Fomula ya kasi ya mlalo. Mwendo wa mwili unaotupwa kwa mlalo kwa kasi

Fikiria mwendo wa mwili kutupwa kwa usawa na kusonga chini ya hatua ya mvuto peke yake (kupuuza upinzani wa hewa). Kwa mfano, fikiria kwamba mpira ulio kwenye meza unapewa kushinikiza, na unaendelea kwenye makali ya meza na huanza kuanguka kwa uhuru, kuwa na kasi ya awali iliyoelekezwa kwa usawa (Mchoro 174).

Wacha tupange harakati za mpira kwenye mhimili wima na kwenye mhimili mlalo. Mwendo wa makadirio ya mpira kwenye mhimili ni harakati bila kuongeza kasi na kasi ya; mwendo wa makadirio ya mpira kwenye mhimili ni kuanguka kwa bure na kuongeza kasi zaidi ya kasi ya awali chini ya hatua ya mvuto. Tunajua sheria za hoja zote mbili. Sehemu ya kasi inabaki thabiti na sawa na . Sehemu inakua kwa uwiano wa wakati:. Kasi inayopatikana hupatikana kwa urahisi kwa kutumia kanuni ya parallelogram, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 175. Itaegemea chini na mteremko wake utaongezeka kwa wakati.

Mchele. 174. Mwendo wa mpira kutoka kwenye meza

Mchele. 175. Mpira unaorushwa mlalo kwa kasi una kasi kwa sasa

Tafuta mwelekeo wa mwili uliotupwa kwa mlalo. Kuratibu za mwili wakati wa wakati ni muhimu

Ili kupata mlingano wa kielelezo, tunaeleza kutoka (112.1) muda kupitia na kubadilisha usemi huu katika (112.2). Matokeo yake, tunapata

Grafu ya kazi hii imeonyeshwa kwenye Mtini. 176. Mipangilio ya pointi za trajectory zinageuka kuwa sawa na mraba wa abscissas. Tunajua kwamba curves vile huitwa parabolas. Kielelezo kilionyesha grafu ya njia ya mwendo ulioharakishwa kwa usawa (§ 22). Kwa hivyo, mwili unaoanguka kwa uhuru ambao kasi yake ya awali ni ya usawa husogea kwenye parabola.

Njia iliyosafirishwa kwa mwelekeo wa wima haitegemei kasi ya awali. Lakini njia iliyosafirishwa katika mwelekeo mlalo inalingana na kasi ya awali. Kwa hiyo, kwa kasi kubwa ya awali ya usawa, parabola ambayo mwili huanguka hupanuliwa zaidi katika mwelekeo wa usawa. Ikiwa ndege ya maji inafukuzwa kutoka kwa bomba iliyoko kwa usawa (Mchoro 177), basi chembe za maji, kama mpira, zitasonga kwenye parabola. Jinsi bomba inavyofungua kwa njia ambayo maji huingia kwenye bomba, ndivyo kasi ya awali ya maji inavyozidi kuongezeka na jinsi ndege inavyozidi kwenda chini ya cuvette kutoka kwa bomba. Kwa kuweka skrini iliyo na parabola iliyochorwa awali juu yake nyuma ya ndege, mtu anaweza kuthibitisha kuwa ndege ya maji kweli ina umbo la parabola.

Mchele. 176. Mwelekeo wa mwili uliotupwa kwa mlalo

Fikiria mwendo wa mwili kutupwa kwa usawa na kusonga chini ya hatua ya mvuto peke yake (kupuuza upinzani wa hewa). Kwa mfano, fikiria kwamba mpira ulio kwenye meza unapewa kushinikiza, na unaendelea kwenye makali ya meza na huanza kuanguka kwa uhuru, kuwa na kasi ya awali iliyoelekezwa kwa usawa (Mchoro 174).

Wacha tupange harakati za mpira kwenye mhimili wima na kwenye mhimili mlalo. Mwendo wa makadirio ya mpira kwenye mhimili ni harakati bila kuongeza kasi na kasi ya; mwendo wa makadirio ya mpira kwenye mhimili ni kuanguka kwa bure na kuongeza kasi zaidi ya kasi ya awali chini ya hatua ya mvuto. Tunajua sheria za hoja zote mbili. Sehemu ya kasi inabaki thabiti na sawa na . Sehemu inakua kwa uwiano wa wakati:. Kasi inayopatikana hupatikana kwa urahisi kwa kutumia kanuni ya parallelogram, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 175. Itaegemea chini na mteremko wake utaongezeka kwa wakati.

Mchele. 174. Mwendo wa mpira kutoka kwenye meza

Mchele. 175. Mpira unaorushwa mlalo kwa kasi una kasi kwa sasa

Tafuta mwelekeo wa mwili uliotupwa kwa mlalo. Kuratibu za mwili wakati wa wakati ni muhimu

Ili kupata mlingano wa kielelezo, tunaeleza kutoka (112.1) muda kupitia na kubadilisha usemi huu katika (112.2). Matokeo yake, tunapata

Grafu ya kazi hii imeonyeshwa kwenye Mtini. 176. Mipangilio ya pointi za trajectory zinageuka kuwa sawa na mraba wa abscissas. Tunajua kwamba curves vile huitwa parabolas. Kielelezo kilionyesha grafu ya njia ya mwendo ulioharakishwa kwa usawa (§ 22). Kwa hivyo, mwili unaoanguka kwa uhuru ambao kasi yake ya awali ni ya usawa husogea kwenye parabola.

Njia iliyosafirishwa kwa mwelekeo wa wima haitegemei kasi ya awali. Lakini njia iliyosafirishwa katika mwelekeo mlalo inalingana na kasi ya awali. Kwa hiyo, kwa kasi kubwa ya awali ya usawa, parabola ambayo mwili huanguka hupanuliwa zaidi katika mwelekeo wa usawa. Ikiwa ndege ya maji inafukuzwa kutoka kwa bomba iliyoko kwa usawa (Mchoro 177), basi chembe za maji, kama mpira, zitasonga kwenye parabola. Jinsi bomba inavyofungua kwa njia ambayo maji huingia kwenye bomba, ndivyo kasi ya awali ya maji inavyozidi kuongezeka na jinsi ndege inavyozidi kwenda chini ya cuvette kutoka kwa bomba. Kwa kuweka skrini iliyo na parabola iliyochorwa awali juu yake nyuma ya ndege, mtu anaweza kuthibitisha kuwa ndege ya maji kweli ina umbo la parabola.

112.1. Je, itakuwa kasi gani ya mwili kutupwa kwa usawa kwa kasi ya 15 m / s baada ya sekunde 2 za kukimbia? Ni wakati gani kasi itaelekezwa kwa pembe ya 45 ° kwa usawa? Puuza upinzani wa hewa.

112.2. Mpira ulioviringishwa chini kutoka kwa meza ya urefu wa 1m ulianguka kwa umbali wa 2m kutoka ukingo wa meza. Kasi ya usawa ya mpira ilikuwa nini? Puuza upinzani wa hewa.

Kutumia mifano kadhaa (ambayo hapo awali nilitatua, kama kawaida, kwenye otvet.mail.ru), wacha tuchunguze darasa la shida za mpira wa msingi: kukimbia kwa mwili uliozinduliwa kwa pembe hadi upeo wa macho na kasi fulani ya awali, bila kuchukua. kwa kuzingatia upinzani wa hewa na curvature ya uso wa dunia (yaani, mwelekeo wa kuongeza kasi ya kuanguka kwa vector g inadhaniwa kuwa haijabadilika).

Jukumu la 1. Safu ya ndege ya mwili ni sawa na urefu wa ndege yake juu ya uso wa Dunia. Mwili unatupwa kwa pembe gani? (katika vyanzo vingine, kwa sababu fulani, jibu lisilofaa linatolewa - digrii 63).

Hebu tuonyeshe wakati wa kukimbia kama 2 * t (basi wakati wa t mwili huinuka, na wakati wa muda unaofuata t unashuka). Hebu sehemu ya usawa ya kasi iwe V1 na sehemu ya wima V2. Kisha safu ya ndege S = V1 * 2 * t. Urefu wa ndege H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2. Sawazisha
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Uwiano wa kasi ya wima na ya usawa ni tangent ya angle inayohitajika α, ambapo α = arctan (4) = 76 digrii.

Jukumu la 2. Mwili hutupwa kutoka kwenye uso wa Dunia kwa kasi V0 kwa pembe α hadi upeo wa macho. Pata radius ya curvature ya trajectory ya mwili: a) mwanzoni mwa harakati; b) juu ya trajectory.

Katika hali zote mbili, chanzo cha mwendo wa curvilinear ni mvuto, yaani, kuongeza kasi ya kuanguka kwa bure g, iliyoelekezwa kwa wima chini. Kinachohitajika hapa ni kupata makadirio ya g, yaliyo sawa na kasi ya V ya sasa, na kuilinganisha na kasi ya katikati V^2/R, ambapo R ni radius inayotakiwa ya mkunjo.

Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kuanza harakati, tunaweza kuandika
gn = g*cos(a) = V0^2/R
inatoka wapi radius inayotakiwa R = V0^2/(g*cos(a))

Kwa hatua ya juu ya trajectory (tazama takwimu) tunayo
g = (V0*cos(a))^2/R
kutoka wapi R = (V0*cos(a))^2/g

Jukumu la 3. (tofauti juu ya mada) Kombora lilisogea mlalo kwa urefu wa h na kulipuka vipande viwili vinavyofanana, kimoja kikianguka chini kwa muda wa t1 baada ya mlipuko. Je, kipande cha pili kitaanguka muda gani baada ya kipande cha kwanza kuanguka?

Chochote kasi ya wima V kipande cha kwanza kinapata, ya pili itapata kasi ya wima sawa kwa thamani kamili, lakini inaelekezwa kwa mwelekeo tofauti (hii inafuata kutoka kwa wingi sawa wa vipande na uhifadhi wa kasi). Kwa kuongeza, V inaelekezwa chini, kwa sababu vinginevyo kipande cha pili kitafika chini KABLA ya kwanza.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Ya pili itaruka juu, itapoteza kasi ya wima baada ya wakati V / g, na kisha baada ya wakati huo huo itaruka chini hadi urefu wa awali h, na wakati t2 wa kuchelewa kwake kuhusiana na kipande cha kwanza (sio wakati wa kukimbia kutoka. wakati wa mlipuko) itakuwa
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

ilisasishwa 2018-06-03

Nukuu:
Jiwe linatupwa kwa kasi ya 10 m / s kwa pembe ya 60 ° hadi usawa. Amua kasi ya tangential na ya kawaida ya mwili 1.0 s baada ya kuanza kwa harakati, radius ya curvature ya trajectory kwa wakati huu kwa wakati, muda na aina mbalimbali za kukimbia. Je, vekta ya kuongeza kasi huwa na pembe gani na vekta ya kasi kwa t = 1.0 s

Baada ya sekunde 1, kasi ya wima itakuwa 8.66 - 9.8 * 1 = -1.14 m / s (chini). Hii ina maana kwamba angle ya kasi kwa upeo wa macho itakuwa arctan (1.14/5) = 12.8 ° (chini). Kwa kuwa kuongeza kasi hapa ni ya kipekee na haibadilika (hii ni kuongeza kasi ya kuanguka bure g ikielekeza chini chini), kisha pembe kati ya kasi ya mwili na g kwa wakati huu kwa wakati itakuwa 90-12.8 = 77.2 °.

Kuongeza kasi ya tangential ni makadirio g kwa mwelekeo wa vector kasi, ambayo ina maana ni g*sin(12.8) = 2.2 m/s2. Kuongeza kasi ya kawaida ni makadirio perpendicular kwa vector kasi g, ni sawa na g*cos(12.8) = 9.56 m/s2. Na kwa kuwa mwisho unahusiana na kasi na radius ya curvature kwa kujieleza V ^ 2 / R, tuna 9.56 = (5 * 5 + 1.14 * 1.14) / R, ambapo radius inayohitajika R = 2.75 m.

Mwili unaweza kutupwa kwa namna ambayo kasi yake ya awali v0 itaelekezwa kwa usawa (α = 0). Huu ndio mwelekeo, kwa mfano, wa kasi ya awali ya mwili uliotengwa kutoka kwa ndege ya kuruka kwa usawa. Ni rahisi kuelewa ni trajectory gani mwili utasonga. Hebu tugeukie Kielelezo 15, ambacho kinaonyesha mwelekeo wa kimfano wa mwili uliotupwa kwa pembe ya α hadi upeo wa macho. Katika hatua ya juu ya trajectory ya parabola, kasi ya mwili inaelekezwa kwa usawa. Kama tunavyojua tayari, zaidi ya hatua hii mwili husogea kwenye tawi la kulia la parabola. Kwa wazi, mwili wowote uliotupwa kwa usawa pia utasonga kwenye tawi la parabola.

Njia ya mwendo wa miili iliyotupwa kwa mlalo au kwa pembe ya upeo wa macho inaweza kuchunguzwa kwa macho katika jaribio rahisi. Chombo kilichojaa maji kinawekwa kwenye urefu fulani juu ya meza na kuunganishwa na bomba la mpira kwenye ncha iliyo na bomba. Jets zinazotolewa za maji zinaonyesha moja kwa moja trajectories ya harakati ya chembe za maji. Kwa hivyo, inawezekana kuchunguza trajectories kwa maadili tofauti ya angle ya matukio α na kasi. v0.

Wakati wa mwendo wa mwili kutupwa kwa usawa kutoka kwa urefu fulani wa awali imedhamiriwa tu na wakati muhimu kwa kuanguka kwa bure kwa mwili kutoka kwa urefu huu wa awali. Kwa hivyo, kwa mfano, risasi iliyopigwa na mpiga risasi kutoka kwa bunduki kwa mwelekeo mlalo itaanguka chini wakati huo huo risasi iliyoanguka kwa bahati wakati wa risasi (mradi tu mpiga risasi angeangusha risasi kutoka sawa. urefu ambao iko kwenye bunduki wakati wa risasi!. .). Lakini risasi iliyoanguka itaanguka kwenye miguu ya mpiga risasi, na risasi kutoka kwa pipa la bunduki itaanguka mamia ya mita kutoka kwake.

Mfano wa suluhisho la shida

Mfano huu ulichaguliwa kwa sababu tatizo linalozingatiwa ni la asili ya jumla na inaruhusu, kwa kutumia mfano wa suluhisho lake, kuelewa vyema vipengele vyote vya mwendo wa mwili chini ya hatua ya mvuto.

Mawazo ya awali yaliyowekwa juu ya masharti ya kutatua tatizo

Katika kutatua tatizo hili, tutatumia mawazo mawili tu ya awali:

1. tutapuuza utegemezi wa ukubwa wa moduli ya vekta ya kuongeza kasi ya mvuto juu ya urefu ambao mwili unapatikana wakati wowote wa mwendo (ona Mchoro 11 na ufafanuzi wake)
2. tutapuuza mzingo wa uso wa dunia tunapochambua mwendo wa mwili (tazama Mchoro 11 na ufafanuzi wake)

Kazi:

• nafasi na kasi ya mwili baada ya muda t;
• equation ya njia ya ndege;
• kasi ya kawaida na tangential na radius ya curvature ya trajectory kwa sasa t;
• jumla ya muda wa kukimbia;
• urefu wa juu wa kuinua;
• pembe ambayo mwili lazima utupwe ili urefu wa kupanda kwake uwe sawa na safu ya ndege (mradi tu x 0 \u003d y 0 \u003d 0).

Suluhisho

Wacha tuelekeze shoka za mfumo wa kuratibu wa mstatili X na Y kando ya mwelekeo wa uhamishaji wa usawa na wima wa uhakika. Kwa kuwa vekta ya kuongeza kasi ya mvuto haina sehemu inayolingana na mhimili wa X, ambayo ni, milinganyo ya vekta ya mwendo wa mwili ina fomu:

Kwa fomu wazi, usemi wa makadirio ya idadi ya vekta iliyojumuishwa katika equation ya kwanza kwenye shoka za mfumo wa kuratibu ina fomu inayoamua nafasi ya mwili kwa wakati t:

Kwa kuwa kila vekta inaweza kuwakilishwa kama jumla ya makadirio yake (hizi pia ni vekta) kwenye shoka za kuratibu, kila equation ya vekta inaweza kuwakilishwa kama hesabu mbili za vekta, lakini kwa makadirio. Baada ya kuelezea makadirio ya idadi ya vekta iliyojumuishwa katika equation ya pili kwenye shoka za mfumo wa kuratibu, tunapata sehemu za kasi.

Kuondoa t kutoka kwa milinganyo yote miwili ambayo huamua nafasi ya mwili kwa wakati t, tunapata mlinganyo wa njia ya ndege.

Kuamua kasi ya tangential na ya kawaida ya mwili kwa hatua na kuratibu x, y, tunaona kuwa kasi ya jumla ya mwili daima inaelekezwa chini na inawakilisha tu kuongeza kasi ya mvuto, (hakuna nguvu nyingine na kuongeza kasi kulingana na hali ya tatizo). Uongezaji kasi wa tangential ni sawa na makadirio ya vekta kwenye tangent kwa trajectory (yaani −g sinγ , kama inavyoonekana katika kielelezo cha kuelezea tatizo), na uongezaji kasi wa kawaida kwa tanjiti ni sawa na makadirio ya −g cosγ (ona Mtini. 16)

Wacha tupate njiani thamani ya takriban ya radius ya curvature (R) ya trajectory kwa sasa t. Kwa kudhani kuwa hatua hiyo inasonga kwenye safu ya duara (hii ni makadirio ambayo hurahisisha fomula ya mwisho ya hesabu ya matokeo, ambayo kwa kweli haifanyiki na inafanywa vyema karibu na hatua ya kuinua kiwango cha juu cha mwili), tunatumia fomula.

Ikiwa mwili unatupwa kutoka kwa uhakika juu ya uso ambapo na y = 0, tatizo linakuwa rahisi zaidi. Kupunguza kwa (x max − x 0) , tunapata hiyo

Jumla ya muda wa kukimbia unaweza kubainishwa kutoka kwa fomula wapi

Urefu mkubwa wa kuinua wa mwili unafikiwa wakati t wakati v y = 0 . Kwa kuwa sehemu ya vector ya kasi kando ya mhimili wa Y ni, basi katika hatua ya kupanda kwa kiwango cha juu cha mwili, usawa v y = 0 hufanyika, ambayo tunapata.