički (slika 8.11). Odvojene krive odgovaraju različitim vrijednostima "b". Što je manje „b“, to je više i desno nalazi maksimum ove krive (vidi izraz za w res.). Uz vrlo veliko prigušenje, rezonancija se ne opaža - sa povećanjem frekvencije, amplituda prisilnih oscilacija monotono opada (donja kriva na slici 8.11).

Zove se skup prikazanih grafova koji odgovaraju različitim vrijednostima b rezonantne krive.

Napomene o rezonantnim krivuljama:

kako w®0 teži, sve krive dolaze na istu vrijednost različitu od nule jednaku . Ova vrijednost predstavlja pomak iz ravnotežnog položaja koji sistem prima pod djelovanjem konstantne sile F 0 .

kao w®¥ sve krive asimptotski teže nuli, budući da na visokoj frekvenciji, sila mijenja svoj smjer tako brzo da sistem nema vremena da se primjetno pomakne iz ravnotežnog položaja.

što je b manji, što se amplituda u blizini rezonancije jače mijenja sa frekvencijom, to je maksimum "oštriji".

Fenomen rezonancije je često koristan, posebno u akustici i radiotehnici.

Samooscilacije- neprigušene oscilacije u disipativnom dinamičkom sistemu sa nelinearnom povratnom spregom, podržane energijom konstante, tj. neperiodični spoljni uticaj.

Samooscilacije se razlikuju od prisilne vibracije jer su ovi drugi uzrokovani periodični eksternog uticaja i javljaju se sa učestalošću ovog uticaja, dok su pojava autooscilacija i njihova učestalost determinisani unutrašnjim svojstvima samog autooscilatornog sistema.

Termin samooscilacije u rusku terminologiju uveo A. A. Andronov 1928.

primjeri[

Primjeri samooscilacija su:

· neprigušene oscilacije klatna sata usled konstantnog dejstva gravitacije utega sata;

vibracije violinske žice pod uticajem gudala koji se ravnomerno kreće

pojava naizmjenične struje u krugovima multivibratora i drugim elektronskim generatorima pri konstantnom naponu napajanja;

fluktuacija stupca zraka u cijevi organa, s ravnomjernim dovodom zraka u njega. (vidi i Stojeći talas)

rotacijske oscilacije mjedenog satnog zupčanika sa čeličnom osovinom obješenom na magnet i uvrnutom (Gamazkovov eksperiment) (kinetička energija točka, kao u unipolarnom generatoru, pretvara se u potencijalnu energiju električnog polja, potencijalnu energiju električno polje, kao u unipolarnom motoru, pretvara se u kinetičku energiju točka itd.)

Maklakov hammer

Čekić koji udara zbog energije naizmjenične struje frekvencije mnogo puta niže od frekvencije struje u električnom kolu.

Zavojnica L oscilatornog kola se postavlja iznad stola (ili drugog predmeta koji treba udariti). Odozdo u njega ulazi željezna cijev čiji je donji kraj udarni dio čekića. Cijev ima vertikalni prorez za smanjenje Foucaultovih struja. Parametri oscilatornog kruga su takvi da se prirodna frekvencija njegovih oscilacija poklapa sa frekvencijom struje u kolu (na primjer, naizmjenična gradska struja, 50 herca).

Nakon uključivanja struje i uspostavljanja oscilacija, uočava se rezonancija struja kola i vanjskog kola, te se željezna cijev uvlači u zavojnicu. Povećava se induktivnost zavojnice, oscilatorno kolo izlazi iz rezonancije, a amplituda strujnih oscilacija u zavojnici se smanjuje. Stoga se cijev vraća u prvobitni položaj - izvan zavojnice - pod utjecajem gravitacije. Tada fluktuacije struje unutar kruga počinju rasti, a rezonancija se ponovo javlja: cijev se ponovo uvlači u zavojnicu.

tube commits samooscilacije, odnosno povremeni pokreti gore-dole, a u isto vreme glasno kuca po stolu, poput čekića. Period ovih mehaničkih samooscilacija je desetine puta veći od perioda naizmjenične struje koja ih podržava.

Čekić je dobio ime po M. I. Maklakovu, asistentu na Moskovskom institutu za fiziku i tehnologiju, koji je predložio i izveo takav eksperiment za demonstriranje samooscilacija.

Mehanizam samooscilacija

Slika 1. Mehanizam samooscilacija

Samooscilacije mogu imati različitu prirodu: mehaničku, termičku, elektromagnetnu, hemijsku. Mehanizam nastanka i održavanja autooscilacija u različitim sistemima može se zasnivati ​​na različitim zakonima fizike ili hemije. Za tačan kvantitativni opis autooscilacija različitih sistema može biti potreban različit matematički aparat. Ipak, moguće je zamisliti shemu koja je zajednička za sve samooscilirajuće sisteme i koja kvalitativno opisuje ovaj mehanizam (slika 1).

na dijagramu: S- izvor stalnog (neperiodičnog) uticaja; R- nelinearni kontroler koji konvertuje konstantan efekat u promenljivu (na primer, povremeno u vremenu), koja se "ljulja" oscilator V- oscilirajući element (elementi) sistema, i oscilacije oscilatora putem povratne sprege B kontroliše rad regulatora R, postavljanje faza i frekvencija njegove radnje. Disipacija (disipacija energije) u samooscilatornom sistemu nadoknađuje se energijom koja u njega ulazi iz izvora stalnog uticaja, zbog čega se autooscilacije ne raspadaju.

Rice. 2Šema začepnog mehanizma sata sa klatnom

Ako je oscilirajući element sistema sposoban sam za sebe prigušene oscilacije(takozvani. harmonijski disipativni oscilator), samooscilacije (sa jednakom disipacijom i unosom energije u sistem tokom perioda) se uspostavljaju na frekvenciji bliskoj rezonantan za ovaj oscilator njihov oblik postaje blizak harmonijskom, a amplituda, u određenom rasponu vrijednosti, što je veća, to je veća veličina stalnog vanjskog utjecaja.

Primjer takvog sistema je mehanizam sa začepljivanjem sata s klatnom, čiji je dijagram prikazan na Sl. 2. Na osovini kotača A(koji u ovom sistemu obavlja funkciju nelinearnog regulatora) postoji konstantan moment sile M prenosi se kroz zupčanik od glavne opruge ili od težine. Kada se točak okreće A njegovi zubi daju klatno kratkotrajne impulse sile P(oscilator), zahvaljujući kojem njegove oscilacije ne blijede. Kinematika mehanizma igra ulogu povratne sprege u sistemu, sinhronizujući rotaciju točka sa oscilacijama klatna na način da se točak tokom celog perioda oscilovanja okreće za ugao koji odgovara jednom zubu.

Zovu se samooscilirajući sistemi koji ne sadrže harmonijske oscilatore opuštanje. Oscilacije u njima mogu biti vrlo različite od harmonijskih, a imaju pravokutni, trokutasti ili trapezoidni oblik. Amplituda i period relaksacionih samooscilacija određuju se odnosom veličine konstantnog dejstva i karakteristikama inercije i disipacije sistema.

Rice. 3 Električno zvono

Najjednostavniji primjer relaksacionih samooscilacija je rad električnog zvona, prikazanog na sl. 3. Izvor stalne (neperiodične) izloženosti ovdje je električna baterija U; ulogu nelinearnog kontrolera obavlja čoper T, zatvaranje i otvaranje električnog kruga, zbog čega u njemu nastaje isprekidana struja; oscilirajući elementi su magnetsko polje koje se periodično indukuje u jezgri elektromagneta E, i sidro A krećući se pod uticajem naizmeničnog magnetnog polja. Oscilacije armature pokreću čoper, koji formira povratnu vezu.

Inercija ovog sistema je određena sa dve različite fizičke veličine: momentom inercije armature ALI i induktivnost namotaja elektromagneta E. Povećanje bilo kojeg od ovih parametara dovodi do povećanja perioda samooscilacija.

Ako u sistemu postoji više elemenata koji osciliraju nezavisno jedan od drugog i istovremeno djeluju na nelinearni regulator ili regulatore (kojih također može biti nekoliko), samooscilacije mogu poprimiti složeniji karakter, npr. aperiodično, ili dinamički haos.

U prirodi i tehnologiji

Samooscilacije su u osnovi mnogih prirodnih fenomena:

fluktuacije listova biljaka pod dejstvom jednolikog strujanja vazduha;

· formiranje turbulentnih tokova na rekama i brzacima reka;

Djelovanje običnih gejzira itd.

Princip rada velikog broja različitih tehničkih uređaja i uređaja zasniva se na samooscilacijama, uključujući:

rad svih vrsta satova, kako mehaničkih tako i električnih;

· ozvučenje svih duvačkih i gudačkih muzičkih instrumenata;

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućava besplatno korištenje.
Datum kreiranja stranice: 2017-04-04

fluktuacije nazivaju se pokreti ili procesi koji se odlikuju određenim ponavljanjem u vremenu. Oscilatorni procesi su rasprostranjeni u prirodi i tehnologiji, na primjer, njihanje satnog klatna, naizmjenična električna struja itd. Kada klatno oscilira mijenja se koordinata njegovog centra mase, u slučaju naizmjenične struje napon i struja u kolu fluktuiraju. Fizička priroda oscilacija može biti različita, pa se razlikuju mehaničke, elektromagnetne itd. Međutim, različiti oscilatorni procesi se opisuju istim karakteristikama i istim jednačinama. Iz ovoga proizilazi izvodljivost jedinstven pristup na proučavanje vibracija različite fizičke prirode.

Fluktuacije se nazivaju besplatno, ako su napravljeni samo pod uticajem unutrašnjih sila koje deluju između elemenata sistema, nakon što je sistem van ravnoteže iznet spoljnim silama i prepušten sam sebi. Uvek besplatne vibracije prigušene oscilacije jer su gubici energije neizbežni u realnim sistemima. U idealiziranom slučaju sistema bez gubitka energije, slobodne oscilacije (koje se nastavljaju koliko god se želi) nazivaju se vlastiti.

Najjednostavniji tip slobodnih neprigušenih oscilacija su harmonijske oscilacije - fluktuacije u kojima se fluktuirajuća vrijednost mijenja s vremenom prema sinusnom (kosinusnom) zakonu. Oscilacije koje se susreću u prirodi i tehnologiji često imaju karakter blizak harmonijskom.

Harmonične vibracije su opisane jednadžbom koja se zove jednačina harmonijskih vibracija:

gdje ALI- amplituda fluktuacije, maksimalna vrijednost fluktuirajuće vrijednosti X; - kružna (ciklička) frekvencija prirodnih oscilacija; - početna faza oscilacije u trenutku t= 0; - faza oscilacije u trenutku vremena t. Faza oscilacije određuje vrijednost oscilirajuće veličine u datom trenutku. Pošto kosinus varira od +1 do -1, onda X može uzeti vrijednosti od + A prije - ALI.

Vrijeme T, za koji sistem dovrši jednu potpunu oscilaciju, naziva se period oscilovanja. Tokom T faza oscilovanja se povećava za 2 π , tj.

Gdje . (14.2)

Recipročna vrednost perioda oscilovanja

tj. broj kompletnih oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija oscilovanja. Upoređujući (14.2) i (14.3) dobijamo

Jedinica za frekvenciju je herc (Hz): 1 Hz je frekvencija na kojoj se jedna potpuna oscilacija odvija u 1 s.

Sistemi u kojima se mogu javiti slobodne vibracije nazivaju se oscilatori . Koja svojstva mora imati sistem da bi se u njemu javile slobodne oscilacije? Mehanički sistem mora imati položaj stabilne ravnoteže, nakon izlaska koji se pojavljuje vraćanje sile ka ravnoteži. Ova pozicija odgovara, kao što je poznato, minimumu potencijalne energije sistema. Razmotrimo nekoliko oscilatornih sistema koji zadovoljavaju navedena svojstva.

Oscilacije koje nastaju pod djelovanjem vanjskih, periodično promjenjivih sila (sa periodičnim dovodom energije izvana u oscilatorni sistem)

Energetska transformacija

Opružno klatno

Ciklična frekvencija i period oscilovanja su, respektivno:

Materijalna točka pričvršćena za savršeno elastičnu oprugu

Ø dijagram potencijalne i kinetičke energije opružnog klatna na x-koordinati.

Ø kvalitativni grafovi zavisnosti kinetičke i potencijalne energije od vremena.

Ø Prisilno

Ø Frekvencija prisilnih oscilacija jednaka je učestalosti promjena vanjske sile

Ø Ako se Fbc mijenja u skladu sa sinusnim ili kosinusnim zakonom, tada će prisilne oscilacije biti harmonijske

Ø Kod samooscilacija neophodno je periodično snabdevanje energijom iz sopstvenog izvora unutar oscilatornog sistema

Harmonične oscilacije su oscilacije kod kojih se oscilirajuća vrijednost mijenja s vremenom prema zakonu sinusa ili kosinusa

jednadžbe harmonijskih oscilacija (zakoni kretanja tačaka) imaju oblik

Harmonične vibracije nazivaju se takve oscilacije kod kojih oscilirajuća vrijednost varira s vremenom prema zakonusinus ilikosinus .
Jednačina harmonične vibracije izgleda kao:

,
gdje je A - amplituda oscilovanja (vrijednost najvećeg odstupanja sistema od ravnotežnog položaja); -kružna (ciklička) frekvencija. Periodično mijenjajući kosinusni argument - tzv faza oscilovanja . Faza oscilovanja određuje pomak oscilirajuće veličine iz ravnotežnog položaja u datom trenutku t. Konstanta φ je vrijednost faze u trenutku t = 0 i naziva se početna faza oscilacije . Vrijednost početne faze određena je izborom referentne tačke. Vrijednost x može imati vrijednosti u rasponu od -A do +A.
Vremenski interval T nakon kojeg se ponavljaju određena stanja oscilatornog sistema, nazvan periodom oscilovanja . Kosinus je periodična funkcija sa periodom od 2π, dakle, tokom vremenskog perioda T, nakon kojeg će faza oscilovanja dobiti prirast jednak 2π, stanje sistema koji vrši harmonijske oscilacije će se ponoviti. Ovaj vremenski period T naziva se period harmonijskih oscilacija.
Period harmonijskih oscilacija je : T = 2π/.
Naziva se broj oscilacija u jedinici vremena frekvencija oscilovanja ν.
Frekvencija harmonijskih vibracija je jednako: ν = 1/T. Jedinica frekvencije herca(Hz) - jedna oscilacija u sekundi.
Kružna frekvencija = 2π/T = 2πν daje broj oscilacija u 2π sekundi.

Generalizirana harmonijska oscilacija u diferencijalnom obliku

Grafički, harmonijske oscilacije se mogu prikazati kao zavisnost x od t (slika 1.1.A), a metoda rotirajuće amplitude (metoda vektorskog dijagrama)(Sl.1.1.B) .

Metoda rotirajuće amplitude omogućava vam da vizualizirate sve parametre uključene u jednadžbu harmonijskih oscilacija. Zaista, ako je vektor amplitude ALI lociran pod uglom φ prema x-osi (vidi sliku 1.1. B), tada će njegova projekcija na x-osu biti jednaka: x = Acos(φ). Ugao φ je početna faza. Ako je vektor ALI stavite u rotaciju s kutnom brzinom jednakom kružnoj frekvenciji oscilacija, tada će se projekcija kraja vektora kretati duž x-ose i poprimiti vrijednosti u rasponu od -A do +A, a koordinata ove projekcije će se vremenom mijenjati u skladu sa zakonom:
.
Dakle, dužina vektora jednaka je amplitudi harmonijske oscilacije, smjer vektora u početnom trenutku formira ugao sa x-osom jednak početnoj fazi oscilacije φ, a promjena smjera ugao sa vremenom jednak je fazi harmonijskih oscilacija. Vrijeme za koje vektor amplitude napravi jedan potpuni okret jednako je periodu T harmonijskih oscilacija. Broj obrtaja vektora u sekundi jednak je frekvenciji oscilovanja ν.