Inatokana na utendaji kazi y lnx. Inatokana na logariti asilia na logariti hadi msingi a

Uthibitisho na chimbuko la fomula za kinyago cha logariti asilia na logariti katika msingi a. Mifano ya kuhesabu derivatives ya ln 2x, ln 3x na ln nx. Uthibitisho wa fomula ya derivative ya logarithm ya utaratibu wa n-th kwa mbinu ya induction ya hisabati.

Utoaji wa fomula za viasili vya logariti asilia na logariti katika msingi a

Nyingine ya logariti asilia ya x ni sawa na ile iliyogawanywa na x:
(1) (lnx)′ =.

Nyingine ya logariti hadi msingi a ni sawa na ile iliyogawanywa na mabadiliko x iliyozidishwa na logariti asilia ya :
(2) (logi x)′ =.

Ushahidi

Acha kuwe na nambari chanya isiyo sawa na moja. Fikiria kazi ambayo inategemea kutofautisha x , ambayo ni logarithm ya msingi:
.
Chaguo hili la kukokotoa limefafanuliwa na . Wacha tupate derivative yake kwa heshima na x . Kwa ufafanuzi, derivative ni kikomo kifuatacho:
(3) .

Wacha tubadilishe usemi huu ili kuupunguza kuwa sifa na sheria za hisabati zinazojulikana. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kujua ukweli ufuatao:
LAKINI) Tabia za logarithm. Tunahitaji fomula zifuatazo:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Mwendelezo wa logariti na mali ya mipaka kwa utendaji unaoendelea:
(7) .
Hapa, kuna chaguo za kukokotoa ambazo zina kikomo na kikomo hiki ni chanya.
KATIKA) Maana ya kikomo cha pili cha ajabu:
(8) .

Tunatumia ukweli huu kwa kikomo chetu. Kwanza tunabadilisha usemi wa aljebra
.
Ili kufanya hivyo, tunatumia mali (4) na (5).

.

Tunatumia mali (7) na kikomo cha pili cha kushangaza (8):
.

Na mwishowe, tumia mali (6):
.
logarithm ya msingi e kuitwa logarithm asili. Imewekwa alama kama hii:
.
Kisha;
.

Kwa hivyo, tumepata fomula (2) ya derivative ya logariti.

Inatokana na logarithm asili

Kwa mara nyingine tena, tunaandika fomula ya derivative ya logarithm kwa msingi a:
.
Fomula hii ina fomu rahisi zaidi ya logarithm ya asili, ambayo , . Kisha
(1) .

Kwa sababu ya usahili huu, logarithm asilia hutumiwa sana katika calculus na maeneo mengine ya hisabati yanayohusiana na calculus tofauti. Utendaji wa logarithmic pamoja na besi zingine zinaweza kuonyeshwa kulingana na logarithmu asili kwa kutumia sifa (6):
.

Derivative ya msingi ya logariti inaweza kupatikana kutoka kwa fomula (1) ikiwa thabiti imetolewa kutoka kwa ishara ya upambanuzi:
.

Njia zingine za kudhibitisha derivative ya logarithm

Hapa tunadhania kuwa tunajua fomula ya derivative ya kipeo:
(9) .
Kisha tunaweza kupata fomula ya derivative ya logariti asilia, ikizingatiwa kwamba logariti ni kinyume cha kipeo.

Wacha tuthibitishe fomula ya derivative ya logarithm asili, kutumia fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa kinyume:
.
Kwa upande wetu. Kinyume cha logarithm asilia ni kipeo:
.
Derivative yake imedhamiriwa na fomula (9). Vigezo vinaweza kuashiria kwa herufi yoyote. Katika fomula (9), tunabadilisha mabadiliko ya x na y:
.
Kwa sababu, basi
.
Kisha
.
Fomula imethibitishwa.

Sasa tunathibitisha fomula ya derivative ya logarithm asili kwa kutumia sheria za kutofautisha kazi ngumu. Kwa kuwa kazi na ni kinyume na kila mmoja, basi
.
Tofautisha equation hii kwa heshima na kutofautisha x :
(10) .
Derivative ya x ni sawa na moja:
.
Tunatumia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu:
.
Hapa . Badilisha katika (10):
.
Kutoka hapa
.

Mfano

Tafuta derivatives ya ln 2x, ln 3x na ln nx.

Suluhisho

Vitendaji asili vina umbo sawa. Kwa hiyo, tutapata derivative ya kazi y = logi nx. Kisha tunabadilisha n = 2 na n = 3 . Na, kwa hivyo, tunapata fomula za derivatives za ln 2x na ln 3x .

Kwa hivyo, tunatafuta derivative ya kazi
y = logi nx .
Wacha tuwakilishe chaguo hili la kukokotoa kama kitendakazi changamano kinachojumuisha vitendakazi viwili:
1) Vitendo tegemezi vinavyobadilika:;
2) Vitendaji tegemezi vinavyobadilika : .
Kisha kazi ya asili inaundwa na kazi na:
.

Wacha tupate derivative ya kazi kwa heshima na kutofautisha x:
.
Wacha tupate derivative ya kazi kwa heshima na kutofautisha:
.
Tunatumia fomula ya derivative ya kazi changamano.
.
Hapa tumebadilisha .

Kwa hivyo tulipata:
(11) .
Tunaona kwamba derivative haitegemei n. Matokeo haya ni ya asili ikiwa tutabadilisha kazi ya asili kwa kutumia fomula ya logarithm ya bidhaa:
.
- ni mara kwa mara. Derivative yake ni sifuri. Halafu, kulingana na sheria ya kutofautisha jumla, tunayo:
.

Jibu

; ; .

Inatokana na modulo ya logariti x

Wacha tupate derivative ya kazi nyingine muhimu sana - logarithm ya asili ya moduli ya x:
(12) .

Hebu fikiria kesi. Kisha kazi inaonekana kama:
.
Derivative yake imedhamiriwa na fomula (1):
.

Sasa fikiria kesi. Kisha kazi inaonekana kama:
,
wapi.
Lakini pia tulipata derivative ya kazi hii katika mfano hapo juu. Haitegemei n na ni sawa na
.
Kisha
.

Tunachanganya kesi hizi mbili katika fomula moja:
.

Ipasavyo, kwa logariti hadi msingi a, tunayo:
.

Viini vya mpangilio wa juu zaidi wa logarithm asilia

Fikiria kazi
.
Tulipata derivative ya agizo lake la kwanza:
(13) .

Wacha tupate derivative ya agizo la pili:
.
Wacha tupate derivative ya agizo la tatu:
.
Wacha tupate derivative ya agizo la nne:
.

Inaweza kuonekana kuwa derivative ya agizo la nth ina fomu:
(14) .
Wacha tuthibitishe hii kwa induction ya hisabati.

Ushahidi

Wacha tubadilishe thamani n = 1 kuwa fomula (14):
.
Tangu , basi kwa n = 1 , fomula (14) ni halali.

Wacha tuchukue kwamba fomula (14) imeridhika kwa n = k . Hebu tuthibitishe kwamba inafuata kutoka kwa hili kwamba fomula ni halali kwa n = k + 1 .

Kwa kweli, kwa n = k tunayo:
.
Tofautisha kwa heshima na x :

.
Kwa hivyo tulipata:
.
Fomula hii inapatana na fomula (14) ya n = k + 1 . Kwa hivyo, kutokana na dhana kwamba fomula (14) ni halali kwa n = k, inafuata kwamba fomula (14) ni halali kwa n = k + 1 .

Kwa hivyo, formula (14), kwa derivative ya agizo la nth, ni halali kwa n yoyote.

Viingilio vya mpangilio wa juu zaidi vya logariti kwa msingi wa a

Ili kupata derivative ya nth ya logarithm msingi a , unahitaji kuielezea kulingana na logarithm asili:
.
Kwa kutumia fomula (14), tunapata derivative ya nth:
.

Ufafanuzi. Acha kazi \(y = f(x) \) ifafanuliwe katika muda fulani iliyo na nukta \(x_0 \) ndani. Wacha tuongeze \(\Delta x \) kwa hoja ili tusiachie muda huu. Tafuta nyongeza inayolingana ya kitendakazi \(\Delta y \) (wakati unapita kutoka kwa uhakika \(x_0 \) hadi hatua \(x_0 + \Delta x \)) na utunge uhusiano \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Ikiwa kuna kikomo cha uhusiano huu katika \(\Delta x \mshale wa kulia 0 \), basi kikomo kilichoonyeshwa kinaitwa. kazi ya derivative\(y=f(x) \) kwenye hatua \(x_0 \) na kuashiria \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Alama y mara nyingi hutumika kuashiria derivatifu. Kumbuka kuwa y" = f(x) ni chaguo za kukokotoa mpya, lakini kwa kawaida huhusishwa na chaguo za kukokotoa y = f(x), hufafanuliwa katika nukta zote x ambapo kikomo cha juu kipo . Kazi hii inaitwa kama hii: derivative ya chaguo za kukokotoa y = f(x).

Maana ya kijiometri ya derivative inajumuisha yafuatayo. Ikiwa tangent ambayo hailingani na mhimili wa y inaweza kuvutwa kwa grafu ya kazi y \u003d f (x) kwa uhakika na abscissa x \u003d a, basi f (a) inaelezea mteremko wa tangent:
\(k = f"(a)\)

Kwa kuwa \(k = tg(a) \), usawa \(f"(a) = tg(a) \) ni kweli.

Na sasa tunatafsiri ufafanuzi wa derivative kwa suala la takriban usawa. Acha kazi \(y = f(x) \) iwe na derivative katika hatua fulani \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Hii inamaanisha kuwa karibu na nukta x, takriban usawa \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \takriban f"(x) \), yaani \(\Delta y \takriban f"(x) \cdot. \Deltax\). Maana ya maana ya takriban usawa uliopatikana ni kama ifuatavyo: nyongeza ya chaguo za kukokotoa "inakaribia sawia" na ongezeko la hoja, na mgawo wa uwiano ni thamani ya derivative katika hatua fulani x. Kwa mfano, kwa chaguo za kukokotoa \(y = x^2 \) takriban usawa \(\Delta y \takriban 2x \cdot \Delta x \) ni halali. Ikiwa tutachambua kwa uangalifu ufafanuzi wa derivative, tutagundua kuwa ina algorithm ya kuipata.

Hebu tuunde.

Jinsi ya kupata derivative ya kazi y \u003d f (x) ?

1. Rekebisha thamani \(x \), pata \(f(x) \)
2. Ongezeko \(x \) hoja \(\Delta x \), songa hadi hatua mpya \(x+ \Delta x \), pata \(f(x+ \Delta x) \)
3. Tafuta nyongeza ya chaguo za kukokotoa: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Tunga uhusiano \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kokotoa $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Kikomo hiki ni derivative ya chaguo za kukokotoa katika x.

Ikiwa kazi y = f(x) ina derivative katika hatua x, basi inaitwa kutofautisha katika hatua x. Utaratibu wa kupata derivative ya kazi y \u003d f (x) inaitwa utofautishaji kazi y = f(x).

Wacha tujadili swali lifuatalo: mwendelezo na utofautishaji wa kazi katika hatua unahusiana vipi?

Acha kazi y = f(x) iweze kutofautishwa katika nukta x. Kisha tanjiti inaweza kuvutwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye hatua ya M (x; f (x)) na, kumbuka, mteremko wa tanjiti ni sawa na f "(x). Grafu kama hiyo haiwezi "kuvunjika" saa hatua M, yaani, kazi lazima iwe endelevu kwa x.

Ilikuwa ni hoja "kwenye vidole". Hebu tutoe hoja kali zaidi. Ikiwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kinaweza kutofautishwa katika nukta x, basi takriban usawa \(\Delta y \takriban f"(x) \cdot \Delta x \) hushikilia. sifuri, kisha \(\Delta y \) ) pia itaelekea sifuri, na hii ndio hali ya mwendelezo wa kitendakazi kwa uhakika.

Kwa hiyo, ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaweza kutofautishwa katika hatua x, basi pia kinaendelea katika hatua hiyo.

Mazungumzo sio kweli. Kwa mfano: kazi y = |x| inaendelea kila mahali, hasa katika hatua x = 0, lakini tangent kwa grafu ya kazi katika "hatua ya pamoja" (0; 0) haipo. Ikiwa wakati fulani haiwezekani kuteka tangent kwenye grafu ya kazi, basi hakuna derivative katika hatua hii.

Mfano mmoja zaidi. Kazi \(y=\sqrt(x) \) inaendelea kwenye mstari mzima wa nambari, ikiwa ni pamoja na katika hatua x = 0. Na tangent kwa grafu ya kazi ipo wakati wowote, ikiwa ni pamoja na katika hatua x = 0. Lakini katika hatua hii tangent inafanana na mhimili wa y, yaani, ni perpendicular kwa mhimili wa abscissa, equation yake ina fomu x \u003d 0. Hakuna mteremko kwa mstari huo wa moja kwa moja, ambayo ina maana kwamba \ (f "(0) \) haipo pia

Kwa hivyo, tulifahamiana na mali mpya ya kazi - kutofautisha. Unawezaje kujua ikiwa kazi inaweza kutofautishwa kutoka kwa grafu ya chaguo la kukokotoa?

Jibu limetolewa hapo juu. Ikiwa wakati fulani tangent inaweza kuvutwa kwenye grafu ya kazi ambayo sio perpendicular kwa mhimili wa x, basi katika hatua hii kazi inaweza kutofautishwa. Ikiwa wakati fulani tangent kwa grafu ya kazi haipo au ni perpendicular kwa mhimili wa x, basi katika hatua hii kazi haiwezi kutofautishwa.

Sheria za kutofautisha

Uendeshaji wa kutafuta derivative inaitwa utofautishaji. Wakati wa kufanya operesheni hii, mara nyingi unapaswa kufanya kazi na quotients, hesabu, bidhaa za kazi, pamoja na "kazi za kazi", yaani, kazi ngumu. Kulingana na ufafanuzi wa derivative, tunaweza kupata kanuni za utofautishaji zinazowezesha kazi hii. Ikiwa C ni nambari isiyobadilika na f=f(x), g=g(x) ni baadhi ya kazi zinazoweza kutofautishwa, basi zifuatazo ni kweli. kanuni za kutofautisha:

Jedwali la derivatives ya baadhi ya vipengele

Uendeshaji wa kutafuta derivative inaitwa tofauti.

Kama matokeo ya kutatua shida za kupata derivatives ya kazi rahisi zaidi (na sio rahisi sana) kwa kufafanua derivative kama kikomo cha uwiano wa nyongeza hadi kuongezeka kwa hoja, jedwali la derivatives na sheria zilizofafanuliwa kwa utofauti zilionekana. . Isaac Newton (1643-1727) na Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) walikuwa wa kwanza kufanya kazi katika uwanja wa kutafuta derivatives.

Kwa hiyo, katika wakati wetu, ili kupata derivative ya kazi yoyote, si lazima kuhesabu kikomo kilichotajwa hapo juu cha uwiano wa ongezeko la kazi kwa ongezeko la hoja, lakini tu haja ya kutumia meza. ya derivatives na kanuni za utofautishaji. Algorithm ifuatayo inafaa kwa kutafuta derivative.

Ili kupata derivative, unahitaji kujieleza chini ya ishara ya kiharusi kuvunja kazi rahisi na kuamua ni vitendo gani (bidhaa, jumla, mgawo) kazi hizi zinahusiana. Zaidi ya hayo, tunapata derivatives ya kazi za msingi katika jedwali la derivatives, na kanuni za derivatives ya bidhaa, jumla na quotient - katika sheria za kutofautisha. Jedwali la kanuni za derivatives na utofautishaji hutolewa baada ya mifano miwili ya kwanza.

Mfano 1 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Kutoka kwa sheria za utofautishaji tunapata kwamba derivative ya jumla ya kazi ni jumla ya derivatives ya kazi, i.e.

Kutoka kwa jedwali la derivatives, tunapata kwamba derivative ya "X" ni sawa na moja, na derivative ya sine ni cosine. Tunabadilisha maadili haya katika jumla ya derivatives na kupata derivative inayohitajika na hali ya tatizo:

Mfano 2 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Tunatofautisha kama derivative ya jumla, ambapo muhula wa pili na sababu ya kudumu inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara ya derivative:

Ikiwa bado kuna maswali juu ya wapi kitu kinatoka, wao, kama sheria, huwa wazi baada ya kusoma meza ya derivatives na sheria rahisi za kutofautisha. Tunaenda kwao sasa hivi.

Jedwali la derivatives ya kazi rahisi

1. Derivative ya mara kwa mara (idadi). Nambari yoyote (1, 2, 5, 200...) iliyo katika usemi wa chaguo la kukokotoa. Daima sifuri. Hii ni muhimu sana kukumbuka, kwani inahitajika mara nyingi sana
2. Derivative ya kutofautiana huru. Mara nyingi "x". Daima ni sawa na moja. Hii pia ni muhimu kukumbuka
3. Derivative ya shahada. Wakati wa kutatua matatizo, unahitaji kubadilisha mizizi isiyo ya mraba kwa nguvu.
4. Inatokana na kigezo kwa nguvu ya -1
5. Derivative ya mizizi ya mraba
6. Sine derivative
7. Derivative ya cosine
8. Derivative ya tangent
9. Derivative ya cotangent
10. Derivative ya arcsine
11. Derivative ya arc cosine
12. Derivative ya arc tangent
13. Toleo la tangent inverse
14. Derivative ya logarithm asili
15. Inayotokana na kazi ya logarithmic
16. Derivative ya kipeo
17. Inayotokana na utendaji wa kielelezo

Sheria za kutofautisha

1. Derivative ya jumla au tofauti
2. Derivative ya bidhaa
2a. Nyingine ya usemi unaozidishwa na kipengele kisichobadilika
3. Derivative ya mgawo
4. Derivative ya kazi changamano

Kanuni ya 1Ikiwa kazi

zinaweza kutofautishwa wakati fulani, kisha kwa hatua sawa kazi

zaidi ya hayo

hizo. derivative ya jumla ya kazi za aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya viasili vya kazi hizi.

Matokeo. Ikiwa kazi mbili zinazoweza kutofautishwa zinatofautiana na mara kwa mara, basi derivatives zao ni, i.e.

Kanuni ya 2Ikiwa kazi

zinaweza kutofautishwa wakati fulani, basi bidhaa zao pia zinaweza kutofautishwa kwa hatua sawa

zaidi ya hayo

hizo. derivative ya bidhaa ya kazi mbili ni sawa na jumla ya bidhaa za kila moja ya kazi hizi na derivative ya nyingine.

Matokeo 1. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative:

Matokeo 2. Derivative ya bidhaa ya kazi kadhaa zinazoweza kutofautishwa ni sawa na jumla ya bidhaa za derivative ya kila moja ya mambo na wengine wote.

Kwa mfano, kwa vizidishi vitatu:

Kanuni ya 3Ikiwa kazi

kutofautishwa kwa wakati fulani na , basi katika hatua hii mgawo wao pia unaweza kutofautishwa.u/v , na

hizo. inayotokana na mgawo wa vitendaji viwili ni sawa na sehemu ambayo nambari yake ni tofauti kati ya bidhaa za nambari na denomineta na denomineta na denominator na denominator, na denominator ni mraba wa nambari ya zamani. .

Mahali pa kuangalia kwenye kurasa zingine

Wakati wa kupata derivative ya bidhaa na mgawo katika matatizo halisi, daima ni muhimu kutumia sheria kadhaa za kutofautisha mara moja, hivyo mifano zaidi juu ya derivatives hizi ni katika makala."Derivative ya bidhaa na mgawo".

Maoni. Haupaswi kuchanganya mara kwa mara (yaani, nambari) kama neno katika jumla na kama sababu ya mara kwa mara! Katika kesi ya neno, derivative yake ni sawa na sifuri, na katika kesi ya sababu ya mara kwa mara, inachukuliwa nje ya ishara ya derivatives. Hili ni kosa la kawaida ambalo hutokea katika hatua ya awali ya kusoma derivatives, lakini mwanafunzi wa kawaida anapotatua mifano kadhaa ya sehemu moja-mbili, kosa hili halifanyiki tena.

Na ikiwa, wakati wa kutofautisha bidhaa au mgawo, una muda u"v, ambapo u- nambari, kwa mfano, 2 au 5, ambayo ni, mara kwa mara, basi derivative ya nambari hii itakuwa sawa na sifuri na, kwa hivyo, neno lote litakuwa sawa na sifuri (kesi kama hiyo inachambuliwa kwa mfano 10) .

Hitilafu nyingine ya kawaida ni ufumbuzi wa mitambo ya derivative ya kazi ngumu kama derivative ya kazi rahisi. Ndiyo maana derivative ya kazi changamano kujitolea kwa makala tofauti. Lakini kwanza tutajifunza kupata derivatives ya kazi rahisi.

Njiani, huwezi kufanya bila mabadiliko ya misemo. Ili kufanya hivyo, unaweza kuhitaji kufungua miongozo mpya ya windows Vitendo vyenye nguvu na mizizi na Vitendo vilivyo na sehemu .

Ikiwa unatafuta suluhisho la derivatives na nguvu na mizizi, ambayo ni, wakati kazi inaonekana kama , kisha fuata somo " Derivative ya jumla ya sehemu na nguvu na mizizi".

Kama una kazi kama , basi uko kwenye somo "Derivatives ya kazi rahisi za trigonometric".

Hatua kwa hatua mifano - jinsi ya kupata derivative

Mfano 3 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Tunaamua sehemu za usemi wa kazi: usemi mzima unawakilisha bidhaa, na sababu zake ni hesabu, kwa pili ambayo moja ya maneno yana sababu ya mara kwa mara. Tunatumia sheria ya kutofautisha bidhaa: derivative ya bidhaa ya kazi mbili ni sawa na jumla ya bidhaa za kila moja ya kazi hizi na derivative ya nyingine:

Ifuatayo, tunatumia kanuni ya upambanuzi wa jumla: derivative ya jumla ya kazi za aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya vinyago vya kazi hizi. Kwa upande wetu, katika kila jumla, muhula wa pili na ishara ya kuondoa. Katika kila jumla, tunaona tofauti huru, derivative ambayo ni sawa na moja, na mara kwa mara (idadi), derivative ambayo ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, "x" inageuka kuwa moja, na minus 5 - kuwa sifuri. Katika usemi wa pili, "x" inazidishwa na 2, kwa hivyo tunazidisha mbili kwa kitengo sawa na derivative ya "x". Tunapata maadili yafuatayo ya derivatives:

Tunabadilisha derivatives zilizopatikana kwa jumla ya bidhaa na kupata derivative ya kazi nzima inayohitajika na hali ya shida:

Mfano 4 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Tunatakiwa kupata derivative ya mgawo. Tunatumia fomula ya kutofautisha mgawo: derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu ambayo nambari yake ni tofauti kati ya bidhaa za denominator na derivative ya nambari na nambari na derivative ya denominator, na. denominator ni mraba wa nambari ya awali. Tunapata:

Tayari tumepata derivative ya mambo katika nambari katika Mfano wa 2. Pia tusisahau kwamba bidhaa, ambayo ni sababu ya pili katika nambari katika mfano wa sasa, inachukuliwa na ishara ya minus:

Ikiwa unatafuta suluhisho la shida kama hizo ambazo unahitaji kupata derivative ya kazi, ambapo kuna rundo la mizizi na digrii zinazoendelea, kama vile, kwa mfano, basi karibu darasani "Derivative ya jumla ya sehemu zilizo na nguvu na mizizi" .

Ikiwa unahitaji kujifunza zaidi juu ya derivatives ya sines, cosines, tangents na kazi zingine za trigonometric, ambayo ni, wakati kazi inaonekana kama. , basi una somo "Derivatives ya kazi rahisi za trigonometric" .

Mfano 5 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Katika kazi hii, tunaona bidhaa, moja ya mambo ambayo ni mizizi ya mraba ya kutofautiana huru, na derivative ambayo tulijitambulisha katika jedwali la derivatives. Kulingana na sheria ya utofautishaji wa bidhaa na thamani ya jedwali ya derivative ya mzizi wa mraba, tunapata:

Mfano 6 Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Katika kazi hii, tunaona mgawo, mgawanyiko ambao ni mzizi wa mraba wa kutofautiana huru. Kulingana na sheria ya kutofautisha ya mgawo, ambayo tulirudia na kutumia katika mfano 4, na thamani ya jedwali ya derivative ya mzizi wa mraba, tunapata:

Ili kuondoa sehemu katika nambari, zidisha nambari na denominator kwa .