Muhtasari wa somo "nambari halisi". Nambari halisi, ufafanuzi, mifano

Nambari ya somo 2.

Mada ya somo. Nambari halisi.

Kusudi la somo. Tambulisha dhana ya nambari halisi. Uendeshaji na nambari halisi.

Wakati wa madarasa.

I. Wakati wa kuandaa. Ujumbe kuhusu mada na madhumuni ya somo.

II . Kurudia nyenzo zilizofunikwa.

1. Majibu ya maswali juu ya kazi ya nyumbani (uchambuzi wa matatizo ambayo hayajatatuliwa).

2. Udhibiti wa assimilation ya ujuzi (kazi ya kujitegemea).

Chaguo 1. Chaguo la 2.

1. Tafuta maadili ya misemo:

1) ; 2) ; 3) 1) 2) 3)

2. Kokotoa:

1) 2) 1) 2)

3) 4) 3) ; 4)

III . Kujifunza nyenzo mpya.

1. Nambari za busara haitoshi kutatua matatizo ya kipimo. Kwa hivyo diagonal ya mraba iliyo na upande wa kitengo haiwezi kupimwa ikiwa nambari za busara ndizo zitatumika (elfu 2.5 KK)

Kwa kazi za kipimo, unaweza kuchagua thamani ya kawaida - urefu wa sehemu na kuweka nambari za kijiometri - sehemu, au tuseme uwiano wao kwa sehemu ya kitengo kilichochaguliwa (kitengo cha wadogo). Ikiwa tunaita uwiano wa sehemu kwa kitengo nambari, basi tatizo la kuandika nambari hutokea. Ni rahisi kuandika nambari kama sehemu ya decimal, inayoonyesha mchakato fulani wa kipimo.

Wakati wa kupima diagonal ya mraba na upande wa 1, kwanza tunaweka kando nambari kamili

sehemu moja na tunapata nambari 1. Katika salio tutatenga kumi

sehemu hiyo ya kitengo. Itawekwa mara 4, na sehemu itabaki

urefu chini ya . Tunapata sehemu ya decimal 1.4. Kisha tunagawanya

tena katika sehemu 10, weka kando sehemu mpya katika salio na uandike

matokeo. Tunapata mlolongo wa sehemu za decimal na kuongezeka

kuongezeka kwa idadi ya maeneo decimal: 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142;….

Ni rahisi kuwakilisha mlolongo huu kama usio na mwisho

sehemu ya decimal 1.414213562373095 ..., ambayo inaweza kuzingatiwa

nambari. Hivyo kwa ufafanuzinambari halisi haina mwisho

desimali isiyo ya muda.

2. Mwisho wa desimali. Nambari ya busara iliyowakilishwa

Sehemu, katika dhehebu ambayo kuna deuces tu na tano, itaandikwa

sehemu ya mwisho ya desimali, kwa kuwa katika hatua fulani mchakato wa kipimo cha desimali utaisha - sehemu fulani ya sehemu ya kitengo itawekwa kwenye salio idadi kamili ya nyakati.

Kwa mfano:

Ikiwa sehemu isiyoweza kupunguzwa kuna nambari kuu katika dhehebu zaidi ya 2 na 5, basi mchakato wa kipimo cha decimal utakuwa wa mara kwa mara, na nambari (moja au zaidi) zitaanza kurudia mara kwa mara.

Kwa mfano:

3. Nambari zisizo na mantiki ni nambari ambazo hazina mantiki. Zimeandikwa kama desimali zisizo na kikomo zisizorudiwa mara kwa mara.

Kwa mfano: .

Muungano wa seti ya nambari za busara na zisizo na maana huunda setinambari za kweli R . ( ).

4 . Kwa nini nambari halisi zilihitajika, na je, zinatosha kutatua matatizo?

Kuongezwa kwa nambari zisizo na mantiki kwa nambari za busara kulisababishwa na hitaji la kupima urefu wa sehemu yoyote. Kwa usaidizi wa nambari halisi zilizojengwa kwa njia hii, mtu anaweza kupima kiasi kingine ambacho kimekuwa jina scalar.

5 . Kwa nini diagonal ya mraba yenye upande sawa na moja haiwezi kupimwa kwa nambari ya busara?

6. Operesheni kwenye nambari halisi.

Desimali isiyo na kikomo ni mfuatano wa ukadiriaji kwa desimali zenye kikomo kwa nambari halisi fulani. Ili kufanya shughuli za hesabu juu yao, shughuli hizi hufanywa kwa kufuata sehemu za decimal.

Kwa mfano: . Tunapata:

Vile vile (kwa kutumia calculator).

Nambari halisi zinaweza kuwakilishwa kama nukta kwenye mstari wa nambari. Ikiwa nambari mbili b inavyoonyeshwa kama nukta kwenye mhimili halisi, kisha umbali katiA na B sawa na moduli ya tofauti kati ya nambaria u b : Sifa:

Iv. Kuunganishwa kwa nyenzo zilizofunikwa.

1. Jibu maswali.

1) Je, kila nambari ni nambari ya kimantiki? (Ndiyo)

2) Ni nambari isiyo na akili? (Sio)

3) Je, jumla ya nambari za kimantiki huwa ni nambari ya kimantiki? (Hapana. Jumla ya sehemu za muda.)

4) Je, nambari ya kimantiki inaweza kupatikana kwa kuongeza nambari zisizo na mantiki? (Sio)

5) Je, mgawo wa kugawanya nambari ya kimantiki kwa nambari isiyo na mantiki inaweza kuwa nambari ya kimantiki? (Sio)

6) Je, mraba wa nambari isiyo na mantiki huwa ni nambari ya kimantiki? (Hapana. ).

2. Kutatua mifano.

1) Toa mifano ya nambari za mantiki na zisizo na mantiki.

2) Bainisha nambari za busara na zisizo na maana:

3) Je, ni kweli kwamba: a). b)

1. Dhana ya nambari isiyo na mantiki. Desimali isiyo na kikomo sehemu zisizo za muda. Seti ya nambari halisi.

2. Shughuli za hesabu kwenye nambari halisi. Sheria za kuongeza na kuzidisha.

3. Upanuzi wa nambari chanya halisi kwa seti ya nambari halisi. Mali ya seti ya nambari halisi.

4. Kadirio la nambari. Kanuni za kuzungusha nambari halisi na vitendo kwa kadirio la nambari. Mahesabu kwa msaada wa microcalculator.

5. Matokeo Muhimu

Nambari halisi

Moja ya vyanzo vya kuonekana kwa sehemu za decimal ni mgawanyiko wa nambari za asili, nyingine ni kipimo cha kiasi. Wacha tujue, kwa mfano, jinsi sehemu za desimali zinaweza kupatikana wakati wa kupima urefu wa sehemu.

Hebu X- sehemu ambayo urefu wake unapaswa kupimwa, e- kata moja. Kata urefu X kuashiria kwa barua X, na urefu wa sehemu e- barua E. Wacha sehemu X inajumuisha n sehemu sawa na e₁ na kukata X₁, ambayo ni fupi kuliko sehemu e(Mchoro 130), i.e. n ∙E < X < (n + 1) ∙E. Nambari n na n+ 1 ni takriban maadili ya urefu wa sehemu X kwa urefu wa kitengo E na upungufu na ziada hadi 1.

Ili kupata jibu kwa usahihi zaidi, chukua sehemu e₁ ni sehemu ya kumi ya sehemu e na tutaiweka katika sehemu hiyo X₁. Katika kesi hii, kesi mbili zinawezekana.

1) Sehemu e₁ inafaa katika sehemu X₁ kwa usahihi n mara moja. Kisha urefu n sehemu X imeonyeshwa kama desimali ya mwisho: X = (n+n₁\10) ∙E= n, n₁∙E. Kwa mfano, X= 3.4∙E.

2) Kata X₁ inageuka kuwa inajumuisha n sehemu sawa na e₁, na sehemu X₂, ambayo ni fupi kuliko sehemu e₁. Kisha n,n₁∙E < X < n,n₁n₁′∙ E, wapi n,n₁ na n,n₁n₁′ - thamani ya takriban ya urefu wa sehemu X na upungufu na ziada kwa usahihi wa 0.1.

Ni wazi kwamba katika kesi ya pili mchakato wa kupima urefu wa sehemu X unaweza kuendelea kwa kuchukua sehemu mpya ya kitengo e₂ - mia ya sehemu e.

Kwa mazoezi, mchakato huu wa kupima urefu wa sehemu utaisha kwa hatua fulani. Na kisha matokeo ya kupima urefu wa sehemu itakuwa ama nambari asilia au sehemu ya mwisho ya desimali. Ikiwa tunafikiria mchakato huu wa kupima urefu wa sehemu kwa njia bora (kama wanavyofanya katika hisabati), basi matokeo mawili yanawezekana:

1) Katika hatua ya k-th, mchakato wa kipimo utaisha. Kisha urefu wa sehemu utaonyeshwa kama sehemu ya mwisho ya desimali ya fomu n,n₁… n k.

2) Mchakato ulioelezewa wa kupima urefu wa sehemu X inaendelea kwa muda usiojulikana. Kisha ripoti kuhusu hilo inaweza kuwakilishwa na ishara n,n₁… n k..., ambayo inaitwa desimali isiyo na kikomo.

Jinsi ya kuwa na uhakika wa uwezekano wa matokeo ya pili? Ili kufanya hivyo, inatosha kupima urefu wa sehemu kama hiyo, ambayo inajulikana kuwa urefu wake unaonyeshwa, kwa mfano, na nambari ya busara 5. Ikiwa ilibadilika kuwa kama matokeo ya kupima urefu wa sehemu kama hiyo, sehemu ya mwisho ya decimal inapatikana, basi hii inamaanisha kuwa nambari 5 inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya mwisho ya decimal, ambayo haiwezekani: 5 \u003d 5.666 . ...

Kwa hivyo, wakati wa kupima urefu wa sehemu, sehemu za decimal zisizo na kipimo zinaweza kupatikana. Lakini je, sehemu hizi ni za mara kwa mara? Jibu la swali hili ni hasi: kuna sehemu ambazo urefu wake hauwezi kuonyeshwa kwa sehemu isiyo na kipimo ya upimaji (yaani, nambari chanya ya busara) na kitengo cha urefu kilichochaguliwa. Huu ulikuwa ugunduzi muhimu zaidi katika hisabati, ambao ulifuata kwamba nambari za busara hazitoshi kupima urefu wa sehemu.

Nadharia. Ikiwa kitengo cha urefu ni urefu wa upande wa mraba, basi urefu wa diagonal ya mraba huu hauwezi kuonyeshwa kwa nambari nzuri ya busara.

Ushahidi. Hebu urefu wa upande wa mraba uonyeshwe na nambari 1. Tuseme kinyume cha kile kinachohitajika kuthibitishwa, yaani, kwamba urefu wa AC ya diagonal ya ABCB ya mraba inaonyeshwa kama sehemu isiyoweza kupunguzwa. Kisha, kwa mujibu wa nadharia ya Pythagorean, usawa ungeshikilia

1²+ 1² = . Inafuata kutoka kwake kwamba m² = 2n². Kwa hivyo, m² ni nambari sawa, basi nambari m ni sawa (mraba wa nambari isiyo ya kawaida haiwezi kuwa sawa). Kwa hivyo, m = 2p. Kubadilisha nambari m kwa 2p katika equation m² = 2n², tunapata hiyo 4p² = 2n², i.e. 2p² = n². Inafuata kwamba n² ni sawa, kwa hivyo n ni nambari sawa. Kwa hivyo, nambari m na n ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa sehemu inaweza kupunguzwa na 2, ambayo inapingana na dhana kwamba haiwezi kupunguzwa. Upinzani ulioanzishwa unathibitisha kwamba ikiwa kitengo cha urefu ni urefu wa upande wa mraba, basi urefu wa diagonal ya mraba huu hauwezi kuonyeshwa kwa nambari ya busara.

Inafuata kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa kwamba kuna sehemu ambazo urefu wake hauwezi kuonyeshwa na nambari chanya (pamoja na kitengo kilichochaguliwa cha urefu), au, kwa maneno mengine, haiwezi kuandikwa kama sehemu isiyo na kipimo ya muda. Hii ina maana kwamba sehemu za desimali zisizo na kikomo zilizopatikana kwa kupima urefu wa sehemu zinaweza kuwa zisizo za muda.

Inaaminika kuwa sehemu za decimal zisizo za muda ni rekodi ya nambari mpya - chanya irrational nambari. Kwa kuwa dhana za nambari na nukuu zake mara nyingi hutambuliwa, wanasema kuwa sehemu za decimal zisizo za muda ni nambari chanya zisizo na mantiki.

Tulifikia dhana ya nambari chanya isiyo na mantiki kupitia mchakato wa kupima urefu wa sehemu. Lakini nambari zisizo na mantiki pia zinaweza kupatikana kwa kutoa mizizi kutoka kwa nambari fulani za busara. Kwa hivyo √2, √7, √24 ni nambari zisizo na mantiki. Isiyo na akili pia ni lg 5, dhambi 31, nambari π = 3.14..., e= 2.7828... na wengine.

Seti ya nambari chanya zisizo na mantiki inaonyeshwa na ishara J+.

Muungano wa seti mbili za nambari: chanya ya busara na chanya isiyo na maana inaitwa seti ya nambari halisi chanya na inaonyeshwa na ishara R+. Kwa hivyo, Q+ ∪ J + = R+. Kwa msaada wa miduara ya Euler, seti hizi zinaonyeshwa kwenye Mchoro 131.

Nambari yoyote halisi chanya inaweza kuwakilishwa na sehemu ya desimali isiyo na kikomo - ya muda (ikiwa ni ya kimantiki) au isiyo ya muda (ikiwa haina mantiki).

Vitendo juu ya nambari halisi chanya hupunguzwa hadi vitendo kwenye nambari chanya za busara.

Kujumlisha na kuzidisha kwa nambari halisi chanya kuna sifa ya mawasiliano na ushirika, na kuzidisha ni usambazaji kwa heshima ya kuongeza na kutoa.

Kutumia nambari za kweli chanya, unaweza kuelezea matokeo ya kupima idadi yoyote ya scalar: urefu, eneo, misa, nk. Lakini katika mazoezi, mara nyingi ni muhimu kueleza kwa idadi si matokeo ya kupima wingi, lakini mabadiliko yake. Aidha, mabadiliko yake yanaweza kutokea kwa njia tofauti - inaweza kuongezeka, kupungua au kubaki bila kubadilika. Kwa hiyo, ili kuelezea mabadiliko katika ukubwa, pamoja na nambari nzuri za kweli, nambari nyingine zinahitajika, na kwa hili ni muhimu kupanua kuweka R + kwa kuongeza namba 0 (sifuri) na namba hasi kwake.

Muungano wa seti ya nambari halisi chanya na seti ya nambari hasi halisi na sifuri ni seti ya R ya nambari zote halisi.

Ulinganisho wa nambari halisi na shughuli juu yao hufanywa kulingana na sheria zinazojulikana kwetu kutoka kwa kozi ya hisabati ya shule.

Mazoezi

1. Eleza mchakato wa kupima urefu wa sehemu, ikiwa ripoti juu yake imewasilishwa kama sehemu:

a) 3.46; b) 3, (7); c) 3.2(6).

2. Sehemu ya saba ya sehemu moja inafaa katika sehemu mara 13. Je, urefu wa sehemu hii utawakilishwa na sehemu isiyo na kikomo au isiyo na kikomo? Ya mara kwa mara au isiyo ya mara kwa mara?

3. Seti imetolewa: (7; 8; √8; 35.91; -12.5; -√37; 0; 0.123; 4136).

Inaweza kugawanywa katika madarasa mawili: ya busara na isiyo na maana?

4. Inajulikana kuwa nambari yoyote inaweza kuwakilishwa na hatua kwenye mstari wa kuratibu. Je! vidokezo vilivyo na viwianishi vya busara vinamaliza laini nzima ya kuratibu? Vipi kuhusu pointi zilizo na kuratibu halisi?

99. Hitimisho kuu § 19

Katika kusoma nyenzo za aya hii, tumefafanua dhana nyingi zinazojulikana kutoka kwa kozi ya shule ya hisabati, tukiziunganisha na kipimo cha urefu wa sehemu. Hizi ni dhana kama vile:

sehemu (sahihi na isiyo sahihi);

sehemu sawa;

sehemu isiyoweza kupunguzwa;

nambari nzuri ya busara;

usawa wa nambari nzuri za busara;

sehemu iliyochanganywa;

desimali ya mara kwa mara isiyo na mwisho;

desimali isiyo na kikomo isiyo ya muda;

nambari isiyo na maana;

nambari halisi.

Tuligundua kuwa uhusiano wa usawa wa sehemu ni uhusiano wa usawa na tukachukua fursa hii, kufafanua dhana ya nambari chanya ya busara. Pia tuligundua jinsi kujumlisha na kuzidisha nambari chanya za kimantiki kumeunganishwa na kupima urefu wa sehemu na fomula zilizopatikana za kutafuta jumla na bidhaa zao.

Ufafanuzi wa uhusiano "chini ya" kwenye seti ya Q + ilifanya iwezekanavyo kutaja mali yake kuu: imeagizwa, mnene, haina idadi ndogo na kubwa zaidi.

Tumethibitisha kuwa seti ya Q+ ya nambari chanya za mantiki inakidhi masharti yote yanayoruhusu kuzingatiwa kama kiendelezi cha N ya nambari asilia.

Kwa kuanzisha sehemu za desimali, tulithibitisha kuwa nambari yoyote chanya ya kimantiki inaweza kuwakilishwa na sehemu isiyo na kikomo ya desimali ya muda.

Sehemu zisizo na kikomo zisizo za muda huchukuliwa kuwa rekodi za nambari zisizo na mantiki.

Ikiwa tunaunganisha seti za nambari chanya za busara na zisizo na mantiki, basi tunapata seti ya nambari halisi chanya: Q+ ∪ J + = R+.

Ikiwa nambari hasi halisi na sifuri zinaongezwa kwa nambari halisi chanya, basi tunapata seti ya R ya nambari zote halisi.

Wacha nambari fulani XÎ R + kwanza ilibadilishwa a, na kisha kuendelea ndani, na nambari X kubwa sana kwamba mabadiliko haya yote mawili hayapunguzi kutoka kwa seti R + . Hebu piga simu jumla nambari a na katika nambari halisi inayoonyesha mabadiliko yanayotokea. Kwa mfano, ikiwa kwanza utafanya mabadiliko hadi 4, na kisha hadi 7, nambari ya 12 itaenda kwanza hadi 16, na kisha 16 itaenda 23. Lakini ili 12 iende hadi 23, unahitaji kuibadilisha. 11, ambayo ina maana 4 + 7 = 11, kama na inapaswa kuwa. Ikiwa kwanza utafanya mabadiliko hadi -4, na kisha -7, basi 12 itaenda kwanza hadi 8; na kisha 1. Lakini ili kupata 1 kati ya 12, unahitaji kubadilisha 12 hadi -11. Inafuata kwamba (-4) + (–7) = -11.

Kwa ujumla, ikiwa a na katika - idadi chanya halisi na
X>a+ndani, basi wakati wa kubadilisha - katika nambari X–a kwenda ( x – a) – ndani, hizo. katika X–(a + katika). Lakini kupata X – (a + katika) inahitaji kubadilishwa. X kwenye
–(a + b) Hii inaonyesha kuwa (- a) + (–katika) = – (a + b).

Fikiria sasa nyongeza ya nambari za ishara tofauti. Wacha tuanze na kesi wakati maneno ni nambari tofauti. Ni wazi, ikiwa tutabadilisha nambari X kwanza juu a, na kisha - a, kisha tunapata tena X. Kwa maneno mengine, x +(a +(–a)) = X. Kwa kuwa, kwa upande mwingine, na X+ 0 = X, basi unapaswa kuweka a +(–a) = 0. Kwa hivyo, jumla ya nambari tofauti ni sawa na sifuri.

Sasa hebu tupate jumla a+ (–katika) kwa hali ya jumla (tunadhani kwamba a na katika ni nambari chanya, kwa hivyo katika hasi). Ikiwa a a> ndani, basi
a = (a–katika)+ ndani, na ndiyo maana a+ (–katika) = (a–katika)+katika+ (–katika). Lakini mabadiliko ya mfululizo katika idadi X kwenye a– katika, katika na - katika inaweza kubadilishwa kwa kubadilisha hadi a–katika(mabadiliko kwa katika na - katika kufuta kila mmoja nje). Kwa hiyo, tunaweka a +(–katika) = a–ndani, kama a> katika. Ni dhahiri kwamba saa a> katika na (- katika) +a = a–katika.

Hebu sasa a<katika. Katika kesi hii tuna - katika = (–a)+ (–(katika– a)), na ndiyo sababu a + (–katika) = a + (–a) + (–(katika– a)) = – (katika – a) Kwa hiyo, saa a < katika lazima iwekwe a + (–katika) = – (katika – a) Matokeo sawa yatapatikana wakati wa kuongeza - katika na a: (–katika) + a = –(katika– a).

Kanuni zinazotokana za kuongeza nambari halisi zinaweza kutengenezwa kama ufafanuzi ufuatao.

Ufafanuzi.Inapoongezwa nambari mbili halisi za ishara sawa, unapata nambari ya ishara sawa, moduli ambayo ni sawa na jumla ya moduli ya maneno. Wakati wa kuongeza nambari za ishara tofauti, nambari hupatikana ambayo ishara yake inaambatana na ishara ya neno na moduli kubwa, na moduli ni sawa na tofauti kati ya moduli kubwa na ndogo za maneno. Jumla ya nambari tofauti ni sifuri, na kuongeza kwa sifuri haibadilishi nambari.

Ni rahisi kuangalia kuwa nyongeza iko R ina sifa ya kubadilika, ushirika na kubanwa. Inaweza kuonekana kutoka kwa ufafanuzi hapo juu kwamba sifuri ni kipengele cha neutral kwa heshima ya kuongeza , hizo.

a + 0= a.

Kutoa kwa wingi R inafafanuliwa kama uendeshaji kinyume cha nyongeza. Kwa sababu kila nambari katika katika R ina nambari kinyume ndani, vile vile katika+ (–katika) = 0, kisha kutoa nambari katika ni sawa na kuongeza kwa nambari c: a–katika=a+ (–katika).

Kweli, kwa yoyote a na katika tuna:

(a + (–katika)) + katika = a+ ((–katika) + katika) = a, na hii ina maana kwamba a– katika = a + (–katika).

Kwa nambari chanya a na katika, vile vile a>ndani, tofauti zao
a–katika ilikuwa ni mabadiliko katika inaingia a. Kwa mlinganisho na hii tutaita nambari zozote za kweli a na katika nambari a–katika mabadiliko ambayo hutafsiri katika katika a. Inachukua hatua 0 kwa uhakika a – katika. Kuhusu nambari halisi chanya, mabadiliko haya yanawakilishwa kijiometri na sehemu iliyoelekezwa inayotoka kwa uhakika katika hasa a. Urefu wake ni sawa na umbali kutoka asili hadi hatua
a–ndani, hizo. nambari ya moduli a–katika. Tumethibitisha madai muhimu yafuatayo:

Urefu wa sehemu kutoka kwa uhakika katika hasa a, ni sawa na | a–katika|.

Tunaanzisha kwenye seti R uhusiano wa utaratibu. Tutachukulia hivyo
a> katika ikiwa na tu ikiwa tofauti a– katika chanya. Ni rahisi kuthibitisha kwamba uhusiano huu ni antisymmetric na transitive, i.e. ni uhusiano mkali wa utaratibu. Walakini, kwa yoyote a na katika kutoka R moja na moja tu ya yafuatayo ni kweli: a= katika, a< katika, katika< a, hizo. uhusiano wa kuagiza R linearly. Kwa sababu ya a– 0 = a, basi a> 0 ikiwa aÎ R + , na a< 0, еслиaÎ R- .

Ni rahisi kuthibitisha hilo ikiwa a> ndani, basi kwa yoyote NaÎ R tuna
a+ Na> katika+ Na.

Makala hii ina maelezo ya msingi kuhusu nambari za kweli. Kwanza, ufafanuzi wa nambari halisi hutolewa na mifano hutolewa. Nafasi ya nambari halisi kwenye mstari wa kuratibu inaonyeshwa ijayo. Na kwa kumalizia, inachambuliwa jinsi nambari halisi zinatolewa kwa namna ya misemo ya nambari.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi na mifano ya nambari halisi

Nambari halisi kama misemo

Kutoka kwa ufafanuzi wa nambari halisi, ni wazi kuwa nambari halisi ni:

nambari yoyote ya asili;
nambari yoyote;
sehemu yoyote ya kawaida (chanya na hasi);
nambari yoyote iliyochanganywa;
sehemu yoyote ya desimali (chanya, hasi, ya mwisho, ya muda isiyo na kikomo, isiyo ya muda isiyo na kikomo).

Lakini mara nyingi sana idadi halisi inaweza kuonekana katika fomu, nk. Zaidi ya hayo, jumla, tofauti, bidhaa, na mgawo wa nambari halisi pia ni nambari halisi (ona shughuli na nambari halisi) Kwa mfano, hizi ni nambari halisi.

Na ikiwa unakwenda zaidi, basi kutoka kwa nambari halisi kwa kutumia ishara za hesabu, ishara za mizizi, digrii, logarithmic, kazi za trigonometric, nk. unaweza kutunga kila aina ya misemo ya nambari, maadili ambayo pia yatakuwa nambari halisi. Kwa mfano, maadili ya kujieleza na ni nambari za kweli.

Kwa kumalizia makala haya, tunaona kwamba hatua inayofuata katika kupanua dhana ya nambari ni mpito kutoka nambari halisi hadi nambari ngumu.

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya. nk Hisabati. Daraja la 6: kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: kitabu cha maandishi kwa seli 8. taasisi za elimu.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa waombaji kwa shule za ufundi).

Hakimiliki na wanafunzi wajanja

Haki zote zimehifadhiwa.
Imelindwa na sheria ya hakimiliki. Hakuna sehemu ya www.site, ikijumuisha nyenzo za ndani na muundo wa nje, inaweza kunakiliwa kwa njia yoyote au kutumika bila idhini ya maandishi ya mwenye hakimiliki.

Ufafanuzi

Seti ya nambari halisi ni muungano wa seti za nambari za kimantiki na zisizo na mantiki. Barua R ni nukuu ya seti inayozingatiwa. Mengi ya R inawakilishwa na muda wa fomu (- ∞ ; + ∞).

Maoni

Inafaa kumbuka kuwa nambari yoyote ya kimantiki inaweza kila wakati kuchukua muundo wa sehemu ya upimaji ya desimali isiyo na kikomo, nambari yoyote isiyo na maana ya sehemu isiyo na kikomo ya desimali isiyo ya muda, kulingana na yaliyotangulia, inafuata kwamba seti inayojumuisha vipindi vya mwisho na visivyo na mwisho na visivyo. - sehemu za decimal za muda ni za seti R.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mfano wa kijiometri wa nambari halisi

Mstari wa kuratibu ni moja kwa moja mfano wa kijiometri wa kuweka R. Kwa hivyo, kila nukta kwenye mstari wa kuratibu inaweza kuhusishwa kila wakati na nambari fulani halisi.

Ulinganisho wa nambari halisi

Nambari halisi zinaweza kulinganishwa kwa kutumia mfano wa kijiometri, au zinaweza kulinganishwa kwa uchambuzi. Wacha tuangalie ulinganisho wote wawili. Nambari mbili zimewekwa kwa nasibu kwenye mstari wa kuratibu. Kuamua ni ipi zaidi ni rahisi sana. Nambari kubwa daima iko upande wa kulia wa nyingine.

Tambua kwa uchanganuzi ni nambari gani kubwa au chini ya nambari yoyote pia inawezekana, kwa hii inatosha kupata tofauti ya nambari hizi na kisha kulinganisha na sifuri. Ikiwa tofauti inayotokana itakuwa na ishara nzuri, basi nambari ya kwanza (iliyopunguzwa na tofauti) itakuwa kubwa kuliko nambari ya pili (iliyotolewa na tofauti); ikiwa tofauti ina ishara mbaya, basi nambari ya kwanza (iliyopunguzwa na tofauti) itakuwa chini ya nambari ya pili (iliyotolewa na tofauti).

Hapo chini tutazingatia mifano inayoonyesha njia zote mbili za kulinganisha:

Mfano 1

Linganisha nambari f r a c 185 na 4 .

Suluhisho

Ili kulinganisha nambari hizi, tunapata tofauti kati ya nambari hizi.

f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 Baada ya kufanya operesheni hii, tunaona kwamba dhehebu katika mfano huu ni 5. Baada ya hapo, kwa kuzingatia sheria ya kutoa sehemu na denominator sawa, tunaondoa nambari ya sehemu ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, na kuacha nambari. denominator sawa. Kumbuka kuwa tofauti kati ya nambari zilizopewa ni hasi, ambayo inamaanisha kuwa nambari ya kwanza (iliyopunguzwa) ni chini ya ya pili (iliyopunguzwa), i.e. f r a c 185< 4 .

Mfano 2

Linganisha nambari f r a c 185 na 4 kwa kutumia mstari wa kuratibu.

Suluhisho

Ili kulinganisha nambari hizi, unapaswa kuamua eneo la pointi za nambari hizi kwenye mstari wa kuratibu. Wale. nambari halisi zinazolinganishwa zitafanana na kuratibu fulani kwenye mstari wa kuratibu, yaani nambari f r a c 185 na 4 . Kwanza, hebu tubadilishe sehemu isiyofaa frac185 kuwa nambari mchanganyiko i.e. tunachagua sehemu kamili, kwa hiyo, tunapata 3 f r a c 35 .

Ifuatayo, kwenye mstari wa kuratibu, alama pointi ambazo kuratibu zitakuwa sawa na 3 f r a c 35 na 4 . f r a c 185 ina nambari 3, ambayo inamaanisha kuwa nambari hii iko upande wa kushoto wa 4. Kama unavyojua tayari, nambari ndogo iko upande wa kushoto, kwa kuzingatia hili, hitimisho linajionyesha kuwa f r a c 185< 4 .

Inaweza kuhitimishwa kuwa, bila kujali kuonekana kwa kulinganisha nambari halisi, shughuli zote za hesabu, yaani kuongeza, kutoa, kuzidisha na kugawanya, inaweza kutekelezwa. Hata hivyo, kabla ya kufanya shughuli na nambari halisi, mtu anapaswa kuzingatia ishara za awali za nambari hizi, i.e. kuamua ikiwa kila nambari ni chanya au hasi.

Ongezeko la nambari halisi

Ili kuongeza nambari mbili halisi zilizo na ishara sawa, lazima kwanza uongeze moduli zao na kisha uweke ishara yao ya kawaida mbele ya jumla. Kwa mfano:

(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .

Ili kuongeza nambari mbili za kweli zilizo na ishara tofauti, kwanza unapaswa kulipa kipaumbele kwa ishara ya nambari, ikiwa ishara ya moja ya nambari ni hasi, basi nambari hii inapaswa kupunguzwa kutoka kwa nyingine, ikiwa ni chanya - ongeza kwa nyingine. Ifuatayo, unahitaji kuongeza au kupunguza nambari hizi na kuweka ishara ya moduli kubwa. Kwa mfano

(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .

Utoaji wa nambari halisi

Utoaji wa nambari halisi unaweza kuwakilishwa kama nyongeza: a - b \u003d a + (- b), ambayo ni, ili kutoa nambari b kutoka kwa nambari a, inatosha kuongeza nambari iliyo kinyume na kiumbe. kupunguzwa kwa ile inayopunguzwa.

Kwa mfano: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2.

Kuzidisha idadi halisi

Ili kuzidisha (kugawanya) nambari mbili halisi, unahitaji kuzidisha (kugawanya) moduli zao. Na kisha kuweka ishara mbele ya matokeo kulingana na kanuni ya ishara iliyotolewa katika jedwali hapa chini.

Wakati wa kuzidisha na kugawanya nambari halisi, inashauriwa kukumbuka methali: "Rafiki wa rafiki yangu ni rafiki yangu, adui wa adui yangu ni rafiki yangu, rafiki wa adui yangu ni adui yangu, adui wa rafiki yangu ni rafiki yangu. adui."

Kwa mfano:

(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;

Sifa za shughuli za hesabu kwenye nambari halisi (sheria za msingi za algebra)

Katika algebra, kuna kinachojulikana sheria za msingi za algebra. Takriban kila mara zinakubalika kuwa kweli (kesi za uwongo wa sheria hizi hazizingatiwi) na zimeundwa kama vitambulisho vifuatavyo:

a + b = b + a;
(a + b) + c = a + (b + c);
a + 0 = a;
a + (- a) = 0;
a b = b a;
(a b) c = a (b c);
a (b + c) = a b + a c;
a 1 = a;
a 0 = 0;
a 1 a = 1 , (a ≠ 0) .

Sifa 1 na 5 eleza sheria ya mabadiliko (commutativity) ya kuongeza na kuzidisha, kwa mtiririko huo;

Sifa 2 na 6 eleza sheria ya ushirika (associativity);

Mali 7 - sheria ya usambazaji (usambazaji) wa kuzidisha kwa heshima na kuongeza;

Sifa 3 na 8 onyesha uwepo wa kipengele cha neutral kwa kuongeza na kuzidisha, kwa mtiririko huo;

Sifa 4 na 10 - kwa uwepo wa kipengele cha neutralizing, kwa mtiririko huo.

Ukiona kosa katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter