Sheria za shughuli za hesabu kwenye nambari halisi. Operesheni za hesabu kwenye nambari halisi

Tofauti ya nambari chanya halisi a na b nambari kama hiyo inaitwa Na, nini a= b + c.

Nukuu ya nambari halisi chanya a na b nambari kama hiyo inaitwa Na, nini a= b × s.

Muungano wa seti ya nambari halisi chanya na seti ya nambari hasi halisi na sifuri ni seti ya R ya nambari zote halisi.

Ulinganisho wa idadi halisi na uendeshaji juu yao unafanywa kulingana na sheria zinazojulikana kutoka kwa kozi ya hisabati ya shule.

Tatizo 60. Tafuta sehemu tatu za kwanza za desimali za jumla ya 0.333… + 1.57079…

Suluhisho. Wacha tuchukue makadirio ya desimali ya maneno na sehemu nne za decimal:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

Ongeza: 1.9040 ≤ 0.333… + 1.57079…< 1,9042.

Kwa hivyo, 0.333… + 1.57079…= 1.904…

Kazi ya 61. Tafuta sehemu mbili za kwanza za desimali za bidhaa x b, kama a= 1.703604… na b = 2,04537…

Suluhisho. Tunachukua makadirio ya desimali ya nambari hizi na sehemu tatu za desimali:

1,703 < a <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1.703 × 2.045 ≤ x b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.

Kwa njia hii, x b= 3,48…

Mazoezi ya kazi ya kujitegemea

1. Andika makadirio ya desimali ya nambari isiyo na mantiki π = 3.1415 ... kulingana na upungufu na ziada kwa usahihi wa:

a) 0.1; b) 0.01; c) 0.001.

2. Tafuta sehemu tatu za kwanza za desimali za jumla a+ b, kama:

a) a = 2,34871…, b= 5.63724…; b) a = , b= π; katika) a = ; b=; G) a = ; b = .

NAMBA HALISI II

§ 46 Ongezeko la nambari halisi

Kufikia sasa, tunaweza tu kuongeza nambari za busara kwa kila mmoja. Kama tunavyojua,

Lakini ni nini maana ya jumla ya nambari mbili, ambazo angalau moja haina maana, bado hatujui hili. Sasa inabidi tufafanue nini maana ya jumla α + β nambari mbili halisi za kiholela α na β .

Kwa mfano, fikiria nambari 1/3 na √2. Wacha tuwawakilishe katika mfumo wa sehemu za desimali zisizo na kikomo

1 / 3 = 0,33333...;

√2 =1,41421... .

Kwanza, tunaongeza makadirio ya decimal yanayolingana ya nambari hizi na hasara. Makadirio haya, kama ilivyoonyeshwa mwishoni mwa sehemu iliyopita, ni busara nambari. Na tayari tunajua jinsi ya kuongeza nambari kama hizi:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

Kisha tunaongeza makadirio ya nambari yanayolingana ya nambari hizi na ziada:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

Inaweza kuthibitishwa * kwamba kuna, zaidi ya hayo, nambari halisi ya kipekee γ , ambayo ni kubwa kuliko jumla ya makadirio ya desimali ya nambari 1/3 na √2 yenye hasara, lakini chini ya jumla ya makadirio ya desimali ya nambari hizi ikiwa na ziada:

* Uthibitisho mkali wa ukweli huu uko nje ya upeo wa programu yetu na kwa hivyo haujatolewa hapa.

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

Kwa ufafanuzi, nambari hii γ na inachukuliwa kama jumla ya nambari 1/3 na √2:

γ = 1 / 3 + √2

Ni dhahiri kwamba γ = 1,7475....

Jumla ya nambari zingine zozote chanya, angalau moja ambayo haina mantiki, inaweza kufafanuliwa vile vile. Kiini cha jambo hakitabadilika hata ikiwa moja ya masharti, na labda yote mawili, ni hasi.

Kwa hiyo, ikiwa nambari α na β ni busara, basi jumla yao hupatikana kwa kanuni ya kuongeza idadi ya busara(tazama § 36).

Ikiwa angalau mmoja wao hana akili, basi jumla α + β nambari halisi inaitwa ambayo ni kubwa kuliko hesabu zote za makadirio ya decimal yanayolingana ya nambari hizi na shida, lakini chini ya hesabu zote za makadirio ya desimali yanayolingana ya nambari hizi na ziada..

Kitendo cha kuongeza kinatii sheria mbili zifuatazo:

1) sheria ya mabadiliko:

α + β = β + α

2) sheria ya ushirika:

(α + β ) + γ = α + (β + γ ).

Hatutathibitisha hili. Wanafunzi wanaweza kufanya hivi peke yao. Tunaona tu kwamba katika uthibitisho tutalazimika kutumia ukweli ambao tayari unajulikana kwetu: nyongeza ya nambari za busara inategemea sheria za kubadilisha na za ushirika (tazama § 36).

Mazoezi

327. Wasilisha kiasi hiki kama sehemu za desimali, ikionyesha angalau tarakimu tatu sahihi baada ya shughuli nyingi:

a) √2 + √3 ; d) √2 + (- √3 ) g) 3/4 + (-√5 );

b) √2 + 5/8; e) (- 1/3) + √5 h) 1/3 + √2 + √3.

c) (-√2) + √3; f) 11/9 + (- √5);

328. Tafuta ukadiriaji wa desimali chache za kwanza (pamoja na bila ziada) kwa nambari halisi:

a) 1 / 2 + √7 b) √3 + √7 c) √3 + (-√7)

329. Kuendelea kutoka kwa ufafanuzi wa jumla ya nambari halisi, thibitisha hilo kwa nambari yoyote α

α + (- α ) = 0.

330. Je, jumla ya sehemu mbili zisizo na mwisho zisizo za muda daima ni sehemu zisizo za muda? Eleza jibu kwa mifano.

1. Dhana ya nambari isiyo na mantiki. Desimali isiyo na kikomo sehemu zisizo za muda. Seti ya nambari halisi.

2. Shughuli za hesabu kwenye nambari halisi. Sheria za kuongeza na kuzidisha.

3. Upanuzi wa nambari chanya halisi kwa seti ya nambari halisi. Mali ya seti ya nambari halisi.

4. Kadirio la nambari. Kanuni za kuzungusha nambari halisi na vitendo kwa kadirio la nambari. Mahesabu kwa msaada wa microcalculator.

5. Matokeo Muhimu

Nambari halisi

Moja ya vyanzo vya kuonekana kwa sehemu za decimal ni mgawanyiko wa nambari za asili, nyingine ni kipimo cha kiasi. Wacha tujue, kwa mfano, jinsi sehemu za desimali zinaweza kupatikana wakati wa kupima urefu wa sehemu.

Hebu X- sehemu ambayo urefu wake unapaswa kupimwa, e- kata moja. Kata urefu X kuashiria kwa barua X, na urefu wa sehemu e- barua E. Wacha sehemu X inajumuisha n sehemu sawa na e₁ na kukata X₁, ambayo ni fupi kuliko sehemu e(Mchoro 130), i.e. n ∙E < X < (n + 1) ∙E. Nambari n na n+ 1 ni takriban maadili ya urefu wa sehemu X kwa urefu wa kitengo E na upungufu na ziada hadi 1.

Ili kupata jibu kwa usahihi zaidi, chukua sehemu e₁ ni sehemu ya kumi ya sehemu e na tutaiweka katika sehemu hiyo X₁. Katika kesi hii, kesi mbili zinawezekana.

1) Sehemu e₁ inafaa katika sehemu X₁ kwa usahihi n mara moja. Kisha urefu n sehemu X imeonyeshwa kama desimali ya mwisho: X = (n+n₁\10) ∙E= n, n₁∙E. Kwa mfano, X= 3.4∙E.

2) Kata X₁ inageuka kuwa inajumuisha n sehemu sawa na e₁, na sehemu X₂, ambayo ni fupi kuliko sehemu e₁. Kisha n,n₁∙E < X < n,n₁n₁′∙ E, wapi n,n₁ na n,n₁n₁′ - thamani ya takriban ya urefu wa sehemu X na upungufu na ziada kwa usahihi wa 0.1.

Ni wazi kwamba katika kesi ya pili mchakato wa kupima urefu wa sehemu X unaweza kuendelea kwa kuchukua sehemu mpya ya kitengo e₂ - mia ya sehemu e.

Kwa mazoezi, mchakato huu wa kupima urefu wa sehemu utaisha kwa hatua fulani. Na kisha matokeo ya kupima urefu wa sehemu itakuwa ama nambari asilia au sehemu ya mwisho ya desimali. Ikiwa tunafikiria mchakato huu wa kupima urefu wa sehemu kwa njia bora (kama wanavyofanya katika hisabati), basi matokeo mawili yanawezekana:

1) Katika hatua ya k-th, mchakato wa kipimo utaisha. Kisha urefu wa sehemu utaonyeshwa kama sehemu ya mwisho ya desimali ya fomu n,n₁… n k.

2) Mchakato ulioelezewa wa kupima urefu wa sehemu X inaendelea kwa muda usiojulikana. Kisha ripoti kuhusu hilo inaweza kuwakilishwa na ishara n,n₁… n k..., ambayo inaitwa desimali isiyo na kikomo.

Jinsi ya kuwa na uhakika wa uwezekano wa matokeo ya pili? Ili kufanya hivyo, inatosha kupima urefu wa sehemu kama hiyo, ambayo inajulikana kuwa urefu wake unaonyeshwa, kwa mfano, na nambari ya busara 5. Ikiwa ilibadilika kuwa kama matokeo ya kupima urefu wa sehemu kama hiyo, sehemu ya mwisho ya decimal inapatikana, basi hii inamaanisha kuwa nambari 5 inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya mwisho ya decimal, ambayo haiwezekani: 5 \u003d 5.666 . ...

Kwa hivyo, wakati wa kupima urefu wa sehemu, sehemu za decimal zisizo na kipimo zinaweza kupatikana. Lakini je, sehemu hizi ni za mara kwa mara? Jibu la swali hili ni hasi: kuna sehemu ambazo urefu wake hauwezi kuonyeshwa kwa sehemu isiyo na kipimo ya upimaji (yaani, nambari chanya ya busara) na kitengo cha urefu kilichochaguliwa. Huu ulikuwa ugunduzi muhimu zaidi katika hisabati, ambao ulifuata kwamba nambari za busara hazitoshi kupima urefu wa sehemu.

Nadharia. Ikiwa kitengo cha urefu ni urefu wa upande wa mraba, basi urefu wa diagonal ya mraba huu hauwezi kuonyeshwa kwa nambari nzuri ya busara.

Ushahidi. Hebu urefu wa upande wa mraba uonyeshwe na nambari 1. Tuseme kinyume cha kile kinachohitajika kuthibitishwa, yaani, kwamba urefu wa AC ya diagonal ya ABCB ya mraba inaonyeshwa kama sehemu isiyoweza kupunguzwa. Kisha, kwa mujibu wa nadharia ya Pythagorean, usawa ungeshikilia

1²+ 1² = . Inafuata kutoka kwake kwamba m² = 2n². Kwa hivyo, m² ni nambari sawa, basi nambari m ni sawa (mraba wa nambari isiyo ya kawaida haiwezi kuwa sawa). Kwa hivyo, m = 2p. Kubadilisha nambari m kwa 2p katika equation m² = 2n², tunapata hiyo 4p² = 2n², i.e. 2p² = n². Inafuata kwamba n² ni sawa, kwa hivyo n ni nambari sawa. Kwa hivyo, nambari m na n ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa sehemu inaweza kupunguzwa na 2, ambayo inapingana na dhana kwamba haiwezi kupunguzwa. Upinzani ulioanzishwa unathibitisha kwamba ikiwa kitengo cha urefu ni urefu wa upande wa mraba, basi urefu wa diagonal ya mraba huu hauwezi kuonyeshwa kwa nambari ya busara.

Inafuata kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa kwamba kuna sehemu ambazo urefu wake hauwezi kuonyeshwa na nambari chanya (pamoja na kitengo kilichochaguliwa cha urefu), au, kwa maneno mengine, haiwezi kuandikwa kama sehemu isiyo na kipimo ya muda. Hii ina maana kwamba sehemu za desimali zisizo na kikomo zilizopatikana kwa kupima urefu wa sehemu zinaweza kuwa zisizo za muda.

Inaaminika kuwa sehemu za decimal zisizo za muda ni rekodi ya nambari mpya - chanya irrational nambari. Kwa kuwa dhana za nambari na nukuu zake mara nyingi hutambuliwa, wanasema kuwa sehemu za decimal zisizo za muda ni nambari chanya zisizo na mantiki.

Tulifikia dhana ya nambari chanya isiyo na mantiki kupitia mchakato wa kupima urefu wa sehemu. Lakini nambari zisizo na mantiki pia zinaweza kupatikana kwa kutoa mizizi kutoka kwa nambari fulani za busara. Kwa hivyo √2, √7, √24 ni nambari zisizo na mantiki. Isiyo na akili pia ni lg 5, dhambi 31, nambari π = 3.14..., e= 2.7828... na wengine.

Seti ya nambari chanya zisizo na mantiki inaonyeshwa na ishara J+.

Muungano wa seti mbili za nambari: chanya ya busara na chanya isiyo na maana inaitwa seti ya nambari halisi chanya na inaonyeshwa na ishara R+. Kwa hivyo, Q+ ∪ J + = R+. Kwa msaada wa miduara ya Euler, seti hizi zinaonyeshwa kwenye Mchoro 131.

Nambari yoyote halisi chanya inaweza kuwakilishwa na sehemu ya desimali isiyo na kikomo - ya muda (ikiwa ni ya kimantiki) au isiyo ya muda (ikiwa haina mantiki).

Vitendo juu ya nambari halisi chanya hupunguzwa hadi vitendo kwenye nambari chanya za busara.

Kujumlisha na kuzidisha kwa nambari halisi chanya kuna sifa ya uadui na ushirika, na kuzidisha kunaeneza kwa heshima ya kujumlisha na kutoa.

Kutumia nambari za kweli chanya, unaweza kuelezea matokeo ya kupima idadi yoyote ya scalar: urefu, eneo, misa, nk. Lakini katika mazoezi, mara nyingi ni muhimu kueleza kwa idadi si matokeo ya kupima wingi, lakini mabadiliko yake. Aidha, mabadiliko yake yanaweza kutokea kwa njia tofauti - inaweza kuongezeka, kupungua au kubaki bila kubadilika. Kwa hiyo, ili kuelezea mabadiliko katika ukubwa, pamoja na nambari nzuri za kweli, nambari nyingine zinahitajika, na kwa hili ni muhimu kupanua kuweka R + kwa kuongeza namba 0 (sifuri) na namba hasi kwake.

Muungano wa seti ya nambari halisi chanya na seti ya nambari hasi halisi na sifuri ni seti ya R ya nambari zote halisi.

Ulinganisho wa nambari halisi na shughuli juu yao hufanywa kulingana na sheria zinazojulikana kwetu kutoka kwa kozi ya hisabati ya shule.

Mazoezi

1. Eleza mchakato wa kupima urefu wa sehemu, ikiwa ripoti juu yake imewasilishwa kama sehemu:

a) 3.46; b) 3, (7); c) 3.2(6).

2. Sehemu ya saba ya sehemu moja inafaa katika sehemu mara 13. Je, urefu wa sehemu hii utawakilishwa na sehemu isiyo na kikomo au isiyo na kikomo? Ya mara kwa mara au isiyo ya mara kwa mara?

3. Seti imetolewa: (7; 8; √8; 35.91; -12.5; -√37; 0; 0.123; 4136).

Inaweza kugawanywa katika madarasa mawili: ya busara na isiyo na maana?

4. Inajulikana kuwa nambari yoyote inaweza kuwakilishwa na hatua kwenye mstari wa kuratibu. Je! vidokezo vilivyo na viwianishi vya busara vinamaliza laini nzima ya kuratibu? Vipi kuhusu pointi zilizo na kuratibu halisi?

99. Hitimisho kuu § 19

Wakati wa kusoma nyenzo za aya hii, tumefafanua dhana nyingi zinazojulikana kutoka kwa kozi ya shule ya hisabati, tukiziunganisha na kipimo cha urefu wa sehemu. Hizi ni dhana kama vile:

sehemu (sahihi na isiyo sahihi);

sehemu sawa;

sehemu isiyoweza kupunguzwa;

nambari nzuri ya busara;

usawa wa nambari nzuri za busara;

sehemu iliyochanganywa;

desimali ya mara kwa mara isiyo na mwisho;

desimali isiyo na kikomo isiyo ya muda;

nambari isiyo na maana;

nambari halisi.

Tuligundua kuwa uhusiano wa usawa wa sehemu ni uhusiano wa usawa na tukachukua fursa hii, kufafanua dhana ya nambari chanya ya busara. Pia tuligundua jinsi kujumlisha na kuzidisha nambari chanya za kimantiki kumeunganishwa na kupima urefu wa sehemu na fomula zilizopatikana za kutafuta jumla na bidhaa zao.

Ufafanuzi wa uhusiano "chini ya" kwenye seti ya Q + ilifanya iwezekanavyo kutaja mali yake kuu: imeagizwa, mnene, haina idadi ndogo na kubwa zaidi.

Tumethibitisha kuwa seti ya Q+ ya nambari chanya za mantiki inakidhi masharti yote yanayoruhusu kuzingatiwa kama kiendelezi cha N ya nambari asilia.

Kwa kuanzisha sehemu za desimali, tulithibitisha kuwa nambari yoyote chanya ya kimantiki inaweza kuwakilishwa na sehemu isiyo na kikomo ya desimali ya muda.

Sehemu zisizo na kikomo zisizo za muda huchukuliwa kuwa rekodi za nambari zisizo na mantiki.

Ikiwa tunaunganisha seti za nambari chanya za busara na zisizo na mantiki, basi tunapata seti ya nambari halisi chanya: Q+ ∪ J + = R+.

Ikiwa tunaongeza nambari hasi halisi na sifuri kwa nambari halisi chanya, basi tunapata seti ya R ya nambari zote halisi.