Mlinganyo wa Harmonic. Kushuka kwa thamani. Mitetemo ya Harmonic. Tabia za oscillation: amplitude, kipindi, mzunguko, mzunguko wa mzunguko, awamu

Oscillation ya Harmonic ni jambo la mabadiliko ya mara kwa mara ya kiasi fulani, ambapo utegemezi wa hoja una sifa ya utendaji wa sine au kosine. Kwa mfano, kiasi ambacho hutofautiana kwa wakati kama ifuatavyo hubadilika kwa usawa:

ambapo x ni thamani ya kiasi kinachobadilika, t ni wakati, vigezo vilivyobaki ni mara kwa mara: A ni amplitude ya oscillations, ω ni mzunguko wa mzunguko wa oscillations, ni awamu kamili ya oscillations, ni awamu ya awali ya oscillations. oscillations.

Oscillation ya jumla ya harmonic katika fomu tofauti

(Suluhisho lolote lisilo la maana la mlinganyo huu wa kutofautisha ni msisimko wa usawa na mzunguko wa mzunguko)

Aina za vibrations

Vibrations bure hutokea chini ya hatua ya nguvu za ndani za mfumo baada ya mfumo kuchukuliwa nje ya usawa. Ili oscillations ya bure iwe ya usawa, ni muhimu kwamba mfumo wa oscillatory uwe wa mstari (unaoelezewa na usawa wa mwendo wa mstari), na haipaswi kuwa na utawanyiko wa nishati ndani yake (mwisho huo unaweza kusababisha unyevu).

Oscillations ya kulazimishwa hufanywa chini ya ushawishi wa nguvu ya mara kwa mara ya nje. Ili wao kuwa wa usawa, inatosha kwamba mfumo wa oscillatory uwe wa mstari (unaofafanuliwa na usawa wa mwendo), na nguvu ya nje yenyewe hubadilika kwa wakati kama oscillation ya harmonic (hiyo ni, kwamba utegemezi wa wakati wa nguvu hii ni sinusoidal). .

Mlinganyo wa mtetemo wa Harmonic

inatoa utegemezi wa thamani inayobadilika S kwa wakati t; hii ni equation ya oscillations bure harmonic katika fomu ya wazi. Hata hivyo, equation ya oscillations kawaida hueleweka kama rekodi tofauti ya equation hii, katika fomu tofauti. Kwa uhakika, tunachukua equation (1) katika fomu

Tofautisha mara mbili kwa heshima na wakati:

Inaweza kuonekana kuwa uhusiano ufuatao unashikilia:

ambayo inaitwa equation ya oscillations ya bure ya harmonic (katika fomu tofauti). Mlinganyo (1) ni suluhu la mlinganyo wa kutofautisha (2). Kwa kuwa equation (2) ni mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa pili, hali mbili za awali ni muhimu ili kupata suluhisho kamili (yaani, kuamua viwango A na   vilivyojumuishwa katika equation (1); kwa mfano, nafasi na kasi ya mfumo wa oscillatory katika t = 0.

Pendulum ya hisabati ni oscillator, ambayo ni mfumo wa mitambo unaojumuisha hatua ya nyenzo iko kwenye thread isiyo na uzito isiyozidi au kwenye fimbo isiyo na uzito katika uwanja wa sare ya nguvu za mvuto. Kipindi cha eigenoscillations ndogo ya pendulum ya hisabati ya urefu l, iliyosimamishwa bila kusonga katika uwanja wa mvuto sare na kuongeza kasi ya kuanguka g, ni sawa na

na haitegemei amplitude na wingi wa pendulum.

Pendulum ya kimwili ni oscillator, ambayo ni mwili mgumu ambao huzunguka katika uwanja wa nguvu yoyote kuhusu hatua ambayo sio katikati ya wingi wa mwili huu, au mhimili uliowekwa unaoelekea kwa mwelekeo wa nguvu na sio kupita kupitia katikati ya wingi wa mwili huu.

Aina rahisi zaidi ya vibrations ni vibrations za harmonic- kushuka kwa thamani ambapo uhamishaji wa sehemu ya oscillating kutoka kwa nafasi ya usawa hubadilika kwa wakati kulingana na sheria ya sine au cosine.

Kwa hiyo, kwa mzunguko wa sare ya mpira karibu na mduara, makadirio yake (kivuli katika mionzi ya sambamba ya mwanga) hufanya harakati ya oscillatory ya harmonic kwenye skrini ya wima (Mchoro 13.2).

Uhamisho kutoka kwa nafasi ya usawa wakati wa mitetemo ya usawa inaelezewa na equation (inaitwa sheria ya kinematic ya mwendo wa harmonic) ya fomu:

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) au \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)

wapi X- kuchanganya - thamani inayoonyesha nafasi ya hatua ya oscillating kwa wakati wa wakati t kuhusiana na nafasi ya usawa na kupimwa kwa umbali kutoka kwa nafasi ya usawa hadi nafasi ya hatua kwa hatua fulani kwa wakati; LAKINI- amplitude ya oscillation - uhamisho wa juu wa mwili kutoka kwa nafasi ya usawa; T- kipindi cha oscillation - wakati wa oscillation moja kamili; hizo. kipindi kidogo zaidi cha wakati baada ya hapo maadili ya idadi ya mwili inayoashiria oscillation hurudiwa; \(\varphi_0\) - awamu ya awali; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - awamu ya oscillation kwa wakati t. Awamu ya oscillation ni hoja ya kazi ya mara kwa mara, ambayo, kwa amplitude ya oscillation iliyotolewa, huamua hali ya mfumo wa oscillatory (kuhama, kasi, kuongeza kasi) ya mwili wakati wowote.

Ikiwa wakati wa mwanzo t0 = 0 hatua ya oscillating imehamishwa kwa kiwango kikubwa kutoka kwa nafasi ya usawa, kisha \(\varphi_0 = 0\), na uhamishaji wa uhakika kutoka kwa nafasi ya usawa hubadilika kulingana na sheria.

\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

Ikiwa hatua ya oscillating katika t 0 = 0 iko katika nafasi ya usawa thabiti, basi uhamisho wa uhakika kutoka kwa nafasi ya usawa hubadilika kulingana na sheria.

\(x = A \dhambi \frac(2 \pi)(T)t.\)

Thamani V, mzunguko wa kipindi na sawa na idadi ya oscillations kamili iliyofanywa katika 1 s, inaitwa. mzunguko wa oscillation:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(katika SI kitengo cha masafa ni hertz, 1Hz = 1s -1).

Ikiwa kwa wakati t mwili hufanya N full swing, basi

\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)

Thamani \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) , inayoonyesha jinsi mwili hufanya oscillations 2 \(\pi\) Na, kuitwa mzunguko wa mzunguko (mviringo).

Sheria ya kinematic ya mwendo wa harmonic inaweza kuandikwa kama:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Kielelezo, utegemezi wa kuhamishwa kwa hatua ya oscillating kwa wakati unawakilishwa na cosine (au sinusoid).

Mchoro 13.3, a inaonyesha utegemezi wa wakati wa uhamishaji wa hatua ya oscillating kutoka kwa nafasi ya usawa kwa kesi \(\varphi_0=0\), i.e. \(~x=A\cos \omega t.\)

Hebu tujue jinsi kasi ya hatua ya oscillating inabadilika na wakati. Ili kufanya hivyo, tunapata derivative ya wakati wa usemi huu:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

ambapo \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) ni ukubwa wa makadirio ya kasi kwenye mhimili X.

Fomula hii inaonyesha kwamba wakati wa kuzunguka kwa usawa, makadirio ya kasi ya mwili kwenye mhimili wa x pia hubadilika kulingana na sheria ya harmonic na frequency sawa, na amplitude tofauti, na iko mbele ya awamu ya kuchanganya kwa \(\frac(\pi). )(2)\) (Mchoro 13.3, b).

Ili kujua utegemezi wa kuongeza kasi x (t) pata derivative ya wakati wa makadirio ya kasi:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

ambapo \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) ni ukubwa wa makadirio ya kuongeza kasi kwenye ekseli X.

Kwa vibrations harmonic, makadirio kuongeza kasi mbele ya mabadiliko ya awamu kwa k (Mchoro 13.3, c).

Vile vile, unaweza kupanga \(~x(t), \upsilon_x (t)\) na \(~a_x(t),\) ikiwa \(~x = A \sin \omega t\) na \(\varphi_0 =0.\)

Kwa kuzingatia kwamba \(A \cos \omega t = x\), fomula ya kuongeza kasi inaweza kuandikwa

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

hizo. kwa oscillations harmonic, makadirio ya kuongeza kasi ni moja kwa moja sawia na makazi yao na kinyume katika ishara, i.e. kuongeza kasi inaelekezwa kwa mwelekeo kinyume na uhamishaji.

Kwa hivyo, makadirio ya kuongeza kasi ni derivative ya pili ya uhamishaji na x \u003d x "", basi uwiano unaosababishwa unaweza kuandikwa kama:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) au \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Usawa wa mwisho unaitwa equation ya oscillations ya harmonic.

Mfumo wa kimwili ambao oscillations ya harmonic inaweza kuwepo inaitwa oscillator ya harmonic, na equation ya oscillations harmonic - usawa wa oscillator ya harmonic.

Fasihi

Aksenovich L. A. Fizikia katika shule ya upili: Nadharia. Kazi. Uchunguzi: Proc. posho kwa taasisi zinazotoa jumla. mazingira, elimu / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Mh. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 368-370.

Kasi ya juu na maadili ya kuongeza kasi

Baada ya kuchambua hesabu za utegemezi v(t) na a(t), mtu anaweza kukisia kuwa viwango vya juu vya kasi na kuongeza kasi vinachukuliwa wakati kipengele cha trigonometric ni sawa na 1 au -1. Imedhamiriwa na formula

Jinsi ya kupata utegemezi v(t) na a(t)

7. Mitetemo ya bure. Kasi, kuongeza kasi na nishati ya mwendo wa oscillatory. Ongezeko la vibrations

Mitetemo ya bure(au vibrations asili) ni vibrations ya mfumo wa oscillatory, unaofanywa tu kutokana na nishati iliyoripotiwa awali (uwezo au kinetic) kwa kutokuwepo kwa mvuto wa nje.

Nishati inayowezekana au ya kinetic inaweza kuwasilishwa, kwa mfano, katika mifumo ya mitambo kupitia uhamishaji wa awali au kasi ya awali.

Miili inayozunguka kwa uhuru daima huingiliana na miili mingine na pamoja nao huunda mfumo wa miili inayoitwa mfumo wa oscillatory.

Kwa mfano, chemchemi, mpira, na chapisho la wima ambalo mwisho wa juu wa chemchemi umeunganishwa (angalia takwimu hapa chini) ni pamoja na mfumo wa oscillatory. Hapa mpira huteleza kwa uhuru kando ya kamba (nguvu za msuguano hazizingatiwi). Ikiwa unachukua mpira kulia na kuiacha yenyewe, itazunguka kwa uhuru karibu na nafasi ya usawa (uhakika). O) kutokana na hatua ya nguvu ya elastic ya spring iliyoelekezwa kuelekea nafasi ya usawa.

Mfano mwingine wa classic wa mfumo wa oscillatory wa mitambo ni pendulum ya hisabati (tazama takwimu hapa chini). KATIKA kesi hii mpira huzunguka kwa uhuru chini ya hatua ya nguvu mbili: nguvu ya mvuto na nguvu ya elastic ya thread (Dunia pia huingia kwenye mfumo wa oscillatory). Matokeo yao yanaelekezwa kwa nafasi ya usawa.

Nguvu zinazofanya kazi kati ya miili ya mfumo wa oscillatory huitwa nguvu za ndani. Nguvu za nje inayoitwa nguvu zinazofanya kazi kwenye mfumo kutoka kwa miili ambayo haijajumuishwa ndani yake. Kwa mtazamo huu, oscillations ya bure inaweza kufafanuliwa kama oscillations katika mfumo chini ya hatua ya nguvu za ndani baada ya mfumo kuchukuliwa nje ya usawa.

Masharti ya kutokea kwa vibrations bure ni:

1) kuibuka kwa nguvu ndani yao ambayo inarudisha mfumo kwa nafasi ya usawa baada ya kuondolewa katika hali hii;

2) hakuna msuguano katika mfumo.

Mienendo ya oscillations ya bure.

Vibrations ya mwili chini ya hatua ya nguvu za elastic. Equation ya mwendo wa oscillatory wa mwili chini ya hatua ya nguvu ya elastic F(tazama Mtini.) inaweza kupatikana kwa kuzingatia sheria ya pili ya Newton ( F = ma) na sheria ya Hooke ( F kudhibiti= -kx), wapi m ni wingi wa mpira, na ni kuongeza kasi inayopatikana na mpira chini ya hatua ya nguvu ya elastic; k- mgawo wa ugumu wa spring; X- kuhamishwa kwa mwili kutoka kwa nafasi ya usawa (equations zote mbili zimeandikwa kwa makadirio kwenye mhimili mlalo; Oh) Kusawazisha pande za kulia za milinganyo hii na kuzingatia kwamba kuongeza kasi a ni derivative ya pili ya kuratibu X(mapunguzo), tunapata:

.

Hii ni equation tofauti ya mwendo wa mwili unaozunguka chini ya hatua ya nguvu ya elastic: derivative ya pili ya kuratibu kwa heshima na wakati (kuongeza kasi ya mwili) ni moja kwa moja sawia na uratibu wake, kuchukuliwa na ishara kinyume.

Oscillations ya pendulum ya hisabati. Ili kupata equation ya oscillation ya pendulum ya hisabati (takwimu), ni muhimu kupanua nguvu ya mvuto. F T= mg kwa kawaida F n(iliyoelekezwa kando ya thread) na tangential F τ(tangent kwa trajectory ya mpira - mduara) vipengele. Sehemu ya kawaida ya mvuto F n na nguvu ya elastic ya thread Fynp kwa jumla huwapa pendulum kuongeza kasi ya centripetal, ambayo haiathiri ukubwa wa kasi, lakini inabadilisha tu mwelekeo wake, na sehemu ya tangential. F τ ni nguvu inayorudisha mpira kwenye nafasi yake ya usawa na kuusababisha kuyumba. Kutumia, kama ilivyo katika kesi iliyopita, sheria ya Newton kwa kuongeza kasi ya tangential ma τ = F τ na kutokana na hilo F τ= -mg sinα, tunapata:

a τ= -g sinα,

Ishara ya minus ilionekana kwa sababu nguvu na pembe ya kupotoka kutoka kwa nafasi ya usawa α kuwa na ishara kinyume. Kwa pembe ndogo za kupotoka sinα ≈ α. Kwa upande wake, α = s/l, wapi s- arc OA, I- urefu wa thread. Kwa kuzingatia hilo na τ= s", hatimaye tunapata:

Fomu ya equation ni sawa na equation . Hapa tu vigezo vya mfumo ni urefu wa thread na kuongeza kasi ya kuanguka kwa bure, na sio ugumu wa spring na wingi wa mpira; jukumu la kuratibu linachezwa na urefu wa arc (yaani, njia iliyosafirishwa, kama katika kesi ya kwanza).

Kwa hivyo, oscillations ya bure huelezewa na equations ya aina moja (chini ya sheria sawa) bila kujali asili ya kimwili ya nguvu zinazosababisha oscillations hizi.

Kutatua milinganyo na ni kazi ya fomu:

x = xmkwa ω 0t(au x = xmdhambi ω 0t).

Hiyo ni, uratibu wa mwili ambao hufanya oscillations ya bure hubadilika kwa wakati kulingana na sheria ya cosine au sine, na, kwa hivyo, oscillations hizi ni za usawa:

Katika mlinganyo x = xmkwa ω 0t(au x = xmdhambi ω 0t), x m- amplitude ya oscillation, ω 0 - mwenyewe mzunguko wa mzunguko (mviringo) wa oscillation.

Mzunguko wa mzunguko na kipindi cha oscillations ya bure ya harmonic imedhamiriwa na mali ya mfumo. Kwa hivyo, kwa mitetemo ya mwili iliyoambatanishwa na chemchemi, mahusiano yafuatayo ni ya kweli:

.

Mzunguko wa asili ni mkubwa zaidi, ugumu mkubwa wa chemchemi au uzito mdogo wa mzigo, ambao unathibitishwa kikamilifu na uzoefu.

Kwa pendulum ya hisabati, usawa ufuatao unashikilia:

.

Fomula hii ilipatikana kwanza na kujaribiwa na mwanasayansi wa Uholanzi Huygens (wa zama za Newton).

Kipindi cha oscillation huongezeka kwa urefu wa pendulum na haitegemei wingi wake.

Ikumbukwe hasa kwamba oscillations harmonic ni madhubuti mara kwa mara (kwa sababu wao kutii sheria ya sine au cosine) na hata kwa pendulum hisabati, ambayo ni idealization ya pendulum halisi (kimwili), wao inawezekana tu kwa pembe ndogo oscillation. Ikiwa pembe za kupotoka ni kubwa, uhamishaji wa mzigo hautakuwa sawia na pembe ya mchepuko (sine wa pembe) na kuongeza kasi hakutakuwa sawia na uhamishaji.

Kasi na kasi ya mwili ambayo hufanya oscillations ya bure pia itafanya oscillations ya harmonic. Kuchukua derivative ya wakati wa chaguo la kukokotoa ( x = xmkwa ω 0t(au x = xmdhambi ω 0t)), tunapata usemi wa kasi:

v = -v mdhambi ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

wapi v m= ω 0 x m- kasi ya amplitude.

Vile vile, usemi wa kuongeza kasi a tunapata kwa kutofautisha ( v = -v mdhambi ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mkwa ω 0t,

wapi m= ω 2 0x m- amplitude ya kuongeza kasi. Kwa hivyo, amplitude ya kasi ya oscillations ya harmonic ni sawa na mzunguko, na amplitude ya kuongeza kasi ni sawa na mraba wa mzunguko wa oscillation.

HARMONIC OSCILLATIONS
Kushuka kwa thamani ambapo mabadiliko katika kiasi cha kimwili hutokea kulingana na sheria ya cosine au sine (sheria ya harmonic), inayoitwa. vibrations za harmonic. Kwa mfano, katika kesi ya vibrations ya mitambo ya harmonic: Katika fomula hizi, ω ni mzunguko wa oscillation, x m ni amplitude ya oscillation, φ 0 na φ 0 ' ni awamu za awali za oscillation. Fomula zilizo hapo juu zinatofautiana katika ufafanuzi wa awamu ya awali na kwa φ 0 ’ = φ 0 + π/2 sanjari kabisa.
Hii ndiyo aina rahisi zaidi ya oscillations ya mara kwa mara. Fomu maalum ya kazi (sine au cosine) inategemea njia ambayo mfumo hutolewa nje ya usawa. Ikiwa uondoaji hutokea kwa kushinikiza (nishati ya kinetic inaripotiwa), basi saa t = 0 uhamisho x = 0, kwa hiyo, ni rahisi zaidi kutumia kazi ya dhambi, kuweka φ 0 '=0; wakati unapotoka kwenye nafasi ya usawa (nishati inayowezekana inaripotiwa) saa t = 0, uhamisho x = x m, kwa hiyo, ni rahisi zaidi kutumia kazi cos na φ 0 =0.
Usemi chini ya ishara cos au dhambi, inayoitwa. awamu ya oscillation:. Awamu ya oscillation hupimwa kwa radiani na huamua thamani ya uhamisho (thamani inayobadilika) kwa wakati fulani.
Amplitude ya oscillation inategemea tu kupotoka kwa awali (nishati ya awali iliyotolewa kwa mfumo wa oscillating).
Kasi na kuongeza kasi katika oscillations harmonic.
Kulingana na ufafanuzi wa kasi, kasi ni derivative ya kuratibu kwa heshima na wakati
Kwa hivyo, tunaona kwamba kasi wakati wa mwendo wa oscillatory wa harmonic pia hubadilika kulingana na sheria ya harmonic, lakini mabadiliko ya kasi ni mbele ya mabadiliko ya uhamisho katika awamu na π/2.
Thamani ni kasi ya juu ya mwendo wa oscillatory (amplitude ya kushuka kwa kasi).
Kwa hivyo, kwa kasi wakati wa oscillation ya harmonic tunayo: , na kwa kesi ya awamu ya awali ya sifuri (tazama grafu).
Kulingana na ufafanuzi wa kuongeza kasi, kuongeza kasi ni derivative ya kasi kwa heshima na wakati: ni derivative ya pili ya kuratibu kuhusiana na wakati. Kisha:. Kuongeza kasi wakati wa mwendo wa oscillatory wa harmonic pia hubadilika kulingana na sheria ya harmonic, lakini oscillations ya kuongeza kasi iko mbele ya oscillations ya kasi na π/2 na oscillations ya uhamisho kwa π (wanasema kwamba oscillations hutokea. nje ya awamu).
Thamani - kuongeza kasi ya juu (amplitude ya kushuka kwa kasi kwa kasi). Kwa hivyo, kwa kuongeza kasi tunayo: , na kwa kesi ya awamu ya sifuri ya awali: (tazama grafu).
Kutoka kwa uchambuzi wa mchakato wa mwendo wa oscillatory, grafu na maneno ya hisabati yanayolingana, inaweza kuonekana kwamba wakati mwili unaozunguka unapita nafasi ya usawa (kuhama ni sifuri), kuongeza kasi ni sifuri, na kasi ya mwili ni ya juu (mwili hupita). nafasi ya usawa kwa inertia), na wakati thamani ya amplitude ya uhamisho inafikiwa, kasi ni sawa na sifuri, na kuongeza kasi ni maximal kwa thamani kamili (mwili hubadilisha mwelekeo wa mwendo wake).
Wacha tulinganishe misemo ya kuhamishwa na kuongeza kasi ya oscillations ya harmonic: na .
Unaweza kuandika: -yaani. derivative ya pili ya uhamishaji ni sawia moja kwa moja (na ishara iliyo kinyume) na uhamishaji. Equation kama hiyo inaitwa usawa wa oscillation ya harmonic. Utegemezi huu umeridhika kwa oscillation yoyote ya harmonic, bila kujali asili yake. Kwa kuwa hatujatumia vigezo vya mfumo maalum wa oscillatory popote, tu mzunguko wa mzunguko unaweza kutegemea.
Mara nyingi ni rahisi kuandika hesabu za oscillations katika fomu: , ambapo T ni kipindi cha oscillation. Kisha, ikiwa muda umeonyeshwa katika sehemu za kipindi, hesabu zitarahisishwa. Kwa mfano, ikiwa unahitaji kupata kukabiliana baada ya 1/8 ya kipindi, tunapata: . Vile vile kwa kasi na kuongeza kasi.

Sio kawaida kwa mfumo kushiriki kwa wakati mmoja katika oscillations mbili au zaidi huru. Katika matukio haya, mwendo wa oscillatory tata huundwa, ambao huundwa kwa kuimarisha (kuongeza) vibrations kwa kila mmoja. Kwa wazi, kesi za ufupishaji wa oscillations zinaweza kuwa tofauti sana. Wao hutegemea sio tu kwa idadi ya oscillations iliyoongezwa, lakini pia kwa vigezo vya oscillation, juu ya mzunguko wao, awamu, amplitudes, maelekezo. Haiwezekani kukagua aina zote zinazowezekana za kesi za majumuisho ya oscillations, kwa hivyo tutajifungia kwa kuzingatia mifano ya mtu binafsi tu.
1. Ongezeko la vibrations katika mwelekeo mmoja. Hebu tuongeze oscillations mbili za mzunguko huo, lakini awamu tofauti na amplitudes.

(4.40)
Wakati oscillations ni superimposed juu ya kila mmoja


Tunaanzisha vigezo vipya A na j kulingana na hesabu:

(4.42)
Mfumo wa equations (4.42) unatatuliwa kwa urahisi.

(4.43)

(4.44)
Kwa hivyo, kwa x hatimaye tunapata equation

(4.45)
Kwa hivyo, kama matokeo ya kuongeza oscillations ya unidirectional ya mzunguko huo huo, tunapata oscillation ya harmonic (sinusoidal), amplitude na awamu ambayo imedhamiriwa na formula (4.43) na (4.44).
Wacha tuzingatie kesi maalum ambazo uwiano kati ya awamu mbili za muhtasari wa oscillations ni tofauti:


(4.46)
Hebu sasa tuongeze oscillations ya unidirectional ya amplitude sawa, awamu sawa, lakini masafa tofauti.


(4.47)
Wacha tuzingatie kesi wakati masafa yanakaribiana, i.e. w1~w2=w
Kisha tutafikiria takriban kuwa (w1+w2)/2= w, na (w2-w1)/2 ni ndogo. Equation ya oscillation inayosababishwa itaonekana kama hii:

(4.48)
Grafu yake imeonyeshwa kwenye Mtini. 4.5 Oscillation hii inaitwa beat. Inafanywa na frequency w lakini amplitude yake inazunguka na kipindi kikubwa.

2. Ongezeko la oscillations mbili za perpendicular pande zote. Wacha tufikirie kuwa oscillation moja inafanywa kando ya mhimili wa x, nyingine - kando ya mhimili wa y. Mwendo unaosababishwa ni wazi uko kwenye ndege ya xy.
1. Hebu tufikiri kwamba mzunguko wa oscillation na awamu ni sawa, lakini amplitudes ni tofauti.

(4.49)
Ili kupata trajectory ya mwendo unaosababisha, ni muhimu kuwatenga muda kutoka kwa equations (4.49). Ili kufanya hivyo, inatosha kugawanya neno kwa neno equation moja na nyingine, kama matokeo ambayo tunapata

(4.50)
Equation (4.50) inaonyesha kwamba katika kesi hii, kuongezwa kwa oscillations husababisha oscillation kando ya mstari wa moja kwa moja, tangent ya angle ya mteremko ambayo imedhamiriwa na uwiano wa amplitudes.
2. Acha awamu za oscillations zilizoongezwa zitofautiane kutoka kwa kila mmoja kwa / 2 na hesabu ziwe na fomu:

(4.51)
Ili kupata trajectory ya mwendo unaosababisha, ukiondoa wakati, ni muhimu kugawanya equations (4.51), kwanza kugawanya kwa A1 na A2, kwa mtiririko huo, na kisha kuziongeza. Equation ya trajectory itachukua fomu:

(4.52)
Huu ni mlinganyo wa duaradufu. Inaweza kuthibitishwa kuwa kwa awamu yoyote ya awali na amplitudes yoyote ya oscillations mbili za perpendicular zilizoongezwa kwa mzunguko huo huo, oscillation inayotokana itafanywa pamoja na duaradufu. Mwelekeo wake utategemea awamu na amplitudes ya oscillations aliongeza.
Ikiwa oscillations iliyoongezwa ina masafa tofauti, basi trajectories ya mwendo unaosababishwa ni tofauti sana. Ikiwa tu masafa ya oscillation katika x na y ni mawimbi ya kila mmoja, trajectories kufungwa hupatikana. Harakati kama hizo zinaweza kuhusishwa na idadi ya zile za mara kwa mara. Katika kesi hii, trajectories ya harakati huitwa takwimu za Lissajous. Hebu fikiria moja ya takwimu za Lissajous, ambazo zinapatikana kwa kuongeza oscillations na uwiano wa mzunguko wa 1: 2, na amplitudes sawa na awamu mwanzoni mwa harakati.

(4.53)
Kando ya mhimili y, oscillations hutokea mara mbili mara nyingi kwenye mhimili wa x. Kuongezewa kwa oscillations vile itasababisha trajectory ya mwendo kwa namna ya takwimu ya nane (Mchoro 4.7).

8. Oscillations yenye unyevu na vigezo vyake: kupungua na mgawo wa oscillation, wakati wa kupumzika

)Kipindi cha oscillations damped:

T = (58)

Katika δ << ω o mitetemo haina tofauti na ile ya harmonic: T = 2π/ o.

2) Amplitude ya oscillations damped imeonyeshwa kwa fomula (119).

3) kupungua kwa unyevu, sawa na uwiano wa amplitudes mbili mfululizo za oscillation LAKINI(t) na LAKINI(t+T), inaashiria kiwango cha kupungua kwa amplitude kwa kipindi hicho:

= e d T (59)

4) Upungufu wa unyevu wa logarithmic- logarithm asili ya uwiano wa amplitudes ya oscillations mbili mfululizo sambamba na pointi wakati tofauti na kipindi

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

Upungufu wa unyevu wa logarithmic ni thamani ya mara kwa mara kwa mfumo fulani wa oscillatory.

5) Wakati wa kupumzika kinachoitwa kipindi cha wakati ( t) wakati ambapo amplitude ya oscillations yenye unyevu hupungua kwa sababu ya e:

e d = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

Kutoka kwa kulinganisha kwa maneno (60) na (61) tunapata:

q= = , (62)

wapi N e - idadi ya oscillations kufanywa wakati wa mapumziko.

Ikiwa wakati wa wakati t mfumo hufanya Ν mabadiliko, basi t = Ν . Τ na equation ya oscillations yenye unyevu inaweza kuwakilishwa kama:

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Sababu ya ubora wa mfumo wa oscillatory(Q) ni kawaida kuita idadi inayoashiria upotezaji wa nishati kwenye mfumo wakati wa oscillation:

Q= 2uk , (63)

wapi W ni nishati ya jumla ya mfumo, ∆W ni nishati iliyopotea kwa kipindi hicho. Kadiri nishati inavyopungua, ndivyo ubora wa mfumo unavyoongezeka. Mahesabu yanaonyesha hivyo

Q = = pNe = = . (64)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, kipengele cha ubora kinawiana kinyume na upungufu wa unyevu wa logarithmic. Kutoka kwa formula (64) inafuata kwamba kipengele cha ubora kinalingana na idadi ya oscillations N e inayofanywa na mfumo wakati wa kupumzika.

7) Nishati inayowezekana mfumo kwa wakati t inaweza kuonyeshwa kwa suala la nishati inayowezekana W 0 kwa kupotoka kubwa zaidi:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Kawaida inazingatiwa kuwa oscillations imekoma kivitendo ikiwa nishati yao imepungua kwa sababu ya 100 (amplitude imepungua kwa sababu ya 10). Kuanzia hapa unaweza kupata usemi wa kuhesabu idadi ya oscillations iliyofanywa na mfumo:

= e 2qn= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Mitetemo ya kulazimishwa. Resonance. mabadiliko ya mara kwa mara. Kujifanya oscillations.

Ili mfumo ufanye oscillations isiyo na undamped, ni muhimu kujaza hasara za nishati za oscillations kutokana na msuguano kutoka nje. Ili kuhakikisha kuwa nishati ya oscillations ya mfumo haipunguzi, nguvu kawaida huletwa ambayo hufanya kazi mara kwa mara kwenye mfumo (tutaita nguvu kama hiyo. kulazimisha, na oscillations kulazimishwa).

UFAFANUZI: kulazimishwa inayoitwa vibrations vile vinavyotokea katika mfumo wa oscillatory chini ya hatua ya nguvu ya nje ya kubadilisha mara kwa mara.

Nguvu hii, kama sheria, hufanya jukumu mbili:

kwanza, inatikisa mfumo na kuwapa kiasi fulani cha nishati;

pili, mara kwa mara hujaza upotezaji wa nishati (matumizi ya nishati) ili kushinda nguvu za upinzani na msuguano.

Acha nguvu ya kuendesha ibadilike kulingana na wakati kulingana na sheria:

.

Wacha tutunge equation ya mwendo kwa mfumo unaozunguka chini ya ushawishi wa nguvu kama hiyo. Tunadhani kwamba mfumo pia huathiriwa na nguvu ya quasi-elastic na nguvu ya upinzani ya kati (ambayo ni halali chini ya dhana ya oscillations ndogo). Kisha equation ya mwendo wa mfumo itaonekana kama:

Au .

Kwa kubadilisha , , - mzunguko wa asili wa oscillations ya mfumo, tunapata usawa wa tofauti wa mstari usio na homogeneous 2. th agizo:

Inajulikana kutoka kwa nadharia ya equations tofauti kwamba ufumbuzi wa jumla wa equation inhomogeneous ni sawa na jumla ya ufumbuzi wa jumla wa equation homogeneous na ufumbuzi fulani wa equation inhomogeneous.

Suluhisho la jumla la equation ya homogeneous inajulikana:

,

wapi ; a 0 na a- hali ya kiholela.

.

Kutumia mchoro wa vekta, unaweza kuhakikisha kuwa dhana kama hiyo ni kweli, na pia kuamua maadili ya " a"na" j”.

Amplitude ya oscillation imedhamiriwa na usemi ufuatao:

.

Maana" j”, ambayo ni ukubwa wa kuchelewa kwa awamu ya oscillation ya kulazimishwa kutoka kwa nguvu ya kuendesha iliyosababisha, pia imedhamiriwa kutoka kwa mchoro wa vekta na ni:

.

Mwishowe, suluhisho fulani la equation isiyo na usawa itachukua fomu:

(8.18)

Kazi hii, pamoja na

(8.19)

inatoa suluhu ya jumla kwa mlinganyo wa tofauti usio sawa unaoelezea tabia ya mfumo chini ya mitetemo ya kulazimishwa. Neno (8.19) lina jukumu kubwa katika hatua ya awali ya mchakato, wakati wa kinachojulikana kuanzishwa kwa oscillations (Mchoro 8.10). Kwa muda, kutokana na sababu ya kielelezo, jukumu la muda wa pili katika (8.19) hupungua zaidi na zaidi, na baada ya muda wa kutosha inaweza kupuuzwa, kuweka tu neno (8.18) katika suluhisho.

Kwa hivyo, kazi (8.18) inaelezea oscillations ya kulazimishwa kwa kasi. Wao ni oscillations ya harmonic na mzunguko sawa na mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari. Amplitude ya oscillations ya kulazimishwa ni sawa na amplitude ya nguvu ya kuendesha gari. Kwa mfumo uliopewa wa oscillatory (unafafanuliwa w 0 na b) amplitude inategemea mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari. Oscillations ya kulazimishwa iko nyuma ya nguvu ya kuendesha gari katika awamu, na kiasi cha lag "j" pia inategemea mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari.

Utegemezi wa amplitude ya oscillations ya kulazimishwa juu ya mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari husababisha ukweli kwamba kwa mzunguko fulani uliowekwa kwa mfumo fulani, amplitude ya oscillation hufikia thamani yake ya juu. Mfumo wa oscillatory ni msikivu hasa kwa hatua ya nguvu ya kuendesha gari kwa mzunguko huu. Jambo hili linaitwa usikivu, na masafa yanayolingana ni mzunguko wa resonant.

UFAFANUZI: jambo ambalo ongezeko kubwa la amplitude ya oscillations ya kulazimishwa huzingatiwa inaitwa. usikivu.

Mzunguko wa resonant imedhamiriwa kutoka kwa hali ya juu ya amplitude ya oscillations ya kulazimishwa:

. (8.20)

Kisha, tukibadilisha thamani hii katika usemi wa amplitude, tunapata:

. (8.21)

Kwa kutokuwepo kwa upinzani wa kati, amplitude ya oscillations kwenye resonance ingegeuka kuwa infinity; mzunguko wa resonant chini ya hali sawa (b=0) inafanana na mzunguko wa asili wa oscillation.

Utegemezi wa amplitude ya oscillations kulazimishwa juu ya mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari (au, ni nini sawa, juu ya mzunguko wa oscillations) inaweza kuwakilishwa graphically (Mchoro 8.11). Mikondo tofauti inalingana na maadili tofauti ya "b". Ndogo "b", ya juu na kulia ndio upeo wa safu hii (tazama usemi wa w res.). Kwa unyevu wa juu sana, resonance haizingatiwi - kwa kuongezeka kwa mzunguko, amplitude ya oscillations ya kulazimishwa hupungua monotonically (curve ya chini katika Mchoro 8.11).

Seti ya grafu iliyowasilishwa inayolingana na maadili tofauti ya b inaitwa mikondo ya resonance.

Maoni kuhusu mikondo ya resonance:

jinsi w®0 inavyoelekea, mikondo yote huja kwa thamani sawa ya nonzero sawa na . Thamani hii inawakilisha uhamishaji kutoka kwa nafasi ya usawa ambayo mfumo hupokea chini ya hatua ya nguvu ya mara kwa mara. F 0 .

kwani w®¥ mikondo yote huwa na sifuri bila dalili, kwani kwa masafa ya juu, nguvu hubadilisha mwelekeo wake haraka sana kwamba mfumo hauna wakati wa kuhama kutoka kwa msimamo wa usawa.

ndogo b, nguvu ya amplitude karibu na mabadiliko ya resonance na mzunguko, "mkali" upeo.

Jambo la resonance mara nyingi ni muhimu, hasa katika acoustics na uhandisi wa redio.

Kujifanya oscillations- oscillations isiyopunguzwa katika mfumo wa nguvu wa kutoweka na maoni yasiyo ya mstari, yanayoungwa mkono na nishati ya mara kwa mara, ambayo ni isiyo ya mara kwa mara ushawishi wa nje.

Self-oscillations ni tofauti na mitetemo ya kulazimishwa kwa sababu ya mwisho husababishwa mara kwa mara ushawishi wa nje na kutokea kwa mzunguko wa ushawishi huu, wakati tukio la kujitegemea oscillations na mzunguko wao ni kuamua na mali ya ndani ya mfumo binafsi oscillating yenyewe.

Muda oscillations binafsi Ilianzishwa katika istilahi ya Kirusi na A. A. Andronov mnamo 1928.

Mifano[

Mifano ya kujichubua ni:

· oscillations undamped ya pendulum ya saa kutokana na hatua ya mara kwa mara ya mvuto wa uzito clockwork;

vibrations ya kamba ya violin chini ya ushawishi wa upinde wa kusonga sawasawa

tukio la kubadilisha sasa katika nyaya za multivibrator na katika jenereta nyingine za elektroniki kwa voltage ya usambazaji wa mara kwa mara;

mabadiliko ya safu ya hewa kwenye bomba la chombo, na usambazaji wa hewa sawa ndani yake. (Ona pia Wimbi la Kusimama)

oscillations ya mzunguko wa gia ya saa ya shaba na mhimili wa chuma uliosimamishwa kutoka kwa sumaku na kupotoshwa (jaribio la Gamazkov) (nishati ya kinetic ya gurudumu, kama jenereta ya unipolar, inabadilishwa kuwa nishati inayowezekana ya uwanja wa umeme, nishati inayowezekana ya uwanja wa umeme, kama katika injini ya unipolar, inabadilishwa kuwa nishati ya kinetic ya gurudumu nk.)

nyundo ya Maklakov

Nyundo inayopiga kutokana na nishati ya sasa ya kubadilisha na mzunguko mara nyingi chini kuliko mzunguko wa sasa katika mzunguko wa umeme.

Coil L ya mzunguko wa oscillatory imewekwa juu ya meza (au kitu kingine kinachohitaji kupigwa). Kutoka chini, tube ya chuma huingia ndani yake, mwisho wa chini ambao ni sehemu ya athari ya nyundo. Bomba lina nafasi ya wima ili kupunguza mikondo ya Foucault. Vigezo vya mzunguko wa oscillatory ni kwamba mzunguko wa asili wa oscillations yake inafanana na mzunguko wa sasa katika mzunguko (kwa mfano, kubadilisha mji wa sasa, 50 hertz).

Baada ya sasa kugeuka na oscillations imeanzishwa, resonance ya mikondo ya mzunguko na mzunguko wa nje huzingatiwa, na tube ya chuma hutolewa kwenye coil. Inductance ya coil huongezeka, mzunguko wa oscillatory hutoka nje ya resonance, na amplitude ya oscillations ya sasa katika coil hupungua. Kwa hiyo, tube inarudi kwenye nafasi yake ya awali - nje ya coil - chini ya ushawishi wa mvuto. Kisha mabadiliko ya sasa ndani ya mzunguko huanza kukua, na resonance huweka tena: tube hutolewa tena kwenye coil.

bomba hufanya oscillations binafsi, yaani, harakati za mara kwa mara juu na chini, na wakati huo huo hugonga kwa sauti kubwa kwenye meza, kama nyundo. Kipindi cha oscillations haya ya mitambo ni mara kumi zaidi ya kipindi cha mkondo wa kubadilisha unaowasaidia.

Nyundo hiyo inaitwa baada ya M. I. Maklakov, msaidizi wa mihadhara katika Taasisi ya Fizikia na Teknolojia ya Moscow, ambaye alipendekeza na kufanya jaribio kama hilo ili kuonyesha kujishughulisha.

Utaratibu wa kujigeuza mwenyewe

Kielelezo cha 1. Utaratibu wa kujigeuza mwenyewe

Self-oscillations inaweza kuwa na asili tofauti: mitambo, mafuta, umeme, kemikali. Utaratibu wa tukio na matengenezo ya oscillations binafsi katika mifumo tofauti inaweza kuwa msingi wa sheria tofauti za fizikia au kemia. Kwa maelezo sahihi ya kiasi cha kujigeuza kwa mifumo tofauti, vifaa tofauti vya hisabati vinaweza kuhitajika. Hata hivyo, inawezekana kufikiria mpango ambao ni wa kawaida kwa mifumo yote ya kujitegemea na inaelezea kwa ubora utaratibu huu (Mchoro 1).

Kwenye mchoro: S- chanzo cha athari ya mara kwa mara (isiyo ya mara kwa mara); R- kidhibiti kisicho na mstari ambacho hubadilisha athari ya mara kwa mara kuwa kigeugeu (kwa mfano, cha muda kwa wakati), ambacho "hubadilika" oscillator V- kipengele cha oscillating (vipengele) vya mfumo, na oscillations ya oscillator kupitia maoni B kudhibiti uendeshaji wa mdhibiti R, mpangilio awamu na masafa matendo yake. Uharibifu (uharibifu wa nishati) katika mfumo wa kujitegemea hulipwa na nishati inayoingia ndani yake kutoka kwa chanzo cha ushawishi wa mara kwa mara, kutokana na ambayo oscillations ya kibinafsi haina kuoza.

Mchele. 2 Mpango wa utaratibu wa ratchet wa saa ya pendulum

Ikiwa kipengele cha oscillating cha mfumo kina uwezo wake mwenyewe oscillations damped(kinachojulikana. harmonic dissipative oscillator), oscillations binafsi (pamoja na utaftaji sawa na pembejeo ya nishati kwenye mfumo wakati wa kipindi) huanzishwa kwa mzunguko karibu na resonant kwa oscillator hii, sura yao inakuwa karibu na harmonic, na amplitude, katika aina fulani ya maadili, kubwa zaidi, ukubwa wa ushawishi wa nje wa mara kwa mara.

Mfano wa mfumo huo ni utaratibu wa ratchet wa saa ya pendulum, mchoro ambao umeonyeshwa kwenye Mtini. 2. Kwenye mhimili wa gurudumu la ratchet A(ambayo katika mfumo huu hufanya kazi ya mtawala asiye na mstari) kuna wakati wa mara kwa mara wa nguvu M hupitishwa kupitia gia kutoka kwa chemchemi kuu au kutoka kwa uzani. Wakati gurudumu linazunguka A meno yake hutoa msukumo wa muda mfupi wa nguvu kwa pendulum P(oscillator), shukrani ambayo oscillations yake haififu. Kinematics ya utaratibu ina jukumu la maoni katika mfumo, kusawazisha mzunguko wa gurudumu na oscillations ya pendulum kwa njia ambayo wakati wa kipindi kamili cha oscillation gurudumu hugeuka kupitia pembe inayofanana na jino moja.

Mifumo ya kujitegemea ambayo haina oscillators ya harmonic inaitwa utulivu. Oscillations ndani yao inaweza kuwa tofauti sana na yale ya harmonic, na kuwa na sura ya mstatili, triangular au trapezoidal. Amplitude na kipindi cha kupumzika kwa kujitegemea oscillations imedhamiriwa na uwiano wa ukubwa wa athari ya mara kwa mara na sifa za inertia na uharibifu wa mfumo.

Mchele. 3 Kengele ya umeme

Mfano rahisi zaidi wa kupumzika kwa kujitegemea ni uendeshaji wa kengele ya umeme, iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 3. Chanzo cha mfiduo wa mara kwa mara (isiyo ya mara kwa mara) hapa ni betri ya umeme U; jukumu la mtawala asiye na mstari unafanywa na chopper T, kufunga na kufungua mzunguko wa umeme, kama matokeo ambayo sasa ya muda hutokea ndani yake; vipengele vya oscillating ni uga wa sumaku unaochochewa mara kwa mara kwenye kiini cha sumaku-umeme E, na kutia nanga A kusonga chini ya ushawishi wa uwanja wa sumaku unaobadilishana. Oscillations ya armature kuamsha chopper, ambayo hufanya maoni.

Inertia ya mfumo huu imedhamiriwa na idadi mbili tofauti za mwili: wakati wa hali ya silaha. LAKINI na inductance ya vilima vya sumaku-umeme E. Kuongezeka kwa yoyote ya vigezo hivi husababisha ongezeko la kipindi cha kujitegemea.

Ikiwa kuna mambo kadhaa katika mfumo ambayo yanazunguka kwa kujitegemea na wakati huo huo hutenda kwa mtawala au vidhibiti visivyo na mstari (ambavyo kunaweza pia kuwa na kadhaa), kujitegemea kunaweza kuchukua tabia ngumu zaidi, kwa mfano; ya mara kwa mara, au machafuko ya nguvu.

Katika asili na teknolojia

Kujigeuza mwenyewe kunasababisha matukio mengi ya asili:

kushuka kwa thamani ya majani ya mmea chini ya hatua ya mtiririko wa hewa sare;

· uundaji wa mtiririko wa misukosuko kwenye riffles na kasi ya mito;

Hatua ya gia za kawaida, nk.

Kanuni ya uendeshaji wa idadi kubwa ya vifaa mbalimbali vya kiufundi na vifaa ni msingi wa oscillations binafsi, ikiwa ni pamoja na:

kazi ya kila aina ya saa, wote mitambo na umeme;

· kupiga sauti kwa vyombo vyote vya muziki vya upepo na kamba;

©2015-2019 tovuti
Haki zote ni za waandishi wao. Tovuti hii haidai uandishi, lakini hutoa matumizi bila malipo.
Tarehe ya kuundwa kwa ukurasa: 2017-04-04

kushuka kwa thamani inayoitwa mienendo au michakato ambayo ina sifa ya marudio fulani kwa wakati. Michakato ya oscillatory imeenea katika asili na teknolojia, kwa mfano, swing ya pendulum ya saa, kubadilisha sasa ya umeme, nk Wakati pendulum inazunguka, uratibu wa kituo chake cha mabadiliko ya molekuli, katika kesi ya kubadilisha sasa, voltage na sasa. katika mzunguko wa mzunguko. Hali ya kimwili ya oscillations inaweza kuwa tofauti, kwa hiyo, oscillations ya mitambo, umeme, nk. Kutokana na hili huja uwezekano mbinu ya umoja kwa utafiti wa vibrations asili tofauti ya kimwili.

Mabadiliko yanaitwa bure, ikiwa hufanywa tu chini ya ushawishi wa nguvu za ndani zinazofanya kazi kati ya vipengele vya mfumo, baada ya mfumo huo kuchukuliwa nje ya usawa na nguvu za nje na kushoto kwa yenyewe. Mitetemo ya bure kila wakati oscillations damped kwa sababu upotevu wa nishati hauepukiki katika mifumo halisi. Katika hali bora ya mfumo bila upotezaji wa nishati, oscillations ya bure (inayoendelea kwa muda mrefu unavyotaka) inaitwa. kumiliki.

Aina rahisi zaidi ya oscillations zisizo na bure ni oscillations ya harmonic - kushuka kwa thamani ambapo thamani inayobadilikabadilika kulingana na wakati kulingana na sheria ya sine (cosine). Oscillations kukutana katika asili na teknolojia mara nyingi kuwa na tabia karibu na harmonic.

Mitetemo ya Harmonic inaelezewa na equation inayoitwa equation ya mitetemo ya harmonic:

wapi LAKINI- amplitude ya kushuka kwa thamani, thamani ya juu ya thamani ya kushuka X; - mzunguko wa mzunguko (mzunguko) wa oscillations ya asili; - awamu ya awali ya oscillation kwa wakati wa muda t= 0; - awamu ya oscillation wakati wa wakati t. Awamu ya oscillation huamua thamani ya kiasi cha oscillating kwa wakati fulani. Kwa kuwa cosine inatofautiana kutoka +1 hadi -1, basi X inaweza kuchukua maadili kutoka kwa + A kabla - LAKINI.

Muda T, ambayo mfumo unakamilisha oscillation moja kamili, inaitwa kipindi cha oscillation. Wakati T awamu ya oscillation inaongezeka kwa 2 π , i.e.

Wapi. (14.2)

Kubadilishana kwa kipindi cha oscillation

yaani, idadi ya oscillations kamili kwa muda wa kitengo inaitwa mzunguko wa oscillation. Kulinganisha (14.2) na (14.3) tunapata

Kitengo cha mzunguko ni hertz (Hz): 1 Hz ni mzunguko ambapo oscillation moja kamili hufanyika katika 1 s.

Mifumo ambayo vibrations bure inaweza kutokea inaitwa oscillators . Je, mfumo lazima uwe na mali gani ili oscillations ya bure kutokea ndani yake? Mfumo wa mitambo lazima uwe nayo nafasi ya usawa thabiti, inapotoka ambayo inaonekana kurejesha nguvu kuelekea usawa. Nafasi hii inalingana, kama inavyojulikana, kwa kiwango cha chini cha nishati inayowezekana ya mfumo. Hebu tuchunguze mifumo kadhaa ya oscillatory ambayo inakidhi mali zilizoorodheshwa.

Oscillations inayotokana na hatua ya nguvu za nje, zinazobadilika mara kwa mara (na usambazaji wa mara kwa mara wa nishati kutoka kwa nje hadi mfumo wa oscillatory)

Mabadiliko ya nishati

Pendulum ya spring

Mzunguko wa mzunguko na kipindi cha oscillation ni, kwa mtiririko huo:

Sehemu ya nyenzo iliyounganishwa na chemchemi ya elastic kabisa

Ø njama ya uwezo na nishati ya kinetic ya pendulum ya spring kwenye kuratibu x.

Ø Grafu za ubora wa utegemezi wa nishati ya kinetic na uwezo kwa wakati.

Ø Kulazimishwa

Ø Mzunguko wa oscillations ya kulazimishwa ni sawa na mzunguko wa mabadiliko katika nguvu ya nje

Ø Ikiwa Fbc itabadilika kulingana na sheria ya sine au cosine, basi oscillations ya kulazimishwa itakuwa ya usawa

Ø Kwa kujigeuza, usambazaji wa nishati mara kwa mara kutoka kwa chanzo chake ndani ya mfumo wa oscillatory ni muhimu.

Msisimko wa Harmonic ni oscillations ambayo thamani ya oscillating hubadilika kulingana na wakati kulingana na sheria ya sine au cosine.

equations ya oscillations harmonic (sheria za mwendo wa pointi) zina fomu

Mitetemo ya Harmonic oscillations vile huitwa, ambayo thamani ya oscillating inatofautiana na wakati kulingana na sheriasinus aukosini .
Mlinganyo wa mtetemo wa Harmonic inaonekana kama:

,
ambapo A- amplitude ya oscillation (thamani ya kupotoka kubwa zaidi kwa mfumo kutoka kwa nafasi ya usawa); -mzunguko (mzunguko) mzunguko. Kubadilisha mara kwa mara hoja ya cosine - inayoitwa awamu ya oscillation . Awamu ya oscillation huamua uhamisho wa kiasi cha oscillating kutoka kwa nafasi ya usawa kwa wakati fulani t. φ mara kwa mara ni thamani ya awamu kwa wakati t = 0 na inaitwa awamu ya awali ya oscillation . Thamani ya awamu ya awali imedhamiriwa na uchaguzi wa hatua ya kumbukumbu. Thamani ya x inaweza kuchukua maadili kuanzia -A hadi +A.
Muda wa muda T, baada ya hapo majimbo fulani ya mfumo wa oscillatory hurudiwa; kinachoitwa kipindi cha oscillation . Cosine ni kazi ya mara kwa mara na kipindi cha 2π, kwa hiyo, kwa muda wa T, baada ya hapo awamu ya oscillation itapokea ongezeko sawa na 2π, hali ya mfumo wa kufanya oscillations ya harmonic itarudia. Kipindi hiki cha wakati T kinaitwa kipindi cha oscillations ya harmonic.
Kipindi cha oscillations ya harmonic ni : T = 2π/.
Idadi ya oscillations kwa muda wa kitengo inaitwa mzunguko wa oscillation ν.
Mzunguko wa vibrations za harmonic ni sawa na: ν = 1/T. Kitengo cha masafa hertz(Hz) - oscillation moja kwa pili.
Mzunguko wa mzunguko = 2π/T = 2πν unatoa idadi ya oscillations katika sekunde 2π.

Oscillation ya jumla ya harmonic katika fomu tofauti

Kielelezo, mizunguko ya usawa inaweza kuonyeshwa kama utegemezi wa x kwa t (Mchoro 1.1.A), na njia ya amplitude inayozunguka (njia ya mchoro wa vekta)(Mchoro.1.1.B) .

Njia ya amplitude inayozunguka inakuwezesha kuibua vigezo vyote vilivyojumuishwa katika equation ya oscillations ya harmonic. Hakika, kama vector amplitude LAKINI iko kwenye pembe φ hadi mhimili wa x (angalia Mchoro 1.1. B), kisha makadirio yake kwenye mhimili wa x yatakuwa sawa na: x = Acos (φ). Pembe φ ni awamu ya awali. Ikiwa vector LAKINI kuweka katika mzunguko na kasi ya angular sawa na mzunguko wa mviringo wa oscillations, basi makadirio ya mwisho wa vekta itasonga kando ya mhimili wa x na kuchukua maadili kutoka -A hadi + A, na uratibu wa makadirio haya. itabadilika kwa muda kulingana na sheria:
.
Kwa hivyo, urefu wa vekta ni sawa na amplitude ya oscillation ya harmonic, mwelekeo wa vector wakati wa awali huunda pembe na mhimili wa x sawa na awamu ya awali ya oscillation φ, na mabadiliko katika mwelekeo wa mwelekeo. kwa wakati ni sawa na awamu ya oscillations ya harmonic. Wakati ambao vector ya amplitude hufanya mapinduzi moja kamili ni sawa na kipindi cha T cha oscillations ya harmonic. Idadi ya mapinduzi ya vekta kwa sekunde ni sawa na mzunguko wa oscillation ν.